MA-Unidade01-2012

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MATEMÁTICA APLICADA
PROGRAMA:
Unidade 1- Razão, Proporção, Regra de Sociedade
Unidade 2- Média Aritmética e Ponderada
Unidade 3 - Regra de Três Simples e Composta
Unidade 4- Porcentagem
Unidade 5- Juros Simples
Unidade 6- Desconto Simples
UNIDADE 1
RAZÕES E PROPORÇÕES
RAZÃO : quociente de dois números.
Indicamos por a : b ou
a
b
A razão de 3 para 6 é
3
1
, que é igual a
6
2
A razão de 6 para 3 é
6
, que é igual a 2
3
*A ordem dos números é fundamental.
Razão Inversa de
a
b
é
, ou seja o produto delas é igual a 1.
a
b
a b
x
1
b a
3
5
Ex:
é a razão inversa de
5
3
4
é a razão inversa de
1
4
Exemplos:
1-Numa prova de 60 questões, acertei 30, deixei 5 em branco e errei as demais.
a) Qual é a razão do número de questões certas para o número total de questões?
b) Qual é a razão do número de questões em branco para o número de questões certas?
c) Qual é a razão do número de questões em branco para o número total de questões?
1
2
2- Quem tem a maior razão de acertos: Antônio que em 40 exercícios, acertou 32 ou Paulo que em
exercícios, acertou 28?
36
3- Numa cobrança de disputa de pênaltis, Ricardo bateu 12 e marcou 9. Rodrigo bateu 16
e marcou 12. Quem teve maior desempenho?
Exercícios:
1- Numa prova de 50 questões, acertei 35, deixei cinco em branco e errei as demais. Qual é a razão do número
de questões certas para o número de questões erradas?
2- Paula resolveu 20 problemas de matemática e acertou 18. Roberta resolveu 30 e acertou 24. Quem
apresentou melhor desempenho?
3- Um produto custa R$ 7,00 para ser fabricado e é vendido por R$ 21,00. Determine a razão do lucro para o
preço de venda. Explique o que isto significa.
4- Num regime Marta emagreceu 2 kg em 30 dias e Rosa emagreceu 6 kg em 3 meses. Quem teve melhor
desempenho no regime?
5- Numa sala há 58 alunos, se 23 são homens, a razão entre o número de homens e mulheres é:
a)
23
58
b)
23
35
c)
25
58
d)
25
23
6- No último vestibular da FTM, Túlio fez 126 pontos de um total de 180 e, no vestibular da UEMG ele fez
120 pontos de um total de 150 qual dos dois vestibulares ele se saiu melhor?
7-Thiago acertou 15 exercícios de uma prova onde continha 20 exercícios e André de uma prova de 25
exercícios acertou 18. Qual desses alunos obteve pior desempenho?
8- A olimpíada de matemática é constituída de duas fases; na primeira fase continha 30 exercícios e Mauro
acertou 18. Já na segunda fase acertou 21 exercícios dos 32 propostos. Em qual fase teve melhor
desempenho?
PROPORÇÃO : é a igualdade entre duas razões.
A proporção
a c
 pode ser lida como “a está para b assim como c está para d”.
b d
Nesta proporção os números a e d são extremos e os números b e c são os meios.
Propriedade Fundamental:
“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”
2
6

4 12
2
3
Exemplos:
1- Verifique se são proporções os números abaixo.
3 12

5 20
a)
b)
6
12

10
15
2- Observe os preços dos dois estacionamentos e responda qual deles é proporcional e por quê:
PRAIA
R$ 2,00
R$ 2,50
R$ 3,00
R$ 3,50
---------
1h
2h
3h
4h
5h
MAR
1h
2h
3h
4h
5h
R$ 1,00
R$ 2,00
R$ 3,00
R$ 4,00
---------
Proporção múltipla: é a igualdade simultânea de três ou mais razões.
2 3 4 5
  
4 6 8 10
Ex:

Qualquer “ grupo” escolhido a propriedade fundamental é verdadeira.
Exemplos:
1) Determine o valor de x nas proporções abaixo:
9
x  10

10
40
x 12

2) Calcule o valor de x e y na proporção
, de modo que x + y = 7
y
9
x
y

3) Calcule o valor de x e y na proporção
, de modo que x + y = 10
16 64
x y z
  , de modo que x + y + z = 144
4) Calcule o valor de x; y e z na proporção:
4 6 8
x 16

5 20
a)
b)
5) A razão entre o custo de uma mercadoria e o lucro obtido com sua venda é 5 para 3. Se o custo é de
R$ 45,00, qual será o lucro?
Exercícios:
1- Determine o valor de x nas proporções ( usando propriedade fundamental)
a)
x 15

2
3
b)
20 x  3

8
2
x 3
 , de modo que x + y = 21
y 4
x y z
  , determinar os valores de x, y e z sabendo que x + y + z = 112
3 5 6
2- Calcular x e y na proporção
3- Na proporção múltipla
4-O comprimento e a largura de uma sala são proporcionais a 7 e 4, respectivamente. A medida da
largura é 24 m. Qual é a medida do comprimento?
3
4
5-Para fazer uma limonada, misturamos suco de limão com água na razão de 2 para 5. Quantos litros de limão e
quantos litros de água serão necessários para fazer 42 litros de limonada?
Exemplos – 2ª aula
1- Três mulheres tornaram-se sócias de uma loja e permanecem trabalhando nela 2, 3 e 5 horas por dia. Se
o lucro total, ao final de um ano foi de R$ 20 000,00 qual é o ganho de cada uma, supondo que a divisão
seja feita em partes diretamente proporcionais às horas de permanência na loja?
2- A parte de R$ 2 170,00 foi dividida entre 3 homens. Sabendo que a parte do primeiro está para a parte
do segundo como 7 está para 9, e que a do segundo está para a do terceiro como 3 para 5, determine as 3
partes.
EXERCÍCIOS:
1-Três irmãos, Paula, Júlio e Marcos decidiram juntos comprar uma televisão que custa R$ 1 980,00.
Resolveram que a parte que cada um deve pagar deve ser diretamente proporcional ao seu salário. Se os salários
são R$1 100,00, R$ 1300,00 e R$ 900, 00, respectivamente. Determine a parte que cada um deve pagar.
2-Em uma olimpíada, será dividido um prêmio de R$ 3 500,00 entre os três primeiros colocados de forma
proporcional ao número de pontos que cada equipe alcançou. A equipe vencedora fez 20 pontos, a segunda
colocada fez 18 pontos e o terceiro lugar fez 12 pontos. Quanto coube a cada equipe?
3-Ao iniciar uma viagem, separei em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 2. A primeira parte
destinou a transportes, a segunda à hospedagem e a terceira às compras. Tendo levado R$ 3 200,00 para esta
viagem, quanto reservei para cada item?
4-O lucro de uma determinada firma foi dividido entre seus três sócios na proporção 3, 5 e nove. Sabendo que o
segundo sócio recebeu R$ 4 000,00 a mais que o primeiro qual foi o lucro total e quanto recebeu cada sócio?
Exemplos 3ª aula
1- Divida 284 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 7.
2-
Uma empresa distribuiu uma bonificação de final de ano de forma inversamente proporcional às faltas
de seus operários. A quantia de R$ 37 000,00 foi repartida entre 3 grupos de operários, que tiveram,
respectivamente, 4, 5 e 6 faltas em um ano. Quanto coube a cada grupo?
Exercícios:
1-O prêmio de R$ 510,00 deve ser distribuído entre três funcionários de uma firma, em partes inversamente
proporcionais ao número de faltas que tiveram durante o ano. Quanto deverá receber cada um, se faltaram
respectivamente 2, 3 e 6 dias?
2-A empresa de transportes “ Sempre cabe mais um” vai distribuir um prêmio especial a seus três motoristas.
São 26 salários mínimos que serão repartidos entre os três, em partes inversamente proporcionais à quantidade
de multas que tiveram durante um ano. Um deles teve 2 multas, o outro 3 multas e o terceiro 4 multas. Quanto
cada um ganhou de prêmio?
4
5
3-Numa disputa hípica entre 3 cavaleiros, o prêmio de R$ 37 760,00 vai ser dividido em partes inversamente
proporcionais ao número de obstáculos que cada um derrubar. O primeiro derrubou 6 obstáculos, o segundo 8
obstáculos e o terceiro derrubou 5 obstáculos. Quanto ganhou cada cavaleiro?
REGRA DE
SOCIEDADE
Quando os problemas de divisão proporcional envolvem, numa empresa, a divisão de lucros, prejuízos,
gratificações, participações de lucro e bonificações em geral, eles recebem o nome de Regra de Sociedade. Para
efetuar essas divisões, temos três situações:
1- Capitais iguais e Tempos diferentes : Os lucros e os prejuízos serão divididos em partes diretamente
proporcionais ao período de tempo em que ficaram investidos.
2- Tempos iguais e Capitais diferentes: Os lucros e os prejuízos serão divididos em partes diretamente
proporcionais aos capitais investidos.
3- Capitais diferentes e Tempos diferentes: Os lucros e os prejuízos serão divididos em partes diretamente
proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos.
Exemplos:
1- Três amigos, A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital inicial. A
deixou seu capital no negócio durante 4 meses, B por 6 meses e C durante 3 meses e meio. Dividir com
justiça, o lucro auferido de R$ 16 200,00.
2- Carla e Paula montaram uma casa de chocolates caseiros. Os capitais investidos foram: Carla com
R$ 2 500,00 e Paula com R$ 2 000,00. Ao final de um ano, o balanço apurou um lucro de R$ 13 500,00.
Quanto cada uma deverá receber?
3- Uma sociedade lucrou R$ 11 700,00. O primeiro sócio entrou com R$ 1 500,00 durante 5 meses, e o
outro com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um?
Exercícios:
1-
Três sócios sofreram prejuízo de R$ 14 400,00. Os três entraram para a sociedade com o mesmo capital,
ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo 12 meses, e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuízo de
cada um?
2- Uma empresa com dois sócios lucrou R$ 64 000,00. O primeiro sócio empregou R$ 10 000,00
durante 1 ano e 4 meses; e o segundo, R$ 20 000,00 durante 8 meses. Quanto lucrou cada sócio?
3- Três pedreiros, ganhando o mesmo salário-hora, trabalharam o número de horas apresentadas no quadro
abaixo. Na hora do pagamento o dono da obra tinha em mãos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi
feita a divisão do dinheiro?
Trabalhador
Horas trabalhadas
1º Pedreiro
24
2° Pedreiro
18
3° Pedreiro
20
5
6
4- Uma sociedade entre três amigos que dela participaram com capitais iguais rendeu R$ 5 100,00.
O tempo de participação de cada um é dado pela tabela abaixo. Dividir o lucro entre os sócios.
Sócios
Tempo
1° Amigo
8 meses
2° Amigo
1 ano
3° Amigo 1 ano e 2 meses
5-Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 5 650,00 e de
R$ 4 250,00. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu R$ 518,00 a mais que o segundo. Quanto recebeu cada
sócio?
6- Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18 000,00; R$ 22 500,00 e R$ 27 000,00 e
obtiveram um lucro líquido de R$ 33 750,00. Qual será a parte de cada um?
7- O lucro de R$ 24 920,00 foi dividido entre dois sócios de uma firma. Sabendo que o primeiro aplicou
R$ 3 200,00 na sociedade durante 5 meses, e que o segundo aplicou R$ 2 800,00 durante 7 meses, o sócio que
menos tempo ficou obteve de lucro o valor de : a) R$ 13 920,00 b) R$ 13 720,00 c) R$ 11 000,00
d) R$ 11 200,00
6