inequações no plano - Prof. Marcelo Cóser

INEQUAÇÕES NO PLANO
Retas na forma reduzida  y = ax + b
Retas Verticais  x = xo
Mais uma vez, o raciocínio anterior será utilizado. A
relação y = ax + b representa no plano cartesiano uma
reta de coeficiente angular a (crescente se a > 0 e
decrescente se a < 0).
Uma inequação na forma x  x0 tem sua solução
facilmente visualizada na reta real: basta destacar
todos os pontos que estão à direita do ponto x  x0 .
Iremos estender esse raciocínio visando a visualização
da solução para a mesma inequação x  x0 , agora no
plano cartesiano. Se na reta real a relação x  x0
representa um ponto, no plano cartesiano ela
representa uma reta vertical, onde todos os pontos têm
abscissa igual a x0 .
A solução geométrica para inequações na forma
y  ax  b é dada pelo conjunto de pontos do plano
cujas ordenadas são maiores do que ax  b para uma
mesma abscissa x. Ou seja, todos os pontos situados
acima da reta y  ax  b , não dependendo se a reta é
crescente ou decrescente. O mesmo raciocínio pode
ser aplicado para y  ax  b .
Dessa forma, a solução geométrica para a inequação
x  x0 é dada pelo conjunto de pontos do plano cujas
abscissas são maiores do que x0 . Ou seja, todos os
pontos situados à direita da reta vertical x  x0 . O
mesmo raciocínio pode ser aplicado para x  x0 .
Circunferências  (x - a)² + (y - b)² = R²
A relação  x  a    y  b   R 2 representa no plano
2
2
uma o conjunto dos pontos que estão sobre
circunferência de centro (a, b) e raio R. Essa relação
pode ser obtida destacando um triângulo retângulo de
catetos x - a e y - b e hipotenusa R.
Agora, considere um ponto P (x, y) externo à
circunferência. Destacando um triângulo retângulo de
2
hipotenusa PC, tem-se que PC  R  PC  R 2 . Aqui,
Retas Horizontais  y = yo
As soluções de inequações na forma y  y 0 no plano
são visualizados de modo análogo ao anterior,
lembrando somente que y  y 0 é representada por
uma reta horizontal, onde todos os pontos têm
ordenada igual a y 0 .
 x  a
2
  y  b   PC . Logo, os pontos externos à
2
circunferência
2
representam
a
solução
para
 x  a    y  b   R 2 . O mesmo raciocínio funciona
2
2
para pontos internos à circunferência, aí com PC  R ,
representando a solução para  x  a    y  b   R 2
2
2
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Inequações no Plano
EXERCÍCIOS DE AULA
01) Calcule a área da região correspondente à solução
 x  2
do sistema 
.
 y  4
03) Calcule a área da região correspondente à solução
y  2
y  4

do sistema 
.
x  0
 y  x
Esboçando os gráficos e analisando as desigualdades,
observa-se que a região resultante é um trapézio, que
pode ser separado em um quadrado de área 4 e um
triângulo de área 2. Logo, de área 6.
x  2  2  x  2
y  4  4  y  4
Ou seja, procuramos os
pontos (x, y) que tenham
abscissa entre -2 e 2 e
ordenadas entre -4 e 4.
Tais pontos formam um
retângulo de base 4 e
altura 8. Logo, de área
32.
y  x  1
02) Resolva graficamente o sistema 
.
y   x
Em primeiro lugar, pontilhamos os gráficos das retas
y = x - 1 e y = -x, ignorando as desigualdades. Por fim,
lembre que y < x - 1 equivale à região abaixo da reta,
bem como y  -x equivale à região acima da reta,
incluindo a própria reta.
04) Calcule a área da região correspondente à solução
x 2  y 2  4
do sistema 
.
y  1
A primeira inequação
corresponde à região
interna
a
uma
circunferência de raio 2
e centro (0, 0). A
segunda, à todos os
pontos com ordenada
maior ou igual a 1.
A área em questão pode ser calculada subtraindo do
setor circular correspondente um triângulo.
Do
triângulo retângulo abaixo, sabe-se que o ângulo
destacado mede 60º. Logo, a área é dada por
  22 2  2  sen120
4
A


 3.
3
2
3
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Inequações no Plano
08) (UFRGS) Assinale, entre os gráficos abaixo, o que
pode representar o conjunto dos pontos P = (x; y) cujas
coordenadas
satisfazem
as
desigualdades
EXERCÍCIOS
01) Representar graficamente:
a)
x+y-3≤0
c)
x  y  0

x  y  0
b)
x  y  1  0

y  2  0
d)
x  0

y  0
x  y  2  0

1  y  4x  x 2 .
02) Representar graficamente:
a)
x² + y² - 6x ≤ 0
c)
 x²  y²  4

 x²  y²  4x  0
b)
 x²  y²  16

 x²  y²  36
09) (PUCRS) A área da região limitada pela curva de
equação (x – 1)² + (y – 2)² = 4 com x ≥ 1 e y ≤ 2 é:
03) (UFU-MG) Seja S a região
limitada pelo quadrado abaixo.
Determine
o
sistema
de
inequações que caracterizam a
região.
a)
b)
4
2
c)


2
d)
e)

4
GABARITO
x

y

y
 y
04) Calcule a área da região dos
pontos do plano cartesiano que
satisfazem ao sistema ao lado.
0
2
4
x
05) (UFRN) Calcule a área da região S dos pontos
1
1
(x, y) do plano cartesiano tais que x  e y  .
2
2
01a
01b
01c
01d
02a
02b
Dica: Lembre que a ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b .
06) Calcular a área da região dos pontos (x, y) que
satisfazem:
a)
y  x

y  x
 x²  y²  16

b)
y  2

y  x  2
 x²  y  2 ²  4



07) (UFRGS) Considere a região plana limitada pelos
gráficos das inequações y ≤ -x - 1 e x² + y² ≤ 1, no
sistema de coordenadas cartesianas. A área dessa
região é:
 1

4 2

d)  1
2
a)
 1

4 3
3
1
e)
2
b)
c)

1
2
02c
y  x

y  x

y  x  2
 y   x  2
03
04
6
05
1
06a
4
07
A
08
A
09
C
06b

2
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