Prof. Pacher Raciocíno Lógico

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LÓGICA
Raciocíno Lógico
PROPOSICIONAL
1. PROPOSIÇÃO
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
Uma proposição é toda a oração que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, não ambas.
Por exemplo:
• 2 é um número primo.
Resposta: É uma proposição verdadeira
• Bueno Aires é a capital do Brasil.
Resposta: É uma proposição falsa.
1.1. LEIS DO PENSAMENTO
Na estrutura correta do pensamento, é necessário obedecer as seguintes leis:
I) Princípio da identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira.
II) Princípio da não-contradição. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa.
III) Princípio do terceiro excluído. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
1.2. CARACTERÍSTICA DE UMA PROPOSIÇÃO
I)
É uma oração, com sujeito e predicado.
Todos gostam de matemática.
2+3=5
Os gansos são brancos.
II)
O quadrado tem duas diagonais.
Hoje é sábado.
Psiu!
Não são proposições, as orações, Que preguiça!
exclamativas,
interrogativas
e Quanto falta para as onze horas?
Eu vou só se…
III) imperativas.
Desça.
Independência ou morte!
Tem uma e somente um dos valores
IV) lógicos, ou é verdadeira (V), ou é falsa
(F), não ambas
É uma oração declarativa.
TESTES RESOLVIDOS
01. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
A expressão X + Y é positiva.
O valor de 4 +3=7.
Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
O que é isto?
RESOLUÇÃO
> “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos o conteúdo da frase. Não é uma proposição.
> A expressão X + Y é positiva.
É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos os valores de X e de Y. Não é uma
proposição.
> O valor de
+3=7.
É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa.
> Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
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É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa.
> O que é isto?
Numa interrogação não é possível julgar como verdadeira ou falsa. Não é uma proposição.
Há somente duas proposições.
Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA
02. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em
comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS
Vamos agora analisar as orações apresentadas no enunciado.
I) Que belo dia!
É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
II) Um excelente livro de lógica.
É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
III) O jogo terminou empatado?
É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
IV) Existe vida em outros planetas do universo.
É uma sentença que podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
V) Escreva uma poesia.
É uma sentença que não podemos atribuir quaisquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
Resposta: alternativa D
EXERCÍCIOS E TESTES
01. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em
comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
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02. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
- “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
- A expressão X + Y é positiva.
- O valor de 4 +3=7.
- Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
- O que é isto?
03. (CESPE-BB) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
(I) O Banco do Brasil foi criado em 1980.
(II) Faça seu trabalho corretamente.
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
04. Sobre Lógica Proporcional, é necessário que definamos o que é proposição. Uma proposição é um
enunciado verbal, susceptível de ser ou verdadeiro ou falso. Assim, temos como exemplos de proposições:
I. A Terra é azul
II. Manaus é a capital do Amazonas
III. Graciliano Ramos escreveu "Memórias do Cárcere"
IV. Zero é um número par
V. Ana é Arquiteta
Dos itens acima, podemos afirmar que:
a) Todos são proposições.
b) Somente I e II, são proposições.
c) Somente I, II e III, são proposições.
d) Somente I, II, III e IV, são proposições.
e) Nenhum dos itens é proposição.
05. (FCC-ICMS-SP) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
x+y
II.
é um número inteiro.
5
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS
a)) I e II são sentenças abertas.
b) I e III são sentenças abertas.
c) II e III são sentenças abertas.
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta.
06. (CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.
-A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica.
- Por que existem juízes substitutos?
- Ele é um advogado talentoso.
De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir.
07. (CESPE/2008 – SGA/AC) A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição.
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GABARITO
D
01
Errada
02
Correta
03
A
04
A
05
E
06
E
07
E
08
2. NEGAÇÃO ( ∼ ) ou ( ¬)
Toda a proposição declarativa pode ser negada. O símbolo de negação é “ ∼” ou “ ¬ ”.
3.1. SIMBOLICAMENTE
A negação de p é representada por ∼ p; ( lê-se: não p).
3.2. TABELA
p
V
F
∼p
F
V
3.3. E MAIS
Se p é uma proposição declarativa, então, podemos ter:
I)
p é verdadeira (V), somente se, ∼ p é falsa (F).
II) p é falsa (F), somente se, ∼p é verdadeira (V).
III) Dupla negação: p = ∼ ∼p. (lê-se: não, não p)
3.4. RESUMINDO
A proposição ∼ p tem sempre o valor lógico oposto de p.
3.5. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
Por exemplo: p: Bueno Aires é a capital do Brasil., será negada por: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.:
∼p
N.B.: Se p é uma proposição verdadeira, ∼ p será uma proposição falsa, e vice-versa.
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Por exemplo: ∼ p: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil, a negação, será negada por: NÃO é verdade que,
Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil: ∼ ( ∼ p). Temos que, ∼ (∼ p) = p, logo, dizer que, NÃO é verdade que,
Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.: ∼ (∼ p), é o mesmo que dizer: p: Bueno Aires é a capital do Brasil.
3.6. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
NEGAÇÃO DE p
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
Não p
Não se dá que p
∼p
Não é fato que p
ou
Não é verdade que p
¬p
Não se tem p
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2.1. AFIRMAÇÃO E NEGAÇÃO SINAIS DE COMPARAÇÃO
Sejam: x , y ∈ R
Afirmação
Negação
vice – versa
Negação
Afirmação
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
=
>
≥
<
≤
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
≠
≤
<
≥
>
y
y
y
y
y
Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x < 3 (parte do intervalo I ), será negada por: ∼ p: x ≥ 3 ( parte do
intervalo II ).
A afirmação é o complemento da negação e, vice versa.
Intervalo I
Intervalo II
x<3
x≥3
é um
3 Temos: p: x ≤ 3 (partexdo
intervalo I ), será negada por: ∼ p: x > 3 (parte do
Por exemplo: Da figura a seguir,
número real
intervalo II ).
A afirmação é o complemento da negação e, vice versa.
Intervalo I
Intervalo II
x≤3
x >3
3
x é um
número real
EXERCÍCIOS E
TESTES
Negue as proposições abaixo:
01. p: 7 ≠ 3
02. p: 2 é um número primo.
03. p: Hoje é domingo.
Negue as proposições, representando-as simbolicamente:
04. p: Pedro não foi à festa.
05. q: A capital do Brasil é La Paz.
06. r: O carnaval é uma festa popular.
07. s: Não é verdade que 2+2=5
Negar as afirmações:
08. x ≥ 3 .
09. x ≠ 5
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10. x < 0
11. x − 3 ≠ 7
GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
~p: 7 = 3
~p: 2 não é primo.
~p: Hoje não é domingo
~p
~ q: A capital do Brasil não é La Paz.
~ r: O carnaval não é uma festa popular.
~s
x<3
x=5
x ≥ 0
x-3 = 7
3. NÚMERO DE LINHA DE UMA TABELA – VERDADE
O número de linhas de uma tabela verdade é calculado pela potência 2n, onde a base 2 é uma constante que
indica os dois valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F) e, o expoente n é igual ao número de proposições
simples que estão envolvidas no caso em análise.
Segue a seqüência, passo a passo, para a construção de uma tabela verdade organizada.
I) Organize as letras que identificam as proposições simples na ordem crescente do alfabeto, p.ex., em p, q, r,
s, ..., a distribuição ficará assim: na 1ª coluna p, na 2ª coluna q, na 3ª coluna r, na 4ª coluna s, e assim por
diante.Se a identificação das proposições é feita por p1, p2, p3, ...e pn, a distribuição obedecerá à ordem
crescente do índice, assim: 1ª coluna para p1, 2ª coluna para p2, 3ª coluna para p3, ..., n-ésina coluna para pn.
II)
Cada coluna será preenchida primeiro por agrupamentos de valores lógicos “V” e em seguida por
agrupamento de valores lógicos “F”, e assim por diante alternadamente até preenche totalmente a coluna. O
número de valores lógicos para cada agrupamento, é obtido pela potência 2n-c, onde n é o número de
proposições simples usadas e c é igual ao número que expressa a ordem da coluna. Veja exemplos nos itens
que seguem.
A distribuição dos valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F), nas linhas de uma tabela verdade, obedece certa
ordem que facilita a montagem, fica organizada e possibilita boa comunicação.
2.1. SE FOR UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES “p”
I) Cálculo do número de linhas. “p” é uma proposição simples, logo, n = 1, substituindo em 2n, a tabela terá 21 =
2 linhas.
II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em
2 n-c, teremos nesta coluna, 2 1-1 = 2 0 = 1 valor lógico por agrupamento [V] e [F], distribuídos na coluna um,
alternadamente.
p
V
F
2.2. SE FOR DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES “p” e “q”
I) Cálculo do número de linhas. “p” e “q” são duas proposições simples, logo, n = 2. Substituindo em 2n, a
tabela terá 22 = 4 linhas.
II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 22-1 = 21 =2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos na coluna um,
alternadamente.
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III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna dois, c = 2, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 22-2 = 20 =1 valor lógico em cada agrupamento [V] e [F], distribuídos alternadamente na coluna dois.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
2.3. SE FOR TRÊS PROPOSIÇÕES SIMPLES “p”, “q” e “r”
I) Cálculo do número de linhas. “p” , “q” e “r” são três proposições simples, logo, n=3. Substituindo em 2n, a
tabela terá 23 = 8 linhas.
II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c=1, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 23-1 = 22 =4 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VVVV] e [FFFF], distribuídos
alternadamente na coluna um.
III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna um, c=2, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 23-2 = 21 = 2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos
alternadamente na coluna dois.
IV) Cálculo do agrupamento para a terceira coluna. Coluna dois, c = 3, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 23-3 = 20 = 1, valor lógico em cada agrupamento [V] e [F] são distribuídos alternadamente na coluna três.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
A tabela que segue mostra o cálculo para determinação do número de linhas, com até 4 proposições simples:
Proposições.
01.
02.
03.
04.
4. CONJUNÇÃO
P
p, q
p, q, r
p, q, r, s
Número n de
proposições simples.
Número de linhas de
linhas da tabela, 2n.
n
1
2
3
4
2n
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
24 =16
“p ∧ q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo “e” formando uma proposição
composta. A esta operação chamaremos de conjunção.
4.1. SIMBOLICAMENTE
A conjunção de p e q é representada por: p ∧ q ou p • q; (lê-se: p e q).
4.2. TABELA
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p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
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p∧q
V
F
F
F
4.3. RESUMINDO
A conjunção p Λ q é verdadeiro se p e q são ambas verdadeiras
4.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos: 2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo e Bueno Aires é a capital do Brasil. : p ∧ q ( p e q são chamados conjuntivos)
4.4. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
CONJUNÇÃO entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
peq
p ∧ q
ou
p mas q
p•q
p assim como q
p e também q
5. DISJUNÇÃO “p ν q” (INCLUSIVA OU NÃO EXCLUSIVA) ou simplesmente
DISJUNÇÃO
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo “ou” com o sentido de e/ou, formando
uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção.
5.1. SIMBOLICAMENTE
A disjunção é representada por p ν q (lê-se: p ou q).
5.2. TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pνq
V
V
V
F
5.3. RESUMINDO
A disjunção é verdadeira se pelo menos uma das proposições p ou q for verdadeira.
5.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p ∨ q ( p e q são chamados disjuntos)
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5.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
DISJUNÇÃO INCLUSIVA entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
p ou q
p ∨ q
6. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA “p ν q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo “ou” com o sentido de “ou, mas não
ambos”, formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção exclusiva.
6.1. SIMBOLICAMENTE
A disjunção exclusiva é representada por p ν q (lê-se: ou p ou q, mas não ambos).
6.2.E MAIS
“p ν q” é uma disjunção excludente. Pode ser representada pela conjunção e disjunção inclusiva, assim: (p ν q)
∧ ∼(p ∧ q).
6.3. TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pνq
F
V
V
F
6.4. RESUMINDO
A disjunção exclusiva é verdadeira se, somente se, uma das proposições p ou q
for verdadeira, mas não ambas.
6.5. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
Ou 2 é um número primo, ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p ∨ q ( p e q são chamados disjuntivos)
6.6. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
p ou q, exclusivo
p ou q, mas não ambos
p ∨ q
ou p ou q
TESTE RESOLVIDO
12. (CESPE-BB) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é
verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
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RESOLUÇÃO
“Existem números que são divisíveis por 2 e por 3”
p
2
2
V
V
F
F
q
3
3
V
F
V
F
Raciocíno Lógico
p ∧ q
2e3
2 ∧ 3
V
F
F
F
No conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}, não há valor algum que seja divisível por 2 e 3, logo pelo seu mmc(2, 3) = 6.
Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA
EXERCÍCIOS E TESTES
01. Construa a tabela-verdade para a proposição: q ∧ ∼ q.
02. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼ p ∨ ∼ q )
03. Construa a tabela-verdade para a proposição: p ∨ ( p ∧ q ).
04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼ p ∨ ∼q ) ∨ ( p ∧ q )
05. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p ∨ ∼ q ) ∨ ( p ∧ ∼ q )
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06. (CESPE) Uma proposição da forma ( ¬ A ) v ( B v ¬ C ) tem, no máximo, 6 possíveis valores lógicos V ou F.
Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição.
Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões AVB e ¬A sejam proposições
compostas. A proposição AVB é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V
quando A é F.
De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir.
07. (CESPE) Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a
proposição ¬(A v B) v (A v B) é sempre V.
08. (CESPE) Se a proposição A for F e a proposição (¬A) v B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é
V.
09. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:
a) 3 > 1 e 4 > 2
b)
3 > 1 ou 3 = 1
10. (CESPE-BB) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é
verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
11. (UFRJ-ANA) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as colunas representam os valores lógicos
para as fórmulas A, B e A ∨ B, sendo que o símbolo ∨ denota o conector ou, V denota verdadeira e F
denota falsa.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A∨B
Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são:
a) V, F, V, V;
b) V, F, F, V;
c) F, V, F, V;
d) V, V, V, F;
e) F, F, V, V.
Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como
ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P,
Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então
obtém-se a forma P ∧ Q, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a
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conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P ∨ Q, lida
como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é
simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de
proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é
válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses
conceitos, julgue os próximos itens.
12. (CESPE-BB) A proposição simbólica ( P ∧ Q ) ∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.
GABARITO
FF
01
FVVV
02
VVFF
03
VVVV
04
VVFV
05
E
06
C
07
E
08
a) V
09
E
10
D
11
E
12
b) V
7. CONDICIONAL “p → q” OU “p ⊃ q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo operador “se. . . , então. . .” formando uma
proposição composta. A esta operação chamaremos de condicional.
7.1. SIMBOLICAMENTE
O condicional entre p e q é representada por: p → q ou p ⊃ q , (lê-se: se p, então q).
7.2. TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
7.3. RESUMINDO
O condicional p → q é falso sempre que ocorre V F nesta ordem; ou seja
valor p = V e depois valor q = F.
7.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo, então Bueno Aires é a capital do Brasil. : p → q ( p é o antecedente e q o conseqüente)
7.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
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IMPLICAÇÃO entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
se p, então q
p implica q
p → q
p só se q
7.5.1. ATENÇÃO PARA AS CONDICIONAIS
CONDICIONAL “ Se....., então.......”
ou “ → “ ou “ ⊃ ”
Do dicionário: Suficiente – que satisfaz; que é bastante.
Do dicionário: Necessário – indispensável; inevitável; que é de absoluta necessidade.
8. BICONDICIONAL “p ↔ q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinados pela bi-implicação ou implicação recíproca
“ . . . se e somente se . . .” formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de
BICONDICIONAL.
8.1. SIMBOLICAMENTE
A bicondicional entre p e q e representado por p ↔ q (lê-se: p se e somente se q).
8.2 TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ↔q
V
F
F
V
8.3. RESUMINDO
A bicondicional p ↔ q é verdadeiro sempre que; valor p = valor q = V ou
valor p = valor q = F
8.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo se e somente se a neve é branca. : p ↔ q
8.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
BICONDICIONAL entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
p se e somente se q
p ↔ q
p se e só se q
RESUMO DE TODAS AS TABELAS
13
BB+CEF
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Resumo de todas as tabelas com duas proposições simples.
EXERCÍCIOS E TESTES
01. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼q → p.
02. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼p → ∼q.
03. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼p ↔ q .
04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼p ∨ ∼q ) ↔ ( p ∧ q ).
05. Construa a tabela-verdade para a proposição: [ p → (q ∧ r) ] → ( p →r ).
14
Raciocíno Lógico
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Raciocíno Lógico
06. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼ ( p → q ) → ( p ∧ q ) .
07. (CESPE) Atribuindo-se todos os possíveis valores lógicos V ou F às proposições A e B, a proposição
[ (¬A) → B] ∧ A terá três valores lógicos F.
08. (CESPE) Toda proposição simbolizada na forma A → B tem os mesmos valores lógicos que a proposição
B → A.
O enunciado a seguir servirá para responder as próximas duas questões
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
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Raciocíno Lógico
09. (CESPE) Uma expressão da forma
¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.
10. (CESPE) A proposição simbolizada por (A → B ) → (B → A ) possui uma única valoração F.
11. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo.
a) 2 – 1 = 1 → 5 + 7 = 3 . 4
b) 22 = 4 ↔ ( - 2)2 = 4
12. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é
a) q ∧ p
b) q → p
c) ¬ (p → q)
d) p ↔ q
e) ¬ (p ∨ q)
GABARITO
VVVF
01
VVFV
02
FVVF
03
FFFF
04
VVVVVVVV
05
VFVV
06
E
07
E
08
C
09
16
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Prof. Pacher
10
11
12
C
a) V
C
Raciocíno Lógico
b) V
9. NEGAÇÕES SUAS RESPECTIVAS EQUIVALÊNCIAS
9.1. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA ( p ∧ q )
9.2. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO DISJUNTIVA ( p ∨ q )
9.3. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONDICIONAL ( p → q )
9.4. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO BICONDICIONAL ( p ↔ q )
TESTE RESOLVIDO
01. (UFPR-TCE) A negação da sentença “se você estudou lógica então você acertará esta questão” é:
a) se você não acertar esta questão então você não estudou lógica.
b) você não estudou lógica e acertará esta questão.
c) se você estudou lógica então não acertará esta questão.
d) você estudou lógica e não acertará esta questão.
e) você não estudou lógica e não acertará esta questão.
RESOLUÇÃO
I) Simbolizar a proposição dada.
17
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Se
você estudou lógica
p
então
→
Raciocíno Lógico
você acertará esta questão
q
II) Pode-se verificar pela tabela verdade. A alternativa que tenha a tabela verdade de valores lógicos contrários
a da proposição do enunciado é a correta.
p
(p → q)
q
¬ (p → q)
III) Pode-se também, usando a propriedade para a negação de (p → q) que segue.
¬ (p → q)
≡
p ∧ ¬q
≡
você estudou lógica
e não acertará esta questão
Resposta: Alternativa D
TABELA DOS OPERADORES LÓGICOS
EXERCÍCIOS E
TESTES
01. Simplificar as proposições.
a) ∼ ( p ∨ q )
b) ∼ ( p → q )
c) ∼ (∼p ∧ ∼ q )
d) ∼ (∼ p ∧ q )
e) ∼ ( ∼ p ↔ q )
f) ∼ ( ∼ p → ∼ q )
02. (UFPR-TCE) A negação da sentença “se você estudou lógica, então você acertará esta questão” é:
a)
b)
c)
d)
e)
se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica.
você não estudou lógica e acertará esta questão.
se você estudou lógica, então não acertará esta questão.
você estudou lógica e não acertará esta questão.
você não estudou lógica e não acertará esta questão.
03. (ESAF) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália.
b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Paris não é a capital da Inglaterra.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
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04. (ESAF -FISCAL TRABALHO) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, então eu
levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
05. A negação da sentença: “Magi saiu sem avisar e foi ao cinema” é:
a) “Magi saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
b) “Magi não saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
c) “Magi não saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
d) “Magi não saiu sem avisar e foi ao cinema”.
e) “Magi saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
06. (MED-ABC) A negação de “ O gato mia e o rato chia” é:
a) O gato não mia e o rato não chia.
b) O gato mia ou o rato chia
c) O gato não mia ou o rato não chia.
d) O gato e o rato não chiam nem miam.
e) O gato chia e o rato mia.
07. (UF-BA) A negação de “ Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é:
a) Hoje é segunda-feira e amanhã choverá.
b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.
c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá.
d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.
e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.
08. (CESPE) A negação da proposição
A → B possui os mesmos valores lógicos que a proposição A ∧ (~B) A.
09. A negação da sentença “ Ana não voltou e foi ao cinema” é:
a)
b)
c)
d)
e)
“Ana voltou ou não foi ao cinema”.
“Ana voltou e não foi ao cinema”.
“Ana não voltou ou não foi ao cinema”.
“Ana não voltou e não foi ao cinema”.
“Ana não voltou e foi ao cinema”.
10. Sejam as proposições, p: Marta é inteligente e q: Raquel não joga tênis. Então, ~( ~p v q ) em linguagem
corrente, é:
a)
b)
c)
d)
e)
Marta é inteligente ou Raquel não joga tênis.
Marta é inteligente e Raquel joga tênis.
Marta não é inteligente e Raquel não joga tênis.
Marta não é inteligente ou Raquel joga tênis.
Marta é inteligente ou Raquel joga tênis.
10. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA “ ⇔ ” OU “ ≡ ”
Considere duas proposições declarativas p e q. Diz-se que “p é equivalente a q” simbolicamente p ⇔ q,
quando p e q têm tabelas verdades iguais, ou seja, quando valor de (p) = valor de (q), observadas em todas
as linhas da tabela.
Ou pode ser dito simplesmente assim:
19
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Raciocíno Lógico
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando
são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos.
10.1. SIMBOLICAMENTE
Quando “p é equivalente a q”, representamos assim: “p ⇔ q”.
10.2. E MAIS
“p é equivalente a q” quando o valor da bicondicional “p ↔ q” é verdadeira
10.3. EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS IMPORTANTES:
10.4. EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL:
Duas equivalências que seguem são de fundamental importância.
10.5. QUADRO RESUMO DAS EQUIVALÊNCIAS ACIMA
1
p→q = ~q→~p
2
p→q = ~p∨q
TABELA DOS OPERADORES LÓGICOS
EXERCÍCIOS E TESTES
01. (ANALISTA AMBIENTAL - MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE – CESPE)
Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).
02. Julgar cada uma das seguintes proposições, são ou não equivalentes:
a) ∼ p ∧ ∼ q ≡ ∼ p
b) ∼ [ ∼ ( p ∨ q ) ] ≡ p ∨ q
20
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Raciocíno Lógico
c) ( p ∧ ∼ q ) ∨ ( p ∧ ∼ q ) ≡ p ∧ ∼ q
d) q → p ≡ ∼ p → ∼ q
e) ( p ∨ ∼ q ) ∧ ( ∼ p ∨ q ) ≡ p ↔ q
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
03. (CESPE) Uma expressão da forma
¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.
04. Verificar através de tabelas- verdade, as seguintes equivalências:
a) p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p
21
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b) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∨ r )
05. (FCC-ICMS-SP) Se p e q são proposições, então a proposição p ∧ ( ¬ q) é equivalente a
a) ¬ (p → ¬ q)
b) ¬ (p → q)
c) ¬ q → ¬ p
d) ¬ (q → ¬ p)
e) ¬ (p ∨ q)
06. (FCC-ICMS-SP) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é
a) ~ q → ~ p
b) ~ q → p
c) ~ p → ~ q
d) q → ~ p
e) ~ (q → p)
07. (FISCAL TRABALHO) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista
lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
08. (ESAF-SERPRO) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é
solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
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c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
(CESPE-DPF/DGP) Texto para os próximos dois itens.
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas
(F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional,
denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q,
denotada por
P w Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada
por P v Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada
por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um
conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
09. (CESPE-DPF/DGP) As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ¬P são iguais.
10. (CESPE-DPF/DGP) As proposições (P∨Q) →S e (P → S)∨(Q →S) possuem tabelas de valorações iguais.
11. (FCC-ICMS-SP) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,
a) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
b) Rodrigo é culpado.
c) Se Rodrigo não mentiu, então ele é culpado.
d) Rodrigo mentiu.
e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
12. (FCC-ICMS-SP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo,
a) Seu esforço é condição suficiente para vencer.
b) Seu esforço é condição necessária para vencer.
c) Se você não se esforçar, então não irá vencer.
d) Você vencerá só se esforçar.
e) Mesmo que você se esforce, você não vencerá.
13. (CESPE -SERPRO) Julgue o item seguinte: A tabela de verdade de P → Q é igual à tabela de verdade de
(P → ¬ Q) → ¬P .
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GABARITO
Errada
01
a) F b) V
c) V
02
C
03
a) V
b) V
04
B
05
A
06
A
07
E
08
E
09
E
10
A
11
A
12
C
13
d) V
Raciocíno Lógico
e) V
11. ARGUMENTO
11.1. Argumento
Argumento é o raciocínio pelo qual se tira uma conclusão.
11.2. Da lógica
16.3. Argumento é a coleção (n+1) proposições; uma delas será a conclusão do argumento; as n outras serão a
premissas.
I) Premissas ou antecedente - é a parte motora ou movente do raciocínio e que por isso o precede.
II) Conclusão ou conseqüente - é a parte movida ou causada [isto é, aquela que provém do antecedente].
Trata-se, com efeito, do desfecho e objetivo de todo raciocínio.
Expressões usuais na linguagem corrente que pode identificar as premissas de um argumento ou expressões
para serem usadas nas premissas:
ora
porque
pois
em vista que
tendo em conta que
Expressões usuais na linguagem corrente que pode identificar uma conclusão ou expressões para serem
usadas na conclusão:
daí
logo
portanto
por seguinte
segue-se que
11.4. FORMA MAIS FREQÜENTE PARA REPRESENTAR UM ARGUMENTO
I) Com maior freqüência, as premissas aparecem em primeiro lugar e a conclusão aparece no final.
Um argumento de premissas, P1, P2, P3, ... , Pn e de conclusão Q, é indicado na forma simbólica, por:
P1, P2, P3,
24
...
Pn
├⎯
Q
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Raciocíno Lógico
II) Quando as premissas e a conclusão organizadas em coluna, um traço separa, as premissas acima do traço
da conclusão, abaixo do traço.
Um argumento de premissas P1, P2, P3, ... , Pn e de conclusão Q, é indicado na padronizada, por:
P1
P2
P3
…
Pn
∴Q
11.5. CÁLCULO PROPOSICIONAL (ou CÁLCULO SENTENCIAL)
É um sistema pelo qual são analisar proposições simples (atômicas) combinadas pelos operadores.
Operadores
∼
∧
∨
∨
→
↔
11.6. PROPRIEDADES
• A validade de um argumento depende da relação existente entre as premissas e a conclusão.
• Um argumento não válido é denominado de sofisma (ou falácia).
• Quando um argumento é válido, conjunção entre as premissas em condicional com a conclusão é uma
tautologia. Assim: (P1 ∧ P2 ∧P3 ∧... ∧Pn) → Q.
Formato possível de premissas e conclusão
As premissas como também a conclusão, podem ser proposições simples ou compostas.
12. VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Diz-se que um argumento é válido se, e somente se, a conclusão for verdadeira, sempre que as premissas
forem verdadeiras.
O argumento
se e somente se
P1, P2, P3. …, Pn├⎯ Q é válido
Q é verdadeiro e P1, P2, P3, ... , Pn forem também verdadeiras
12.1. MÉTODO 1 – VERIFICAÇÃO DE UM ARGUMENTO
Para a verificação se um argumento é válido ou não, usando a tabela verdade, siga a orientação na a seguir.
Esse método indicado para argumentos com no máximo duas proposições simples.
LINHA 1
LINHA 2
LINHA 3
Constrói-se a tabela verdade, uma coluna para cada premissa e uma para a conclusão
Preenchida corretamente com os valores lógicos, em todas as colunas e linhas.
Identifique a(s) linha(s) cujos valores lógicos das premissas (P1, P2, P3 ...Pn) forem todas verdadeiras.
Se nesta(s) mesma(s) linha(s) a conclusão também for verdadeira, dizemos que o argumento é válido.
Outra forma que pode ser usada para fazer a verificação da validade ou não. Considerando o proposição,
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn) → Q for uma tautologia, dizemos que o argumento é válido. Caso contrário não é válido,
diz-se que é um sofisma ou uma falácia.
LINHA 4
25
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Raciocíno Lógico
12.2. MÉTODO 2 – VERIFICAÇÃO DE UM ARGUMENTO
É indicado quando a construção da tabela verdade for muito trabalhosa.
COLUNA
1
Método é
quando:
COLUNA
2
indicado
•
Quando
o
argumento é formado
por uma premissa que
é uma proposição
simples.
p.ex.: p ou
negação ∼p.
Seja
argumento
o
Premissa P1
Premissa P2
Atribua
P2=verdadeira
Premissa P3
Atribua
P3=verdadeira
Premissa P4
Atribua
P4=verdadeira
conclusão Q
Q=não
atribua
nenhum valor
sua
• Ou, quando uma
premissa esteja na
forma
de
uma
proposição com o
conectivo conjunção
[e=∧].
p.ex.: p Λ q, ∼p Λ q
,
p Λ ∼q, ∼p Λ ∼q.
TABELA DOS OPERADORES LÓGICOS
12.3. AVALIAÇÃO DE UM ARGUMENTO
26
COLUNA
3
Imponha para que
todas as premissas
sejam verdadeiras
Atribua
P1=verdadeira
COLUNA
4
Procedimento final
• Obtenha o valor
lógico
de
cada
proposição simples
(p, q, r, s, ...) que
formam
as
premissas.
• Substitua estes
valores lógicos na(s)
proposição(ões)
simples (p, q, r, s, ...)
que
formam
a
conclusão.
• Se o resultado for
uma verdade, então
o
argumento
é
válido.
Caso
contrário é falso.
COLUNA
5
Quando a conclusão
está na posição de
alternativa
Execute os passos
da coluna anterior
(coluna 4)
nas
alternativas,
até
obter uma que seja
verdadeira.
Essa
será
a
alternativa correta.
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EXERCÍCIOS E TESTES
01. Verificar se o argumento é válido ou não.
P ∨ Q, ∼ P ├⎯ Q
02. Verifique se o argumento: P → Q, ∼ P ├⎯ ∼ Q , é válido ou não é válido.
03. Verifique se o argumento abaixo é válido ou inválido:
P1:
p ∨ q
P2:
~p
C:
q
04. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O Flávio ou não tem carro ou não possui moto.
O Flávio tem uma moto.
Logo, o Flávio não tem carro.
Pode-se afirmar que é:
05. Testar a validade do argumento:
• Se é sábado, Joana vai dançar.
• Joana não foi dançar.
• Logo, não é sábado.
06. Verificar a validade do argumento:
• Se trabalho, não posso estudar.
• Trabalho ou serei aprovado em matemática.
• Trabalhei
• Logo, fui reprovado em matemática.
07. (MPU) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é
professora. Ora, Paula é professora. Portanto:
a) Ana é advogada.
b) Sandra é secretária.
c) Ana é advogada, ou Paula não é professora.
d) Ana é advogada, ou e Paula é professora.
e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária.
08. (SERPRO-ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora,
Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Verificar a validade ou não deste argumento.
27
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Raciocíno Lógico
(CESPE-BB) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira
(V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa”
não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são
representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou
B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F,
caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais
que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.
09. (CESPE-BB) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.
Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso.
10. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O Francisco ou não toma sopa ou bebe leite.
Ora, o Francisco não bebe leite.
Logo, o Francisco toma sopa.
Pode-se afirmar que é:
11. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O António ou é carpinteiro ou encanador
Ora, o António é carpinteiro.
Logo, o António não é encanador.
Pode-se afirmar que é:
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
12. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não
acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições
pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.
13. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então
pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.
14. (FISCAL RECIFE-ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado.
Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:
a) Caio e Beto são inocentes
b) André e Caio são inocentes
c) André e Beto são inocentes
d) Caio e Dênis são culpados
e) André e Dênis são culpados
15. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
Ou a Maria namora o João ou o Gilberto
Ora, a Maria não namora o Gilberto.
Logo, a Maria namora o João.
Pode-se afirmar que é:
16. Considere as seguintes premissas
“Giovanna é bonita e inteligente, ou Giovanna é simpática”.
“Giovanna não é simpática”.
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Raciocíno Lógico
A partir dessas premissas, conclui-se que Giovanna
a) “não é bonita ou não é inteligente”.
b) “é bonita e inteligente”.
c) “é bonita e não é inteligente”.
d) “não é bonita e não é inteligente”.
e) “não é bonita e é inteligente”.
17. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O gato do João ou é siamês ou é preto.
Ora, o gato é preto.
Logo, o gato do João é siamês.
Pode-se afirmar que é:
18. (FISCAL TRABALHO-ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou
Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem
Isaura é italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês
b) Pedro é português e Alberto é alemão
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
19. (AFC-ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala
chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol
se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não
fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
20. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O Frederico ou é formado em Filosofia ou em Línguas estrangeiras.
Ora, não é formado em Línguas Estrangeiras.
Logo, não é formado em Filosofia.
Pode-se afirmar que é:
GABARITO
É válido.
01
É inválido.
02
É válido.
03
É válido.
04
É válido.
05
É inválido.
06
B
07
É inválido.
08
Correta
09
É inválido.
10
É válido.
11
Errada
12
Errada
13
B
14
É válido.
15
B
16
29
BB+CEF
Prof. Pacher
Raciocíno Lógico
É inválido.
B
A
C
17
18
19
20
13. DIAGRAMAS LÓGICOS
Sejam dois conjuntos não vazios, estes podem ser relacionados entre si de três maneiras, como segue:
DIAGRAMAS
CONSIDERAÇÕES (AFIRMAÇÕES)
B
A
I
II
A
B
B
III
A
•No conjunto A e B, não existem elementos comuns.
•A e B são disjuntos.
•A interseção entre A e B é igual ao conjunto vazio.
•O conjunto A não está contido em B e reciprocamente.
•A e B têm alguns elementos comuns, não todos (pelo
menos um).
•A interseção entre A e B é diferente do conjunto vazio.
•Os elementos de A não estão todos em B e
reciprocamente.
•Todos os elementos de A são também elementos de B.
•A está contido em B.
•B contém A.
•A interseção entre A e B é igual ao conjunto A
QUANTIFICADOES E SEUS RESPECTIVOS DIAGRAMAS
30
BB+CEF
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Raciocíno Lógico
NEGAÇÕES DAS PROPOSIÇÕES DO TIPO TODO, NENHUM, ALGUM E ALGUM NÃO
A
A
Negação de
Negação de
Todo A é B
Algum A não é B
é
é
Algum A não é B
Todo A é B
A
A
Negação de
Negação de
Nenhum A é B
Algum A é B
é
é
Algum A é B
Nenhum A é B
TESTES RESOLVIDOS
01. (UFPR-TCE) Das alternativas abaixo, assinale aquela que corresponde a uma argumentação correta.
a) Toda pessoa elegante se veste bem. Como João se veste bem, então ele é elegante.
b) Todo cidadão honesto paga seus impostos. Como João não é honesto, então ele não paga seus impostos.
c) Todo cliente satisfeito deixa gorjeta para o garçom. Como João não deixou gorjeta para o garçom, então ele
não é um cliente satisfeito.
d) Todo bom empresário tem uma secretária eficiente. Como João não é um bom empresário, então a
secretária dele não é eficiente.
e) Todo político responsável promove projetos sociais. Como João não é um político responsável, então ele não
promove projetos sociais.
RESOLUÇÃO
I) Diagrama que representa a única alternativa correta.
Analizando a alternativa: c) Todo cliente satisfeito deixa gorjeta para o garçom, no diagrama pode ser
representado pelo elemento “a”. Como João não deixou gorjeta para o garçom, então ele não é um cliente
satisfeito, no diagrama pode ser representado pelo elemento “c”.
Resposta: alternativa C
02. CESGRANRIO) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam
religiosos. Pode-se concluir que, se:
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BB+CEF
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Raciocíno Lógico
a) João é religioso, João é poliglota.
b) Pedro é poliglota, Pedro é professor.
c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor.
d) Antônio não é professor, Antônio não é religioso.
e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
RESOLUÇÃO
I) O diagrama que atende o enunciado é o seguinte:
A alternativa que está corretamente construída, em relação ao enunciado.
e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
Quem não é religioso, está fora da região que representa todos os religiosos, portando deixa de ser: poliglota e
também deixa de ser professor. A alternativa E está enquadrada neste caso.
Resposta: alternativa E
TESTES
01. (UnB-CESPE) Suponha-se que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
I -Todo brasileiro é artista.
II - Joaquim é um artista.
Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é brasileiro”, então a argumentação é correta.
Considere os diagramas:
Nos diagramas acima, estão representados dois conjuntos de pessoas que possuem o diploma do curso
superior de direito, dois conjuntos de juízes e dois elementos desses conjuntos: Mara e Jonas. Julgue os itens
subsequentes tendo como referência esses diagramas e o texto.
02. (CESPE ) A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é verdadeira.
32
BB+CEF
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Raciocíno Lógico
03. (CESPE-TCE-ES) Julgue os itens a seguir:
A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
04. (CESPE-TCE-ES) Julgue os itens a seguir:
A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
05. (CESGRANRIO-IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas
sejam religiosos. Pode-se concluir que, se:
a) João é religioso, João é poliglota.
b) Pedro é poliglota, Pedro é professor.
c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor.
d) Antônio não é professor, Antônio não é religioso.
e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
06. (CESPE – MPE-AM/AG.ADM) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada
falsa, então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.
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GABARITO
GABARITO
01
E
02
E
03
Errada
04
Errada
05
E
06
C
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