Equação e Função do 2º Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1
Função e Equação do
segundo grau
Vitor Bruno – Engenharia Civil
Função do Segundo Grau
Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a
função f: R R que associa, a cada número real x, o número
real ax² + bx + c, com a, b e c reais e a diferente de zero.
Exemplos:
F(x) = 2x² + 5x + 6, onde a = 2, b = 5, c = 6
F(x) = -x² + x – 1, onde a = -1, b = 1, c = -1
2/67
Gráfico da Função Quadrática
Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função
quadrática é representado por uma curva, à qual damos o
nome de parábola.
Exemplo:
3/67
Gráfico da Função Quadrática
4/67
Concavidade da Parábola
A concavidade de parábola está relacionada com o coeficiente
a. De modo que:
5/67
Gráfico de uma Função Quadrática
Posteriormente veremos que pode-se obter o gráfico de uma
equação quadrática através da obtenção das raízes, das
coordenadas do vértice, a classificação de Y do vértice e a
interseção da curva com o eixo Y.
6/67
Raízes da Função Quadrática
Quando fazemos ax² + bx + c = 0, isto é, y = f(x) = 0, podemos
encontrar valores de x Є R, aos quais denominamos raízes ou
zeros da função. Para isto, usaremos a seguinte equação:
7/67
A Importância do Delta (Δ)
Como já visto anteriormente o delta(Δ) é definido por:
Δ = b² - 4ac
Descobrindo-se o Δ é possível saber quantas raízes reais a
equação terá. Vejamos algumas situações:
(I) Para Δ < 0, a equação não tem raiz real;
(II) Para Δ = 0, a equação tem uma raiz real;
(III) Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais;
8/67
Raízes da Função Quadrática
Exemplo 1: Determinar os zeros das funções quadráticas
abaixo:
a) y = -x² + 2x + 3
b) y = x² - 2x + 1
c) y = -x² + x – 1
Exemplo 2 : O quadrado da minha idade menos a idade que
eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos
anos eu tenho agora?
9/67
Exercícios
Exemplo 3: Determinar os zeros das funções quadráticas
abaixo:
a)
b)
c)
d)
y = x² + 2x – 15
f(t) = t² - 9
y = x² + x – 2
y = x² - 2x
10/67
Soma e Produto
Podemos utilizar o método da soma e produto para resolver
uma equação do segundo grau e, assim, determinar as raízes
de uma função quadrática.
Soma das raízes
Produto das raízes
x’ + x’’ = -b/a
x’ . x’’ = c/a
Sendo ax² + bx + c = 0, dividindo-se tudo por a, obtemos:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0. Logo:
x² - Sx + P = 0
11/67
Soma e Produto
Exemplo 4: Determine a soma e o produto de 6x² - 9x + 3 = 0.
Em seguida encontre as raízes usando sistema de equações.
12/67
Exercícios
1. Determine as raízes das equações abaixo através do
método soma e produto.
a) x² + x – 2 = 0
b) x² + 3x + 1 = 0
c) x² - 7x + 10 = 0
13/67
Vértice da Parábola
O vértice V é representado pelo ponto de intersecção do eixo
de simetria com a própria parábola. Assim sendo, as
coordenadas do vértice V são:
14/67
Vértice da Parábola
Exemplo 5: Encontre as coordenadas do vértice para cada
função quadrática e classifique o Yv em máximo ou mínimo.
a) y = x² - 4x + 3
b) y = -x² - 10x + 11
15/67
Gráfico da Função Quadrática
Podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática através
dos seguintes passos:
1.
2.
3.
4.
Encontrar as raízes;
Encontrar as coordenadas do vértice;
Classificar o Yv;
Encontrar a intersecção da curva com o eixo Y.
16/67
Gráfico da Função Quadrática
Exemplo 6: Esboce o gráfico das funções abaixo.
a) y = 2x² - 3x + 1
b) y = -x² + x + 6
Comparar gráficos utilizando o GEOGEBRA!
17/67
Conjunto Imagem da Função Quadrática
O conjunto imagem da função quadrática y = ax² + bx + c é
determinado a partir da ordenada(Yv) da parábola.
Consideramos dois casos:
Se a > 0
Apresenta um ponto de
mínimo, em Yv. Assim:
Se a < 0
Apresenta um ponto de
máximo em Yv. Assim:
18/67
Conjunto Imagem da Função Quadrática
Exemplo 7: Determine o conjunto imagem das funções
quadráticas.
a) y = x² - 2x + 3
b) y = -x² + 6x + 9
19/67
Tópico Complementar
Esta seção visa abordar as equações biquadradas, posto que
estão intimamente relacionadas com as equações do segundo
grau.
Equação Biquadrada
Considere a equação:
a𝑥 4 + bx² + c = 0, se x² = y, temos ay² + by + c = 0, onde:
20/67
Equação Biquadrada
A resolução de uma equação biquadrada pode ser obtida da
seguinte maneira:
1. Substituir 𝑥 4 por y² e x² por y;
2. Resolver a equação ay² + by + c = 0
3. Determinar as raízes quadradas de cada uma das raízes da
equação ay² + by + c = 0, após isso, substituir
e
.
Obs: Cada raiz positiva da equação dá origem a duas raízes
simétricas para a biquadrada. Raiz negativa não dá origem
a nenhuma raiz para a biquadrada.
21/67
Equação Biquadrada
Composição da equação biquadrada:
Toda equação biquadrada de raízes x1, x2, x3 e x4 pode ser
composta pela seguinte fórmula:
22/67
Equação Biquadrada
Propriedades:
1. A soma das raízes da equação biquadrada é nula:
2. A soma dos quadrados das raízes reais da equação
biquadrada é igual a:
3. O produto das raízes reais e não-nulas de uma equação
biquadrada é igual a:
23/67
Equação Biquadrada
Exemplos: Resolva as equações biquadradas abaixo:
a) 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36 = 0
b) 9𝑥 4 − 13𝑥 2 + 4 = 0
c) 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 6 = 0
24/67
Obrigado pela atenção!
www.ufal.edu.br
www.facebook.com/PETEngenharias
25/67