1 - O quadrado geométrico de Fibonacci - MTM

1 - O quadrado geométrico de Fibonacci
Em 1223, Fibonacci (Leonardo de Piza) descreve um dispositivo, ao mesmo tempo simples e
engenhoso e que permite estimar distâncias. Tal dispositivo, fundamentado na noção de
semelhança de triângulos, tornou-se conhecido como o Quadrado Geométrico de Fibonacci.
No desenho, a seguir, ilustramos uma aplicação do Quadrado Geométrico de
Fibonacci na estimativa da distância DF que supomos inacessível.
Consideremos ABCD um quadrado. Alinhamos os pontos D e C ao ponto F. Com D,
C e F colineares, mirando o ponto F a partir do ponto A, marcamos o ponto E. Em seguida,
anotamos o comprimento de BE que pode ser lido em um pedaço de uma régua
convenientemente ali colada.
Considerando as congruências dos ângulos nos triângulos ABE e AFD, concluímos
que os triângulos em questão são semelhantes (veja o anexo ** sobre semelhanças de
triângulos):
B̂ = D̂ = ângulo reto
BÂE = F̂ (alternos internos) ou AÊB = DÂF (alternos internos)
Da semelhança dos triângulos ABE e AFD, resulta as relações:
AF DF AD
=
=
AE AB BE
que, a partir delas, nos permite escrever:
DF =
AB  AD
BE
Considerando, por exemplo, o quadrado de lado medindo AB = AD = 50cm e a
leitura em BE = 75mm = 0,75cm, encontramos
DF =
50cm  50cm
= 3333,33cm = 33,33m.
0,75cm
A precisão da medida DF depende da precisão nos alinhamentos descritos
anteriormente e na leitura em BE. Por exemplo, supondo alinhamentos corretos, para uma
leitura BE = 0,70cm, com 0,5mm a menos do que o valor da leitura anterior, constatamos um
aumento em DF de um pouco mais de 3 metros.
Atividades de ensino
1 - A construção do quadrado evidencia, além das propriedades características do
quadrado, certas dificuldades práticas na sua construção, principalmente no que diz respeito
aos ângulos internos retos. Um “quadrado” mal feito, como por exemplo, com ângulos
internos não retos, poderá causar distorções na leitura de BE. Discutir com os alunos como
melhorar a precisão do Quadrado Geométrico de Fibonacci.
2 - Com alguns quadrados geométricos feitos é possível comparar as medidas
estimadas sobre um mesmo alvo. Dependendo do nível de ensino, cálculo de médias, desvios
podem ser utilizados sobre os dados colhidos pelos próprios alunos o que é um fato bastante
estimulante para eles.
Neste tipo de atividade o uso de calculadoras é bem vindo: fazer todas as contas
propostas sem o uso de uma calculadora torna a atividade enfadonha. Algumas calculadoras
possibilitam o cálculo da média e do desvio padrão diretamente. A conveniência desta
facilidade deve ser avaliada pelo professor.
Esta atividade pode ser desenvolvida sobre um mesmo alvo, com apenas um quadrado,
dividindo a classe em grupos ou com vários quadrados, um para cada equipe. É interessante,
para evitar a sugestão, que cada aluno faça a sua medida sem comunicar aos colegas até que
todos já tenha feitos as suas leituras.
Noções matemáticas envolvidas
Destacamos as seguintes noções que podem estar envolvidas dependendo do tipo de atividade
mediada pelo professor: identificação de algumas características do quadrado, semelhança de
triângulo, medidas de segmentos, precisão e noções de estatística (média, desvio padrão).
2 - A parábola
Um pouco de história
A parábola
A parábola é definida a partir de um ponto dado e uma reta qualquer que não inclua
este ponto. A reta é chamada de diretriz e o ponto de foco.
Seja d a reta diretriz e F o foco. Chamamos de parábola a curva obtida pela reunião de
todos os pontos igualmente distantes de F e d:
Para um ponto qualquer P da parábola, conforme mostra a ilustração
devemos ter FP  PP'.
O instrumento
Os desenhos a seguir ilustram o instrumento que iremos descrever.
Lapis
Foco
Fio
Esquadro
Diretriz
Régua
O fio (um pedaço de barbante) é fixado em F (foco) e em A e deve ter o mesmo
comprimento de AB. Deste modo teremos, conforme é exigido pela definição da parábola,
BP = FP.
Mantendo a ponta do lápis em contato com o fio na lateral do esquadro, conforme
indica a figura, deslizamos o esquadro para a esquerda para desenhar parte da parábola à
direita.
Para desenhar a outra parte, conforme indica a figura seguinte, deslizamos o esquadro
para à direita.
Algumas aplicações práticas
Um objeto que vem rapidamente à tona é a antena parabólica. O receptáculo da antena
é parte de uma superfície chamada de paraboloide que pode ser obtida através do giro de uma
parábola em torno do seu eixo. A seguir, reproduzimos uma das linhas deste paraboloide e o
esquema da propriedade de reflexão da parábola onde a reta t é tangente à parábola em p e
  .

Fo
co
p

Eixo
Foco
t
Propriedade de reflexão
As ondas (sinais), paralelas ao eixo da parábola, ao tocarem a parede interna do
receptáculo (em p, por exemplo) são refletidas na direção do aparelho de recepção que está
localizado no foco. Estes sinais são decodificados e transformam-se, por exemplo, em
imagens na televisão.
No desenho do espelho de muitos faróis o princípio utilizado é o mesmo. Para
construir tal espelho, uma parábola é girada em torno do seu eixo, formando uma superfície
de revolução que é pintada com tinta prateada para criar uma parede refletora. Uma fonte de
luz colocada no foco irradia luzes que ao chocarem-se nas paredes internas do farol são
refletidas paralelamente formando um facho de luz.
O mesmo princípio refletor da parábola é utilizado nos telescópios e em fornos solares.
3 - O Trissector de Pascal
Descreveremos a seguir um instrumento que permite trisseccionar um ângulo, ou seja,
dividir um ângulo dado em três ângulos de mesma medida. O seu idealizador foi Blaise
Pascal, importante matemático nascido na França e que viveu no período de 1623 a 1662.
Um pouco de história
O instrumento
O instrumento é constituído de barras articuladas, conforme ilustração seguinte:
sendo PA  PO  OB.
Por construção, os triângulos PAO e OAB são isósceles de bases, respectivamente,
PO e OB.
Os elementos que constituem o dispositivo devem estar articulados de modo a permitir
os movimentos sugeridos nas ilustrações a seguir.
Considerando  o ângulo em P e lembrando que os triângulos PAO e OAB são
isósceles e que a soma dos ângulos internos em cada triângulo vale 180o, devemos ter a
seguinte distribuição dos ângulos no dispositivo:
Nesta figura temos x = 3 e, portanto,  é uma das três partes da trissecção do ângulo
x.
4 - O dispositivo de Peaucellier
http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/137ogg.htm
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono2/Peaucellier.html
5 - A cruz de lenhador
A cruz de lenhador é um instrumento feito em madeira que era utilizado pelos
lenhadores para estimar a altura de árvores.
Este instrumento consiste em dois pedaços de madeira de 20cm cada fixados conforme
indica a figura a seguir.
6 - A calculadora de Neper