UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - ORM/SC

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XIX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET MATEMÁTICA
Gabarito 3 Nível 2
1. Sabendo que x é um número real positivo e dado que 1 + (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 1812 , queremos encontrar
o valor de x(x + 3). Para solucionarmos o problema vamos reescrever a igualdade
1 + (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 1812 .
Primeiro, sabendo que as raízes de x2 + 5x + 6 são −3 e −2, então x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Além disso,
x2 + x = x(x + 1). Com isso camos com:
1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1812 .
Note que a expressão procurada, x2 + 3x, agora aparece no lado esquerdo da igualdade acima. Assim, seja
y = x2 + 3x. Com isso temos:
1 + y(x + 1)(x + 2) = 1812
1 + y(x2 + 3x + 2) = 1812
1 + y(y + 2) = 1812
1 + y 2 + 2y = 1812
(y + 1)2 = 1812 .
Como y + 1 é positivo, pois por hipótese x é positivo, então y + 1 = 181. Logo, o valor da expressão é 180.
(Alternativa A).
2. Lembrando o critério de divisibilidade pelo número 11, se a diferença entre as somas dos algarismos de
ordem ímpar e a dos de ordem par de um número é divisível por 11 então ele é divisível por 11. Assim, por
exemplo, o número 1001 é divisível por 11 já que
11 | (1 + 0) − (0 + 1).
Logo, todos os números {101, 1001, 10001, ..., 1000000000001} que tenham uma quantidade par de zeros serão
divisíveis por 11. Assim teremos no mínimo 5 números divisíveis por 11 e portanto compostos. Como 101 é
um número primo, a quantidade possível de compostos é maior do que 4 e menor do que 11. (Alternativa
D).
3. Solução 1. Considere um número inteiro positivo x. Multiplicando por 2 obtemos 2x, somando 1 teremos
2x + 1, e agora multiplicando por 3 obtemos 3(2x + 1), e por último, subtraindo 5 temos 3(2x + 1) − 5.
Iguale a 220 e teremos a seguinte igualdade:
3(2x + 1) − 5 = 220 ⇐⇒ 6x − 2 = 220 ⇐⇒ 6x = 222 ⇐⇒ x = 37.
Solução 2. Fazendo as operações inversas, temos: 220 + 5 = 225; 225 ÷ 3 = 75; 75 − 1 = 74; 74 ÷ 2 = 37,
que é um número primo. (Alternativa A).
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4. Considere a imagem a seguir:
Note que os triângulos F H1 D e AH2 D são semelhantes e a razão de semelhança é 1 : 3, pois o lado DF
do triângulo F H1 D mede um terço do lado do paralelogramo ABCD e o lado AD do triangulo AH2 D é o
próprio lado do paralelogramo.
Agora, isto que dizer que a área do triângulo F CD é um sexto da área do paralelogramo ABCD, já que a
altura deste triângulo é um terço da altura do paralelogramo, e a área de um paralelogramo é obtida pelo
produto entre sua base e sua altura. Como o triângulo F CD é congruente ao triângulo EAB , temos que a
soma das áreas dos triângulos ABE e DF C é um terço da área do paralelogramo ABCD, de forma que a
área do quadrilátero AECF é dois terços da área do paralelogramo ABCD, medindo então 56 u.a. Como
o quadrilátero AECF está dividido em oito quadriláteros congruentes (pois as retas que os dividem são
paralelas), temos que área sombreada mede 7 u.a. (Alternativa D).
5. Para sabermos quantas vezes, ao máximo, Esmeralda apertará o botão até aparecer um número menor que
2, temos que supor que a operação realizada será aquela que resulta no maior número possível.
Veja que dados um número real N e um número natural k tal que
10k ≤ N < 10k+1 ,
então
k
10 2 ≤
√
e
10k−2 ≤
N < 10
k+1
2
N
< 10k−1 .
100
Agora, veja que para números N maiores ou iguais que 105 a operação de dividir por 100 resultará em um
número maior que a operação de extrair a raiz quadrada, pois nesse caso k = 5 e vale o seguinte:
5
10 2 ≤
e ainda,
103 ≤
√
N < 103
N
< 104 .
100
Portanto, o número 201120112011 deve ser inicialmente divido por 100 e assim sucessivamente, para que
cheguemos em um número menor que 105 . Isso se dará após a operação de dividir por 100 for realizada 4
vezes, chegando ao número 2011, 20112011.
Agora, analisando o número 2011, 20112011, observe que
√
√
1936 <
p
2011, 20112011 <
44 <
p
2011, 20112011 < 45.
2025;
Portanto a extração da raiz quadrada de 2011, 20112011 gera um número maior que 44, enquanto a divisão
por 100 gera 20, 1120112011. Sendo assim, extraímos a raiz quadrada. Agora, para números menores que
100, a extração da raiz quadrada sempre irá gerar um número maior que a divisão por 100.
Assim, a partir do número 2011, 20112011 precisamos extrair a raiz quatro vezes para chegarmos em um
número menor que 2.
Deste modo, o máximo de vezes que Esmeralda aperta o botão até aparecer pela primeira vez um número
menor que 2, é 4 + 4 = 8. (Alternativa D).
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