UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA - ORM/SC

TICA
OLIM
PÍA
D
GIONAL DE M
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XVII OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET MATEMÁTICA
A
SA
NT
A
CATARINA - U
FS
C
Gabarito 2 1 a fase de 2014
Nível 2
1. (E) Quando Ana andar 34 da escada, Beatriz terá andado 41 da mesma. Isso signica que Ana é três vezes
mais rápida para descer do que Beatriz para subir. Quando Ana andar mais 14 da escada e terminar,
1
1
4
Beatriz terá andado mais um terço disso, que é 12
. Assim, Beatriz andou 14 + 12
= 12
da escada, então
8
2
2
ainda terá que subir 12 = 3 dela, ou seja, 3 .24 = 16 degraus.
2. (B) Os números que possuem exatamente 10 divisores positivos podem assumir apenas uma das possíveis
formas: p4 q ou p9 , onde p e q representam primos distintos. O menor número ímpar da primeira forma é
34 5 = 405, enquanto o segundo número é 39 , que é bem maior do que 405. Logo, a resposta correta é 405.
3. (C) A distância entre quaisquer dois pontinhos pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras. O
quadrado da distância entre dois pontos é um número da forma x2 + y 2 , onde x e y representam as
distâncias entre as projeções verticais e horizontais dos pontinhos. Tanto x quanto y podem assumir
valores
no√conjunto √
0, 1, 2, 3. Assim,
as possíveis
distâncias
são:
√
√
√
√
√
√
√
02 + 12 , 02 + 22 , 02 + 32 , 12 + 12 , 12 + 22 , 12 + 32 , 22 + 22 , 22 + 32 , 32 + 32 .
4. (B) Considere a seguinte gura:
Veja que RC = AB = F S = 100m, pois ABCR e ABSF são retângulos. De modo análogo, RF = DE =
CS = 70m. Se tomarmos F P = x a igualdade das regiões ABCPA e DEFPC é dada por:
[ABCR] + [RCP ] = [DESC] + [CSF P ], em que [....] denota a área da gura entre os colchetes.
50.100 + (70−x).100
= 70.60 + (70+x).100
2
2
5000 − 4200 = ((70+x)−(70−x)).100
2
800 = 2x.100
2
800 = 100.x
x = 8.
5. (C) Temos x − x1 = y − y1 ⇔ x − y = x1 −
diferente de zero, então 1 = −1
xy ⇔ xy = −1
6. (D)
1
y
⇔ x−y =
y−x
xy ,
mas podemos cancelar a diferença, que é
Os triângulos BN M e BAC são semelhantes pelo caso LAL, então os segmentos AC e N M são paralelos.
Então B M̂ N = M ĈP . Mas M ĈP + C M̂ P = 90◦ . Assim, B M̂ N + C M̂ P = 90◦ .
Logo, N M̂ P = 180◦ − (B M̂ N + C M̂ P ) = 90◦ .
7. (B) Como a média dos números é 98 eles são 98 − x e 98 + x , x inteiro positivo. Como os números têm
dois dígitos, 98 + x < 100 ⇔ x < 2. Assim, x = 2 e a diferença entre os números é (98 + 1) − (98 − 1) = 2
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