Prof. Marcelo Cóser Inequações no Plano INEQUAÇÕES NO

INEQUAÇÕES NO PLANO
Retas na forma reduzida  y = ax + b
Retas Verticais  x = xo
Mais uma vez, o raciocínio anterior será utilizado. A
relação y = ax + b representa no plano cartesiano uma
reta de coeficiente angular a (crescente se a > 0 e
decrescente se a < 0).
Uma inequação na forma x  x0 tem sua solução
facilmente visualizada na reta real: basta destacar
todos os pontos que estão à direita do ponto x  x0 .
Iremos estender esse raciocínio visando a visualização
da solução para a mesma inequação x  x0 , agora no
plano cartesiano. Se na reta real a relação x  x0
representa um ponto, no plano cartesiano ela
representa uma reta vertical, onde todos os pontos têm
abscissa igual a x0 .
Dessa forma, a solução geométrica para a inequação
x  x0 é dada pelo conjunto de pontos do plano cujas
abscissas são maiores do que x0 . Ou seja, todos os
pontos situados à direita da reta vertical x  x0 . O
mesmo raciocínio pode ser aplicado para x  x0 .
A solução geométrica para inequações na forma
y  ax  b é dada pelo conjunto de pontos do plano
cujas ordenadas são maiores do que ax  b para uma
mesma abscissa x. Ou seja, todos os pontos situados
acima da reta y  ax  b , não dependendo se a reta é
crescente ou decrescente. O mesmo raciocínio pode
ser aplicado para y  ax  b .
Circunferências  (x - a)² + (y - b)² = R²
2
2
A relação  x  a    y  b   R 2 representa no plano
uma o conjunto dos pontos que estão sobre
circunferência de centro (a, b) e raio R. Essa relação
pode ser obtida destacando um triângulo retângulo de
catetos x - a e y - b e hipotenusa R.
Agora, considere um ponto P (x, y) externo à
circunferência. Destacando um triângulo retângulo de
2
hipotenusa PC, tem-se que PC  R  PC  R 2 . Aqui,
Retas Horizontais  y = yo
As soluções de inequações na forma y  y 0 no plano
são visualizados de modo análogo ao anterior,
lembrando somente que y  y 0 é representada por
uma reta horizontal, onde todos os pontos têm
ordenada igual a y 0 .
 x  a
2
circunferência
 x  a
2
2
2
  y  b   PC . Logo, os pontos externos à
representam
2
a
solução
para
2
  y  b   R . O mesmo raciocínio funciona
para pontos internos à circunferência, aí com PC  R ,
2
2
representando a solução para  x  a    y  b   R 2
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Inequações no Plano
EXERCÍCIOS DE AULA
01) Calcule a área da região correspondente à solução
 x  2
do sistema 
.
 y  4
x  2  2  x  2
03) Calcule a área da região correspondente à solução
y  2

y  4
do sistema 
.
x  0
 y  x
Esboçando os gráficos e analisando as desigualdades,
observa-se que a região resultante é um trapézio, que
pode ser separado em um quadrado de área 4 e um
triângulo de área 2. Logo, de área 6.
y  4  4  y  4
Ou seja, procuramos os
pontos (x, y) que tenham
abscissa entre -2 e 2 e
ordenadas entre -4 e 4.
Tais pontos formam um
retângulo de base 4 e
altura 8. Logo, de área
32.
y  x  1
02) Resolva graficamente o sistema 
.
y   x
Em primeiro lugar, pontilhamos os gráficos das retas
y = x - 1 e y = -x, ignorando as desigualdades. Por fim,
lembre que y < x - 1 equivale à região abaixo da reta,
bem como y  -x equivale à região acima da reta,
incluindo a própria reta.
04) Calcule a área da região correspondente à solução
x 2  y 2  4
do sistema 
.
y  1
A primeira inequação
corresponde à região
interna
a
uma
circunferência de raio 2
e centro (0, 0). A
segunda, à todos os
pontos com ordenada
maior ou igual a 1.
A área em questão pode ser calculada subtraindo do
setor circular correspondente um triângulo.
Do
triângulo retângulo abaixo, sabe-se que o ângulo
destacado mede 60º. Logo, a área é dada por
  22 2  2  sen120 4
A


 3.
3
2
3
TAREFA:
Unidade V
Série 4
TM: 1, 2, 3, 12
TC: 4, 6, 14, 15
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