Topologia Ex4 - WordPress.com

1◦ semestre 2015.
Universidade Federal do Paraná
Topologia Geral, EMA 749
Olivier Brahic
Lista de exercicios 4
Conexidade - Compacidade
Conexidade
Exercicio 1: Mostre que os espaços topológicos seguintes não são homeomorfos :
a) S 1 e [0, 1[,
b) [0, 1[ e R
c) S 1 e S 2 .
Exercicio 2: Mostre que qualquer função f : [0, 1] → [0, 1] admite um punto fixo (ou seja :
que existe t ∈ [0, 1] tal que f (t) = t). [dica : examine o signo de g(t) = f (t) − t]
Exercicio 3: Soponhando que a temperatura na superficia da terra é uma função contínua,
mostre que em qualquer momento, em qualquer meridiano, existem dois puntos antipodais de
mesma temperatura.
Exercicio 4: Admitindo que S 1 ×]0, 1[ não é homeomorfo a R2 , mostre que a esfera S 2 não é
homeomorfa ao plano projectivo real P2 (R).
Exercicio 5: Sera que (R, Tl ) é conexo ? Sera que [0, 1[⊂ R é conexo para a topologia induzuda
por Tl ? Sera que ]0, 1] ⊂ R é conexo para a topologia induzuda por Tl ?
Exercicio 6: Por bouquet de circulos, designemos qualquer espaço topologico que se obtém
ao colar uma coleção de círculos em um ponto.
um bouquet de dois círculos
Lembre que um espaço topológico (A, TA ) se mergulha num espaço topologico (X, TX ) se existe
uma injecção A ⊂ X tal que a topologia induzida coincide com TA .
a) desenha um circulo C mergulhado num torus T 2 , e tal que T 2 = C é connexo.
b) desenha um bouquet de dois círculos B mergulhado num torus, e tal que T 2 − B é connexo.
Exercicio 7: Mostre que Gln (R) não é connexo.
Exercicio 8: Mostre que se A ⊂ R é connexo, então o fecho A é connexo, mas o interior Å
não é conexo em geral.
Exercicio 9: Mostre que o cone de qualquer expaço é conexo.
Exercicio 10: Mostre que um espaço topológico (X, T ) é conexo se e somente se as única
funções contínuas f : X → {0, 1} são as funções constantes (onde {0, 1} é munido da topologia
discreta).
Exercicio 11: Se X e Y são homeomorfos, eles têm os mesmo número de componentes conexas.
1
Compacidade
Exercicio 12: Seja (X, T ) um espaço topológico e (xn )n∈N uma sequência de puntos de X.
Mostre que o subconjunto A = {x1 , x2 , x3 . . .} é compacto.
Exercicio 13: Consideremos o espaço topológico (R, , Tl ). Sera que [0, 1[⊂ R é compacto ?
Sera que [0, 1] ⊂ R é compacto ?
Exercicio 14: Seja (X, T ) um espaço topológico Hausdorff, e A, B ⊂ X. Se A e B são
compactos, mostre que A∩B é compacto. Sera que a hipótese de X ser hausdorff é necessária ?
Exercicio 15: Seja (X, T ) um espaço topológico Hausdorff, e A, B ⊂ X. Se A e B são
compactos, mostre que A ∪ B é compacto.
Exercicio 16: Lembre que o grafe de uma função f : R → R é o conjunto :
Graph(f) = {(x, f(x)) ∈ R2 | x ∈ R} ⊂ R2 .
Soponha que f é limitada. Mostre que f é contínua se e somente se Graph(f) é fechado em
R2 . Pois se f não é limitada ? [dicas : use sequências, olhe x 7→ 1/x]
Exercicio 17: Ache um espaço compacto mas não Hausdorff. Nesse exemplo, consegue um
subespaço compacto A ⊂ X tal que A não é fechado.
Exercicio 18: Ache um exemplo de que mostre que u lema do Tube não é verade jà que Y
não é compacto.
Exercicio 19: Seja (X, T ) um espaço segundo enumerável.
1. Mostre que para qualquer cobertura aberta U de X, pode-se extrair uma cobertura
aberta enumerável.
2. Mostre que X é compacto se e somente para qualquer sequência decrescente de fechados
não vazios :
· · · ⊂ F3 ⊂ F2 ⊂ F1 ⊂ X,
temos ∩n∈N Fn 6= ∅.
Exercicio 20: Mostre que se X é Hausdorff, e A ⊂ X é compacto, então o quociente X/A,
onde A é identificado a umm punto, é Hausdorff.
Exercicio 21: Mostre que o cone e a suspenção de um espaço topológico compacto são compactos.
Exercicio 22: Se (X, T ) é compacto e conexo, e f : X → R uma função contínua, mostre
que então f (X) = [m, M ], onde m, M ∈ R.
Exercicio 23:
1. Sera que qualquer função contínua e sobrejetiva f : S 1 → S 1 é um homeomorfismo ?
2. Mostre que S 1 não pode ser mergulhado em R.
3. Mostre que qualquer função contínua e injectiva f : S 1 → S 1 é um homeomorfismo
2