Matemática II

Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
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Trigonometria no triângulo retângulo
Tópicos da aula
 Razões trigonométricas
 Razões trigonométricas inversas
 Consequências da tangente e da cotangente
Exercícios de aula
1) Para saber se uma subida (ou rampa) é mais íngreme, ou
se tem um aclive maior, do que outra rampa, basta calcular
o seu ângulo de inclinação. Quanto maior o ângulo de
inclinação, maior será o aclive da rampa. O ângulo de
inclinação é medido entre a horizontal (afastamento) e a
rampa, como pode ser visto nos exemplos abaixo.
Resumo teórico
Razões trigonométricas:
rampa 1
a
rampa 2
b
60o
x

c
Seno de x =
medida do cateto oposto à x
medida da hipotenusa
Cosseno de x =
 senx 
Nas figuras dadas a rampa 1 é mais íngreme do que a
rampa 2, pois 60o > 35o.
Quando não é possível medir o ângulo de inclinação, basta
calcular a razão entre a altura da rampa e o seu
afastamento, conhecida também como índice de subida. O
índice de subida é numericamente igual ao valor da
tangente do ângulo de inclinação da rampa. E quanto
maior o valor do índice de subida, mais íngreme será a
rampa.
b
a
med. do cateto adjacente à x
c
 cos x 
medida da hipotenusa
a
Tangente de x =
35o
med. do cateto oposto à x
b
 tgx 
med. do cateto adjacente à x
c
rampa
altura
Razões trigonométricas inversas:
Cossecante de x  cos sec x 
Secante de x
 sec x 
1
senx
1
cos x
1
Cotangente de x  cot gx 
tgx

 cos sec x 
 sec x 
a
b
afastamento
a
c
índice de subida 
altura da rampa
afastament o
Sem saber qual é a medida do ângulo de inclinação de
cada uma das rampas abaixo, determine qual das duas
rampas é mais íngreme.
c
 cot gx 
b
rampa 1
Consequências da tangente e da cotangente:
Com relação ao triângulo retângulo dado no início do
resumo teórico, temos:
senx

cos x
b
a
c
a

b a b
.   tgx
a c c
 tgx 
7m
senx
cos x
11m
rampa 2
cos x

senx
c
a
b
a

c a c
cos x
.   cot gx  cot gx 
a b b
senx
5m
11
8m
2) No triângulo retângulo ABC dado abaixo, sabe-se que
sen = 0,8. Calcule o valor da tgÂ.
C
c) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule o

valor da tg A em cada um dos triângulos, respectivamente.
30cm

B
A
d) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os



valores de sen G , sen F e sen E , respectivamente.
e) Com relação aos resultados obtidos das razões
trigonométricas nos itens (b), (c) e (d) o que se pode
concluir?
3) Na figura dada abaixo, os triângulo retângulos ABG,
ACF e ADE são semelhantes, com AB = 6cm, AC = 9cm,
AD = 12cm, AG = 10cm, AF = 15cm e AE = 20cm.
E
F
G
4) (U.F.BA) Num triângulo ABC, reto em B, a hipotenusa
mede 10cm e a medida de AB é o dobro da medida de

A

B


C
D
a) 4.
a) Calcule as medidas dos catetos BG , CF e DE .
b) 
17
.
10
c)
3 5  10
.
5
d)
6 5 5
.
10
e) 3 5  10 .
b) Nos triângulos retângulos ABG, ACF e ADE, calcule os




BC . O valor de sen C cos C tg C é

valores de cos G , cos F e cos E , respectivamente.
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Questão de raciocínio lógico:
Os dois grupos de letras representados abaixo guardam
entre si uma relação. Essa mesma relação deve existir entre
o terceiro e o quarto grupo, que está faltando.
Tarefa de casa
1) (U.F.PA) No triângulo retângulo temos:
I)
sent =
II) cost =
1
2
2
(K P Q R) está para (K S T U)
assim como (M C D E) está para ( ?
1
5
t
III) tgt = 2

Considerando que a ordem alfabética é a oficial, o grupo
de letras que deve substituir corretamente o ponto de
interrogação é
2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
a) I.
d) II e III.
b) II.
e) I, II e III.
c) III.
a) M B C D
b) M F G H
c) M J K L
d) N K L M
e) N S T U
2) (PUC-SP) Um dos ângulos de um triângulo
retângulo é . Se tg = 2,4 , os lados desse triângulo são
proporcionais a
a) 30, 40, 50.
d) 50, 120, 130.
b) 80, 150, 170.
e) 61, 60, 11.
c) 120, 350, 370.
3) No triângulo retângulo ABC da figura abaixo, tem-se
que o valor de cossec – cotg é igual a
1
.
3
b) 3.
1
c) .
6
d) 6.
4
e) .
5
C
a)
10cm
6cm

A
)
B
1
, se nos afastarmos
2
50m, a quantos metros nos elevamos do chão?
4) Numa subida de índice igual a
2
, se nos elevarmos a
5
uma altura de 4 metros, qual será o afastamento
correspondente?
5) Numa subida de índice igual a
5
, se nos deslocarmos
12
52 metros sobre a rampa desde o seu início, quantos
metros nos elevaremos do chão?
6) Numa subida de índice igual a
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