funções trigonometricas

FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Funções seno e cosseno
Amplitude e período
Fase e valor médio
PROCESSOS PERIÓDICOS
• Alguns exemplos de fenômenos que se exibem algum
tipo de comportamento repetitivo.
• temperatura média diária
• duração do dia com luz
• ordenação da folhas numa planta
• locomoção dos animais
• oscilação do um pêndulo de relógio
• vibração de uma máquina
• rotação de um eixo
• Para modelar matematicamente os fenômenos
periódicos utilizamos as funções trigonométricas.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
• Definição: o círculo trigonométrico
é uma circunferência de raio igual
a um que utilizamos para representar propriedades trigonométricas.
• Definição: o arco trigonométrico é
um arco ao longo do circulo trigonométrico com origem no ponto A
• O arco pode ter
sentido positivo: anti-horário
exemplo: AM
sentido negativo: horário
exemplo: AN
y 1º quadrante
2º
3º 4º
MM
x
1

AA
NN
-
• Cada arco corresponde a um ângulo
AM    60  3 rad
AN    140  718 rad
AP    90   2 rad
AQ    270  32 rad
MR
N

 
A


Os dois arcos terminam
no mesmo ponto
AR    360  60 
 420 
7  rad
3
Q
P
Este arco dá mais
de uma volta
FUNÇÃO SENO
• Definição da função seno no círculo trigonométrico
1
•  é o ângulo do arco
.
M
p
• Qual é a relação entre a coordenada
 A
do ponto p e o ângulo  ?
d
sen    d  p
1
d
1

p  sen 
-1
• A coordenada do ponto p é 1 sen ()
igual ao seno ângulo .
0.5

• A medida que o ângulo vai
aumentando a coordenada -0.5
-1
p vai oscilando entre 1 e -1.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO SENO
• Alguns valores
sen( 2 )  sen( 52 ) 
sen( 32 )  sen( 72 ) 
sen(0)  sen() 
1
1
 1
0
sen (x)
0.5
-0.5

2

2
3
2
3
5

4
7 x
2
-1
• Domínio e Imagem
DR
I  x  R 1  x  1
• Zeros da função seno: são as raízes da equação sen x  0
0, , 2, 3,  (múltiplos inteiros de )
• Definição: amplitude A de uma função periódica é a
metade da distância entre os valores máximo e
mínimo da função (metade da altura).
A amplitude da função sen(x) vale A  1
• Definição: período T de uma função periódica é o
intervalo necessário para a função repetir seu padrão
O período da função sen(x) vale T  2
FUNÇÃO SENO MODIFICADA
• Uma função periódica f(x) pode ter a forma seno com
algumas modificações
f ( x)  Vm  A sen

A: amplitude A e T controlam
as dimensões
T: período
2 ( x  a)
T

f(x)
da oscilação
Vm: valor médio
(em torno de qual valor
a função oscila)
a: fase
(deslocamento da oscilação)
Vm e a localizam a oscilação no plano
x
Exemplo 1: f ( x)  3sen( x)
Exemplo 2: f (t )  sen(2t )
A3
T  2
Vm  0
a0
A1
T
Vm  0
a0
3 3sen(2t)
2
1
2

-1
-2
-3
4
3
t
Exemplo 3: f (t )  3 +sen(t )
2
A1
T  2
Vm  3/2
a0
3  sen(t)
2
1
 2
-1
-2
-3
3
2
3
t
4
3 sen(2t)
2
1

-1
-2
-3
2
4
3
t
Exemplo 4: f (t )  sen(t  2)
A1
T  2
Vm  0
a2
3 sen (t-2)
2
1
2

-1
-2
-3
4
3
t
Exemplo – Achando a equação a partir
do gráfico
• A partir do gráfico e dos respectivos valores fornecidos determine a equação da função seno de f(t)
fmax
14 f(t)
12
10
8
6
4
2
0
-2
0 2
t
4
6
8
10 12 14 16
x1
• Valor máximo: em x1  5,5 temos fmax  11,5
• Valor mínimo: em x2  12,5 temos fmin  0,5
• Forma geral:
f ( x)  Vm  A sen

2 ( x  a)
T

Período: entre o xmax e xmin do seno transcorre meio
período.
T  x  x  12,5  5,5  7  T  14
2
1
2
Vm
14 f(x)
12
10
8
6
4
2
0
-2
0 2
A
x
4
6
x1
Amplitude:
Valor médio:
T
2
8
10 12 14 16
x2
fmax  fmin 11.5( 0,5)
A

6
2
2
fmax  fmin 11.5( 0,5)
Vm 

 5,5
2
2
Fase: a onda começa um ciclo na coordenada
a  x1  T4  5,5  14

2
4
Vm
14 f(x)
12
10
8
6
T
4
4
2
0
-2
0 2 4
Conclusão
T  14
A6
Vm  5,5
a2
a
A
T
2
x
6
x1
8
10 12 14 16
x2
f ( x)  5,5  6sen

2  ( x  2)
14

Exemplo – Matéria seca por hectare de
pastagem durante o ano
• Os dados da tabela fornecem valores médios da quantidade de matéria seca no pasto nativo (kg/ha) no município de Bagé (período 1966-1972, dados da Embrapa).
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Jan
x (mês) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
y (kg/ha) 633 800 860 600 490 300 270 300 333 480 510 505 633
• Ajuste dos pontos para uma
função seno
• Período:
T  12
• Valor máximo: 860
Valor mínimo: 270
y
800
600
400
200
x
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Exemplo – Ajuste dos valores da tabela para
uma função períodica y( x)  Vm  A sen  2T ( x  a) 
• Período: T  12
860 270  295
A

• Amplitude:
2
Vm  8602270  565
• Valor médio:
y ( x)  565  295sen
• Resultado parcial:
•
Cálculo
do
valor
de
a:
12
2

• Resultado:

y

3

a


a

0
(3

a
)

4
12
2
2 x
y ( x)  565  295sen 12


2 ( x  a)
12

800
600
400
200
x
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Exemplo – Periodicidade de chuvas
• Considere as seguintes variáveis:
x  número do dia
(x)  quantidade de chuva (em mm) no dia x
Durante o período 173  x  538 foi medida a quantidade de (x) de chuva para uma certa região, obtendo-se a seguinte equação
173)
( x)  1,91  0,66sen(2 x365
• Esboçar o gráfico e interpretar a função.
3  (x)
2.5
2
 Dia da primeira medida: 1.5
x  173    1,91 mm 1
x
 A amplitude da oscila- 0.5
0
0 50 100 150 200 250 300 350
ção vale A  0,66 mm
173)
( x)  1,91  0,66sen(2 x365
 O período de oscilação vale T  365 dias
 Ponto máximo do seno: argumento vale /2.
173    x  365  173  264 dias
2 x365
2
4
max  1,91  0,66  2,57 mm
 Ponto mínimo do seno: argumento vale 3/2.
173  3  x  3365  173  447 dias (ou 82 dias)
2 x365
2
4
min  1,91  0,66  1,25 mm