Técnicas de fatoração

Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica consiste em completar uma identidade usando uma expressão na
forma de um produto. Afinal, as somas são compostas de parcelas, e os produtos compostos de
fatores. Por exemplo, a expressão x+xy, que apresenta duas parcelas, é idêntica à expressão x(1+y),
que apresenta dois fatores. Por isso, dizemos que x(1+y) é a forma fatorada de x+xy.
Algumas das identidades algébricas apresentam expressões fatoradas em um de seus membros,
como em a2+2ab+b2 ≡ (a+b)(a+b), onde é possível notar que partindo de (a+b)(a+b) e efetuando-se a
propriedade distributiva chega-se em a2+ab+ab+b2 de uma forma bem mais simples do que encontrar
uma forma fatorada partindo-se de a2+2ab+b2.
Poderíamos dizer que fatorar é o mesmo que “desdistribuir”, se essa palavra existisse. Mas, devemos
encarar o fato de que fatorar é tarefa bem mais delicada do que efetuar a propriedade distributiva.
Técnicas de fatoração
Os principais casos de fatoração são apresentados de forma ordenada na intenção de facilitar os
processos que permitem obter formas completamente fatoradas de uma expressão. Por isso, se uma
expressão tiver características de dois casos diferentes, recomenda-se aplicar as técnicas descritas a
seguir de acordo com a ordem dos casos:
1º caso: Fator Comum
AB + AC ≡ A ⋅ (B+C)
Se todos os termos de uma expressão apresentam fator comum, este fator comum pode ser
colocado em evidência multiplicando outro fator entre parênteses. Os termos do fator entre parênteses
serão os respectivos quocientes de cada termo da expressão original pelo fator em evidência.
Exemplos:
x2 – 2xy + x
4x2 + 40x + 100
≡ x ⋅ (x – 2y + 1)
≡ 4 ⋅ (x2 + 10x + 25)
Exercícios:
1. Sabendo que uma fração algébrica ou
2. Encontre todas as soluções naturais da
aritmética só pode ser simplificada se tanto o
equação 8x2 – xy = 6.
numerador quanto o denominador estiverem
fatorados, simplifique as seguintes frações:
2
a)
b)
c)
d)
x + ax
-x - a
xy - x
2
xy - y
2
2 3 +6
3 +3
2 +2
2
4. Use a equivalência lógica do produto nulo
3. Encontre todas as soluções reais da equação
3x3 + 2x = 5x2.
“x⋅y = 0 ⇔ x= 0 ou y = 0” para verificar que:
“a⋅b = a⋅c ⇔ a = 0 ou b = c”
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2º caso: Diferença de Quadrados
Quadrados
A2 − B2 ≡ (A + B) ⋅ (A − B)
A diferença de quadrados equivale ao produto entre a soma e a diferença de suas bases.
(a – b)
b
a
a
b
a2 –b2
b
b
(a+b) ⋅ (a–b)
b
(a – b)
(a – b)
(a + b)
a
Exemplos:
x2 – 1
≡ (x + 1) ⋅ (x – 1)
4 – 9x2
≡ (2 + 3x) ⋅ (2 – 3x)
20132 – 20112 = (2013 + 2011) ⋅ (2013 – 2011) = 4024 ⋅ 2 = 8048
Exercícios:
Muitos dos edifícios construídos na década
de 70 têm suas paredes exteriores decoradas
com mosaicos de pastilhas quadradas de
cerâmica dispostas em forma de contornos
quadrados cujos tamanhos e espessuras variam
de acordo com o número de pastilhas usadas.
As figuras a seguir apresentam exemplos
desses mosaicos:
usadas para este tipo de
decoração são vendidas
presas
a
cartelas
de
papelão.
Uma pessoa, que decidiu decorar os muros
de seu quintal com contornos quadrados,
comprou algumas dessas cartelas e cortou-as
em pedaços quadrados com 13 unidades de
lado. Depois, retirou algumas pastilhas de cada
pedaço, deixando um buraco quadrado, com 8
unidades de lado, no centro do quadrado maior,
obtendo os mosaicos prontos no papelão, antes
de fixa-los nos muros. Com quantas pastilhas
de cerâmica ficou cada mosaico?
B) 105
C) 115
do quadrado maior de um mosaico desse tipo, e
y o número de pastilhas em cada lado do
buraco quadrado em seu interior, qual das
alternativas expressa o número total de
pastilhas em cada mosaico?
A) x⋅(x–y)
B) y⋅(x–y)
C) (x+y)⋅(x–y)
D) x2 + 2xy + y2
E) x2 + y2 – xy
3. Outra pessoa montou um mosaico como
esse, usando exatamente 39 pastilhas de
cerâmica. Então, o número x de pastilhas, em
cada lado do quadrado maior do mosaico que o
garoto montou, pode ser igual a:
1. As pastilhas de cerâmica
A) 95
2. Sendo x o número de pastilhas em cada lado
D) 125
E) 161
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
4 Mack. Se x e y são números inteiros e
positivos, tais que x2 – y2 = 17, então:
A) x e y são primos entre si
B) x = 2y
C) x⋅y = 30
D) x = 3y
E) x – y = 2
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3º caso: Trinômio Quadrado Perfeito (TQP)
A2 + 2AB + B2 ≡ (A + B)2
A2 − 2AB + B2 ≡ (A − B)2
Se dois termos de um trinômio puderem ser escritos como potências de expoente 2 e, além disso, o
termo restante for igual a mais ou menos o dobro do produto das bases dessas potências, então este
trinômio pode ser escrito, numa forma fatorada, como o quadrado da soma ou da diferença das bases
daqueles termos que são potências de expoente 2, dependendo do sinal do termo restante:
Exemplos:
x2 + 2x + 1
≡ (x + 1)2
9 – 6x + x2
≡ (3
( 3 – x )2
4x2 + 1 – 4x
≡ (2
(2x – 1)2
Exercícios:
1. Fatore as seguintes expressões:
a) x2 – 12x + 36
4. No estudo da geometria analítica, uma
circunferência de raio r > 0 e centro (a, b) pode
ser descrita por uma equação da forma:
c) 9x2 + 30x + 100
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Verifique se as relações cartesianas a seguir
descrevem circunferências.
d) x4 – 50x2 + 625
a) x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0
b) 36 – 12x + x2
e) 4x2 + 8x + 16
f) x2 + x–2 + 2
2. Determine os valores das constantes k em
b) x2 + y2 – x – 7y = 0
cada expressão de forma que elas caracterizem
trinômios quadrados perfeitos:
a) x2 – 2x + k
b) x2 + 10x + k
c) x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0
c) x2 + 80x + k
d) x2 – 5x + k
e) x2 + x + k
d) x2 + y2 + 12x – 4y + 40 = 0
f) 4x2 + 6x + k
3. Determine os valores extremos das funções a
seguir, bem como os valores de x para os quais
essas funções assumem seus valores extremos:
a) y = x2 – 2x + 7
b) y = x2 + 10x + 2
c) y = x2 – x + 3
5 Unifesp. A equação x2+ y2+ 6x + 4y + 12 = 0,
em coordenadas cartesianas, representa uma
circunferência de raio 1 e centro:
A) (–6,4)
B) (6,4)
C) (3,2)
D) (–3,–2)
E) (6,–4)
d) y = –x2 – 6x + 2
e) y = 2x2 + 4x + 5
f) y = 6x – 9x2
6 Fuvest.
Fuvest. Sabendo que x, y e z são números
reais e (2x + y – z)2 +(x – y)2 +(z – 3)2 = 0 então,
x+y+z é igual a
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
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