Formulas de Newton-Cotes

étodos
uméricos
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
2016
Conteúdo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Fórmulas de Newton-Cotes.
Quadratura de Gauss-Legendre.
Comparação dos métodos de integ. simples.
Integ. dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes.
Integ. dupla via fórmulas de Gauss-Legendre.
Comparação dos métodos para integ. Dupla.
Introdução
Seja uma função f(x) integrável no intervalo [a, b]:
b
 f ( x) dx  F (b)  F (a),
F ( x)  f ( x)
a
Quando a fórmula analítica for de difícil obtenção ou se forem
conhecidos somente valores discretos de f(x), se faz necessário o uso
de métodos numéricos para avaliar a integral de f(x).
Esses métodos consistem em aproximar f(x) por um polinômio
interpolador e determinar analiticamente a integral desse polinômio no
intervalo [a, b].
Formulas de Newton-Cotes
• Seja uma função f(x) aproximada por um PI, por exemplo, um
polinômio de Gregory-Newton:
Operador de Diferença Finita:
▪ Exemplo: Verificar a tabela de diferenças finitas:
Formulas de Newton-Cotes
• Para n = 1:
• Mudança de variável de x  ux e simplificando a notação ux  u:
Formulas de Newton-Cotes
• Usando a notação yi = f(xi):
• Integrando, analiticamente, o polinômio:
Que é conhecida como regra do trapézio.
Formulas de Newton-Cotes
• Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 1:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Calcular pela regra do trapézio a integral:
Polinômio de grau 1 passa pelos pontos a = x0 = 1 e b = x1 = 4
Formulas de Newton-Cotes
• Aproximando f(x) por polinômio P2(x) de grau 2:
• Mudança de variável:
• Equação de integração:
Formulas de Newton-Cotes
• Integrando analiticamente o polinômio:
Que é a regra de 1/3 de Simpson ou primeira regra de Simpson.
Formulas de Newton-Cotes
• Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 2:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Calcular usando a regra do 1/3 de Simpson a integral:
Para construir um polinômio de grau 2 são necessários 3 pontos. Assim
as abscissas por onde o polinômio irá passar são:
Formulas de Newton-Cotes
• Aproximando f(x) por polinômio P3(x) de grau 3:
• Mudança de variável:
• Equação de integração:
Formulas de Newton-Cotes
• Integrando analiticamente o polinômio:
Que é a regra dos 3/8 de Simpson ou segunda regra de Simpson.
Formulas de Newton-Cotes
• Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 3
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Calcular usando a regra do 3/8 de Simpson a integral:
São necessários 4 pontos para construir um polinômio de grau 3. Assim
as abscissas são:
Sendo:
Formulas de Newton-Cotes
Resultado da integração melhora à medida que o grau do PI aumenta:
Formulas de Newton-Cotes
• Formulas de Newton-Cotes são da forma geral:
Formulas de Newton-Cotes
• Na prática é difícil o uso de um polinômio de grau superior a 3 para
integração numérica.
• O resultado é melhorado pela subdivisão do intervalo de integração
e aplicação de uma fórmula de Newton-Cotes em cada subintervalo.
Formulas de Newton-Cotes
1 – Regra do Trapézio (composta):
• Integração baseada em polinômio de grau 1:
• Subdividir [a, b] em m subintervalos iguais e aplicar a equação acima
a cada 2 pontos:
c0 = c m = 1
ci = 2, i = 1,2, ..., m-1
• Aplicável a qualquer número de subintervalos m.
Formulas de Newton-Cotes
• Integração da função f(x) utilizando 6 PI P(x) de grau 1:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando a regra do trapézio composta com m = 4
subintervalos, calcular:
Valor de h:
Dispositivo prático formado por quatro colunas, o com i = 0, 1, ..., m, xi =
a, a + h, a + 2h, ..., b, yi = f(xi) e ci sendo os coficientes de Cotes:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando a regra do trapézio composta com m = 5
subintervalos, calcular :
Valor de h:
Formulas de Newton-Cotes
2 – Regra de 1/3 de Simpson (composta):
• Integração baseada em polinômio de grau 2:
• Subdividir [a, b] em m (múltiplo de 2) subintervalos iguais. Aplicar a
equação acima a cada 3 pontos:
Número de subintervalos m deve
ser múltiplo de 2, que é o grau do
PI usado.
c0 = c m = 1
ci = 4 se i impar
ci = 2 se i par
Formulas de Newton-Cotes
• Integração da função f(x) utilizando 3 PI P(x) de grau 2:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando a regra do 1/3 de Simpson composta com h = 0,25,
verificar que:
Valor de m:
Dispositivo prático:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando a regra do 1/3 de Simpson composta com m=6,
calcular:
Valor de h:
Formulas de Newton-Cotes
3 – Regra de 3/8 de Simpson (composta):
• Integração baseada em polinômio de grau 3:
• Subdividir [a, b] em m (múltiplo de 3) subintervalos iguais. Aplicar a
equação acima a cada 4 pontos:
Número de subintervalos
m deve ser múltiplo de 3,
que é o grau do PI usado.
c0 = c m = 1
ci = 2 se i for múltiplo de 3
ci = 3 resto
Formulas de Newton-Cotes
• Integração da função f(x) utilizando 2 PI P(x) de grau 3:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando a regra dos 3/8 de Simpson com m = 6
subintervalos, calcular:
Valor de h:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando usando a regra dos 3/8 de Simpson com passo de
integração h = 0,3, calcular:
Valor de m:
Formulas de Newton-Cotes
4 – Erro de Integração:
• Erro de truncamento de um polinômio de Gregory-Newton de grau n:
• Regra do trapézio (polinômio de grau n = 1)
• Erro de integração E1,1 cometido ao usar P1(x) no intervalo [x0, x1]
Formulas de Newton-Cotes
• Mudança de variável de x para
• Erro de integração global considerando os m subintervalos é:
• i é determinado em cada um dos m subintervalos.
• Se f”(x) for contínua no intervalo [a, b], então existe algum valor de
x =  [a, b] para o qual o somatório é igual a mf”().
• Considerando o passo de integração:
Formulas de Newton-Cotes
• Erro global de integração da regra do trapézio torna-se:
• Regra do 1/3 de Simpson:
• Regra do 3/8 de Simpson:
• Devido à dificuldade de determinar o valor de  ele é tomado como o
ponto no intervalo [a, b], no qual a derivada de f(ii,iv)(x) apresenta o
maior valor em módulo.
• As equações fornecem a cota máxima do erro de integração.
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Utilizando a regra do 1/3 de Simpson com m = 2
subintervalos, calcular:
Valor de h:
Erro de integração:
Formulas de Newton-Cotes
Resultado exato:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando as três primeiras fórmulas de Newton Cotes com m
= 6 subintervalos, calcular:
Formulas de Newton-Cotes
Regra do trapézio:
Regra do 1/3 de Simpson:
Regra dos 3/8 de Simpson :
Formulas de Newton-Cotes
Determinação de :
Erro de integração da regra do trapézio:
Erro de integração da regra dos 3/8 de Simpson :
Erro de integração da regra dos 1/3 de Simpson :
Formulas de Newton-Cotes
Erros de integração máximo e real cometidos:
Regra do 1/3 de Simpson produziu os menores erros máximo e erro
real.
Sinal negativo do erro En indica que a integração numérica foi por
excesso: In > Iexata.
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Usando as três primeiras fórmulas de Newton-Cotes com E
< 10-2, calcular:
Determinação do valor m para cada fórmula:
Regra do trapézio:  = .
Regras de Simpson:  = /2.
Formulas de Newton-Cotes
Regra do trapézio:
Regra do 1/3 de Simpson:
Regra dos 3/8 de Simpson :
Formulas de Newton-Cotes
Passo de integração:
Formulas de Newton-Cotes
Pela regra do 1/3 de Simpson:
Verificação da exatidão:
Formulas de Newton-Cotes
Exemplo: Verificar o erro cometido no cálculo da integral a seguir
usando as seis primeiras fórmulas de Newton-Cotes, com m = 60:
A medida que o grau n do PI aumenta, o erro diminui.
Fórmulas utilizando grau par é melhor do que a de grau ímpar seguinte.
Quadratura de Gauss-Legendre
• Escolher pontos igualmente espaçados nas fórmulas de NewtonCotes simplifica os cálculos.
• Sem a imposição de espaçamento constante, podem ser obtidas
fórmulas que fornecem uma maior exatidão, usando o mesmo
número de pontos que Newton-Cotes.
Quadratura de Gauss-Legendre
1 – Fórmula para dois pontos:
• Com esse objetivo faz-se inicialmente a mudança de variável de x
para t, definida no intervalo [-1, 1]
• Derivando
• E definindo
• A integral
Quadratura de Gauss-Legendre
• Então deseja-se que,
• Expressão análoga à regra do trapézio
• Então deve-se encontrar valores de t1, t2, A1 e A2 que tornem a
exatidão a maior possível.
• Método construído de modo a ser exato para polinômios de grau até
3. Fazendo
• e impondo
Quadratura de Gauss-Legendre
• Para
• Para
• Para
• Para
Quadratura de Gauss-Legendre
• Sistema de equações não lineares de ordem 4
• Solução
Quadratura de Gauss-Legendre
Exemplo: Calcular:
Mudança de variável.
Dispositivo prático:
Quadratura de Gauss-Legendre
Resultado exato:
Quadratura de Gauss-Legendre
Exemplo: Calcular:
Mudança de variável.
Quadratura de Gauss-Legendre
Valor exato:
Erro cometido:
Mais exato que pela regra do trapézio com m = 6 subintervalos,
equivalente a 7 pontos (30,8816).
Quadratura de Gauss-Legendre
2 – Fórmula geral:
• Determinar os valores dos pesos Ai, e das abscissas
• De modo que esta seja exata para polinômios de grau menor ou igual
a 2n - 1.
Quadratura de Gauss-Legendre
• Sabendo que:
• Impondo:
• Sistema de equações não lineares de ordem 2n
Quadratura de Gauss-Legendre
• Solução fornece os n pesos Ai e as n abscissas ti.
• A solução desse sistema linear pode ser evitada utilizando um
processo alternativo. Inicialmente sejam os polinômios de Legendre
definidos pela fórmula de recorrência:
• Com L0(x) = 1 e L1(x) = x.
• Por exemplo
Quadratura de Gauss-Legendre
• Para maior exatidão na fórmula de quadratura é suficiente que ti, i =
1, 2, ... . n sejam os zeros do polinômio de Legendre de grau n.
• Conhecidas as abscissas ti, o sistema não linear se reduz a um
sistema linear de ordem n
• Em vez de resolver este sistema via decomposição LU, os pesos Ai
podem ser obtidos por
Quadratura de Gauss-Legendre
• L’n(ti): derivada de Ln(x) na abscissa ti.
Quadratura de Gauss-Legendre
• L’n(ti): derivada de Ln(x) na abscissa ti.
Quadratura de Gauss-Legendre
Exemplo: Verificar com n=3 e n=4.que:
Mudança de variável.
Para n = 3:
Quadratura de Gauss-Legendre
Para n = 4:
Quadratura de Gauss-Legendre
Exemplo: Com n=5 calcular:
Mudança de variável.
Quadratura de Gauss-Legendre
Resultado exato:
Gauss-Legendre com n = 5 é mais exato que a regra do 1/3 de Simpson
com m = 6 (30,4337).
Quadratura de Gauss-Legendre
3 – Erro de integração:
• Erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre
• : abscissa, na qual a derivada f2n(x) apresenta o maior valor em
módulo no intervalo [a, b].
• Cota máxima do erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre.
Quadratura de Gauss-Legendre
Exemplo: Com n = 2 e o respectivo erro de integração calcular:
Mudança de variável.
Para n = 2:
Quadratura de Gauss-Legendre
Determinação de .
Cálculo do erro máximo:
Valor exato:
Erro real:
Comparação dos Métodos
As comparações são realizadas por meio dos exemplos a seguir:
Comparação dos Métodos
Foram utilizadas regras simples de Newton Cotes, isto é o grau do
polinômio é igual ao número de subintervalos. O número de ponto de
Gauss Legendre é igual a m+1, sendo m o número de intervalos de
Newton-Cotes, de forma a ter o mesmo número de pontos avaliados.
Quadratura de Gauss-Legendre mais vantajosa !!!
Comparação dos Métodos
Comparação dos Métodos
Referencias Bibliográficas
1.
Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.