Geometria Espacial

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ
CAMPUS TUCURUÍ
Geometria Espacial
Alunos: Alexandre Aguiar
Marilda Pompeu
Patrícia Portela
Wirlan Lima
Turma: T210 – 3ME.
TUCURUÍ-PA
2010
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará – Campus Tucuruí
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GEOMETRIA ESPACIAL
Prisma
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as
bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais,
os prismas podem ser retos ou oblíquos.
Prisma reto
Aspectos comuns
Bases são regiões
poligonais congruentes
Prisma oblíquo
A altura é a distância
entre as bases
Arestas laterais são
paralelas com as
mesmas medidas
Faces laterais são
paralelogramos
Objeto
Prisma reto
Arestas laterais têm a mesma medida
são perpendiculares
Arestas laterais
ao plano da base
Faces laterais
são retangulares
Prisma oblíquo
têm a mesma medida
são oblíquas
ao plano da base
não são retangulares
Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:
Prisma
triangular
Prisma
quadrangular
Prisma
pentagonal
Prisma
hexagonal
Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono
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Seções de um prisma
Seção transversal: É a região poligonal obtida
pela interseção do prisma com um plano paralelo às
bases, sendo que esta região poligonal é congruente a
cada uma das bases.
Seção reta (seção normal): É uma seção
determinada por um plano perpendicular às arestas
laterais.
Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P
sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma
altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar
os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes
dos sólidos também serão iguais.
Prisma Regular
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.
Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um
triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja
base é um quadrado.
Planificação do Prisma
Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço
localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das
bases.
As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta
envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal
planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória
exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas
congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os
cálculos das áreas lateral e total.
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Volume de um prisma
O volume de um prisma é dado por:
Área lateral do prisma reto com base poligonal regular
A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal
regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste
caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral
como:
Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo
como base um polígono regular de n lados é tomar P como o perímetro desse
polígono e h como a altura do prisma.
Tronco do Prisma
Quando seccionamos um prisma por um plano
não paralelo aos planos das bases, a região espacial
localizada dentro do prisma, acima da base inferior e
abaixo do plano seccionante é denominado tronco de
prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma,
multiplicamos a média aritmética das arestas laterais do
tronco de prisma pela área da base.
Paralelepípedo
Paralelepípedo é um prisma que possui em suas bases um
paralelogramo. Sendo que o paralelepípedo é configurado pela reunião dos
seis paralelogramos que o constituem.
Paralelepípedo reto é aquele onde toda a projeção de sua face superior
cai sobre sua face inferior, ou seja faz um ângulo de 90º entre cada uma das
faces.
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Área do paralelepípedo
A área do paralelepípedo rectângulo é então dada por:
A = 2 (ab + ac + bc)
Cubo
Cubo é o paralelepípedo reto que tem todas as arestas congruentes.
Diagonal e área do cubo, se notarmos um cubo é formado por seis faces
quadradas, de lado n. Poderemos então concluir que sua área lateral total é de:
Alateral = 6n2
Para a diagonal do cubo deveremos considerar “a” a diagonal do lado e
d a diagonal principal.
Assim:
Para calcular f devemos efetuar o Teorema de Pitágoras com os lados
do cubo.
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Agora para a diagonal principal temos:
Observe que para o paralelepípedo retângulo a idéia é a mesma onde
encontramos:
Onde sua superfície lateral total é de :
2ab + 2bc + 2ac
E d (sua diagonal principal) é:
Volume do paralelepípedo e do cubo
Cubo:
Vcubo= n3
Paralelepípedo:
Vparalelepípedo= a.b.c
Pirâmide
Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e
um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide
são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado
de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide
corresponde ao número de lados do polígono da base.
Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas
laterais são congruentes, caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma
maneira mais fácil de identificar uma pirâmide reta é quanto o centro
da base da pirâmide está alinhado com o vértice superior da pirâmide, em
outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro do polígono na
base da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide oblíqua
é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do
polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela não
terminará no centro do polígono da base.
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Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide.
Os pontos A, B, C e V são os vértices.
Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.
O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base.
A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.
base.
Classificação
A classificação de uma pirâmide depende do número de arestas da região da área da
Base é um triângulo
Nome: pirâmide triangular
Número de faces: três faces laterais mais face da base, portanto, quatro faces.
Base é um quadrado
Nome: pirâmide quadrangular
Número de faces: quatro faces laterais mais face da base, portanto, cinco faces.
Base é um pentágono
Nome: pirâmide pentagonal
Número de faces: cinco faces laterais mais face da base, portanto, seis faces.
Base é um hexágono
Nome: pirâmide de base hexagonal
Número de faces: seis faces laterais mais face da base, portanto, sete faces.
Pirâmide triangular
Pirâmide quadrangular
Pirâmide pentagonal
Altura, apótema da base e apótema da pirâmide
h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base
Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²
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Ápotema da Base
Base Quadrada:
Base Triangular
Base Hexagonal
Área da base
A área da base de uma pirâmide depende da área do polígono em
questão, sendo calculada pela expressão:
Onde: P= perímetro do polígono
a= apótema da base
Área lateral
É a soma de todas as áreas
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laterais.
Área total
Soma da área lateral com a área da base.
At = Al + Ab
Volume
O volume de uma pirâmide é dado pela expressão:
Onde: Ab= área da base (depende do polígono)
h= altura da pirâmide
Planificação de uma pirâmide
Pirâmide triangular
Pirâmide quadrangular
Pirâmide pentagonal
Cilindro
Um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de
revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais
prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo
diâmetro ao longo de todo o comprimento.
Classificação dos cilindros
Cilindro circular reto
No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo
de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do
cilindro.
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O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução,
pois pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região retangular em torno
de um eixo.
Cilindro eqüilátero
O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro
equilátero.
No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.
Área e volume de um cilindro
Se o cilindro tem um raio r e uma altura h, o volume é:
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Área da base é:
Área lateral é
A área total é
Cone
Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de
reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra
extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada
por uma curva suave, a base).




altura: distância h do vértice V ao plano ;
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num
ponto da circunferência;
raio da base: raio R do círculo;
eixo de rotação:reta
do cone;
determinada pelo centro do círculo e pelo vértice
Classificação
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Os cones podem ser divididos em:
 Reto
 Oblíquo
 Equilátero
Reto
O cone é dito reto quando a sua base é uma circunferência e a reta que
liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base é perpendicular
ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face
lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice
superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses
pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é
a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cónica. Pode-se dizer
também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um
eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto. O eixo é
perpendicular á base.
Oblíquo
Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o
eixo é oblíquo ao plano da base.
Equilátero
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é
uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à
medida do diâmetro da base.
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Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que
contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
O triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
Área de um Cone
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um
setor circular de raio g e comprimento :
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
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b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de
sólidos de revolução. Observe a figura:
d = distância do
centro de gravidade
(CG) da sua
superfície ao eixo e
S=área da superfície
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície
gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:
Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela
rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância
do eixo de rotação. Logo:
Tronco de um cone
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base
circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura
geométrica espacial denominada Tronco de Cone.
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Observe que, diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas
bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa forma, os
cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone,
também está presente na composição do tronco de cone.
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a
medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são elementos distintos. A altura
do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos
formados são um agudo e um obtuso.
h = altura
g = geratriz
As fórmulas referentes ao cálculo da área superficial e do volume são as
seguintes:
Área Superficial
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Volume
Esfera
A esfera é obtida a partir da revolução da semicircunferência sobre um
eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.
A área de uma superfície esférica
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual:
Volume da esfera
Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume
representado pela seguinte equação:
Posição relativa entre plano e esfera

Plano secante à esfera
O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a
esfera passando pelo centro, temos duas partes de tamanhos iguais.
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
Plano tangente à esfera
O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo
de 90° com o eixo de simetria.

Plano externo à esfera
O plano e a esfera não possuem pontos em comum.
A esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a
Óptica (Física), a secção de uma esfera forma uma lente esférica, que são
objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem
grande importância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras
peças capazes de realizar movimentos circulares sobre eixos constituída de
esfera de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.
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