Aula_18

Ricardo Ferreira Paraizo
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Aula 18
e-Tec Brasil – Matemática Instrumental
Vamos conhecer
mais sobre triângulos!
Meta
Apresentar a trigonometria básica.
Objetivos
Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
1. aplicar as relações trigonométricas (triângulo
retângulo);
2. aplicar o Teorema de Pitágoras;
3. aplicar a lei do seno e a lei do cosseno;
4. aplicar o teorema da área de um triângulo
qualquer.
A palavra “trigonometria” é formada por três radicais gregos: TRI (três), GONO
(ângulo) e METREIN (medir). Daí vem o seu significado: medida de triângulos. Tratase, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.
Apesar de os egípcios e os babilônios terem utilizado as relações existentes
entre lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas, foi a atração pelo
movimento dos astros que impulsionou a evolução da trigonometria. Daí que,
historicamente, a trigonometria surge muito cedo associada à Astronomia na
construção de relógios de sombra.
Figura 18.1: Existem vários tipos de relógios de sombra. A obtenção dos valores dos ângulos
entre as marcações dos horários e o consequente traçado do mostrador de um relógio clássico
podem ser feitos geometricamente ou através da utilização da trigonometria.
Hoje, a trigonometria é usada em muitas situações e não se limita apenas à
Astronomia e ao estudo de triângulos. Encontramos diferentes aplicações na
Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na
Música.
Agora vamos conhecer o triângulo retângulo e as suas relações trigonométricas.
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Aula 18 – Vamos conhecer mais sobre triângulos!
Breve histórico sobre a trigonometria
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O triângulo retângulo
O triângulo retângulo é formado utilizando-se dois lados perpendiculares entre si,
chamados de catetos (b e c), e um outro lado, chamado de hipotenusa (a). A partir
dessa forma, muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais
importantes é o Teorema de Pitágoras.
Figura 18.2: O triângulo retângulo. A soma dos ângulos α e β é igual a 90º.
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a
matemática. Com ele pode-se descobrir a medida de um lado de um triângulo
retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Pitágoras disse:
“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
Portanto: a2 = b2 + c2.
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Curiosidade
Pitágoras foi um filósofo e matemático grego que
nasceu no ano de 580 a.C., na cidade de Samos.
Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona
(colônia grega na península itálica), cujos princípios
foram determinantes para a evolução geral da
matemática e da filosofia ocidental, em que os
principais enfoques eram: harmonia matemática e a
doutrina dos números. Aliás, Pitágoras foi o criador
da palavra “filósofo”.
Segundo o pitagorismo, a essência, que é o
princípio fundamental que forma todas as coisas,
é o número. Os pitagóricos não distinguem forma,
lei e substância, considerando o número o elo entre
esses elementos. Para essa escola existiam quatro
elementos: terra, água, ar e fogo.
Em qualquer triângulo retângulo essa regra se aplica. Lembre-se de que triângulos
retângulos são triângulos que têm um ângulo interno medindo 90º. É possível
utilizar a regra de Pitágoras em praticamente todas as figuras geométricas planas,
pois de alguma forma elas podem ser divididas em triângulos.
Vamos ver o exemplo de um quadrado. Podemos determinar a medida da bissetriz
de um ângulo interno usando a mesma fórmula. Basta perceber que a
seria a hipotenusa de um triângulo inscrito no quadrado:
BISSETRIZ
BISSETRIZ
É a semi-reta que divide
um ângulo em dois
ângulos congruentes.
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450
Figura 18.3: Triângulo inscrito em um quadrado
de lados a e b.
Assim temos: h2 = a2 + b2.
Atividade
1
Atende ao Objetivo 2
Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 3 6 m?
Atividade
2
Atende ao Objetivo 2
O perímetro de um losango mede 20 cm e uma das diagonais mede 8 cm. Quanto
mede a outra diagonal?
Tendo como base o triângulo retângulo da Figura 18.2, podemos definir algumas
relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o
cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma:
Sendo a = Hipotenusa; b = Cateto adjacente ao ângulo α; c = Cateto oposto ao
ângulo α, podemos, então, definir:
sen α =
cateto oposto a α c
=
hipotenusa
a
cos α =
cateto adjacente a α b
=
hipotenusa
a
tg α =
cateto oposto a α
senα
c
=
=
cateto adjacente a α cos α b
Relações fundamentais da trigonometria
Agora vamos mostrar algumas relações importantes para a aplicação da trigonometria:
1. sen²α+cos²α = 1
Vamos mostrar a validade desta relação num triângulo ABC, retângulo em A.
Veja:
Consideremos um ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir:
Figura 18.4: Triângulo retângulo ABC, com um ângulo α de vértice C.
451
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Relações trigonométricas (triângulo retângulo)
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Lembrando o Teorema de Pitágoras, a² = b² + c², temos:
2
2
b² + c ² a²
 c
 b
=
=1
sen²α + cos² α =   +   =
 a
 a
a2
a²
2. sen α = cos (90° – α)
O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar. Vamos mostrar
a validade dessa igualdade num triângulo retângulo ABC. Consideremos um
ângulo α de vértice C, como mostra a figura a seguir:
Figura 18.5: Triângulo retângulo ABC.
Sabemos que α + β = 90°.
Daí temos: β = 90° - α.
c
c
Se sen α = e cos β = , logo senα = cosβ.
a
a
Ou seja, sen α = cos (90° - α).
Essa relação vale para qualquer ângulo.
Exemplos:
1. sen 30° = cos (90º - 30º) = cos 60º;
2. sen 20° = cos (90º - 20º) = cos 70º.
Atenção!
Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência em muitos problemas
de trigonometria. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos,
é mais conveniente usar os valores indicados na tabela a seguir:
Razão Trigonométrica
30o
45o
60o
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
Vejamos outros exemplos:
3. Calcule x na figura a seguir:
Figura 18.6: Projeto de uma peça metálica.
3
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454
Onde se deve fazer a inclinação para obter um ângulo de 25°?
Cateto oposto
20
=
Cateto adjacente
x
20
20
0, 466 =
⇒ x = 42, 91
⇒ 0, 466 x = 20 ⇒ x =
x
0, 466
tg 250 =
4. Calcule a altura do prédio indicado na figura a seguir:
Figura 18.7: Veja a trigonometria ajudando você a calcular uma distância inacessível!
tg 580 =
Cateto oposto
x
=
Cateto adjacente 27
1, 6
x
2
=
⇒ x = 1, 6 X 27 = 43,2
1
27
h = x + 1, 7
h = 43, 2 + 1, 7 = 44, 9 m
Atividade
3
Atende ao Objetivo 1
O triângulo ABC é retângulo em Â. Se o seno do ângulo B é 0.8, calcular a tg C$ .
Dica: sen B̂ = cos C$ .
Atividade
4
Atende aos Objetivos 1 e 2
Um TOPÓGRAFO e seu ajudante, equipados com trena e teodolito, veem o topo de
TOPÓGRAFO
um morro sob um ângulo de 60 com a horizontal e, quando recuam 100 m, veem
Indivíduo que se ocupa
da descrição minuciosa
de uma localidade ou das
configurações do relevo de
um terreno com a posição
de seus acidentes naturais
ou artificiais.
0
o topo do mesmo morro sob um ângulo de 30 (veja figura a seguir). Calcular:
0
O que seria dos topógrafos sem a trigonometria?
a. A distância x representada na figura.
b. A altura h do morro.
Atividade
5
Atende aos Objetivos 1 e 2
Sabendo-se que um cateto e a hipotenusa de um triângulo medem p e 2p,
respectivamente, calcule a tangente do ângulo oposto ao menor lado.
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456
Atividade
6
Atende ao Objetivo 1
Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3 m do solo, forma,
com essa parede, um ângulo de 30º. Calcule a distância da parede ao “pé” da
escada, em metros.
A trigonometria ajudando no cálculo de distância entre dois pontos.
Atividade
7
Atende ao Objetivo 1
Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo
de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h.
Após 3 horas de percurso, calcular a distância que o móvel se encontra da reta AC.
Triângulos quaisquer (lei dos senos e lei dos cossenos)
Já estudamos a resolução de triângulos retângulos. Agora estudaremos a resolução
de triângulos quaisquer. Para isso, é necessário conhecer a lei dos senos e a lei dos
cossenos, um conteúdo visto no 9o ano do ensino fundamental.
Nos problemas que envolvem ângulo(s) e lado(s) em triângulos quaisquer, podemos
observar duas situações:
1a – Temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado.
2a – Temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado.
Na primeira situação (em que temos dois ÂNGULOS e precisamos calcular um lado),
podemos usar a lei dos cossenos ou a lei dos senos (de preferência a lei dos senos).
A seguir, temos a fórmula da lei dos senos:
a
$
sen A
Figura 18.8: Lei dos senos.
=
b
sen B$
=
c
sen C$
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Na segunda situação (em que temos um ÂNGULO e precisamos calcular um lado),
devemos usar a lei dos cossenos. A seguir, temos as fórmulas da lei dos cossenos:
a² = b² + c² – 2.b.c.cos A
b² = a² + c² – 2.a.c.cos B
c² = a² + b² – 2.a.b.cos C
Figura 18.9: Lei dos cossenos.
Teorema da área de um triângulo qualquer
A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas de dois
de seus lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. A seguir, temos as
fórmulas para a área de um triângulo qualquer:
S=
1
a.b.sen C
2
S=
1
b.c.sen A
2
S=
1
a.c.sen B
2
Figura 18.10: Área de um triângulo qualquer.
Atividade
8
Atende ao Objetivo 3
A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa
d’água a 50 m de distância (veja figura a seguir). A casa está a 80 m de distância
da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-d’água/bomba e caixa
d’água/casa é de 600. Pretende-se bombear água do mesmo ponto de captação até
a casa; a distância que a casa está deste ponto vale:
a. 60 m
b. 70 m
c. 80,66 m
d. 90,55 m
e. 115,86 m
Para resolver este problema, você precisa pensar em qual lei poderá usar: lei dos
senos ou lei do cosseno?
Atividade
9
Atende ao Objetivo 4
Um jardineiro fez um canteiro triangular como o da figura adiante. Para regá-lo,
gasta 10 litros de água por m². Quantos litros de água ele vai gastar para regar
todo o canteiro?
Dados: AB = 4m e AC = 2 2 m;
sen 105° ≅ 0,97 (lê-se: seno de cento e cinco graus é igual a noventa e sete
centésimos)
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460
Resumindo...
• Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²
• Para resolver os problemas de trigonometria, precisamos saber onde aplicar
as relações trigonométricas de acordo com os dados dos problemas:
sen α =
cateto oposto a α c
=
hipotenusa
a
cos α =
cateto adjacente a α b
=
hipotenusa
a
tg α =
cateto oposto a α
sen α c
=
=
cateto adjacente a α cos α b
• Relações fundamentais da trigonometria: sen²α + cos²α = 1;
sen α = cos (90° – α).
Informação sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos estudar os Princípios Básicos de Estatística.
Respostas das Atividades
Atividade 1
O perímetro do quadrado é igual à soma dos seus lados. Vamos chamar este lado
de a. O perímetro será 4a.
Podemos ver que o triângulo ABD é retângulo em A. Aplicamos o Teorema de
Pitágoras neste triângulo:
(3 6 )
2
= a² + a² ⇒ 32 •
54 = 2a² ⇒ a² =
( 6)
2
= 2a² ⇒ 9 • 36 = 2a² ⇒ 9 • 6 = 2a²
54
⇒ a² = 9 ⇒ a = 27 ⇒ a = 9 • 3 ⇒ a = 9 • 3 ⇒ a = 3 3
2
Como o perímetro é 4•a, temos 4• 3 3 = 12 3 m.
Logo, o perímetro do quadrado é igual a 12 3 m.
Atividade 2
• O losango é um polígono com 4 lados iguais. Veja a figura:
• Podemos considerar d1 como a diagonal maior e
d2 como a diagonal menor (vamos calcular).
• Como o perímetro mede 20 cm, temos:
4a = 20
a = 20/4
a = 5 cm
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462
• As diagonais de um losango cruzam entre si formando ângulo de 90°.
• As diagonais de um losango se cruzam no ponto que as dividem ao meio.
• Temos então um triângulo retângulo ABE com as dimensões a seguir:
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
d 
5² = 4² +  2 
 2
25 = 16 +
25 − 16 =
(d2 )
2
(d2 )2
4
(d2 )2
4
2
9=
(d2 )
2
4
= 36 ⇒ d2 = 36 ⇒ d2 = 6 cm
Logo, a outra diagonal mede 6 cm.
Atividade 3
• Como B̂ e Ĉ são complementares ( B̂ + Ĉ = 90°), pode-se dizer que sen B̂ = cos Ĉ .
• Foi dito no enunciado da questão que sen B̂ = 0,8. Então cos Ĉ = 0,8.
• A relação fundamental da trigonometria diz que: sen² Ĉ + cos² Ĉ = 1.
• Então sen² Ĉ + (0,8)² = 1 ⇒ sen² Ĉ + 0,64 = 1 ⇒ sen² Ĉ = 1 -0,64 ⇒
sen² Ĉ = 0,36;
⇒ sen² Ĉ =
• tg Ĉ =
36
⇒ sen Ĉ =
100
sen Cˆ 0, 6
=
= 0, 75 .
cos Cˆ 0, 8
Logo, tg Ĉ = 0,75.
36
6
⇒ sen Ĉ =
= 0,6.
100
10
Atividade 4
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a. Para calcular x, vamos analisar os ângulos das figuras a seguir:
Figura 1
Figura 2
• α e 60° formam um ângulo raso; isso significa que (α + 60°)=180°.
Resolvendo a equação temos: α = 180 - 60° ⇒ α = 120°.
• Veja o triângulo BDC. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um
triângulo vale 180°. Vale dizer então que:
30°+α+β = 180° Como α já foi calculado anteriormente como sendo 120°,
então podemos ter:
30°+120°+β = 180°⇒ 150°+β = 180°⇒ β = 180° - 150°⇒ β = 30°.
• Veja agora a Figura 2, em que substituímos os valores encontrados.
• Podemos ver que o triângulo BDA é isósceles, pois os ângulos  e B̂ são
iguais. Então o segmento CD = BD = 100m
Veja como fica o triângulo BAD
Hipotenusa
Cateto Adjacente
Para encontrar o valor de x, temos que procurar uma relação que tem cateto
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adjacente e hipotenusa. Essa relação é:
Cateto adjacente
hipotenusa
x
cos 60° =
100
1
x
=
2 100
x = 50 m
cos 60° =
b. Para calcular a altura do morro, podemos usar o Teorema de Pitágoras.
A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
(100)² = 50² + h²
10000 = 2500 + h²
h² = 7500
h=
7500
h=
22 • 54 • 3 = 2 • 52 • 3 = 50 3 m.
Então, temos:
a, x = 50 m;
b, h = 50 3 m.
Atividade 5
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Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
(2p)² = p² + x²
4p² =p² +x²
x² = 4p² - p²
x² = 3p²
x = 3p2 ⇒ x = p 3
Podemos perceber que o menor lado é p. Pela geometria plana, o menor ângulo está
oposto ao menor lado. O menor lado é p; o ângulo oposto a esse lado é o ângulo
Ĉ . Então vamos calcular a tg Ĉ .
cateto oposto
p
1
1• 3
=
tgCˆ =
=
=
=
cateto adjacente p 3
3
3• 3
Logo, tgĈ =
3
.
3
3
3
=
3
9
Atividade 6
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Cateto adjacente
ao ângulo de 30°
Cateto oposto
ao ângulo de 30°
Para calcularmos a distância da parede ao pé da escada ( AB ), precisamos
encontrar o x.
Precisamos de uma relação que tem cateto oposto e cateto adjacente. No caso, será:
tg 30° =
cateto oposto
cateto adjacente
3 x
3 3
= ⇒ 3x = 3 3 ⇒ x =
⇒x= 3
3
3
3
A distância da parede ao “pé” da escada é igual a
3 m.
Atividade 7
Se o móvel tem a velocidade de 50 km/h e faz um percurso em 3 horas, podemos
calcular a distância percorrida usando a fórmula da velocidade, que é a variação do
espaço dividido pelo tempo:
V=
∆S
∆t
Onde:
V= Velocidade = 50 km/h
∆S = Espaço percorrido = ?
t = tempo de percurso = 3 horas
Substituindo os dados anteriores na fórmula, temos:
∆S
3
∆S = 150 km
50 =
Queremos calcular a distância BC = x
Temos na figura a hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo de 30°. Temos que usar
a razão:
cateto oposto
hipotenusa
x
sen 30° =
150
1
x
=
2 150
x = 75 km
sen 30° =
A distância que o móvel se encontra da reta AC é de 75 km.
Atividade 8
a=x
Você poderia resolver este problema pela lei dos senos se conhecesse o sen 20°.
Como o mesmo é desconhecido, é mais fácil resolvê-lo usando a lei do cosseno,
que vai depender apenas do cos 60°, que é conhecido da tabela de Razão
Trigonométrica dada nesta aula.
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Pela lei dos cossenos temos:
a² = b² + c² - 2•b•c•cosÂ
x² = 50² + 80² - 2•50•80•cos60°
1
x² = 2500 + 6400 -8000•
2
x² = 8900 - 4000 = 4900
x = 4900 = 70 m
A distância da casa até o ponto onde está a bomba d’água é 70 m.
Atividade 9
Primeiramente, precisamos calcular a área do canteiro ABC. Para isso, precisamos
calcular o ângulo  e aplicar o teorema da área.
1o Passo: cálculo do ângulo Â
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180°, temos:
 + B̂ + Ĉ = 180°. Substituindo B̂ e Ĉ nesta equação, temos:
 + 30 + 45 = 180
 + 75 = 180
 = 105
2o Passo: vamos aplicar o teorema da área
1
⋅ b.c.sen A$
2
1
S = ⋅ 2 2.4.sen 105°
2
S = 4 2.0, 97
S=
S = 3, 88 2
S = 3, 88.1, 41
S = 5, 47 m2
S = área do triângulo
A área do triângulo é de aproximadamente 5,47 m².
fazemos a regra de três
Em 1 m² gastam-se 10 litros de água.
Como são 5,47 m², gastamos x litros de água.
Em suma:
1 m²
-
10 litros
5,47 m²
-
x litros
x = 5,47.10 = 54,7 litros
Para regar todo o canteiro triangular, gastam-se 54,7 litros de água.
Referências bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações v.2. São Paulo: Ática,
1999.
IEZZI Gelson et al. Matemática v.1. 9. ed. São Paulo: Atual, 1981.
RUBINSTEIN, Cléa et al. Telecurso 2000: Matemática Ensino Médio v.2. Rio de
Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 2003.
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Aula 18 – Vamos conhecer mais sobre triângulos!
3o Passo: para saber quantos litros de água se vai gastar para regar todo o canteiro,