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5 a LISTA DE EXERCÍCIOS
1) “A ação de controle proporcional-derivativo só apresenta influência durante o regime
permanente não tendo nenhum efeito durante os transitórios do sistema”.
- Responda se a afirmação acima é verdadeira ou falsa;
- Justifique sua resposta.
2) Dado o sistema abaixo, defina o valor do erro causado na saída C(s), devido a uma perturbação PT (s),
a qual é um degrau de amplitude 2,5.
PT(s)
R(s)
10
+
+
C(s)
1
2S 2+5
+
-
3) Para o sistema abaixo, após esboçar o lugar das raízes, determine o valor de K, tal que os pólos de
malha fechada dominantes tenham uma relação de amortecimento entre 0,5 e 0,75. Porém, a resposta do
sistema deve ser a mais rápida possível. Utilizando o ganho K projetado acima, obtenha a resposta ao
degrau unitário do sistema.
R(s)
K
S(S+1)(S+2)
+
-
C(s)
0,25+1
4) Para o sistema abaixo, esboce o lugar das raízes. Determine o valor de “ω
ω ”, tal que a relação de
amortecimento dos pólos de malha fechada dominantes seja 0,5. Calcule o tempo de acomodação para as
faixas de 2% e 5% de tolerância.
R(s)
+
-
S +W
2
S2 (S+2)
C(s)
5) Um sistema de controle para uma plataforma lançadora de foguetes é regido pelas expressões
mostradas a seguir, onde r(t): posição desejada da plataforma; p(t): posição atual da plataforma; W(t):
perturbação na posição da plataforma devido a um agente externo.
Obtenha uma representação por espaço de estado para o sistema onde p(t) é a saída do sistema e r(t) e
w(t) são as entradas.
dx 2 ( t )
dx( t )
a)
+
+ 4 x( t ) = 2θ( t )
e) v 1 ( t ) = r ( t ) − b( t )
2
dt
dt
v 2 (t)
dθ( t )
=
dt
2
b) x ( t ) + m ( t ) = p( t )
f)
dm 3 ( t )
dm 2 ( t )
dm( t )
c)
+
+ 4
= 3ω( t )
3
2
dt
dt
dt
g) v 2 ( t ) = 8 v1 ( t )
d) b ( t ) = ρ( t ) +
dp( t )
dt
6) Seja o diagrama de blocos de um sistema mostrado abaixo, onde R(S) é a entrada principal do sitema e
N(S) é uma perturbação indesejada. Sabe-se que a entrada principal é do tipo rampa e a perturbação é
do tipo degrau. Projete a função de transferência dos blocos Gc(S) e H(S) para que o sinal de saída não
apresente erro de regime em relação a entrada principal e a perturbação. Comente sobre a influência dos
ganhos de Gc(S) e H(S) na minimização da parcela do sinal de saída referente a perturbação.
N(S)
R(S)
E(S)
+
Gc(S)
b
S+a
H(S)
S-1
-
+
+
C(S)
7) O diagrama mostrado abaixo representa um sistema de controle de velocidade e posição de um servo
motor de corrente contínua. Calcule o erro de regime permanente para uma entrada do tipo degrau
unitário.O sistema apresenta erro de posição em regime, qual é sua sugestão para torná-lo nulo, caso isto
seja possível. Todas as unidades abaixo são compatíveis.
OBS : SERVO MOTOR
CONTROLADO PELA ARMADURA.
C = 100µF; R = 20KΩ; La = 5mH ; Ra = 10 mΩ; B = 6Nm. seg / rad ; J = 2 Kgm 2
As expressões do torque e da força contra-eletromotriz produzida na armadura são:
T(s) = 5Ia ( s) e Ea(s) = 2Sθ( s)
8) Seja o diagrama de Blocos mostrado abaixo, onde os ganhos “K” e Kx” só podem assumir valores.
x(s)
K
+
-
1
S2(S+2)
+
S
y(s)
S.Kx
Pede-se:
a) Considerando que a chave S encontra-se aberta, determine a estabilidade do sistema em função da
variação do parâmetro “K”, através do Lugar das Raízes do sistema.
b) Considere agora que a chave S foi fechada, e que o ganho “K” é igual a 1. Determine a estabilidade do
sistema em função da variação do parâmetro “Kx”.
c) Com a chave S fechada, determine o valor do ganho “Kx” e do ganho “K”, que faça com que o
sistema apresente uma resposta de segunda ordem com um overshoot igual a 80%, para um entrada do
tipo degrau unitário.
9) Considere o servomecanismo mostrado abaixo.
COMPENSADOR
x(s)
1
Ga(s)
+
-
S2+51S+550
1
S
y(s)
Gs(s)
a) Sabe-se que o modelo compensador é igual a Ga(S) = K.(S + Z) , e o modelo do sensor é igual a
(S + P)
P
= 3. Determine os valores de K, Z e P, para que as raízes dominantes da equação
Z
característica deste sistema, apresentem ξ = 0,5 e parte real igual a “-7”.
b) Qual o erro de regime permanente do sistema acima, se a entrada for:
- Um degrau unitário;
- Uma Rampa unitária;
- Uma parábola unitária.
c) Projete um compensador do tipo “P-I”, que faça com o sistema projetado no item “a”, apresente erro
nulo para uma entrada do tipo rampa unitária.
Gs(S)=1, onde
50
( S + 1) 2 ( S + 10)
10) Seja a função G(S) H (S) =
Determine:
- o valor da função, para a qual a fase associada é 180°;
- o valor do ganho K a ser adicionado ao sistema, para que o sistema torne-se criticamente estável;
- o valor de “ω” para o qual a fase do sistema e 180°
11) O sistema em malha aberta mostrado na figura 1.a, apresenta uma entrada principal R(S) e uma
perturbação D(S) que são do tipo degrau unitário.
a) Calcule o valor do ganho “K” na figura l.b, para que a resposta em regime permanente do sistema,
para a entrada principal, seja a mesma apresentada pelo sistema em malha aberta na figura 1.a.
b) Com o valor do ganho “K” definido em (a), comente sobre as principais alterações causadas pela
realimentação utilizada na figura l.b.
D(s)
R(s)
+
+
1
τ .S + 1
C(s)
ð figura l.a
D(s)
R(s)
K
+
-
9
+
+
1
τ .S + 1
C(s)
ð figura l.b
12) Considere um sistema com realimentação unitária, cujo modelo de espaço de estado esta
representado a seguir:

1
 x • (t)   0
 x1 ( t ) 
b   x 1 (t)  1 
 1  
  



y(t) = [1
0] × 

=
 +   u(t)


 x • (t)  −1





a
x
(t)
b
x
(
t
)

 2   
 2 
2


Determine graficamente a região no plano a-b para a qual o sistema é completamente estável.
13) As equações diferenciais do sistema de controle para um motor são dadas por:
d 2 θ c (t)
dθ (t)
T(t) = J.
+ B. c
+ K.θc(t)
(1)
T(t ) = Ki . i ( t )
2
dt
dt
v ( t ) = Ri( t ) + L.
dθ c ( t )
di( t )
+ Kb .
dt
dt
e( t ) = KS .(θ R ( t ) − θ C ( t ))
(2)
v ( t ) = KA . e( t )
(4)
(5)
(3)
Onde:
T(t): Torque do motor; i(t): corrente do motor; v(t): tensão aplicada no motor; θ C(t): deslocamento de
saída do motor; θ R(t): entrada de referência; e(t): sinal de erro; L: indutância do motor; R: resis- tência
do motor; Kb: constante de força contra-eletromotriz do motor; J: momento de inércia da carga do
motor; K: constante de elasticidade ligada ao eixo do motor; KA: ganho do amplificador; KS: ganho do
detector de erro e(t).
Pede-se:
(a) Defina as variáveis de estado e escreva as equações de estado para osistema na forma:
X(t) = A.X(t) + B.u(t)
y(t) = C.X(t) + D.u(t)
(b) Mostre o diagrama de blocos para este sistema;
c) Determine a função de transferência entre θC(S) e θR(S), utilizando a regra de Mason.
Com o objetivo de obter o melhor desempenho possível deste sistema, qual das relações
acima, você escolheria. Explique sua resposta.
14) Seja o mesmo diagrama de blocos mostrado na questão anterior, onde:
100
G( s) =
e
H(s) = 1
S.( S + 10) 2
Projete GC(S), se possível, para que o sistema atenda as seguintes especificações;
⇒ Erro de regime permanente menor que 5%, para uma entrada do tipo rampa unitária;
⇒ Margem de Fase de 55 graus.
OBSERVAÇÕES:
Caso não seja possível atender estas especificações, explique sua resposta.
15) Dada a função abaixo, determinar a sua transformada de Laplace.
f(t)
α
t
a
a+α
16) Seja a Função de transferência mostrado abaixo:
X(S)
10(S + 2)
=
M( S) 4(S + 5)( S 2 + 2S + 1)
Pede-se:
(a) Obtenha a expressão de X(t), sabendo-se que:
a.1) m(t) = 20t
a.2) m(t) = 2 + 4t
(b) Para m(t) = 20t, determine o valor de X(t) quando t → ∞
c) Para m(t) = 2 + 4t, determine o valor de X(t) quando t → ∞
17) Seja o sistema elétrico mostrado abaixo, onde i1(t) e i2(t) são sinais de entrada.
Pede-se:
a) Diagrama de blocos equivalente, considerando a tensão sobre a resistência, como sendo o sinal de
saída do sistema;
b) Um modelo de variáveis de estado para o sistema, considerando como variáveis de estado a tensão
vC(t) e a corrente iL(t). Os sinais de saída a serem considerados são também vC(t) e iL(t).
18) Para o diagrama de blocos mostrado a seguir, pede-se:
a) A função de transferência entre o sinal de entrada e de saída, através da simplificação de blocos;
b) A função de transferência entre o sinal de entrada e de saída, através da fórmula do ganho de Mason;
R(s)
+
1
5S
+
-
-
1
3S
+
-
2S
C(s)
10
19) Sabendo que a equação diferencial que define um determinado sistema é dada por:
c(t) + 3.c(t) + 4.c(t) = 7.u(t) + 2.t
Onde: c(0) = 1
c(t) = 2
Pede-se o valor de c(t).
20) Dada a função abaixo, determine a sua transformada de Laplace.
f(t)
α
a
(a+α
α)
t
21) Seja o seguinte circuito elétrico:
Pede-se:
Utilizando transformada de Laplace, obtenha a expressão de i(t).
22) Seja a Função de transferência mostrada abaixo:
X(S)
10(S + 2)
=
2
M( S) 4(S + 2S + 1)( S + 5)
Pede-se:
a) Obtenha a expressão de x(t), sabendo-se que:
a.1) m(t) ⇒ degrau unitário
a.2) m(t) ⇒ rampa unitária
b) Para m(t) sendo um degrau unitário, calcule o valor final de x(t).
23) Seja o sistema mecânico mostrado abaixo. O sistema esta inicialmente em repouso, isto é, x(0)=0 e
x • ( 0) = 0. Para t=0 uma força f(t)=Fsen wt é aplicada na massa. Obtenha a expressão x(t), para t>0,
K
sabendo que: M=1 kg, K=100 N/m, F=50N, W=5 rad/seg., ωn=
.
M
OBS.: 1 rad/seg= (1 N/kg.m).
24) Seja o sistema mecânico abaixo, obtenha:
d 2 y1 ( t )
dy ( t )
+ K1 . 1 + K2 . y 1 ( t ) = u1 ( t ) + K3 . u 2 ( t )
2
dt
dt
dy 2 ( t )
dy 1 ( t )
+ K 4 . y 2 ( t) + K5 .
= K 6 . u 1 (t)
dt
dt
Onde: y1(t) e y2(t) são saídas e u1(t) e u2(t) são entradas.
Obtenha a REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO DE ESTADO.
25) Um sistema de controle de temperatura de uma câmara fria, é mostrado abaixo. A perturbação D(s)
modela (representa) a abertura da porta da câmara fria, e é do tipo degrau unitário quando a porta está
aberta. Neste problema assuma que a porta da câmara esteja sempre fechada.
a) Defina o valor da entrada r(t), em Volts, necessária para manter a temperatura interna da câmara em 40
°C;
b) Se Gc(s)=1, calcule o erro de regime permanente em grau Celsius;
c) É necessário que o erro de regime seja menor que 5% da temperatura desejada. Caso isto não seja
satisfeito pela própria planta, projete Gc(s), sem o uso de integradores, para atender esta especificação.
d) Com o controlador projetado no item anterior, calcule o erro de regime para a perturbação.
Perturbação
D(s)
Graus Celsius
θ
20s + 1
Planta
Controlador
R(s)
Volts
20
20s + 1
Gc(S)
+
-
+
-
C(s)
Graus Celsius
Sensor
0,04
26) Seja o seguinte sistema:
Compensador “PD”
Planta
Kp
X(S)
+
+
+
Kd
S
K
S(S+2)
Y(S)
a) Comente sobre os efeitos causados no desempenho do sistema, para cada um dos casos abaixo,
Kp
sabendo-se que: a =
Kd
(i) -a > 0;
(ii) -2 < -a < 0;
(iii) -a < -2;
b) Qual dos 3 casos apresenta o menor tempo de resposta. Explique sua resposta.
ATENÇÃO: As questões a seguir se relacionam com o diagrama de blocos mostrado abaixo.
R(s)
C(s)
E(s)
+
K.Gp(s)
Gc(s)
Gc(s)
27) No diagrama de blocos mostrado, os blocos apresentam as seguintes funções de transferência:
1
Gc(s) = K
Gp(s) = 2
H(s) = 1
S + 5. S
Pede-se:
a) Deseja-se que este sistema apresente erro de regime permanente nulo para uma entrada do tipo rampa.
K
Para tanto, deve-se modificar o bloco Gc(s)=K para Gc(s)= . Comente sobre as alterações mais
S
significativas que deverão ocorrer neste sistema, caso esta modificação seja realizada;
b) Se for mantida a modificação proposta no item “a”, e se o bloco H(s)=1 for modificado para
“H(s)=S+2,5”, comente sobre as alterações que deverão ocorrer em relação ao sistema do item “a”.
c) Se for mantida a modificação proposta no item “a”, e se o bloco H(s)=1 for modificado para
1
“H(s)=
”, comente sobre as alterações que deverão ocorrer em relação ao sistema do item “a”.
S + 2 ,5
28) Seja o diagrama de blocos mostrado. Quais são os efeitos causados, se adicionarmos um pólo real
negativo na função de transferência de malha direta - Gp(s). Comente também o caso deste mesmo pólo
ser adicionado no ramo de realimentação - H(s). As funções de transferência dos blocos são:
1
Gc(s) = K
Gp(s) = 2
H(s) = 1
S + 4.S + 2
29) Diga se o sistema mostrado é estável para todos os valores de “K”. Explique.
Caso não seja, apresente uma solução para torná-lo estável para qualquer valor de “K”. As funções de
transferências dos blocos são:
1
Gc(s) = K
Gp(s) =
H(s) = 1
(S + 10).(S + 1 ± j2)
30) Para o sistema mostrado, após esboçar o gráfico do lugar das raízes, determine o valor de “K”, tal
que os pólos de malha fechada dominantes tenham uma relação de amortecimento entre 0,5 e 0,75.
Porém, a resposta do sistema deve ser a mais rápida possivel. Utilizando o ganho “K” projetado acima,
obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema. As funções de transferências dos blocos são:
Gc(s) = K
Gp(s) =
1
S.(S + 2,5). (S + 3,5)
H(s) = 0,2.S+1
31) Para o sistema mostrado, esboce o gráfico do lugar das raízes. Determine o valor de “w”, tal que a
relação de amortecimento dos pólos de malha fechada dominantes seja 0,5. Calcule o tempo de
acomodação para as faixas de 2% e 5% de tolerância. As funções de transferências dos blocos são:
2
Gc(s) = S+W
Gp(s) = 2
H(s) = 1
S .( S + 2)
32) Dado o diagrama de bloco, mostrado a seguir, pede-se:
a) O circuito elétrico equivalente no domínio do tempo, especificando a variável de entrada, a variável de
saída e as demais variáveis envolvidas;
b) A função de Transferência obtida por simplificação de blocos, explicitando as simplificações feitas,
passo a passo;
c) Aplicando o teorema do Valor final, determine o valor de io(t) em regime permanente, onde I(S)=
degrau unitário;
d) A expressão no domínio do tempo de “io(t)”, sabendo-se que I(S) é um degrau de corrente cuja
amplitude é 3A, e que R2 = 0,15 Ω , L = 7,5 mH, C = 1,282 F.
I(S)
+
-
1
SC
+
-
1
SL
Io(S)
R2
33) Sabendo-se que no diagrama de blocos mostrado abaixo, N(S) é uma perturbação externa ao sistema
e X(S) é a entrada de referência, quais as condições dos ganhos “G1(S)”, “G2(S)” e “H(S)”, para que a
resposta do sistema a esta perturbação seja desprezível e que o sinal de saída seja igual ao sinal de
entrada.
N(S)
X(S)
+
-
G1 (s)
+
+
G2(s)
H(s)
34) Dada a função f(t) abaixo, obtenha a sua Transformada de Laplace - F(S).
Y(S)
f(t)
15
10
10
2
13
15
t
5
- 10
- 15
35) Utilizando a FÓRMULA DO GANHO DE MASON, obtenha a função de transferência para o
diagrama de blocos do sistema dinâmico mostrado a seguir. Após, para uma entrada do tipo degrau
unitário, obtenha o valor de v(t).
S+2
S+3
+
-
3s-1
S+1
+
-
4
+
-
1
S+ 2
+
+
+
-
2S
+
+
0,5
36) Considere a seguinte função de T. de M.A.
G( s). H (s) =
50
(S + 1)( S + 2 )(S + 10)
a) Obtenha a D.B. para este sistema: - EXATO; - APROX. ASSINTÓTICA.
Comente sobre erros e para quais F. o ω é máximo.
b) Sabendo-se que a entrada do sistema é igual a 20.cos (ωt+30°), determine a saída deste sistema, para:
b.1) ω = 0,02
b.2) ω = 0,2
b.3) ω = 20
Comente sobre os resultados obtidos.
37) Seja o seguinte sistema:
G( s) =
a) idem
b) 4.cos ωt à b.1 à ω = 0
b.2 à ω = 2
38) Obtenha os seguintes diagramas de Bode:
2
( S + 1)(S + 2)
−S
(S + 1)( S − 1)
S
e) G (s) =
(S + 1)( S − 1)
200(S + 2)
f ) G( s) =
2
S(S + 405S + 400)
20
S(S + 1) 2
8.S
b) G( s) =
( S + 1) 2
2
c) G( s) = 2
S (S + 2 )
a) G( s) =
d ) G( s) =
39) Sabe-se que a representação por espaço de estado para um dado sistema é a seguinte:
 0
1 
 0
X • ( t) = 
. X( t ) +  . u( t )

- a - b
 −5 − a
1 
Y(t) = [5+a
0] . X(t)
jw
+ j1,732
-1
- j1,732
a) Determine os valores de “a” e “b” para que as raízes do sistema, seja mostradas ao lado.
b) Determine para este sistema os seguintes parâmetros:
- Overshoot:
_______ %;
- Tempo de Pico:
_______ segundos;
- Tempo de Acomodação:
_______ segundos;
- Constante de Erro de Posição: _______
- Erro de Regime Permanente: _______ %.
40) Dado o sistema mecânico mostrado abaixo, pede-se:
a) Determine os valores das grandezas K, B e M para que o deslocamento x1(t), apresente o
comportamento mostrado considerando-se que a força aplicada seja um degrau unitário.
b) Caso esta força seja uma rampa unitária, qual é o erro de regime permanente do sinal de saída?
x1 (t)
1,08
1
4 seg
4.τ
FiGURA 11
41) Sejam os diagramas de blocos mostrados abaixo:
b)
a)
R(s)
+
10
S(S+1)
-
R(s)
C(s)
+
10
S(S+1)
-
C(s)
1+K HS
Para o sistema mostrado na letra “a”, o coeficiente de amortecimento é de 0,158 e a freqüência natural
não-amortecida é de 3,16 rad/seg.. Para melhorar a estabilidade relativa, é empregada uma realimentação
como mostrada em “b”. Pede-se:
a) Mostre como a introdução desta realimentação no sistema, pode melhorar a estabilidade relativa;
b) Calcule o valor do parâmetro KH, para que o coef. de amortecimento seja igual a 0,5;
c) Qual a vantagem que a alteração do coef. de amortecimento pode trazer para o sistema.
42) Considere um sistema de controle com Realimentação Unitária cuja Função de Transferência é a
seguinte:
C( S)
KS + b
= 2
R(S) S + aS + b
Pede-se:
a) Determine a função de Transferência de malha direta;
b) Calcule o erro de Regime Permanente na resposta à uma entrada do tipo Rampa Unitária, e qual a
condição para que este erro seja nulo.
43) Determine a faixa de valores de “K” para o sistema abaixo, que resultará em instabilidade seja na
Presença do sinal de entrada, seja na Presença de Perturbação.
P(s)
θ i(s)
+
-
C(s)
+
10
S+4
5
S2+S+5
+
As questões 44) e 45) estão relacionadas com o seguinte sistema:
P(s)
R(s)
+
-
Gc (s)
+
C(s)
+
G(s)
H(s)
Sabe-se que em operação normal, a perturbação externa não apresenta interferência no desempenho
desta planta.
No diagrama de blocos mostrado, os blocos apresentam as seguintes funções de transferência:
1
1
Gp(s) =
H(s) =

50 
S-2
S.S + 15 + 

S
44) Sendo Gc(s) um compensador do tipo proporcional, pede-se:
a) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema será estável;
b) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema apresenta uma resposta super-amortecida;
c) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema apresenta uma resposta sub-amortecida;
d) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema apresenta uma resposta criticamente amortecida;
e) Para quais valores de “w” e Gc(s), o sistema apresentará uma resposta oscilatória;
f) Se a perturbação externa for modelada como um degrau unitário e o sistema apresentar uma resposta
criticamente amortecida, qual será o erro causado no sinal de saída devido a perturbação.
45) Sendo “Gc(s)=(Td + Kd.S)”.
Pede-se:
a) Que tipo de compensador é este (P, PI, PD ou PID). Explique sua resposta:
b) Deseja-se que a saída do sistema, seja o mais próximo possível do sinal mostrado abaixo, isto é,
y(t)=(1-e-3.t), para uma entrada do tipo degrau unitário. Caso isto seja possível, projete os valores de
“Kd” e “Td” que atendam a esta especificação. Caso não seja possível, explique sua resposta.
y(t)
1
t
46) Seja o seguinte sistema:
C(s)
R(s)
Gc (s)
+
-
G(s)
H(s)
Onde:
Gc(s) =
10
;
S + 0,65
Gp(s) =
1
;
S + 3.S + 27,25
2
H(s) =
1
S
O diagrama de Bode mostrado a seguir, é referente a este sistema.
a) Calcule a margem de fase e a margem de ganho deste sistema;
b) Calcule o erro em regime permanente, considerando que a entrada R(s) é uma rampa unitária;
c) Deseja-se que este erro seja igual ou menor a 0,35. Caso esta especificação não seja satisfeita pelo
sistema, qual é sua sugestão para satisfazê-la;
d) Para a sugestão implementada no item c), calcule a nova margem de fase e margem de ganho;
e) Suponha que fosse desejado trabalhar com o menor erro possível, mantendo o sistema estável. Qual é
sua sugestão e qual é a margem de fase e de ganho, neste caso.
OBS.: Nesta questão somente o ganho Proporcional, poderá ser alterado.
47) Seja o seguinte sistema:
y(s)
X(s)
+
-
G(s)
H(s)
( S + 1)
e H(s) = 1. Pede-se:
S2
a) Esboce o Diagrama de Nyquist;
b) Calcule a freqüência para qual G( jw ) = 1;
c) Determine a margem de fase e margem de ganho.
47.1) Seja G( s) =
10
e H(s) = 1. Pede-se:
S(S + 3) 3
a) Esboce o Diagrama de Nyquist;
b) Determine se o sistema é estável;
c) Adicione um ganho K ao sistema, tal que o sistema torne-se oscilatório em K.P.. Calcule o valor de K e
a freqüência de oscilação.
47.2) Seja G( s) =
47.3) Repita o problema 49.2), para H(s)=4;
1
4( 2) 2
47.4) Seja G( s) =
e H(s) = 1
(S + 4 )
a) Esboce o Diagrama de Nyquist;
b) Calcule a Freqüência para o qual G( jw ) = 1;
c) Determine a margem de ganho e a margem de fase.
50. K
e H(s) = 1 , onde a resposta em freqüência de G(s) é
(S + 1).(S + 2).(S + 10)
dada na tabela abaixo:
a) Sendo K=1, determine a margem de fase e de ganho para este sistema;
b) Sendo K=2,5, repita a letra a);
c) Sabendo-se que x(t)=5 cos(t+30°) e K=1, determine o valor de y(t).
47.5) Seja K. G( s) =
48) No sistema mecânico mostrado abaixo, f1(t) e f2(t) são forças aplicadas nas massas M1 e M2,
respectivamente. Estas forças quando aplicadas a este sistema produzem os deslocamentos x1(t) e x2(t).
Obtenha uma representação por espaço de estado para este sistema.
FIGURA 50
49) Seja a seguinte equação diferencial:
dx( t )
+ ex (t ) = 1
dt
Linearize-a para o ponto x=0 e obtenha a expressão que define x(t), sabendo que x(0)=0,05.
50) No sistema abaixo, X(s) é a entrada do sistema e N(s) é uma perturbação indesejada. Calcule se o
sistema apresenta erro de regime permanente e qual é o valor deste erro, caso exista. Considere a
perturbação, como sendo um degrau de amplitude “ Mo”. Caso o sistema apresente erro de regime
devido a perturbação, proponha uma solução para eliminá-lo.
N(s)
R
R(S+1)
X(s)
+
-
K
R
R(S+1)
y(s)
+
+
H(s)