Notas sobre primitivas

MTDI I - 2007/08 - Notas sobre primitivas
42
Notas sobre primitivas
Seja f uma função real de variável real de…nida num intervalo real I: Chama-se primitiva
de f no intervalo I a uma função F cuja derivada seja f:
Exemplos
1. F (x) = x2 é uma primitiva de f (x) = 2x; pois
0
F 0 (x) = x2
2. F (x) = x2
= 2x:
25 é uma primitiva de f (x) = 2x; pois
F 0 (x) = x2
0
25 = 2x:
3. Sendo a 2 R, F (x) = ax é uma primitiva de f (x) = a; pois
F 0 (x) = (ax)0 = a:
4. F (x) = ex + 3 é uma primitiva de f (x) = ex ; pois
F 0 (x) = (ex + 3)0 = ex :
5. F (x) = arctan x é uma primitiva de f (x) =
1
, pois
1 + x2
F 0 (x) = (arctan x)0 =
6. F (x) = ln (1 + x2 ) é uma primitiva de f (x) =
F 0 (x) = ln 1 + x2
7. F (x) =
xn+1
(n 6=
n+1
1
:
1 + x2
2x
; pois
1 + x2
0
=
2x
:
1 + x2
1) é uma primitiva de f (x) = xn ; pois
0
F (x) =
xn+1
n+1
0
= xn :
É fácil perceber que a primitiva de uma função não é única. Basta observar os exemplos
1 e 2 atrás e imaginar muitas situações análogas. As proposições seguintes caracterizam o
conjunto das primitivas de uma função num intervalo.
Proposição 1 Se, num dado intervalo, uma função f tem uma primitiva F; então f tem,
nesse intervalo uma in…nidade de primitivas.
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Demonstração: Se F é uma primitiva de f; 8k 2 R, F + k também é primitiva de f; pois
(F + k)0 = F 0 + 0 = f:
Proposição 2 Se, num dado intervalo I, F e G são primitivas de uma mesma função f;
então F e G diferem por uma constante nesse intervalo, isto é existe k 2 R tal que
F (x)
G (x) = k:
Demonstração: Como, 8x 2 I;
(F (x)
então F (x)
G (x))0 = F 0 (x)
G0 (x) = f (x)
f (x) = 0;
G (x) é constante em I: (é sabido que se uma função tem derivada nula
num intervalo então é constante nesse intervalo).
A proposição 2 motiva a seguinte de…nição:
De…nição: Integral inde…nido de uma função f é o conjunto de todas as suas primitivas.
Dada uma primitiva F de f; o integral inde…nido de f representa-se da seguinte forma:
Z
f (x) dx = F (x) + k; k 2 R:
A expressão
Z
f (x) dx lê-se "integral de f (x) relativamente a x" e a partícula, embora possa
assumir um signi…cado preciso, serve simplesmente para indicar a variável relativamente à
qual se está a integrar.
Nem sempre existe primitiva de uma função f num intervalo I: Quando existe diz-se que a
função é primitivável ou integrável em I: O teorema seguinte dá uma condição su…ciente
para uma função ter primitiva, apesar de nem sempre ser possível determiná-la analiticamente.
Teorema 1 Se f é contínua num intervalo real I; então f é primitivável em I: (O intervalo
I pode ser todo o conjunto R)
Este teorema garante apenas que as funções contínuas são primitiváveis. Não diz que funções
não contínuas não são primitiváveis.
Das propriedades das derivadas podem-se inferir propriedadespara as primitivas:
Proposição 3 Sejam f e g funcões primitiváveis num intervalo I e k uma constante arbitrária. Então:
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1. kf é primitivável e sendo F uma primitiva de f , kF é primitiva de kf: Em notação
integral tem-se
Z
kf (x) dx = k
Z
f (x) dx:
2. f + g é primitivável e sendo F uma primitiva de f e G uma primitiva de g, F + G é
primitiva de f + g: Em notação integral
Z
Z
Z
f (x) + g (x) dx = f (x) dx + g (x) dx:
Demonstração:
1. (kF )0 = kF 0 = kf
2. (F + G)0 = F 0 + G0 = f + g
O primeiro resultado permite que constantes "atravessem" o sinal de integral, o que facilita
o cálculo de muitas primitivas, como veremos na secção seguinte. O segundo resultado
é facilmente generalizado à soma de qualquer número de funções e permite decompor a
primitiva de uma função que inclua somas na soma de várias primitivas o que, novamente,
facilita muitos cálculos.
Exemplo:
Z
(x5 + 2x4
=
Z
=
Z
#
2: da Prop.3
#
1: da Prop.3
=
#
Ex. 7 da pg.42
3x3 + 4x2
5
x dx +
Z
5
x dx + 2
1 6 2 5
x + x
6
5
5x + 6) dx =
4
2x dx
Z
4
x dx
Z
3
3
3x dx +
Z
3 4 4 3
x + x
4
3
3
Z
x dx + 4
2
4x dx
Z
2
x dx
Z
5
5x dx +
Z
Z
x dx +
6 dx =
Z
6 dx =
5 2
x + 6x + k:
2
Proposição 4 Se f é uma função primitivável num intervalo I, a 2 I e b 2 R, existe uma
única primitiva F de f veri…cando a condição F (a) = b:
Demonstração: Se g (x) é uma primitiva de f; então a função F (x) = g (x)
também primitiva de f (proposição 1) e F (x) = g (a)
g (a) + b é
g (a) + b = b; o que prova a
existência de F nas condições do enunciado. Se houver duas funções satisfazendo essas
condições, a sua diferença é uma constante (proposição 2) e, como no ponto a essa
diferença é 0, as duas funções têm de ser a mesma.
Esta proposição permite resolver os chamados "problemas de valor inicial" ou "problemas
de Cauchy", dos quais, de seguida, damos um exemplo.
MTDI I - 2007/08 - Notas sobre primitivas
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Exemplo:
Determinar a primitiva F da função f (x) = 2x que veri…ca a condição F (2) = 5, (ou que
para x = 2 tem o valor 5 ou, ainda, cujo grá…co passa no ponto de coordenadas (2; 5)).
Sendo g (x) = x2 uma primitiva de f (x) = 2x (ex. 1 da pg. 42), pela demonstração anterior,
a função F (x) = x2
g (x) + 5 = x2
22 + 5 = x2 + 1 é a primitiva procurada.
Alternativamente o problema pode-se resolver determinando o integral inde…nido
Z
f (x) dx
e depois calculando a constante k de modo a obter F nas condições requeridas:
Z
Sendo F (x) = 2xdx = x2 + k; F (2) = 5 ) 22 + k = 5 ) k = 1; pelo que F (x) = x2 + 1:
Primitivas imediatas
Designam-se por primitivas imediatas aquelas que podem ser calculadas a partir de derivadas
já conhecidas e por "inversão" das regras de derivação. A partir da seguinte tabela de
derivadas podemos inferir uma tabela análoga para primitivas.
Derivadas
Se x é uma variável:
Se u é uma função:
(x )0 = x
(u )0 = u
1
;
2R
1 0
u;
2R
(ex )0 = ex
(eu )0 = eu u0
(ax )0 = ax ln a; a 2 R+
(au )0 = ax ln a u0 ; a 2 R+
1
(ln x) =
x
0
u0
(ln u) =
u
0
(sen x)0 = cos x
(sen u)0 = cos u u0
(cos x)0 =
(cos u)0 =
sen x
1
cos2 x
1
(cot x)0 =
sen2 x
1
(arcsen x)0 = p
1 x2
1
(arccos x)0 = p
1 x2
1
(arctan x)0 =
1 + x2
1
(arccot x)0 =
1 + x2
(tan x)0 =
sen u u0
u0
cos2 u
u0
(cot u)0 =
sen2 u
u0
(arcsen u)0 = p
1 u2
u0
0
p
(arccos u) =
1 u2
0
u
(arctan u)0 =
1 + u2
u0
(arccot u)0 =
1 + u2
(tan u)0 =
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Primitivas
Se x é uma variável:
Z
x +1
x dx =
+ k: ( 6= 1)
+1
Z
ex dx = ex + k:
Z
ax
ax dx =
+ k: (a 2 R+ )
ln
a
Z
Z
1
1
x dx =
dx = ln jxj + k:
x
Z
cos xdx = sin x + k:
Z
sin xdx = cos x + k:
Z
1
dx = tan x + k:
2
Z cos x
1
2 dx = cot x + k:
Z sin x
1
p
= arcsin x + k:
2
1
x
Z
1
p
dx = arccos x + k:
2
1
x
Z
1
dx = arctan x + k:
2
Z 1+x
1
dx = ar cot x + k:
1 + x2
Se u é uma função de x:
Z
u +1
u u0 dx =
+ k: ( 6= 1)
+1
Z
eu u0 dx = eu + k:
Z
ax
au u0 dx =
+ k: (a 2 R+ )
ln
a
Z 0
u
dx = ln juj + k:
u
Z
cos u u0 dx = sin u + k:
Z
sin u u0 dx = cos u + k:
Z
u0
dx = tan u + k:
2
Z cos u0
u
2 dx = cot u + k:
Z sin0 u
u
p
= arcsin u + k
2
1
u
Z
u0
p
dx = arccos u + k:
2
1
u
Z
u0
dx = arctan u + k:
2
Z 1 + u0
u
dx = ar cot u + k:
1 + u2
Há outras primitivas que podem ser calculadas a partir destas, mediante pequenas manipulações envolvendo, por exemplo:
os resultados da proposição 3, que permitem tirar constantes "fora" do integral e
decompor uma primitiva numa soma de duas ou mais primitivas;
produtos e divisões por constantes de modo a encontrar valores em "falta", mas sem
alterar a função;
operações com as funções, como dividir o numerador de uma função racional pelo seu
denominador, quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador.
utilização de identidades trigonométricas.
Exemplos:
1.
Z
(3x
1
5) dx =
3
4
Z
3 (3x
5)4 dx =
1 (3x 5)5
(3x 5)5
+k =
+k
3
5
15
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Z
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Z 2
x2 + 1 1
x +1
1
dx =
dx =
2
2
2
x +1
x +1 x +1
1
dx = x arctan x + k:
2
x +1
Z
Z
Z
1
1
3
3.
dx = 3
dx = 3
dx =
2
2
3 2
2 + 3x
2 + 3x
2 1+ x
2
r
3
3 Z
r
r
3
3
2
2
0
1 dx =
arctan
x + k:
=v
!
u
r
2
u3
2
2
t
3
@1 +
x A
2
2
x2
2.
dx =
x2 + 1
Z
Z
= 1dx
Z
1 + cos 2
4. Sabendo que cos2 =
; torna-se fácil calcular o integral seguinte:
2
Z
Z
Z
1 + cos 2x
1 cos 2x
2
cos xdx =
dx =
+
dx =
2
2
2
Z
Z
cos 2x
1
1
1
dx +
dx = x + sin 2x + k
=
2
2
2
4
Determinar primitivas imediatas pode ser, por vezes, complicado, por implicar várias manipulações, como podemos ver no exemplo seguinte:
Z
Z
1 + 2 sin x
1
2 sin x
5.
dx =
+
dx =
1 + cos x
1 + cos x 1 + cos x
Z
Z
2 sin x
1
=
dx +
dx =
1 + cos x
cos x + 1
Z
Z
1 cos x
sin x
=
dx 2
dx =
(1 + cos x) (1 cos x)
1 + cos x
Z
1 cos x
=
dx 2 ln j1 + cos xj =
1 cos2 x
Z
1 cos x
=
dx 2 ln j1 + cos xj =
sin2 x
Z
Z
1
cos x
=
dx 2 ln jcos x + 1j =
2 dx +
sin x
sin2 x
1
= cot x +
2 ln jcos x + 1j + k
sin x
Primitivação por partes
O método de primitivação por partes permite transformar o cálculo de primitivas não imediatas no cálculo de primitivas imediatas ou de primitivas já conhecidas. Pela fórmula de
derivação do produto de duas funções, sabe-se que, sendo u e v duas funções de x;
(uv)0 = u0 v + uv 0
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Desta fórmula sai que
Z
0
Z
(u0 v + uv 0 ) dx ,
Z
Z
0
, uv = u vdx + uv 0 dx ,
Z
Z
0
,
uv dx = uv
u0 vdx
(uv) dx =
A última fórmula é, então, utilizada para o cálculo de primitivas não imediatas, habitualmente envolvendo o produto de duas funções. Para a aplicar é necessário escolher, entre as
duas funções, uma para ser derivada, que tomará o lugar de "u" e outra para ser primitivada
tomando o lugar de "v 0 ":
Exemplos:
1.
Z
xex dx:
Fazendo u = x e v 0 = ex ; tem-se u0 = 1 e v = ex : Assim
Z
Z
x
x
xe dx = |{z}
xe
1ex dx =
|{z}
|{z}
uv 0
uv
x
= xe
u0 v
x
e +k
2. Por vezes o método também se usa quando só está envolvida uma função, considerando
para função v 0 a função constante 1.
Z
Z
ln xdx = ln x:1 dx
1
e v = x: Assim
x
Z
Z
1
ln
x:1
dx
=
ln
x
x
x dx =
| {z }
| {z }
x
|{z}
uv
uv 0
0
Z uv
= ln x x
1dx =
Fazendo u = ln x e v 0 = 1; tem-se u0 =
= ln x x
3. Para n 2 N,
Z
x+k
xn ln xdx:
Neste caso, u = ln x, v 0 = xn ; u0 =
Z
1
xn+1
ev=
x
n+1
xn+1
x
ln
x
dx
=
ln
x
| {z }
n + 1}
0
| {z
n
uv
uv
n+1
x
= ln x
n+1
xn+1
= ln x
n+1
Z
1 xn+1
dx =
|x n{z+ 1}
u0 v
Z
1
xn dx =
n+1
xn+1
dx
(n + 1)2
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Para facilitar a aplicação do método pode ser usado um esquema no qual …gurem as várias
funções implicadas no processo como, por exemplo, o seguinte:
u
! u0
j
v0
v
4.
Z
arctan xdx
A escolha de u e v 0 é indicada no esquema seguinte:
! u0 =
u = arctan x
1
1 + x2
j
v0 = 1
v=x
Então,
Z
arctan xdx =
Z
= x arctan x
x
dx =
1 + x2
Z
1
2x
= x arctan x
dx =
2
1 + x2
1
= x arctan x
ln (x2 + 1) + k
2
5. Em certos casos é necessário, no cálculo da mesma primitiva, usar mais de uma vez o
processo de primitivação por partes:
Z
ex (x2 8x + 5) dx
Fazemos uma primeira escolha das funções u e v 0 :
u = x2
! u0 = 2x
8x + 5
8
j
v = ex
Fica:
Z
ex (x2
x
v 0 = ex
Z
8x + 5) dx = e (x
8x + 5)
ex (2x
Z
Para calcular ex (2x 8) dx repetimos o processo
2
u = 2x
8
!
8) dx
u0 = 2
j
v = ex
v 0 = ex
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Então:
Z
ex (x2
8x + 5) dx =
Z
x
= e (x
2
x
2
8x + 5)
= ex (x2
8x + 5)
= ex (x2
10x + 15) + k
= e (x
8x + 5)
ex (2x
x
e (2x
ex (2x
8) dx =
8)
Z
2ex dx
=
8) + 2ex + k =
Primitivação por substituição
Este método baseia-se na regra de derivação da função composta e permite, mais uma vez,
transformar primitivas não imediatas em primitivas imediatas ou já conhecidas.
Seja f (x) uma função que pretendemos primitivar e suponhamos que F (x) é uma primitiva
de f (x) num determinado intervalo real. Se substituirmos x por uma função bijectiva u (t) ;
como
(F (u (t)))0 = F 0 (u (t)) u0 (t) = f (u (t)) u0 (t) ;
temos que
Z
0
Z
f (u (t)) u0 (t) dt ,
Z
, F (u (t)) = f (u (t)) u0 (t) dt:
(F (u (t))) dt =
Assim a função F (u (t)) pode ser calculada integrando, em ordem a t a função f (u (t)) u0 (t) :
Como u (t) é bijectiva, de x = u (t) ; obtemos t = u
t por u
1
(x) ; …camos com F (u (u
1
1
(x) : Substituindo em F (u (t)) a variável
(x))) = F (x) ; que é a primitiva pretendida.
Exemplos:
1.
Z
p
1
ex
1
dx:
p
1; tem-se que x = ln (t2 + 1) ; pelo que, neste caso, a função
2t
u (t) = ln (t2 + 1) e u0 (t) = 2
:
t +1
Vamos então efectuar a substituição e integrar, em ordem a t; a função f (u (t)) u0 (t) :
Z
Z
Z
1 2t
2
1
dt
=
dt
=
2
dt = 2 arctan t + k:
t t2 + 1
t2 + 1
t2 + 1
p
Para obter a primitiva pretendida, basta agora substituir t por u 1 (x) = ex 1 e
Fazendo t =
ex
…ca:
Z
p
1
p x
dx = 2 arctan ex
e
1
1 + k:
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51
Nota: Para não sobrecarregar os cálculos, muitas vezes não se refere explicitamente a função
u (t) ; pois de facto o que interessa é ter x escrito em função de t e t em função de x: Para
indicar a derivada de u (t) ; comete-se um abuso de linguagem escrevendo
x0 : No caso anterior ter-se-ia:
2.
Z
dx
dt
ou simplesmente
2
p x
e
1
t
=
6
6
6
6 x = ln (t2 + 1)
6
4
2t
x0 = 2
t +1
ex
dx
ex + e x
Vamos efectuar a a substituição x = ln t e resumimos a informação necessária ao
procedimento na seguinte tabela:
2
6 x = ln t
6
6
6 t = ex
6
4
1
x0 =
t
Z
Z
t
1
2t
1
t 1
dt =
dt =
dt = ln (t2 + 1) + k:
1
2
2
t+t t
t +1
2
t +1
2
x
Substituindo t por e ; obtém-se:
Z
1
ex
dx
=
ln (e2x + 1) + k:
x
x
e +e
2
Z
Primitivação de funções racionais
Chama-se função racional uma função que pode ser de…nida pelo quociente de dois polinómios.
Exemplos:
1. f (x) =
2. f (x) =
x5
x3
2x + 5
1
x6 + 1
x2 + 1
a (x)
em que a (x) e b (x)
b (x)
são polinómios. Quando o grau de a (x) é maior ou igual que o grau de b (x) a função racional
Uma função racional é, portanto, representável por um cociente
pode ser representada na forma
a (x)
r (x)
= q (x) +
b (x)
b (x)
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em que o grau de r (x) é menor que o grau de b (x) : De facto, dado que efectuando a divisão
de a (x) por b (x) se obtém a (x) = q (x) b (x) + r (x) ; em que o grau de r (x) é menor que o
grau de b (x) ; então
a (x)
q (x) b (x) + r (x)
r (x)
=
= q (x) +
b (x)
b (x)
b (x)
O problema de primitivar funções racionais arbitrárias reduz-se assim ao de primitivar
funções racionais em que o grau do numerador é menor que o grau do denominador pois
Z
Z
Z
Z
r (x)
r (x)
a (x)
dx = q (x) +
dx = q (x) dx +
dx
b (x)
b (x)
b (x)
Z
em que
q (x) dx é a primitiva de um polinómio e o grau de r (x) é menor que o grau de
b (x) : Para primitivar essas funções, vamos decompô-las na soma de funções racionais mais
simples, cujas primitivas se inserem na classe das primitivas imediatas.
Consideramos, então uma função racional da forma
p (x)
, em que o grau de p (x) é menor
q (x)
que o grau de q (x) : Há dois casos fundamentais:
Caso 1 q (x) decompôe-se num produto de factores de grau 1:
q (x) = (x
a1 ) (x
a2 ) : : : (x
an )
Caso 2 q (x) tem factores de grau 2 sem raízes.
Vamos analisar cada um desses casos:
Caso 1: Este caso tem dois subcasos:
(i) a1 ; a2 ; : : : ; an são todos diferentes. Neste caso:
p (x)
A1
A2
=
+
+
q (x)
x a1 x a2
+
An
x an
em que
Ai =
Exemplo:
(ai
p (ai )
ai 1 ) (ai
a1 ) : : : (ai
x+4
=
x
5x + 6
(x
x+4
2) (x
2
3)
=
ai+1 ) : : : (ai
7
x
an )
6
3
x
2
p (x)
; para além das parcelas
q (x)
correspondentes às raizes simples, a cada um desses factores correspondem k parcelas
at )k : Na decomposição de
(ii) Existem factores da forma (x
da forma:
Exemplo:
A1t
A2t
+
+
x at (x at )2
1
x (x
2
1)
=
1
x
1
x
1
+
1
(x
1)2
+
Akt
(x
ai )k
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53
Caso 2: Novamente há dois subcasos:
(i) Cada factor quadrático é simples. Neste caso a cada factor de grau dois, sem raizes reais,
ax2 + bx + c, corrsponde uma parcela da forma:
Bx + C
ax2 + bx + c
Exemplo:
x2
x2 2x + 5
2x + 5
=
=
x3 1
(x 1) (x + x2 + 1)
x
4
3
1
+
1
x
3
11
3
x + x2 + 1
k
(ii) Existem factores quadráticos múltiplos, isto é, da forma (ax2 + bx + c) . A cada um
desses factores correspondem k parcelas da forma:
B1 x + C1
B2 x + C2
+
+
ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2
Exemplo:
x+2
2
=
3
x
x (x2 + 1)
2x
+1
x2
+
Bk x + Ck
(ax2 + bx + c)k
2x + 1
2x
+
2
(x2 + 1)
(x2 + 1)3
Em geral, para determinar as constantes que aparecem nos numeradores, usa-se o chamado
p (x)
à soma das
método dos coe…cientes indeterminados, que consiste em igualar
q (x)
fracções correspondentes aos factores do denominador, de acordo com os casos explicitados
acima, e efectuar os cálculos para determinar as constantes que têm de …gurar nos numeradores, o que passa em geral por resolver um sistema (exemplo 1 abaixo), ou então atribuir
valores de modo a obter os resultados pretendidos (exemplo 2 abaixo).
Exemplos:
1. Vamos decompor a função racional
1
(1 + x) (x2
1
(1 + x) (x2
x + 1)
numa soma de fracções simples:
A
Bx + C
+ 2
,
x + 1)
1+x x
x+1
1
A (x2 x + 1) + (Bx + C) (1 + x)
,
=
(1 + x) (x2 x + 1)
(1 + x) (x2 x + 1)
, A (x2
=
x + 1) + (Bx + C) (1 + x) = 1
, (A + B) x2 + ( A + B + C) x + (A + C) = 0x2 + 0x + 1
8
>
>
A+B =0
>
>
>
<
,
A+B+C =0
>
>
>
>
>
: A+C =1
1
, A = ;B =
3
1
2
;C =
3
3
1
Portanto
(1 + x) (x2
1
1
2
x+
3
= 3 + 23
x + 1)
1+x x
x+1
MTDI I - 2007/08 - Notas sobre primitivas
2. Vamos decompor
54
x
numa soma de fracções simples:
1)2 (x + 1)
(x
x
A
B
C
=
+
,
2
2 +
x 1 (x 1)
x+1
1) (x + 1)
(x
, x = A (x2
x=
1) + B (x + 1) + C (x
1 ) 4C =
1)C=
x = 1 ) 2B = 1 ) B =
x=0)
Portanto
1
2
1)2
1
4
1
4
A+B+C =0)A=
1
1
1
x
2
4
= 4 +
+
x 1 (x 1)2 x + 1
1)2 (x + 1)
(x
3. Cálculo de uma primitiva por decomposição em fracções simples:
Z
2x (x + 1)
dx =
(x2 1)2
Z
x
=2
dx =
(x 1)2 (x + 1)
1
1
1
Z
=
4 +
2
4 dx =
2
2 +
#
x
1
x
+
1
(x
1)
ex. 1
Z
1
1
2
1
=
+
dx =
2
2
x 1 (x 1)
x+1
=
1
ln jx
2
1
1j
x
1
ln jx + 1j
2
1
4. Cálculo da primitiva de uma parcela correspondente a um factor quadrático:
Z
Z
Z
x+2
1
2x 4
1
2x 1 3
dx
=
dx
=
dx =
x2 x + 1
2
x2 x + 1
2
x2 x + 1
Z
Z
1
2x 1
3
=
dx
dx =
2
2
2
x
x+1
x
x+1
!
Z
Z
1
2x 1
1
dx =
=
dx 3
2
2
x2 x + 1
x 12 + 34
0
1
p Z
Z
2
p
1B
2x 1
4
3
C
3
=
dx
+
3
dxA =
@
2
2
2
x
x+1
3
2
p2 x
p1
+1
3
3
=
1
2
=
1
ln jx2
2
ln jx2
p
x + 1j + 2 3 arctan
x + 1j
p
3 arctan
1
2
p x p
3
3
1
2
p x p
3
3
=