Matemática 3 (2006)

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MATEMÁTICA -3
17. Uma epidemia prolifera-se de tal maneira que a cada dia que passa o número de
pessoas contaminadas é 10% a mais do que no dia anterior. Qual a quantidade
mínima de dias para que o número de pessoas contaminadas duplique? (utilize a
aproximação log2 (1,1) = 0,13.)
Resposta: 08
Justificativa:
A cada dia que passa o número de pessoas contaminadas é multiplicado por 1,1.
x
Queremos x tal que (1,1) = 2. Logo xlog2(1,1)=log22 = 1 e x = 7,69....Portanto o
número mínimo de dias é 8.
18. Uma urna contém uma série completa de cartelas de bingo. Ou seja, todas as cartelas
com 10 números cada uma, sem repetições e utilizando-se números de 1 a 15. Qual a
probabilidade p de uma cartela escolhida aleatoriamente conter os números 1 e 15?
Indique o inteiro mais próximo de 100p.
Resposta: 43
Justificativa:
O número total de cartelas na urna é C10
15 = 3003 e o número de cartelas contendo
8
os números 1 e 15 é C13
= 1287. Logo p = 0,4285... e o inteiro mais próximo de
100p é 43.
19. Os valores de y para os quais existe t satisfazendo a equação 2 - sen t = 8-6y formam
um intervalo. Calcule o comprimento c deste intervalo e indique 6c.
Resposta: 02
Justificativa:
A equação dada pode ser escrita como sen t = 6(y - 1). Esta possui solução em t se,
e somente se, -1 ≤ 6(y -1) ≤ 1. Conseqüentemente 1– 1/6 ≤ y ≤ 1 + 1/6. Logo c=1/3.
20. Sejam p1, p2, p3, p4 números primos distintos que dividem n e 100n3 + 8n2 + 5n + 420.
Indique p1 + p2 + p3 + p4
Resposta: 17
Justificativa:
2
Pelas hipóteses do problema, p1, p2, p3 e p4 dividem 420. Como 420 = 2 .3.5.7, e os
primos são distintos, então p1 + p2 + p3 + p4 = 2 + 3 + 5 + 7 = 17.
21. Uma medida do rendimento de um automóvel é dada pelo número de quilômetros que
ele percorre com um litro de combustível. A tabela abaixo ilustra o rendimento, em
quilômetros por litro(Km/l) de certo automóvel para alguns valores da velocidade.
Supondo-se que o rendimento é uma função quadrática da velocidade, use a tabela
para encontrar esta função e indique, em Km/h, a velocidade que proporciona maior
rendimento.
km/h
20
40
60
km/l
7
12
15
Resposta: 80
Justificativa:
2
O rendimeno R, em função da velocidade v, é dado por R(v)= av + bv + c. Usando
a tabela acima obtemos o seguinte sistema de equações:
400a + 20b + c = 7

1600a + 40b + c = 12
3600a + 60b + c = 15

2
Resolvendo este sistema obtemos R(v) = -(1/400)v + (2/5)v, cujo máximo é atingido
em v = (2/5)/(1/200) = 80.
22. Uma fração com números inteiros no numerador e no denominador é tal que o
denominador supera de dois o numerador. Somando-se dois ao numerador e um ao
denominador a fração aumenta de 7/30. Indique o produto do numerador pelo
denominador da fração dada.
Resposta: 15
Justificativa:
As hipóteses implicam que a fração é da forma m/(m+2), e que m/(m+2) + 7/30=
2
(m+2)/(m+3). Então 7m + 5m - 78 = 0 e a solução inteira desta equação é m = 3.
Portanto a fração em questão é 3/5, o que justifica a resposta.
23. Um tronco de cone circular reto tem altura de 4cm e tem sua base maior inscrita num
quadrado de lado 4cm. Sabendo-se que o volume do tronco de cone é 7/8 do volume
do cone, calcule a altura do cone em centímetros.
Resposta: 8
Justificativa:
Observe que o tronco de cone foi obtido de um cone C, com raio R=2 cm e altura H,
cortando-se C por um plano paralelo a base. Neste processo obtém-se um cone c,
com raio r e altura h, e o tronco de cone. Como c e C são semelhantes, 1/8 =
3
3
3
v/V=r /R = r /8 e h/H=r/2, onde v e V são os volumes de c e C, respectivamente.
Logo r=1 e H=2h=4+h. Portanto h=4 e H=8.
24. A área de um triângulo definido por uma reta tangente à circunferência de equação
2
2
x + y = 1 e os eixos coordenados é
2 3
. Sabendo-se que o ponto de tangência
3
(xo, yo) está no primeiro quadrante, indique 8 3 x o y o .
Resposta: 6
Justificativa:
Sejam xo = cosθ e yo = senθ as coordenadas do ponto de tangência. Então a base
do triângulo é b =
1
2x 0 y 0
1
1
2 3
1
e sua altura é h =
. Logo
=
=
cos θ
sen θ
3
2 sen θ. cos θ
e, portanto 8 3 x o y o = 8 3
3
=6.
4
25. Considere a reta r de equação y = x/3 + 5/3 e o ponto P com coordenadas (2,-5). Seja
Q o pé da perpendicular baixada de P sobre r. Calcule a distância d de Q à origem e
2
indique 25d .
Resposta: 65
Justificativa:
A equação da reta s ortogonal a r e que passa por P é y = -3x + 1.
Então Q é o ponto de intersecção das retas r e s, e tem coordenadas (-1/5,8/5).
2
Segue-se que d = 65/25.
26. Considere o número complexo z =
4
8
2
2
+i
. Analise as seguintes afirmações:
2
2
0-0) |z| = |z | = | z | = 1
2
3
4
1-1) z + z + z + z = 0
2
3
4
5
6
7
8
2-2) z + z + z + z + z + z + z + z = 0
9
3-3) z = z
5
4-4) z = -z
Resposta: VFVVV
Justificativa:
Decorre do fato de z ser raiz oitava da unidade.
27. Analise as identidades abaixo:
2
2
0-0) sen x + cos (2x) = 2
4
2
4
1-1) 1 + sen x = 2sen x + cos x
sen 2 x
2
= 1+tg x
1 + cos2x
3-3) senx.tgx+senx=secx
2-2)
cotg 2 x
2
4-4) 1 – sen x =
1 + cotg 2 x
Resposta: FVFFV
Justificativa:
0-0) Falsa para x = 0
4
2
2
2
4
1-1) É verdadeira posto que 1 + sen x = 1 + (1 – cos x) = 2 - 2cos x + cos x =
2
4
2sen x + cos x
2-2) Falsa para x = 0
3-3) Falsa para x = 0
2
2
2
2
2
4-4) É verdadeira posto que (1 - sen x)(1 + cotg x) = 1 + cotg x - sen x - cos x =
2
cotg x.
28. Seja f(x) =
|x|
x2 + 1
definida no conjunto dos números reais. Analise as afirmações:
0-0) f é uma função par
1-1) se x >0, então f (x) < 1/x
2-2) f(x) > 1/(2 |x|) se |x| > 1
3-3) f(x) < 1 para todo x real
4-4) f(x) é injetora.
Resposta: VVVVF
Justificativa:
Como f(-x) =
| -x |
2
(-x) + 1
=
|x|
x2 + 1
= f(x), segue-se que 0-0) é verdadeira.
1
1
< . Logo 1-1) é verdadeira.
1
x
x +1
+x
x
1
|x|
1
Para |x| > 1, f(x) =
=
>
, portanto 2-2) é verdadeira.
2
1
2
|
x|
x +1
+|x|
|x|
1
f(0) = 0, e para x ≠ 0,
+ | x | > 1. Segue-se que f(x) <1 para todo x e que 3-3) é
|x|
verdadeira.
4-4) é falsa em decorrência de 0-0)
Para x > 0, f(x) =
x
2
=
29. Considere os números a = 2 , b = 7/5 e c = 3/4. Analise as afirmações:
0-0) 1/c < b < a
2
1-1) 2c > b
2
2-2) c < c
3-3) ab < 1/c
2
4-4) bc < a
Resposta: VFVFV
Justificativa:
Segue-se de 2 =1,414... e das propriedades elementares dos números e das
desigualdades.
30. Analise as afirmações abaixo sobre o gráfico da função f(x) = |x - 1| - |x| definida no
conjunto dos números reais.
0-0) É simétrico com relação ao eixo-x .
1-1) É simétrico com relação ao eixo-y.
2-2) É formado por duas semi-retas e um segmento de reta.
3-3) Não corta o eixo-x.
4-4) Está acima da reta de equação y = 2.
Resposta: FFVFF
Justificativa:
Segue-se das observações seguintes: para x > 1 a função tem a expressão
f(x) = -1; para x < 0 a função tem a expressão f(x) = 1; e para 0 ≤ x ≤ 1 a função se
deixa escrever como f (x) = - 2x + 1.
31. Parte da estrutura de um prédio de 99 metros de altura é formada por colunas verticais
construídas com blocos cilíndricos superpostos, cada um com 9 metros de altura e
2
com as áreas das seções transversais diminuídas de 410 cm quando se passa de um
bloco para o que está imediatamente acima dele. Sabendo-se que a área da seção
2
transversal da coluna posta na superfície do solo é de 5000 cm , calcule o volume total
3
de uma coluna de tal prédio, em cm , e indique a soma de seus dígitos.
Resposta: 18
Justificativa:
Pelos dados do problema, a seção transversal do último bloco cilíndrico de cada
2
coluna tem 5000 – 10x410 = 900 cm . Então a soma das áreas das seções
2
transversais dos blocos cilíndricos é igual a ((900+5000)/2).11cm e, portanto, o
3
3.
volume pedido é igual a 900 x32450 cm = 29205000cm
32. Analise as afirmações sobre o conjunto C dos pontos de interseção da elipse de
equação
x2
32
+
y2
22
2
= 1 com uma parábola de equação y = ax + bx + c.
0-0) C pode ser vazio.
1-1) C pode ter exatamente 1 ponto.
2-2) C pode ter exatamente 2 pontos.
3-3) C pode ter exatamente 3 pontos.
4-4) C pode ter exatamente 4 pontos.
Resposta: VVVVV
Justificativa:
2
Basta considerar a parábola de equação y = x + c, e variar c para ter todos os
casos acima.
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