Axioma da Completude e Teorema do Confronto

Bases Matemáticas
Aula 19 – Axioma da Completude e Teorema do Confronto
Rodrigo Hausen
v. 2014-9-5
1/24
Definição dos números reais
Vimos na aula 7 parte da definição dos reais.
Definição 1
O conjunto R dos números reais é aquele que satisfaz as três
condições abaixo:
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Definição dos números reais
Vimos na aula 7 parte da definição dos reais.
Definição 1
O conjunto R dos números reais é aquele que satisfaz as três
condições abaixo:
1) axiomas de corpo (possui operações de soma “+” e
produto “⋅” com as propriedades A1–A9 da seção 3.3.1)
v. 2014-9-5
2/24
Definição dos números reais
Vimos na aula 7 parte da definição dos reais.
Definição 1
O conjunto R dos números reais é aquele que satisfaz as três
condições abaixo:
1) axiomas de corpo (possui operações de soma “+” e
produto “⋅” com as propriedades A1–A9 da seção 3.3.1)
2) axiomas de ordem (possui relação de ordem total “≤” com
as propriedades A10–A11 da seção 3.3.1)
v. 2014-9-5
2/24
Definição dos números reais
Vimos na aula 7 parte da definição dos reais.
Definição 1
O conjunto R dos números reais é aquele que satisfaz as três
condições abaixo:
1) axiomas de corpo (possui operações de soma “+” e
produto “⋅” com as propriedades A1–A9 da seção 3.3.1)
2) axiomas de ordem (possui relação de ordem total “≤” com
as propriedades A10–A11 da seção 3.3.1)
3) axioma de completude (“molho secreto” que o diferencia
dos racionais)
Pelo estudo de sequências, podemos fazer o tal molho secreto.
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Convergência implica restrição
Demonstramos na aula passada:
Teorema 1
∞
(an )∞
n=1 convergente ⇒ (an )n=1 restrita
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3/24
Convergência implica restrição
Demonstramos na aula passada:
Teorema 1
∞
(an )∞
n=1 convergente ⇒ (an )n=1 restrita
Ou seja, demonstramos que se lim an = L então existe um número
n→∞
real M tal que −M ≤ an ≤ M.
v. 2014-9-5
3/24
Convergência implica restrição
Demonstramos na aula passada:
Teorema 1
∞
(an )∞
n=1 convergente ⇒ (an )n=1 restrita
Ou seja, demonstramos que se lim an = L então existe um número
n→∞
real M tal que −M ≤ an ≤ M.
Como a contrapositiva é equivalente à implicação original, temos:
Corolário 1
∞
(an )∞
n=1 não restrita ⇒ (an )n=1 não convergente
v. 2014-9-5
3/24
Convergência implica restrição
Demonstramos na aula passada:
Teorema 1
∞
(an )∞
n=1 convergente ⇒ (an )n=1 restrita
Ou seja, demonstramos que se lim an = L então existe um número
n→∞
real M tal que −M ≤ an ≤ M.
Como a contrapositiva é equivalente à implicação original, temos:
Corolário 1
∞
(an )∞
n=1 não restrita ⇒ (an )n=1 não convergente
O que podemos dizer sobre a recíproca da implicação original?
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Apenas restrição não implica convergência
∞
Observe a sequência ((−1)n )n=1 .
ela é restrita?
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Apenas restrição não implica convergência
∞
Observe a sequência ((−1)n )n=1 .
ela é restrita? Sim, pois −1 ≤ (−1)n ≤ 1.
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4/24
Apenas restrição não implica convergência
∞
Observe a sequência ((−1)n )n=1 .
ela é restrita? Sim, pois −1 ≤ (−1)n ≤ 1.
ela é convergente?
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4/24
Apenas restrição não implica convergência
∞
Observe a sequência ((−1)n )n=1 .
ela é restrita? Sim, pois −1 ≤ (−1)n ≤ 1.
ela é convergente? Não, pois demonstramos na aula passada
que ela não se aproxima de nenhum número real.
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4/24
Apenas restrição não implica convergência
∞
Observe a sequência ((−1)n )n=1 .
ela é restrita? Sim, pois −1 ≤ (−1)n ≤ 1.
ela é convergente? Não, pois demonstramos na aula passada
que ela não se aproxima de nenhum número real.
∞
É falsa a implicação “(an )∞
n=1 restrita ⇒ (an )n=1 convergente”
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4/24
Apenas restrição não implica convergência
∞
Observe a sequência ((−1)n )n=1 .
ela é restrita? Sim, pois −1 ≤ (−1)n ≤ 1.
ela é convergente? Não, pois demonstramos na aula passada
que ela não se aproxima de nenhum número real.
∞
É falsa a implicação “(an )∞
n=1 restrita ⇒ (an )n=1 convergente”
Será que podemos adicionar alguma condição para tornar
verdadeira a implicação abaixo?
∞
(an )∞
n=1 restrita e _____ ⇒ (an )n=1 convergente
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
-
q
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
-
q
q
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
-
q
qq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
-
q
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qq
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqq
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqqq
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqqqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqqqqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqqqqqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqqqqqqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qq
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qq
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qq
qq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qq
qqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qq
qqq
qqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qq
qqq
q
qqqq
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qq
qqqq
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qqq
qqqq
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qqqq
qqqq
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
qqqq
qqqq
q
q
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
qq
qqqq
qqqq
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
qqqqq
qqq
q
q
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
qqqqqq
qqq
q
q
q
q
-
qqq
−M
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5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
qqqqqqq
qqq
q
q
q
q
-
qqq
−M
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
qqqqqqqq
qqq
q
q
q
q
-
qqq
−M
v. 2014-9-5
5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
q
q
q
q
-
qqq
−M
v. 2014-9-5
5/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (an ) uma sequência restrita que é crescente ou
não-decrescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ an ≤ M para todo n (restrita)
an ≤ an+1 para todo n (não-decrescente)
M 6
A
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqq
qqq
qqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
q
q
q
q
-
qqq
−M
v. 2014-9-5
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
v. 2014-9-5
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Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
q
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
q
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
-
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
q
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
q
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
q
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
q
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
q
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
q
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqqqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqqqqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqqqqqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqqqqqqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
−M
v. 2014-9-5
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Seja (bn ) uma sequência restrita que é decrescente ou
não-crescente. Então:
existe M real tal que −M ≤ bn ≤ M para todo n (restrita)
bn ≥ bn+1 para todo n (não-crescente)
M 6
q
qqq
q
B
−M
v. 2014-9-5
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qqq
qq
qqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
6/24
Sequências restritas que são monótonas
Gráfico de sequência restrita e monótona:
M 6
A
M 6
q
q
qqq
−M
v. 2014-9-5
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qq
qqqq
qqq
qq
qqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
-
ou
B
−M
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qqq
qqq
q
qqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
7/24
Sequências restritas que são monótonas
Gráfico de sequência restrita e monótona:
M 6
A
M 6
q
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qq
qq
qqqq
qqq
qq
qqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
-
q
qqq
ou
B
−M
−M
q
q
qqqqqqqqqqq
q
qqq
qqq
q
qqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
Isto nos motiva a afirmar que:
∞
(an )∞
n=1 restrita e monótona ⇒ (an )n=1 convergente
Note que ainda não temos uma demonstração de que isto é
verdade!
v. 2014-9-5
7/24
Axioma de completude
Infelizmente, apenas com os axiomas de corpo e de ordem, não é
possível demonstrar a afirmação “(an )∞
n=1 restrita e monótona ⇒
(an )∞
convergente”
n=1
v. 2014-9-5
8/24
Axioma de completude
Infelizmente, apenas com os axiomas de corpo e de ordem, não é
possível demonstrar a afirmação “(an )∞
n=1 restrita e monótona ⇒
(an )∞
convergente”
n=1
Felizmente, precisávamos de algo na definição dos números reais
para distingui-los dos racionais. Este “algo” é o que chamamos de
axioma de completude.
Definição 2 (Axioma de completude)
Seja K um conjunto de números e (an )∞
n=1 uma sequência tal que
an ∈ K. Dizemos que o conjunto K é completo se a implicação
abaixo é válida:
(an )∞
n=1 restrita e monótona ⇒ an converge para um número em K
v. 2014-9-5
8/24
Axioma de completude
Infelizmente, apenas com os axiomas de corpo e de ordem, não é
possível demonstrar a afirmação “(an )∞
n=1 restrita e monótona ⇒
(an )∞
convergente”
n=1
Felizmente, precisávamos de algo na definição dos números reais
para distingui-los dos racionais. Este “algo” é o que chamamos de
axioma de completude.
Definição 2 (Axioma de completude)
Seja K um conjunto de números e (an )∞
n=1 uma sequência tal que
an ∈ K. Dizemos que o conjunto K é completo se a implicação
abaixo é válida:
(an )∞
n=1 restrita e monótona ⇒ an converge para um número em K
Obs.: Há diferentes maneiras de enunciar o Axioma de
Completude. Todas elas são equivalentes.
v. 2014-9-5
8/24
Definição dos reais
Definição 3
O conjunto R dos números reais é aquele que satisfaz as três
condições abaixo:
1) axiomas de corpo (possui operações de soma “+” e
produto “⋅” com as propriedades A1–A9 da seção 3.3.1)
2) axiomas de ordem (possui relação de ordem total “≤” com
as propriedades A10–A11 da seção 3.3.1)
3) axioma de completude: toda sequência de números reais que é
restrita e monótona converge para um número real.
v. 2014-9-5
9/24
Consequências do axioma de completude
1 n
A sequência com termo en = (1 + ) é crescente e restrita
n
(demonstramos nas duas aulas anteriores), logo ela é convergente.
v. 2014-9-5
10/24
Consequências do axioma de completude
1 n
A sequência com termo en = (1 + ) é crescente e restrita
n
(demonstramos nas duas aulas anteriores), logo ela é convergente.
Definição 4 (Número de Euler)
1 n
Seja e o número tal que e = lim (1 + )
n→∞
n
v. 2014-9-5
10/24
Consequências do axioma de completude
1 n
A sequência com termo en = (1 + ) é crescente e restrita
n
(demonstramos nas duas aulas anteriores), logo ela é convergente.
Definição 4 (Número de Euler)
1 n
Seja e o número tal que e = lim (1 + )
n→∞
n
Definição 5 (Função exponencial natural)
A função exp é definida da seguinte forma:
exp ∶ R → R∗+
x
v. 2014-9-5
↦ exp(x ) = e x
10/24
Consequências do axioma de completude
1 n
A sequência com termo en = (1 + ) é crescente e restrita
n
(demonstramos nas duas aulas anteriores), logo ela é convergente.
Definição 4 (Número de Euler)
1 n
Seja e o número tal que e = lim (1 + )
n→∞
n
Definição 5 (Função exponencial natural)
A função exp é definida da seguinte forma:
exp ∶ R → R∗+
x
↦ exp(x ) = e x
Definição 6 (Função logarítmica natural)
A função ln é a inversa de exp.
v. 2014-9-5
10/24
Consequências do axioma de completude
Todo número real possui uma representação na base decimal. A sua
representação mais curta será:
finita ou infinita com dízima periódica: se o número é racional
infinita com dízima não-periódica: se o número é irracional
v. 2014-9-5
11/24
Consequências do axioma de completude
Todo número real possui uma representação na base decimal. A sua
representação mais curta será:
finita ou infinita com dízima periódica: se o número é racional
infinita com dízima não-periódica: se o número é irracional
√
Exemplo: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
... e a
√
sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na base
decimal truncada a n algarismos.
q1 = 1,4 ; q2 = 1,41 ; q3 = 1,414 ;
v. 2014-9-5
11/24
Consequências do axioma de completude
Todo número real possui uma representação na base decimal. A sua
representação mais curta será:
finita ou infinita com dízima periódica: se o número é racional
infinita com dízima não-periódica: se o número é irracional
√
Exemplo: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
... e a
√
sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na base
decimal truncada a n algarismos.
q1 = 1,4 ; q2 = 1,41 ; q3 = 1,414 ; . . . q12 = 1,414213562373 ;
q13 = 1,4142135623730 ; . . .
v. 2014-9-5
11/24
Consequências do axioma de completude
Todo número real possui uma representação na base decimal. A sua
representação mais curta será:
finita ou infinita com dízima periódica: se o número é racional
infinita com dízima não-periódica: se o número é irracional
√
Exemplo: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
... e a
√
sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na base
decimal truncada a n algarismos.
q1 = 1,4 ; q2 = 1,41 ; q3 = 1,414 ; . . . q12 = 1,414213562373 ;
q13 = 1,4142135623730 ; . . .
Veja que qn ≤ qn+1 e 1,4 ≤ qn ≤ 1,5 para todo n.
v. 2014-9-5
11/24
Consequências do axioma de completude
Todo número real possui uma representação na base decimal. A sua
representação mais curta será:
finita ou infinita com dízima periódica: se o número é racional
infinita com dízima não-periódica: se o número é irracional
√
Exemplo: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
... e a
√
sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na base
decimal truncada a n algarismos.
q1 = 1,4 ; q2 = 1,41 ; q3 = 1,414 ; . . . q12 = 1,414213562373 ;
q13 = 1,4142135623730 ; . . .
Veja que qn ≤ qn+1 e 1,4 ≤ qn ≤ 1,5 para todo n. Ou seja, a sequência é
monótona e restrita, logo é convergente e, portanto, lim qn é um
n→∞
número real.
Note que qn ∈ Q, mas demonstraremos mais à frente que lim qn não é
n→∞
um número racional. Isto mostra que os racionais não satisfazem o
axioma de completude!
v. 2014-9-5
11/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
v. 2014-9-5
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
v. 2014-9-5
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
v. 2014-9-5
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
v. 2014-9-5
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
v. 2014-9-5
n→∞
lim (an − bn ) = A − B
n→∞
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
n→∞
lim (an − bn ) = A − B
n→∞
lim (an ⋅ bn ) = A ⋅ B
n→∞
v. 2014-9-5
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
lim (an ⋅ bn ) = A ⋅ B
n→∞
v. 2014-9-5
n→∞
lim (an − bn ) = A − B
n→∞
lim (c ⋅ an ) = c ⋅ A
n→∞
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
lim (an ⋅ bn ) = A ⋅ B
n→∞
n→∞
lim (an − bn ) = A − B
n→∞
lim (c ⋅ an ) = c ⋅ A
n→∞
lim (an /bn ) = A/B se B ≠ 0
n→∞
v. 2014-9-5
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
lim (an ⋅ bn ) = A ⋅ B
n→∞
lim (an /bn ) = A/B se B ≠ 0
n→∞
v. 2014-9-5
n→∞
lim (an − bn ) = A − B
n→∞
lim (c ⋅ an ) = c ⋅ A
n→∞
lim ∣an ∣ = ∣A∣
n→∞
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
lim (an ⋅ bn ) = A ⋅ B
n→∞
lim (an /bn ) = A/B se B ≠ 0
√
√
k
k ímpar, lim k an = A
n→∞
n→∞
lim (an − bn ) = A − B
n→∞
lim (c ⋅ an ) = c ⋅ A
n→∞
lim ∣an ∣ = ∣A∣
n→∞
n→∞
v. 2014-9-5
12/24
O que sabemos sobre limites até agora?
Propriedade 1: Se uma sequência tem limite, então ele é único.
Propriedade 2: Se uma sequência é convergente, então é restrita.
(mas nem toda sequência restrita é convergente)
Axioma de Completude: Nos reais, se uma sequência é
monótona e restrita, então ela é convergente.
Propriedades algébricas: Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
lim (an + bn ) = A + B
n→∞
lim (an ⋅ bn ) = A ⋅ B
n→∞
lim (an /bn ) = A/B se B ≠ 0
√
√
k
k ímpar, lim k an = A
n→∞
n→∞
v. 2014-9-5
n→∞
lim (an − bn ) = A − B
n→∞
lim (c ⋅ an ) = c ⋅ A
n→∞
lim ∣an ∣ = ∣A∣
n→∞
k par e an ≥ 0, lim
n→∞
√
k
an =
√
k
A
12/24
Exercício
sen(n)
.
n→∞
n
Calcule lim
v. 2014-9-5
13/24
Exercício
sen(n)
.
n→∞
n
Calcule lim
Não podemos aplicar nenhuma regra algébrica. Vamos tentar
estimar o limite pelo gráfico da sequência no plano, e demonstrar
usando a definição.
v. 2014-9-5
13/24
Exercício
sen(n)
.
n→∞
n
Calcule lim
Não podemos aplicar nenhuma regra algébrica. Vamos tentar
estimar o limite pelo gráfico da sequência no plano, e demonstrar
usando a definição.
sen(n)
n
v. 2014-9-5
(continua...)
13/24
Exercício
sen(n)
.
n→∞
n
Calcule lim
Não podemos aplicar nenhuma regra algébrica. Vamos tentar
estimar o limite pelo gráfico da sequência no plano, e demonstrar
usando a definição.
1/
n
sen(n)
n
−1/n
v. 2014-9-5
(continua...)
13/24
(continuação)
Note que − n1 ≤
sen(n)
n
≤
1
n
e que ambas as sequências − n1 e
convergem para 0. Parece que
v. 2014-9-5
sen(n)
n
1
n
deve convergir para 0.
14/24
(continuação)
Note que − n1 ≤
sen(n)
n
≤
1
n
e que ambas as sequências − n1 e
convergem para 0. Parece que
sen(n)
n
1
n
deve convergir para 0.
sen(n)
A partir daqui, precisaríamos demonstrar que lim
=0
n→∞
n
usando apenas a definição de limite. Felizmente, há um jeito mais
fácil!
v. 2014-9-5
14/24
Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche)
Sejam (an )n=1 ∞ , (cn )∞
n=1 sequências tais que:
an ≤ cn para todo n > N
v. 2014-9-5
15/24
Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche)
Sejam (an )n=1 ∞ , (cn )∞
n=1 sequências tais que:
an ≤ cn para todo n > N
lim an = L e
n→∞
v. 2014-9-5
lim cn = L
n→∞
15/24
Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche)
Sejam (an )n=1 ∞ , (cn )∞
n=1 sequências tais que:
an ≤ cn para todo n > N
lim an = L e
n→∞
lim cn = L
n→∞
L
N
v. 2014-9-5
15/24
Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche)
Sejam (an )n=1 ∞ , (cn )∞
n=1 sequências tais que:
an ≤ cn para todo n > N
lim an = L e
n→∞
lim cn = L
n→∞
L
N
Seja (bn )∞
n=1 tal que an ≤ bn ≤ cn para todo n > N.
v. 2014-9-5
15/24
Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche)
Sejam (an )n=1 ∞ , (cn )∞
n=1 sequências tais que:
an ≤ cn para todo n > N
lim an = L e
n→∞
lim cn = L
n→∞
L
N
Seja (bn )∞
n=1 tal que an ≤ bn ≤ cn para todo n > N.
Então: lim bn = L.
n→∞
v. 2014-9-5
15/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.36 Demonstre que lim
n→∞
v. 2014-9-5
sen(n)
= 0.
n
16/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.36 Demonstre que lim
n→∞
sen(n)
= 0.
n
Solução: Como −1 ≤ sen(n) ≤ 1,
v. 2014-9-5
16/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.36 Demonstre que lim
n→∞
sen(n)
= 0.
n
Solução: Como −1 ≤ sen(n) ≤ 1, então
v. 2014-9-5
−1 sen(n) 1
≤
≤ .
n
n
n
16/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.36 Demonstre que lim
n→∞
sen(n)
= 0.
n
Solução: Como −1 ≤ sen(n) ≤ 1, então
lim
n→∞
v. 2014-9-5
1
=0
n
e
−1 sen(n) 1
≤
≤ .
n
n
n
1
lim − = 0
n
n→∞
16/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.36 Demonstre que lim
n→∞
sen(n)
= 0.
n
Solução: Como −1 ≤ sen(n) ≤ 1, então
lim
n→∞
1
=0
n
e
1
lim − = 0
n
n→∞
Pelo Teorema do Confronto, lim
n→∞
v. 2014-9-5
−1 sen(n) 1
≤
≤ .
n
n
n
sen(n)
=0 ∎
n
16/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1.
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0.
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
0 < rn
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
1
0 < rn =
(1 + α)n
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
1
1
0 < rn =
<
(1 + α)n 1 + nα
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
1
1
1
0 < rn =
<
<
(1 + α)n 1 + nα nα
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
1
1
1
0 < rn =
<
<
(1 + α)n 1 + nα nα
Ou seja 0 < r n <
v. 2014-9-5
1
.
nα
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
1
1
1
0 < rn =
<
<
(1 + α)n 1 + nα nα
Ou seja 0 < r n <
v. 2014-9-5
1
. Como lim 0 = 0
n→0
nα
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
1
1
1
0 < rn =
<
<
(1 + α)n 1 + nα nα
Ou seja 0 < r n <
v. 2014-9-5
1
. Como lim 0 = 0 e
n→0
nα
lim
n→0
1
1
=0⋅
nα
α
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
8.35 Demonstre que, se 0 < r < 1, então lim r n = 0.
n→∞
Solução: Como 0 < r < 1, então 1/r > 1. Vamos escrever
1/r = 1 + α, para algum α > 0. Assim, r = 1/(1 + α).
Pelo exercício 8.35, temos que (1 + α)n > 1 + nα, logo:
1
1
1
0 < rn =
<
<
(1 + α)n 1 + nα nα
1
1
1
. Como lim 0 = 0 e lim
=0⋅ =0
n→0
n→0 nα
nα
α
pelo Teorema do Confronto, lim r n = 0 ∎
Ou seja 0 < r n <
n→∞
v. 2014-9-5
17/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
v. 2014-9-5
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
v. 2014-9-5
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2,
v. 2014-9-5
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale 0 < sen(1/n) < 1/n.
v. 2014-9-5
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale 0 < sen(1/n) < 1/n.
lim 0 = 0
n→∞
v. 2014-9-5
e
lim 1/n = 0
n→∞
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale 0 < sen(1/n) < 1/n.
lim 0 = 0
n→∞
e
lim 1/n = 0
n→∞
Pelo Teorema do Confronto, lim sen(1/n) = 0 ∎
n→∞
v. 2014-9-5
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale 0 < sen(1/n) < 1/n.
lim 0 = 0
n→∞
e
lim 1/n = 0
n→∞
Pelo Teorema do Confronto, lim sen(1/n) = 0 ∎
n→∞
√
Consequência deste resultado: como cos(1/n) =
1 − sen(1/n) > 0 para n > 0, então
v. 2014-9-5
1 − sen(1/n) e
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale 0 < sen(1/n) < 1/n.
lim 0 = 0
n→∞
e
lim 1/n = 0
n→∞
Pelo Teorema do Confronto, lim sen(1/n) = 0 ∎
n→∞
√
Consequência deste resultado: como cos(1/n) =
1 − sen(1/n) > 0 para n > 0, então
1 − sen(1/n) e
lim cos(1/n) =
n→∞
v. 2014-9-5
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale 0 < sen(1/n) < 1/n.
lim 0 = 0
n→∞
e
lim 1/n = 0
n→∞
Pelo Teorema do Confronto, lim sen(1/n) = 0 ∎
n→∞
√
Consequência deste resultado: como cos(1/n) =
1 − sen(1/n) > 0 para n > 0, então
√
lim cos(1/n) = lim 1 − sen(1/n) =
n→∞
v. 2014-9-5
1 − sen(1/n) e
n→∞
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.37 Demonstre que lim sen ( ) = 0.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
0 < sen(x ) < x
(exercício resolvido 8.37)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale 0 < sen(1/n) < 1/n.
lim 0 = 0
n→∞
e
lim 1/n = 0
n→∞
Pelo Teorema do Confronto, lim sen(1/n) = 0 ∎
n→∞
√
Consequência deste resultado: como cos(1/n) =
1 − sen(1/n) > 0 para n > 0, então
√
lim cos(1/n) = lim 1 − sen(1/n) = 1
n→∞
v. 2014-9-5
1 − sen(1/n) e
n→∞
18/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.38 Demonstre que lim n sen ( ) = 1.
n→∞
n
v. 2014-9-5
19/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.38 Demonstre que lim n sen ( ) = 1.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
1
sen(x )
<
cos(x ) <
x
cos(x )
(exercício resolvido 8.38)
v. 2014-9-5
19/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.38 Demonstre que lim n sen ( ) = 1.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
1
sen(x )
<
cos(x ) <
x
cos(x )
(exercício resolvido 8.38)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2,
v. 2014-9-5
19/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.38 Demonstre que lim n sen ( ) = 1.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
1
sen(x )
<
cos(x ) <
x
cos(x )
(exercício resolvido 8.38)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale
1
sen(1/n)
<
.
cos(1/n) <
1/n
cos(1/n)
v. 2014-9-5
19/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.38 Demonstre que lim n sen ( ) = 1.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
1
sen(x )
<
cos(x ) <
x
cos(x )
(exercício resolvido 8.38)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale
1
sen(1/n)
<
.
cos(1/n) <
1/n
cos(1/n)
lim cos(1/n) = 1
n→∞
v. 2014-9-5
e
1
1
= =1
n→∞ cos(1/n)
1
lim
19/24
Usando o Teorema do Sanduíche
1
8.38 Demonstre que lim n sen ( ) = 1.
n→∞
n
Solução: É possível demonstrar que, para 0 < x < π/2, temos que
1
sen(x )
<
cos(x ) <
x
cos(x )
(exercício resolvido 8.38)
Para n > 1, temos que 0 < 1/n < π/2, logo vale
1
sen(1/n)
<
.
cos(1/n) <
1/n
cos(1/n)
lim cos(1/n) = 1
n→∞
e
1
1
= =1
n→∞ cos(1/n)
1
lim
Pelo Teorema do Confronto lim
n→∞
v. 2014-9-5
sen(1/n)
= lim n sen(1/n) = 1 ∎
n→∞
1/n
19/24
Usando o Teorema do Sanduíche
Demonstre o seguinte:
Teorema: Se an é uma sequência restrita e lim bn = 0, então
n→∞
lim an bn = 0.
n→∞
v. 2014-9-5
20/24
Usando o Teorema do Sanduíche
Demonstre o seguinte:
Teorema: Se an é uma sequência restrita e lim bn = 0, então
n→∞
lim an bn = 0.
n→∞
Solução: Como an é restrita, existe M ∈ R tal que
−M ≤ an ≤ M
v. 2014-9-5
20/24
Usando o Teorema do Sanduíche
Demonstre o seguinte:
Teorema: Se an é uma sequência restrita e lim bn = 0, então
n→∞
lim an bn = 0.
n→∞
Solução: Como an é restrita, existe M ∈ R tal que
−M ≤ an ≤ M
Multiplicando a desigualdade anterior por ∣bn ∣ temos
−M∣bn ∣ ≤ an ∣bn ∣ ≤ M∣bn ∣
v. 2014-9-5
20/24
Usando o Teorema do Sanduíche
Demonstre o seguinte:
Teorema: Se an é uma sequência restrita e lim bn = 0, então
n→∞
lim an bn = 0.
n→∞
Solução: Como an é restrita, existe M ∈ R tal que
−M ≤ an ≤ M
Multiplicando a desigualdade anterior por ∣bn ∣ temos
−M∣bn ∣ ≤ an ∣bn ∣ ≤ M∣bn ∣
Como −∣bn ∣ ≤ bn ≤ ∣bn ∣
v. 2014-9-5
20/24
Usando o Teorema do Sanduíche
Demonstre o seguinte:
Teorema: Se an é uma sequência restrita e lim bn = 0, então
n→∞
lim an bn = 0.
n→∞
Solução: Como an é restrita, existe M ∈ R tal que
−M ≤ an ≤ M
Multiplicando a desigualdade anterior por ∣bn ∣ temos
−M∣bn ∣ ≤ an ∣bn ∣ ≤ M∣bn ∣
Como −∣bn ∣ ≤ bn ≤ ∣bn ∣, também vale
−M∣bn ∣ ≤ an bn ≤ M∣bn ∣
v. 2014-9-5
20/24
Usando o Teorema do Sanduíche
Demonstre o seguinte:
Teorema: Se an é uma sequência restrita e lim bn = 0, então
n→∞
lim an bn = 0.
n→∞
Solução: Como an é restrita, existe M ∈ R tal que
−M ≤ an ≤ M
Multiplicando a desigualdade anterior por ∣bn ∣ temos
−M∣bn ∣ ≤ an ∣bn ∣ ≤ M∣bn ∣
Como −∣bn ∣ ≤ bn ≤ ∣bn ∣, também vale
−M∣bn ∣ ≤ an bn ≤ M∣bn ∣
lim −M∣bn ∣ = 0
n→∞
v. 2014-9-5
e
lim M∣bn ∣ = 0
n→∞
20/24
Usando o Teorema do Sanduíche
Demonstre o seguinte:
Teorema: Se an é uma sequência restrita e lim bn = 0, então
n→∞
lim an bn = 0.
n→∞
Solução: Como an é restrita, existe M ∈ R tal que
−M ≤ an ≤ M
Multiplicando a desigualdade anterior por ∣bn ∣ temos
−M∣bn ∣ ≤ an ∣bn ∣ ≤ M∣bn ∣
Como −∣bn ∣ ≤ bn ≤ ∣bn ∣, também vale
−M∣bn ∣ ≤ an bn ≤ M∣bn ∣
lim −M∣bn ∣ = 0
n→∞
e
lim M∣bn ∣ = 0
n→∞
Pelo Teorema do Confronto, lim an bn = 0 ∎
n→∞
v. 2014-9-5
20/24
Usando o Teorema do Sanduíche
√
Exercício: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
√ ...
e a sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na
base decimal
√ truncada a n algarismos. Demonstre que
lim qn = 2.
n→∞
v. 2014-9-5
21/24
Usando o Teorema do Sanduíche
√
Exercício: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
√ ...
e a sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na
base decimal
√ truncada a n algarismos. Demonstre que
lim qn = 2.
n→∞
Já vimos que qn é não-decrescente e restrita, portanto lim qn
n→∞
existe;
v. 2014-9-5
21/24
Usando o Teorema do Sanduíche
√
Exercício: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
√ ...
e a sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na
base decimal
√ truncada a n algarismos. Demonstre que
lim qn = 2.
n→∞
Já vimos que qn é não-decrescente e restrita, portanto lim qn
n→∞
existe; seja L = lim qn .
n→∞
Seja n o erro√de aproximação quando truncamos a n algarismos,
ou seja, n = 2 − qn .
v. 2014-9-5
21/24
Usando o Teorema do Sanduíche
√
Exercício: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
√ ...
e a sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na
base decimal
√ truncada a n algarismos. Demonstre que
lim qn = 2.
n→∞
Já vimos que qn é não-decrescente e restrita, portanto lim qn
n→∞
existe; seja L = lim qn .
n→∞
Seja n o erro√de aproximação quando
√ truncamos a n algarismos,
ou seja, n = 2 − qn . Como qn < 2 temos que n ≥ 0 para todo n.
v. 2014-9-5
21/24
Usando o Teorema do Sanduíche
√
Exercício: considere o número real 2 = 1,41421356237309504
√ ...
e a sequência de números reais onde qn é a aproximação de 2 na
base decimal
√ truncada a n algarismos. Demonstre que
lim qn = 2.
n→∞
Já vimos que qn é não-decrescente e restrita, portanto lim qn
n→∞
existe; seja L = lim qn .
n→∞
Seja n o erro√de aproximação quando
√ truncamos a n algarismos,
ou seja, n = 2 − qn . Como qn < 2 temos que n ≥ 0 para todo n.
Já demonstramos que n ≤ 10−n . Temos, portanto, as seguintes
desigualdades envolvendo n :
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
(continua...)
v. 2014-9-5
21/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
v. 2014-9-5
1 n
)
10
22/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
Como lim 0 = 0 (limite de constante)
n→∞
v. 2014-9-5
22/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
Como lim 0 = 0 (limite de constante) e como lim (
n→∞
n→∞
1 n
) =0
10
(resultado 8.35)
v. 2014-9-5
22/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
1 n
) =0
n→∞
n→∞ 10
(resultado 8.35), pelo Teorema do Confronto temos que lim n = 0.
Como lim 0 = 0 (limite de constante) e como lim (
n→∞
v. 2014-9-5
22/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
1 n
) =0
n→∞
n→∞ 10
(resultado 8.35), pelo Teorema do Confronto temos que lim n = 0.
Como lim 0 = 0 (limite de constante) e como lim (
n→∞
Note que qn + n =
√
2, logo,
√
2 = lim (qn + n )
n→∞
v. 2014-9-5
22/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
1 n
) =0
n→∞
n→∞ 10
(resultado 8.35), pelo Teorema do Confronto temos que lim n = 0.
Como lim 0 = 0 (limite de constante) e como lim (
n→∞
Note que qn + n =
√
2, logo,
√
2 = lim (qn + n ) = lim qn + lim n
n→∞
v. 2014-9-5
n→∞
n→∞
22/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
1 n
) =0
n→∞
n→∞ 10
(resultado 8.35), pelo Teorema do Confronto temos que lim n = 0.
Como lim 0 = 0 (limite de constante) e como lim (
n→∞
Note que qn + n =
√
2, logo,
√
2 = lim (qn + n ) = lim qn + lim n = L + 0
n→∞
v. 2014-9-5
n→∞
n→∞
22/24
(continuação)
0 ≤ n ≤ (
1 n
)
10
1 n
) =0
n→∞
n→∞ 10
(resultado 8.35), pelo Teorema do Confronto temos que lim n = 0.
Como lim 0 = 0 (limite de constante) e como lim (
n→∞
Note que qn + n =
√
2, logo,
√
2 = lim (qn + n ) = lim qn + lim n = L + 0
n→∞
n→∞
n→∞
√
Ou seja, temos que L = lim qn =
n→∞
v. 2014-9-5
2. ∎
22/24
Para casa
Ler seção 8.2.4 e fazer exercícios 8.26 a 8.36.
v. 2014-9-5
23/24
Para casa
Ler seção 8.2.4 e fazer exercícios 8.26 a 8.36.
Ler seções 8.3.1 e 8.3.2 e fazer exercícios 8.39 a 8.42.
v. 2014-9-5
23/24
Para casa
Ler seção 8.2.4 e fazer exercícios 8.26 a 8.36.
Ler seções 8.3.1 e 8.3.2 e fazer exercícios 8.39 a 8.42.
Matéria da prova: funções trigonoétricas, sequências, limites
de sequências.
v. 2014-9-5
23/24
Para casa
Ler seção 8.2.4 e fazer exercícios 8.26 a 8.36.
Ler seções 8.3.1 e 8.3.2 e fazer exercícios 8.39 a 8.42.
Matéria da prova: funções trigonoétricas, sequências, limites
de sequências.
Fazer texto de consulta caprichado para a prova.
v. 2014-9-5
23/24
Texto de consulta para a prova
Máximo 6 folhas de A4, ou 3 folhas de papel almaço (12
páginas)
Não pode ser em folha de caderno!
Escrito à mão em caneta azul ou preta. Não pode lápis
nem xerox.
Não pode ter página em branco (jogue fora folhas em branco;
partes de páginas em branco devem ser rasuradas)
As folhas de consulta não podem ser usadas como rascunho.
Coloque seu nome em todas as folhas
Grampeie as folhas
O texto de consulta é individual!
Quem não seguir estas instruções não poderá usar o seu texto
de consulta na prova. Se insistir em usar, considerarei como
cola (= F na disciplina)
Pode colocar o que quiser: definições, fórmulas, exemplos, etc.
v. 2014-9-5
24/24