Lógica - UNIPVirtual

Lógica
Professor conteudista: Ricardo Holderegger
Sumário
Lógica
Unidade I
1 SISTEMAS DICOTÔMICOS ................................................................................................................................3
1.1 Proposições ................................................................................................................................................3
1.1.1 Proposições lógicas ...................................................................................................................................3
1.1.2 Símbolos da lógica matemática...........................................................................................................4
1.1.3 A negação .....................................................................................................................................................4
1.2 Interruptores .............................................................................................................................................5
2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÃO............................................................................................6
3 CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE .........................................................................................................6
3.1 Exemplo de p ∧ q ....................................................................................................................................8
3.2 Exemplo de p ∨ q ....................................................................................................................................9
3.3 Exemplo de p → q ..................................................................................................................................9
3.4 Exemplo de p ↔ q ............................................................................................................................... 10
3.5 Tautologia .................................................................................................................................................11
3.6 Contradição .............................................................................................................................................11
3.7 Contingências ........................................................................................................................................ 12
Unidade II
4 RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA ..................................................................................... 13
4.1 Implicação lógica.................................................................................................................................. 13
4.2 Equivalência lógica .............................................................................................................................. 13
5 ARGUMENTO VÁLIDO .................................................................................................................................... 14
5.1 Definição .................................................................................................................................................. 14
5.2 Argumento válido e inválido ........................................................................................................... 15
5.3 Argumento verdadeiro e falso ........................................................................................................ 15
6 TÉCNICAS DEDUTIVAS ................................................................................................................................... 16
Unidade III
7 FLUXOGRAMAS ................................................................................................................................................ 17
7.1 Diagramação .......................................................................................................................................... 17
7.2 Programação estruturada ................................................................................................................. 20
7.3 Estrutura de controle .......................................................................................................................... 20
8 QUANTIFICAÇÕES ............................................................................................................................................ 22
8.1 Sentença aberta .................................................................................................................................... 23
8.1.1 Sentença aberta com uma variável................................................................................................. 23
8.1.2 Conjunto-verdade de uma sentença aberta................................................................................ 23
8.1.3 Sentenças abertas com duas variáveis .......................................................................................... 23
8.1.4 Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas variáveis........................................ 24
8.1.5 Sentenças abertas com n variáveis ................................................................................................. 24
8.1.6 Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n variáveis .............................................. 24
8.2 Quantificador universal (∀) ............................................................................................................. 25
8.3 Quantificador existencial (∃) ........................................................................................................... 27
8.4 Negação de sentenças quantificadas........................................................................................... 28
Unidade IV
9 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA DE BOOLE...................................................................................................... 30
9.1 Operador binário................................................................................................................................... 30
9.2 O sistema binário de numeração ................................................................................................... 30
9.3 Propriedade cumulativa na adição ............................................................................................... 32
9.4 Propriedade cumulativa na multiplicação ................................................................................. 32
9.5 Propriedade associativa na adição ................................................................................................ 32
9.6 Propriedade associativa na multiplicação.................................................................................. 32
9.7 Álgebra booleana.................................................................................................................................. 32
9.8 Conversão de decimal em binário ................................................................................................. 33
10 REPRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES BOOLEANAS ................................................................................. 33
11 FORMAS NORMAIS ....................................................................................................................................... 34
11.1 Forma normal conjuntiva ............................................................................................................... 35
11.2 Forma normal disjuntiva ................................................................................................................. 35
LÓGICA
Unidade I
TABELA DE SÍMBOLOS
Símbolo
Definição
¬ ou ∼
∧
∨
→
←
↔

⇒
⇔
∃
∃
∀
∈
∉
não
e
ou
se ..., então
somente se
se, e somente se
tal que
implica
equivalente
existe
existe um, e somente um
qualquer que seja
pertence
não pertence
intersecção (só entra o que é comum nos
dois)
união dos conjuntos
contém. Ex.: B ⊃ A (B contém A)
não está contido
está contido. Ex.: A ⊂ B (A está contido em
B)
conjunto vazio
conjunto unitário
x “tal que” x ...
diferente
∩
∪
⊃
⊄
⊂
∅ ou { }
{∅}
{ x | x ∈ ...
≠
1
Unidade I
INTRODUÇÃO
O que é lógica?
A lógica ensina a colocar “ordem no pensamento”.
Breve histórico da lógica
A lógica começou a se desenvolver principalmente com
5 Aristóteles (384-322 a.C.), filósofo grego nascido na cidade de
Estagira, na Calcídica, Macedônia, distante 320 quilômetros
de Atenas. Além dele, também outros antigos filósofos gregos
passaram a usá-la em suas discussões, sentenças enunciadas nas
formas afirmativa e negativa, resultando, assim, numa grande
10 simplificação e clareza, com efeito de grande valia em toda a
matemática.
As obras de Aristóteles abordam vários ramos do saber:
política, zoologia, botânica, física, metafísica, filosofia e outros.
A lógica é tratada por Aristóteles no livro Orgânon.
Na era moderna, o matemático alemão Gottfried Wilhelm
von Leibniz (1646-1716), em 1666, publicou seu principal
trabalho relacionado à lógica. Já no século XVIII, Euler (17071783) introduziu a representação gráfica das relações entre
as sentenças ou as proposições, mais tarde ampliada por
20 Venn (1834-1923), Veitch, em 1952, e Karnaugh, em 1953. O
diagrama Veitch-Karnaugh permite a simplificação de expressões
matemáticas complexas.
15
Adiante, George Boole (1815-1864), matemático inglês
que se tornou o pai da álgebra booleana, utilizou símbolos e
25 operações para representar proposições e suas inter-relações.
A álgebra de Boole, apesar de ter existido há mais de cem
anos, não teve uma utilização prática até 1937, quando foi
aplicada pelas primeiras vezes à análise de circuitos e relés.
2
LÓGICA
1 SISTEMAS DICOTÔMICOS
1.1 Proposições
As proposições são sentenças declarativas, que satisfazem
três princípios fundamentais.
• Princípio da identidade: se qualquer proposição é
verdadeira, então, ela é verdadeira.
5
• Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode
ser verdadeira ou falsa.
• Princípio da não contradição: uma proposição não pode
ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Uma proposição verdadeira possui o valor lógico V (verdade) e
10 uma proposição falsa possui o valor lógico F (falso). Esses valores
também podem ser representados por 0 para as proposições
falsas e por 1 para as proposições verdadeiras. Sendo assim, a
representação (0 ou F) e (1 ou V) são corretas.
As proposições simples são indicadas pelas letras minúsculas
15 latinas p, q, r, s, t, u, v, x etc.; por exemplo:
• p: “Júpiter é um planeta”;
• q: “a somatória dos ângulos internos de qualquer triângulo é
180º”.
1.1.1 Proposições lógicas
Expressões do tipo “5 + 7”, “o dia está nublado” ou “x + 8
20 = 23” não são proposições lógicas, já que não se pode associar
a elas um valor lógico definido (V ou F). Desta forma, essas
sentenças declarativas abertas dependem de um qualificador
para se tornarem proposições; por exemplo, “x + 8 = 23” será
uma proposição lógica quando for definido o valor de x. Nesse
3
Unidade I
caso, se x = 15, a sentença será verdadeira, ou, se x ≠ 15, a
sentença será falsa.
Abaixo seguem algumas proposições e seus respectivos
valores lógicos:
5
• p: “o estado do Paraná faz divisa com o Equador” (F) ou (0);
• q: “São Paulo é uma metrópole” (V) ou (1);
• r: “todas as árvores são frutíferas” (F) ou (0);
• s: “5 + 5 = 10” (V) ou (1);
• t: “3! = 6” (V) ou (1);
10
• u: “1/0 = 1” (F) ou (0).
1.1.2 Símbolos da lógica matemática
Símbolo
¬ ou ∼
∧
∨
→
←
↔

⇒
⇔
∃
∃
∀
Definição
não
e
ou
se ..., então
somente se
se, e somente se
tal que
implica
equivalente
existe
existe um, e somente um
qualquer que seja
1.1.3 A negação
A negação da proposição p será ¬p, que se lê “não p”.
• p: “dois pontos determinam uma reta”;
4
LÓGICA
• ¬p: “dois pontos não determinam uma reta”.
Duas negações equivalem a uma afirmação. Desta
forma, ¬(¬p) = p.
Acompanhe a tabela abaixo:
(p)
(¬p)
Verdadeiro (V)
Falso (F)
Falso (F)
Verdadeiro (V)
1.2 Interruptores
O interruptor é um dispositivo ligado a um circuito elétrico,
que pode assumir dois estados: 1 (ligado) e 0 (desligado). Quando
5 o circuito está fechado, o interruptor está ligado e permite que
a corrente passe de um ponto para outro. Quando aberto, os
pontos estão desconectados e nenhuma corrente passa através
dos mesmos.
A
C
D
R
F
Figura 1 – Circuito de chaveamento simplificado.
Nos circuitos em paralelo, é utilizada a soma, e para circuitos
10 em série, é utilizada a multiplicação. Com base na figura 1, um
exemplo pode ser: (A + B) . (C + D + E).
Com os interruptores, monta-se as portas lógicas, que são
utilizadas na computação para tomar decisões e fazer cálculos
matemáticos.
5
Unidade I
2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÃO
As proposições lógicas simples, por exemplo, p e q, podem
ser combinadas através dos operadores lógicos ∧, ∨, → e ↔, e
passarem a formar proposições compostas, do tipo p ∧ q, p ∨
q, p → q e p ↔ q. Assim, as proposições compostas recebem as
5 seguintes definições:
• conjunção: p ∧ q (“p e q”);
• disjunção: p ∨ q (“p ou q”);
• condicional: p → q (“se p, então q”);
• bicondicional: p ↔ q (“p se, e somente se q”).
3 CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE
10
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições
simples p e q, com o uso da tabela-verdade é possível
determinar os valores lógicos das proposições compostas
decorrentes.
Desta forma, sejam p e q duas proposições simples, de valores
15 lógicos 0 quando falsas (F) e 1 quando verdadeiras (V), pode-se
construir a tabela-verdade conforme segue:
p
q
p∧q
p∨q
p→q
p↔q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
Se os valores lógicos V e F forem substituídos por 1 e 0,
respectivamente, então obteremos:
6
LÓGICA
p
q
p∧q
p∨q
p→q
p↔q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Se uma proposição composta é formada por n proposições
simples, a sua tabela-verdade possuirá 2n linhas.
Das tabelas acima, é possível inferir que:
5
• a conjunção é verdadeira somente quando ambas as
proposições são verdadeiras;
• a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições
são falsas;
• a condição é falsa somente quando a primeira proposição
é verdadeira e a segunda é falsa;
10
• a bicondicional é verdadeira somente quando as proposições
possuem valores lógicos iguais.
Veja o exemplo.
Dadas as proposições simples:
• p: “o Brasil não é um país” (F) ou (0);
15
• q: “5 + 7 = 13” (V) ou (1).
Sendo assim, baseado na tabela-verdade, tem-se:
• p ∧ q tem valor lógico F ou 0;
• p ∨ q tem valor lógico V ou 1;
• p → q tem valor lógico V ou 1;
20
• p ↔ q tem valor lógico F ou 0.
7
Unidade I
Deste modo, a proposição composta p → q, que significa
“se o Brasil não é um país, então 5 + 7 = 12”, é verdadeira,
apesar de ser um absurdo.
3.1 Exemplo de p ∧ q
Situação hipotética: um homem chega tarde em casa e a
5 sua esposa, muito brava, pergunta “o que houve?”. O homem
responde: “trabalhei até tarde, o carro não quis pegar e tive que
chamar o socorro mecânico do seguro”.
Sendo:
• p: trabalhei até tarde;
• q: carro não quis pegar e tive que chamar o socorro
mecânico do seguro.
10
p
q
p∧q
Explicação
V
V
Situação 1:
V
O homem realmente trabalhou até tarde
(p é verdadeiro), e o carro apresentou
problema de fato, havendo a necessidade
de se chamar o socorro mecânico (q é
verdadeiro).
V
F
Situação 2:
F
O homem realmente trabalhou até
tarde (p é verdadeiro), mas o carro não
apresentou problema (q é falso).
F
V
Situação 3:
F
O homem não trabalhou até tarde (p é
falso), mas o carro apresentou problema
de fato, havendo a necessidade de
se chamar o socorro mecânico (q é
verdadeiro).
F
F
Situação 4:
F
O homem não trabalhou até tarde
(p é falso), e o carro não apresentou
problema (q é falso).
A disjunção p ou q será falsa somente quando p e q forem
falsos.
8
LÓGICA
3.2 Exemplo de p ∨ q
Situação hipotética: uma mulher que está fazendo compras
em um supermercado chega aos caixas para pagar pelas
suas mercadorias e percebe que o único caixa livre é o que
tem a seguinte informação: caixa reservado para gestantes e
5 deficientes físicos.
Sendo:
• p: reservado para gestante;
• q: reservado para deficientes físicos.
Quando essa mulher poderá passar suas compras por esse
10 caixa?
p∨q
Explicação
Situação 1:
V
A mulher é gestante (p é verdadeiro) e é
deficiente (q é verdadeiro).
F
Situação 2:
V
A mulher é gestante (p é verdadeiro) e
não é deficiente (q é falso).
F
V
Situação 3:
V
A mulher não é gestante (p é falso) e é
deficiente (q é verdadeiro).
F
F
Situação 4:
F
A mulher não é gestante (p é verdadeiro)
e não é deficiente (q é verdadeiro).
p
q
V
V
V
A condição somente será falsa quando p e q forem falsos.
3.3 Exemplo de p → q
Situação hipotética: uma mãe diz ao seu filho: “se fizer sol
amanhã, iremos ao parque do Ibirapuera”.
• p: fazer sol;
15
• q: ir ao parque do Ibirapuera.
9
Unidade I
p→q
Explicação
Situação 1:
V
No dia seguinte fez sol (p é verdadeiro),
e a mãe levou o filho ao parque do
Ibirapuera (q é verdadeiro).
F
Situação 2:
F
No dia seguinte fez sol (p é verdadeiro),
mas a mãe não levou o filho ao parque
do Ibirapuera (q é falso).
V
Situação 3:
V
No dia seguinte não fez sol (p é falso),
e a mãe levou o filho ao parque do
Ibirapuera (q é verdadeiro).
V
No dia seguinte não fez sol (p é
verdadeiro) e a mãe não levou o
filho ao parque do Ibirapuera (q é
verdadeiro).
p
q
V
V
V
F
F
F
Situação 4:
A condição somente será falsa quando p for verdadeiro e q
for falso.
3.4 Exemplo de p ↔ q
Situação hipotética: Marquinho não foi um aluno aplicado
neste semestre, suas notas foram baixas e o número de faltas muito
5 elevado em todas as disciplinas, em especial matemática, na qual
ele será aprovado se não faltar às duas últimas aulas e somente se
conseguir tirar uma nota superior a 8, 5 na última prova.
• p: se não faltar nas duas últimas aulas;
• q: e somente se conseguir tirar uma nota superior a 8,5 na
última prova.
10
10
p↔q
Explicação
Situação 1:
V
Não faltou às duas últimas aulas (p é
verdadeiro) e conseguiu nota superior a
8,5 (q é verdadeiro).
F
Situação 2:
F
Não faltou às duas últimas aulas (p
é verdadeiro) e não conseguiu nota
superior a 8,5 (q é falso).
F
V
Situação 3:
F
Faltou às duas últimas aulas (p é falso)
e conseguiu nota superior a 8,5 (q é
verdadeiro).
F
F
Situação 4:
V
Faltou às duas últimas aulas (p é falso)
e não conseguiu nota superior a 8,5 (q
é falso).
p
q
V
V
V
LÓGICA
3.5 Tautologia
Ocorre quando, para qualquer valor lógico das proposições
simples, a proposição composta “s” é sempre verdadeira. Por
exemplo, observe s: (p ∧ q) → (p ∨ q), como segue:
p
q
p∧q
p∨q
(p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Dize-se então que “s” é uma tautologia.
5
Veja também este exemplo:
p
p→p
V
V
F
V
A → A é uma tautologia.
Assim como:
p
¬p
p∨¬p
V
F
V
F
V
V
p∨¬p é uma tautologia.
3.6 Contradição
É uma proposição composta que sempre tem valor F. Logo, p
10 é uma contradição se, e somente se ¬p é uma tautologia, e p é
uma tautologia se, e somente se ¬p é uma contradição.
Sabemos que a proposição composta t: p ∧ ¬p é uma
contradição, então vejamos a seguir:
11
Unidade I
p
¬p
p ∧ ¬p
V
F
F
F
V
F
Também são contradições os exemplos a seguir:
p
¬p
p∧¬p
V
F
F
F
V
F
p∧¬p é uma contradição.
p
¬p
p↔¬p
V
F
F
F
V
F
p↔¬p é uma contradição.
3.7 Contingências
São proposições compostas em que os valores lógicos
5 independem dos valores das proposições simples.
12