Equações Modulares 1. (Espcex (Aman) 2015) O número de soluções da 1 3 equação | x | ⋅ | x − 3 |= 2 ⋅ x − , no conjunto , é 2 2 a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 2. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). x −1 é x+3 01) O domínio da função f dada por f(x) = {x ∈ ; x ≥ 1}. 02) O único valor inteiro que pertence à solução da inequação x2 − 4x + 3 < 0 é 2. 04) O conjunto solução da equação modular | 3 − 2x |=| x − 2 | é S = {1}. − x, se x < 0 08) A função R(x) = x 2 , se 0 ≤ x ≤ 1 é crescente em 1, se x > 1 todo o seu domínio. 16) Se uma função f : → é simultaneamente par e ímpar, então f(1) = 0. 32) Os gráficos das funções f : → e g : → , dadas respectivamente por f(x) = x 2 e g(x) = 2 x , para todo x real, se intersectam em exatamente um único ponto. 64) a) 10 b) 7 c) 0 d) 3 e) 4 6. (G1 - cftmg 2013) A soma das raízes da equação 2 modular x + 1 − 5 x + 1 + 4 = 0 é a) – 7. b) – 4. c) 3. d) 5. 7. (Esc. Naval 2013) A soma das raízes reais distintas da equação x − 2 − 2 = 2 é igual a a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 8. (Unioeste 2012) Seja S o conjunto solução de ∣ 3 −2 ∣ + 4x − 2 2 −2 20 − 5 < 1. É correto afirmar que S é igual a: a) S = {x ∈ ; − 1 < x < 1}. { } 7 11 <x< . 18 18 c) S = {x ∈ ; x > −1} . b) S = x ∈ ; − { } 1 7 <x< . 2 16 e) S = {x ∈ ; x < 10} . x 2 = x para todo x real. d) S = x ∈ ; − 3. (Fuvest 2014) Sobre a equação 2 (x + 3)2 x −9 log | x 2 + x − 1|= 0, é correto afirmar que a) ela não possui raízes reais. b) sua única raiz real é −3. c) duas de suas raízes reais são 3 e −3. d) suas únicas raízes reais são −3 , 0 e 1. e) ela possui cinco raízes reais distintas. 4. (Espcex (Aman) 2014) Se Y = {y ∈ Letra Número n tal que 6y − 1 ≥ 5y − 10}, então: 1 a) Y = −∞, 6 b) Y = {−1} c) Y = d) Y = ∅ 1 e) , +∞ 6 A B C D E ... W X Y Z 1 2 3 4 5 ... 23 24 25 26 Para utilizar o sistema, cada número n, correspondente a uma determinada letra, é transformado em um número f(n), de acordo com a seguinte função: 2n + 3, se 1 ≤ n ≤ 10 f (n ) = 50 − n, se 11 ≤ n ≤ 26 5. (Udesc 2014) A soma das raízes distintas da equação x2 − 5x + 6 = x − 3 é: www.soexatas.com 9. (Uerj 2012) Para enviar mensagens sigilosas substituindo letras por números, foi utilizado um sistema no qual cada letra do alfabeto está associada a um único número n, formando a sequência de 26 números ilustrada na tabela: Página 1 na qual n ∈ As letras do nome ANA, por exemplo, estão associadas aos números [1 14 1]. Ao se utilizar o sistema, obtém-se a nova matriz [f(1) f(14) f(1)], gerando a matriz código [5 36 5]. Considere a destinatária de uma mensagem cujo nome corresponde à seguinte matriz código: [7 13 5 30 32 21 24]. Identifique esse nome. 10. (Uepb 2012) A soma das raízes que a equação modular x − 2 − 7 = 6 é a) 15 b) 30 c) 4 d) 2 e) 8 c) 11. (Ita 2011) O produto das raízes reais da equação 2 |x – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a a) –5. b) –1. c) 1. d) 2. e) 5. 12. (G1 - col.naval 2011) No conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação 4 ( 2x + 1) 4 = 3x + 2 14. (Ita 2007) Sobre a equação na variável real x, │ │ │ x - 1 │ - 3 │ - 2 │ = 0, a) é vazio. b) é unitario. c) possui dois elementos. d) possui três elementos. e) possui quatro elementos. 13. (Ufmg 2010) Considere a função f ( x )= x 1 − x . Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está CORRETO. podemos afirmar que a) ela não admite solução real. b) a soma de todas as suas soluções é 6. c) ela admite apenas soluções positivas. d) a soma de todas as soluções é 4. e) ela admite apenas duas soluções reais. 15. (Ufjf 2006) Sobre os elementos do conjunto2 solução da equação │ x │ - 4 │ x │ - 5 = 0, podemos dizer que: a) são um número natural e um número inteiro. b) são números naturais. c) o único elemento é um número natural. d) um deles é um número racional, o outro é um número irracional. e) não existem, isto é, o conjunto-solução é vazio. 16. (Uem 2004) Considerando o conjunto A = {x ∈ R; 3 ≤ x ≤ 3}, assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 2 01) O conjunto das soluções da inequação x < 9 é igual ao conjunto A. 02) O conjunto A contém o conjunto das soluções da 2 inequação - 5x - 14x + 3 ≥ 0. 04) A reunião dos conjuntos das soluções das 2 equações (5x - 8) = - 21 e |5x – 3| = - 8 está contida em A. 08) O conjunto-solução da equação |x – 5| = |8x + 3| está contido no conjunto A. 16) O menor elemento do conjunto A pertence à interseção dos conjuntos das soluções das 2 2 inequações x ≤ 9 e x - 7x + 10 ≥ 0. a) b) www.soexatas.com d) Página 2 32) A interseção entre o conjunto A e o conjunto das 2 soluções da inequação x - 7x + 10 ≤ 0 é o conjunto B = {x ∈ R; 2 ≤ x < 3}. 17. (Ufv 2002) Se x e y são números reais quaisquer, então é CORRETO afirmar que: 2 2 a) se x < y , então x < y. 2 2 b) se x < y, então x < y . 2 2 c) se x - y = 0, então │x│ = │y│. e) - x < 0. 2 18. (Ufmg 2000) Considere a equação (x - 14x + 38) 2 = 11 . 2 O número de raízes reais DISTINTAS dessa equação é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 19. (Fatec 2000) A igualdade -│-x │ = -(-x) é verdadeira para todos os elementos do conjunto a) IR b) { x ∈ IR │ x ≥ 0} c) { x ∈ IR │ x ≤ 0} d) { x ∈ IR │ 0 ≤ x ≤10} e) { x ∈ IR │ -3 ≤ x ≤ 3} 2 20. (Ufpi 2000) A soma das raízes da equação │x│ + 2 │x│ - 15 = 0 é: a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 2 www.soexatas.com Página 3 Resolução das Questões [32] Incorreto. Como f(2) = g(2) = 4, segue-se que o ponto (2, 4) é Resposta da questão 1: [D] x2 − 3 ⋅ x 2(2x − 3) 1 3 | x | ⋅ | x − 3 |= 2 ⋅ x − ⇒ = ⇒ x 2 − 3x = 4x − 6 ou x 2 − 3x = −2x + 6 ⇒ 2 2 2 2 x 2 − 7x + 6 = 0 ou x 2 − x − 6 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 6 ou x = −3 ou x = 2 Portanto, a equação possui quatro raízes. Resposta da questão 2: 02 + 16 = 18. [01] Incorreto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o seu domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que a proposição seja: O maior subconjunto dos números reais para o x −1 , está qual a função f, dada por f(x) = x+3 definida é {x ∈ ; x ≥ 1}. Desse modo, comum aos gráficos de f e de g. Além disso, há pelo menos mais um ponto de interseção no 1 intervalo −1, − . Com efeito, note que f é 2 decrescente e g é crescente para x ∈ ] − ∞, 0[. 1 1 Logo, sendo f( −1) > g( −1) e f − < g − , 2 2 segue que os gráficos de f e de g apresentam pelo menos um ponto de interseção no intervalo 1 −1, − 2 (esboce os gráficos para concluir que existe um único ponto nesse intervalo). [64] Incorreto. Suponhamos por absurdo que x 2 = x, para todo x real. Nesse caso, teríamos x = x2 = ( − x)2 = − x, o que obviamente vale apenas para x = 0. Na verdade, x real. x 2 = | x |, para todo Resposta da questão 3: [E] x −1 ≥ 0 ⇔ x < −3 ou x ≥ 1 x+3 2 Como 2x −9 > 0 para todo x real, vem e, portanto, o maior subconjunto dos números reais para o qual a função f está definida é {x ∈ ; x < −3 ou x ≥ 1}. (x + 3)2x 2 −9 log | x 2 + x − 1| = 0 ⇔ (x + 3)log | x 2 + x − 1| = 0 x+3 = 0 ⇔ [02] Correto. Tem-se ou 2 | x + x − 1| = 1 x2 − 4x + 3 < 0 ⇔ (x − 1) ⋅ (x − 3) < 0 ⇔ ⇔ 1 < x < 3. x = −3 ou x 2 + x − 1 = 1 ou x2 + x − 1 = −1 Portanto, a única solução inteira da inequação x 2 − 4x + 3 < 0 é x = 2. ⇔ x = −3 . ou (x = 1 ou x = −2) ou (x = 0 ou x = −1) [04] Incorreto. Sabendo que | a | = | b | ⇒ a = ±b, vem Portanto, a equação dada possui 5 raízes reais distintas. | 3 − 2x | = | x − 2 | ⇒ 3 − 2x = ±(x − 2) ⇒ x = 1 ou x = 5 . 3 Resposta da questão 4: [C] 5 Por conseguinte, S = 1, . 3 [08] Incorreto. A função f é decrescente para x < 0. [16] Correto. Se f é simultaneamente par e ímpar, então f( − x) = f(x) e f( −x) = −f(x), para todo x real. Daí, segue-se que f(x) = f( − x) = 0 para todo x real. www.soexatas.com Página 4 3 −2 ∣ + 4x − 2 2 ∣ ⇒− Resposta da questão 5: [E] −2 − 20 5 < 1⇒ 4 −2 2 2 9 < 1 ⇒ 2x − < 1 ⇒ −1 < 2x − < 1 ⇒ 2 9 9 2 + 4x − 7 11 <x< 18 18 Resposta da questão 9: De acordo com as informações, temos que Fatorando, obtemos f(n1 ) = 7 ⇔ 2n1 + 3 = 7 ⇔ n1 = 2, 2 x − 5x + 6 = | x − 3 | ⇔ (x − 2) ⋅ (x − 3) = | x − 3 | . Se x ≥ 3, então | x − 3 | = x − 3. Assim, f(n2 ) = 13 ⇔ 2n2 + 3 = 13 ⇔ n2 = 5, f(n3 ) = 5 ⇔ 2n3 + 3 = 5 ⇔ n3 = 1, 2 (x − 2) ⋅ (x − 3) = x − 3 ⇔ (x − 3) = 0 ⇔ x = 3. f(n4 ) = 30 ⇔ 50 − n4 = 30 ⇔ n4 = 20, Se x < 3, então | x − 3 | = −(x − 3). Daí, f(n5 ) = 32 ⇔ 50 − n5 = 32 ⇔ n5 = 18, (x − 2) ⋅ (x − 3) = −(x − 3) ⇔ (x − 3) ⋅ (x − 1) ⇔ x = 1 ou x = 3. e Mas x = 3 não convém, pois x < 3. Por conseguinte, a soma das raízes distintas da equação é 1 + 3 = 4. Resposta da questão 6: [B] f(n7 ) = 24 ⇔ 50 − n7 = 24 ⇔ n7 = 26. Portanto, o nome da destinatária é Beatriz. Resposta da questão 10: [E] Resolvendo a equação na incógnita x + 1 temos: x +1 = f(n6 ) = 21 ⇔ 2n6 + 3 = 21 ⇔ n6 = 9 5±3 ⇒ x + 1 = 4 ou x + 1 = 1 ⇒ x = 3 ou x = -5 ou x = 0 ou x = -2 2 Temos x − 2 − 7 = 6 ⇔ x − 2 − 7 = ±6. Logo, Calculando a soma das raízes, temos: 3 + ( −5 ) + 0 + ( −2 ) = −4 | x − 2 | = 13 ⇔ x − 2 = ±13 ⇔ x = 15 ou x = −11 ou Resposta da questão 7: [D] | x − 2 | = 1 ⇔ x − 2 = ±1 ⇔ x = 3 ou x = 1. x − 2 − 2 = 2 ou x − 2 − 2 = −2 x − 2 = 4 ou x − 2 = 0 Portanto, o resultado é 15 + ( −11) + 3 + 1 = 8. x − 2 = 4 ou x − 2 = −4 ou x = 2 x = 6 ou x = −2 ou x = 2 Portanto, a soma das raízes será 6 + ( − 2) + 2 = 6. Resposta da questão 11: [A] 2 Resposta da questão 8: [B] www.soexatas.com 2 x – 3X + 2 = 2x – 3 ⇔ x – 5x + 5 = 0, temos o produto das raízes igual a 5. 2 2 x – 3x + 2 = -2x + 3 ⇔ x + x - 1 = 0, temos o produto das raízes igual a -1. Página 5 Logo, o produto total das raízes é -1.5 = -5 Resposta da questão 20: [A] Resposta da questão 12: [B] 4 ( 2x + 1)4 = 3x + 2 ⇒ | 2x + 1| = 3x + 2 ⇒ 2x + 1 = ±(3x + 2) 3 ⇒ x = −1ou x = − . 5 Mas, como | y | ≥ 0, y ∈ , segue que 2 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . Então, o único valor de x que 3 3 2 satisfaz a equação dada é − , pois −1 < − . 5 3 Resposta da questão 13: [B] 0 x–x 2 1 x–x 2 2 x -x Resposta da questão 14: [D] Resposta da questão 15: [A] Resposta da questão 16: alternativas corretas: 02, 04, 08 e 16 alternativas incorretas: 01 e 32 Resposta da questão 17: [C] Resposta da questão 18: [C] Resposta da questão 19: [C] www.soexatas.com Página 6