Proposições simples e compostas

Proposições simples e compostas
Proposições simples
Observe as seguintes sentenças:
Os gatos não voam.
Como é o seu nome?
Saia já daqui!
Não se esqueça de estudar.
Que dia lindo!
Embora todas as sentenças anteriores façam parte da nossa linguagem
usual, aqui estamos interessados apenas naquelas que possam ser classificadas em verdadeiras ou falsas. As sentenças que admitem tal classificação são
chamadas de sentenças declarativas.
Entre as sentenças citadas, somente a primeira delas (“Os gatos não
voam”) pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Para as demais, não faz
muito sentido classificá-las dessa forma.
Quando uma sentença é verdadeira, dizemos que seu valor lógico é verdadeiro (V), e quando é falsa, que seu valor lógico é falso (F). A definição de
proposição considera apenas um desses dois possíveis valores:
Uma proposição é uma sentença declarativa que admite um e somente
um dos dois valores lógicos – V ou F.
Observe alguns exemplos de proposições:
Curitiba é a capital do Paraná.
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Proposições simples e compostas
É uma proposição cujo valor lógico é V.
Todos os animais são mamíferos.
É uma proposição cujo valor lógico é F.
Quero mais café!
Traduz um desejo. Logo, não é uma proposição e, portanto, não podemos atribuir um valor lógico.
3 + 4 = 7
É uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro.
1 > 2
É uma proposição cujo valor lógico é falso.
7 – 2
Não é uma proposição. Não se pode atribuir valor lógico à sentença.
x > 3
Não é uma proposição, pois não é possível verificar a veracidade, uma
vez que não se conhece o valor da variável x. Trata-se de uma sentença
aberta.
Ele é médico.
Não é uma proposição, pois a palavra “ele” não esclarece de quem se
fala e, portanto, não se pode atribuir valor lógico à declaração.
Ana é fisioterapeuta.
É uma proposição, pois declara especificamente a profissão de Ana e,
portanto, pode ser classificada ou em verdadeira ou em falsa.
Você gosta de quiabo?
Trata-se de uma sentença interrogativa. Logo, não é uma proposição,
pois não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
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Proposições simples e compostas
Paradoxos
Existem proposições, entretanto, chamadas de paradoxos, que não admitem um único valor lógico, apesar de serem declarativas. Segundo o dicionário Aurélio, paradoxo é um conceito que é ou que parece contraditório ao
comum; contra-senso, absurdo ou disparate. Ele reflete a impossibilidade da
existência simultânea de duas situações.
Exemplo 1:
Observe a sentença:
Essa sentença é falsa.
A frase anterior é verdadeira ou é falsa?
Vamos tentar classificá-la em apenas um dos valores possíveis. Se a frase
anterior for verdadeira, a conclusão é de que ela é falsa, pois isso é o que
afirma a própria sentença. Se a frase for falsa, a conclusão é de que ela é verdadeira, pois isso contraria a própria sentença. As conclusões são:
A frase é falsa se, e somente se, ela é verdadeira.
A frase é verdadeira se, e somente se, ela é falsa.
Estamos diante de um paradoxo, pois a sentença não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Tais paradoxos não se limitam apenas à Lógica,
estando presentes na Química, Física, Matemática, Filosofia e outras áreas do
conhecimento.
Exemplo 2:
Se João afirma:
– Sou mentiroso!
Essa declaração seria verdadeira ou falsa? Em outras palavras, João é ou
não mentiroso?
Analisando a frase, consideramos duas hipóteses: ou a frase é verdadeira
ou é falsa.
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Proposições simples e compostas
Se a frase for verdadeira, então é verdadeiro de que João é mentiroso, pois
isso foi o que ele disse. Entretanto, se João fosse realmente mentiroso, jamais
diria que é mentiroso, pois, nesse caso, a declaração seria verdadeira e seria
contraditória com a frase que foi proferida.
Se a frase for falsa, então é falso de que João é mentiroso, ou seja, é verdadeiro que João não é mentiroso. Por outro lado, se João não fosse mentiroso,
então não deveria mentir. Deveria dizer a verdade. E a verdade seria a de
que ele não é mentiroso. Assim, ao dizer a frase “Sou mentiroso”, João estaria
novamente se contrariando.
Em qualquer uma das hipóteses levantadas, chega-se a uma contradição.
Essa é outra situação que nos remete a um paradoxo.
Negação
Estudamos anteriormente que uma proposição pode ser classificada em
apenas um dos dois valores lógicos – V ou F. A negação de uma proposição é
utilizada para alterar seu valor lógico, dando ideia contrária.
Assim, se p é uma proposição verdadeira, a negação de p, indicada por
~p, é uma proposição falsa. Da mesma forma, se p é uma proposição falsa,
~p é uma proposição verdadeira.
A próxima tabela é conhecida como tabela-verdade. Ela relaciona uma
proposição com a respectiva negação:
p
~p
V
F
F
V
Exemplos:
A Alemanha é um país europeu.
Proposição p cujo valor lógico é V.
A Alemanha não é um país europeu.
Proposição ~p cujo valor lógico é F.
É falso que a Alemanha é um país europeu.
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Proposições simples e compostas
Proposição ~p cujo valor lógico é F.
Não é verdade que a Alemanha é um país europeu.
Proposição ~p cujo valor lógico é F.
Observação 1:
A negação de uma proposição indica sempre uma ideia contrária, de
modo que se uma é verdadeira, a outra é falsa, e vice-versa. Entretanto, é
importante entender que a negação não vai simplesmente indicar algo
diferente.
Por exemplo, na proposição:
p: Artur viaja nos finais de semana.
Não é correto dizer que a negação dessa proposição seja ~p: Artur viaja
em dias de semana, pois nada se pode concluir sobre se Artur viaja ou não em
dias de semana.
A negação correta de p é:
~p : Artur não viaja nos finais de semana.
Observação 2:
Considere a proposição p: Está chovendo. A negação de p é ~p: Não está
chovendo. Qual seria a proposição correspondente à negação da negação de
p, ou seja, ~(~p)?
A negação da negação de p afirma o mesmo que p, observe:
p: Está chovendo.
~p: Não está chovendo.
~(~p): Não é verdade que não está chovendo, o que equivale a está
chovendo.
Em outras palavras, a proposição ~(~p) é logicamente equivalente a p.
Simbolicamente, escreve-se ~(~p) p.
p
~p
~(~p)
V
F
V
V
F
F
Equivalentes
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Proposições simples e compostas
Na Língua Portuguesa é comum usarmos uma dupla negação no sentido
de reforçar ou enfatizar uma ideia. Por exemplo, quando uma pessoa diz “não
vou fazer nada”, normalmente ela está querendo dizer que nada será feito.
Por outro lado, quando estudamos essa sentença por meio da Lógica, constatamos que, na verdade, essa pessoa está dizendo “vou fazer algo”.
O quadro seguinte justifica o raciocínio:
Proposição p: “Vou fazer algo.”
Proposição ~p: “Vou fazer nada.”
Proposição ~(~p) : “Não vou fazer nada.”
A conclusão é a de que como p é equivalente a ~(~p), “vou fazer algo” é
equivalente a “não vou fazer nada”.
Para evitar problemas no uso das proposições de dupla negação, podemos substituí-las por outras que talvez não darão a ênfase que se pretende,
mas que serão logicamente corretas. Assim, em vez de dizermos “não vou
fazer nada”, podemos dizer “não vou fazer coisa alguma”.
Da mesma forma, em vez de dizer “não tenho nada a declarar”, o que na
Lógica corresponde a “tenho algo a declarar”, diga “nada tenho a declarar”
que você estará transmitindo a ideia de que nada será declarado.
Em Lógica, quando uma pessoa diz “não quero nada”, significa que ela
quer alguma coisa. Para expressar melhor a ideia que ela desejava transmitir
– a de que nada quer – seria melhor dizer “não quero coisa alguma”.
Observação 3:
O símbolo que indica a negação de uma determinada proposição pode
também ser representado por “ ”. Assim, a negação de uma proposição p
pode ser representada por “~p” ou “¬ p”.
Negação e conjunto complementar
A negação de uma proposição está relacionada ao complementar de um
dado conjunto. Dado um conjunto U (universo) e sendo A um subconjunto
de U, o complementar de A em relação a U é representado e definido por:
Ac = U – A = {x/ x U e x A}
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Proposições simples e compostas
U
A
AC
Exemplo 1:
Considere a propriedade:
p: gostar de gatos
Conjunto U formado por todas as pessoas:
U = {x/ x é uma pessoa}
Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:
A = {x/ x é uma pessoa que gosta de gatos}
Conjunto Ac das pessoas que têm a propriedade ~p:
Ac = {x/ x é uma pessoa que não gosta de gatos}
ou
Ac = {x/ x U e x A}
Exemplo 2:
Considerando a propriedade p: ser alegre
Conjunto A das pessoas que possuem a propriedade p:
A = {x/ x é uma pessoa alegre}
Conjunto Ac das pessoas que possuem a propriedade ~p:
Ac = {x/ x não é uma pessoa alegre}
Proposições compostas
Em nossa comunicação diária, frequentemente utilizamos mais de uma
declaração objetivando criar uma ideia mais complexa. Da mesma forma, em
Lógica, duas ou mais proposições podem ser associadas (ou interligadas) formando uma proposição composta.
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Proposições simples e compostas
As proposições que compõem uma proposição composta são chamadas
de proposições simples. Essas proposições simples são interligadas por meio
de conectivos (e/ou) para formar as proposições compostas. Observe alguns
exemplos de proposições compostas:
Amanhã é sábado e Anselmo é professor.
Proposição simples: Amanhã é sábado.
Conectivo: e
Proposição simples: Anselmo é professor.
Artur é bondoso ou irresponsável.
Proposição simples: Artur é bondoso.
Conectivo: ou
Proposição simples: Artur é irresponsável.
Cada proposição composta tem também um valor lógico que pode
ser verdadeiro ou falso. Esse valor lógico será determinado pelo valor lógico
de cada uma das proposições simples componentes e pelo conectivo utilizado para interligar essas proposições simples.
Conectivo “e”
O conectivo “e” será utilizado sempre para dar uma ideia de simultanei­
dade.
Considere as seguintes proposições simples:
p: José completou 20 anos.
q: José não sabe dirigir.
Interligando as proposições através do conectivo “e” podemos obter a
proposição composta p q:
p q: José completou 20 anos e não sabe dirigir.
A proposição composta p
q pode ser lida “p e q”.
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Proposições simples e compostas
A última declaração significa que tanto José completou 20 anos quanto
José não sabe dirigir. O conectivo “e” indica que ambas as situações estão
ocorrendo simultaneamente.
Quando duas proposições simples são interligadas por meio do conectivo “e”, a proposição composta será denominada conjunção. A conjunção das
proposições simples p e q será representada por p q.
Uma conjunção p q é verdadeira apenas quando p e q são verdadeiras.
Caso uma das proposições simples seja falsa ou as duas sejam falsas, a proposição composta p q será falsa.
Observe alguns exemplos de conjunções:
O Brasil é banhado pelo Oceano Atlântico e não faz divisa com a Argentina.
Essa conjunção tem o valor lógico F, pois a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa.
A leitura estimula o pensamento e 10 é múltiplo de 5.
Essa conjunção tem valor lógico V, pois ambas as proposições componentes são verdadeiras.
São Paulo fica no nordeste brasileiro e o fumo pode causar câncer.
A proposição composta é falsa, pois a primeira proposição simples é
falsa.
5 – 2 3 e todo número inteiro é positivo.
A proposição composta é falsa, pois ambas as proposições componentes são falsas.
A tabela a seguir, conhecida como tabela-verdade da proposição composta, apresenta todos os possíveis valores lógicos e permite determinar o
valor lógico da proposição composta a partir dos valores lógicos das proposições simples componentes.
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Proposições simples e compostas
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Observe que a proposição composta p q é verdadeira apenas no caso
de p e q serem verdadeiras. Nos demais casos, p q é falsa.
Conjunção e intersecção de conjuntos
Tendo em vista que o conectivo “e” é usado na ocorrência de acontecimentos simultâneos, o símbolo (conjunção) pode ser usado para definir a intersecção de dois conjuntos. Isso ocorre porque a intersecção dos conjuntos A e B
é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e
B. Como cada um dos conjuntos pode ser definido a partir de uma propriedade característica (ou proposição) que seus elementos possuem, ter ambas as
propriedades significa pertencer aos dois conjuntos simultaneamente.
A
B
A B
A
B={x / xЄA ^ xЄB}
Exemplo 1:
Observe a relação existente entre uma conjunção e a intersecção de dois
conjuntos.
Considere as propriedades p e q:
p: ler revistas
q: morar em Brasília
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Proposições simples e compostas
Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:
A = {x/ x é uma pessoa leitora de revistas}
Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:
B = {x/ x é uma pessoa moradora de Brasília}
Conjunto A
B das pessoas que têm a propriedade p ^ q:
A B = {x/ x é uma pessoa leitora de revistas e moradora de Brasília}
ou
A
B = {x / x A x B}
Exemplo 2:
Sendo A= {1;2;5} e B= {2; 5; 7; 8}, obtenha A
A
B= {1;2;5}
A
B= {2; 5}
B:
{2; 5; 7; 8}
Elementos de A e de B
A
2
5
1
2
B
7
8
5
A B
Conectivo “ou”
A palavra “ou”, em Lógica, pode ser utilizada em dois sentidos distintos: no
sentido inclusivo ou no sentido exclusivo.
Sentido inclusivo do “ou”
Na linguagem usual, quando utilizamos a palavra “ou” normalmente queremos nos referir a acontecimentos exclusivos, ou seja, acontecimentos em
que quando um ocorre, o outro não ocorre. A exclusividade reside no fato de
apenas um deles ocorrer.
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Proposições simples e compostas
Em Lógica, entretanto, o conectivo “ou”, ocorrendo uma única vez na proposição composta, será utilizado no sentido de inclusão. A inclusão abrange
as possibilidades em que pelo menos uma das proposições simples ocorre
– podendo ocorrer as duas.
Para exemplificar, observe as seguintes proposições simples:
p: Pedro é alto.
q: Pedro joga basquete.
Interligando-as por meio do conectivo “ou” podemos obter a proposição
composta p q:
p q: Pedro é alto ou joga basquete.
A proposição composta p q é lida p ou q.
O que se pretende dizer é que Pedro é alto, ou Pedro joga basquete, ou
Pedro é alto e joga basquete. Nada impede que Pedro, ao mesmo tempo,
seja alto e jogue basquete.
Portanto, o conectivo “ou” está sendo utilizado no sentido inclusivo (pelo
menos um ocorre), e não no exclusivo (só um deles ocorre).
Quando duas proposições simples são interligadas por meio do conectivo “ou”, a proposição composta será denominada disjunção. A disjunção de
p e q será representada por p q.
Quando uma disjunção será falsa?
Uma disjunção p q será falsa apenas no caso de p e q serem ambas falsas.
Caso uma das proposições simples seja verdadeira ou as duas sejam verdadeiras, a proposição composta p q será verdadeira.
Observe alguns exemplos de disjunções:
Uma semana tem 8 dias ou o esporte mais praticado na Venezuela é o
beisebol.
Essa disjunção tem o valor lógico V, pois a segunda proposição é
verdadeira.
Roma é a capital italiana ou 7 . 6 = 42.
Essa disjunção tem valor lógico V, pois ambas as proposições componentes são verdadeiras.
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Proposições simples e compostas
5 > 2 ou o mês de abril tem 31 dias.
A proposição composta é verdadeira, pois a primeira proposição é
verdadeira.
O elefante é o maior mamífero ou um hexágono é um polígono com nove
lados.
A proposição composta é falsa, pois ambas as proposições componentes
são falsas.
A seguir temos a tabela-verdade da proposição composta, apresentando
todos os possíveis valores lógicos da proposição composta a partir dos valores lógicos das proposições simples componentes.
p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Observe que a proposição composta p q é falsa apenas no caso de p e q
serem falsas. Nos demais casos, p q é verdadeira.
Sentido exclusivo do “ou”
O conectivo “ou” pode ser utilizado também no sentido exclusivo. Nesse
caso, é necessário que seja utilizado mais de uma vez. Para exemplificar, considere as seguintes proposições compostas:
p: caso
q: compro uma bicicleta
A proposição composta contendo um “ou” exclusivo será representada
por p q e terá a seguinte forma:
p q: ou caso ou compro uma bicicleta
O que se pretende dizer é “ou caso”, “ou compro uma bicicleta”, mas não
ambos. Portanto, é no sentido exclusivo (só um deles ocorre), e não no inclusivo (pelo menos um deles ocorre), que o conectivo “ou” foi utilizado nesse
caso. Assim, quando o “ou” é utilizado na forma “ou p ou q”, significa que
apenas uma das proposições deve ser verdadeira, e não as duas.
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Proposições simples e compostas
A tabela-verdade de uma proposição composta contendo o conectivo
“ou” exclusivo apresenta os seguintes valores lógicos:
p
q
p q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Observe que a proposição composta p q é verdadeira apenas quando
uma proposição simples é verdadeira e a outra é falsa. Quando as duas proposições simples forem verdadeiras ou as duas forem falsas, a proposição
composta será falsa.
Disjunção inclusiva e união de conjuntos
Podemos associar o conceito de disjunção inclusiva de proposições à
definição de união de conjuntos. A associação é possível porque o conjunto
A B é formado pelos elementos que pertencem a A ou B (ou ambos). Como
cada um dos conjuntos pode ser também definido através de uma propriedade característica de seus elementos (ou proposição), o símbolo (disjunção) pode ser usado para definir a união de dois conjuntos.
A
B
A B
A B = {x / xЄA xЄB}
Exemplo 1:
Considere as propriedades p e q:
p: beber refrigerante
q: praticar triátlon
Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:
A = {x/ x é uma pessoa que bebe refrigerante}
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Proposições simples e compostas
Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:
B = {x/ x é uma pessoa que pratica triátlon}
Conjunto A
B das pessoas que têm a propriedade p q:
B = {x/ x é uma pessoa que bebe refrigerante ou pratica triátlon}
A
ou
A
B = { x / x A x B}
Exemplo 2:
Sendo A = {1; 2; 5} e B = {7; 8; 9}, obtenha A
A
B = {1; 2; 5}
A
B = {1; 2; 5; 7; 8; 9}
B:
{7; 8; 9}
Elementos de A ou de B
Observe que todos os elementos de A e todos os elementos de B estão
em A B:
A
1
5
B
7
2
9
1 2 7
8
5
9
8
A B
Disjunção exclusiva e diferença simétrica
A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é definida e representada
por:
A B = (A
B) – (A
B)
ou
A B = (A – B)
(B – A)
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Proposições simples e compostas
A
B
A∆B
Observe na ilustração que os elementos que constituem a diferença simétrica são formados pelos elementos que são ou exclusivos de A ou exclusivos de B.
Como o conjunto resultante da diferença simétrica entre os conjuntos A e
B é formado apenas pelos elementos exclusivos, sejam pertencentes apenas
a A, sejam pertencentes apenas a B, o conectivo “ou” exclusivo está relacionado a essa operação.
Exemplo 1:
Considere as propriedades p e q:
p: ler livros
q: ir a teatros
Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:
A = {x/ x é uma pessoa que lê livros}
Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:
B = {x/ x é uma pessoa que vai a teatros}
Conjunto A B das pessoas que têm a propriedade p q (ou p ou q):
A B = {x/ (x lê livros e não vai a teatros) ou (x não lê livros e vai a teatros)}
ou
A B = {x / (x A x B) (x A x B)}
Exemplo 2:
Considere as propriedades p e q:
p: estudar
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Proposições simples e compostas
q: passear
Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:
A = {x/ x é uma pessoa que estuda}
Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:
B = {x/ x é uma pessoa que passeia}
Conjunto A B das pessoas que têm a propriedade p q (ou p ou q):
A B = {x/ x estuda ou x passeia, mas não ambos}
ou
A B = {x / (x (A B)) (x (A B))}
Tabelas-verdade
As tabelas-verdade apresentam todos os valores lógicos possíveis das
proposições compostas a partir dos valores lógicos das proposições simples
componentes e dos conectivos utilizados.
Para proposições compostas não extensas e com poucos conectivos,
podemos encontrar o valor lógico resultante de forma quase imediata. Entretanto, à medida que aumenta a complexidade da proposição composta,
com mais proposições simples e mais conectivos, cada vez mais as tabelas-verdade tornam-se úteis na determinação de valores lógicos.
As tabelas-verdade constituem-se, portanto, numa forma sistemática e
organizada de obter o valor lógico de uma proposição composta para cada
uma das combinações possíveis dos valores lógicos das proposições simples
componentes.
Construção da tabela-verdade
Para a construção de tabelas-verdade é imprescindível o conhecimento dos valores lógicos de proposições compostas. Nos próximos exemplos
construiremos algumas tabelas-verdade:
Exemplo 1:
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Proposições simples e compostas
Construir a tabela-verdade da proposição composta p ~q:
p
q
V
V
F
F
~q
V
F
V
F
p ~q
Nas duas primeiras colunas, foram dispostas todas as possíveis combinações de valores lógicos de p e q.
p
q
V
V
F
F
~q
V
F
V
F
p ~q
F
V
F
V
A terceira coluna apresenta valores lógicos contrários aos da segunda
coluna, pois ~q tem valor lógico contrário a q.
p
q
V
V
F
F
~q
V
F
V
F
p
F
V
F
V
~q
V
V
F
V
Para determinar os valores lógicos da última coluna, foram utilizados os
valores lógicos da primeira e da terceira colunas por meio do conectivo .
Na primeira linha, p ~q tem valor lógico V, pois p tem valor V e ~q tem
valor F. Os resultados das demais linhas podem ser obtidos da mesma maneira. Fica claro que, para construir a tabela-verdade, é imprescindível dominar
as regras lógicas dos conectivos “e” e “ou”, e da negação de uma proposição.
Exemplo 2:
Construir a tabela-verdade da proposição composta ~p ~q:
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
~p
~q
~p ∧~q
Nas duas primeiras colunas, foram dispostas todas as possíveis combinações de valores lógicos de p e q.
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Proposições simples e compostas
p
q
~p
~q
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
~p ∧~ q
A terceira coluna apresenta valores lógicos contrários aos da primeira
coluna, pois ~p tem valor lógico contrário a p. A quarta coluna foi construída
analogamente com os valores lógicos contrários aos da segunda coluna:
p
q
~p
~q
~p∧~q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Para determinar os valores lógicos da quinta coluna, foram utilizados os
valores lógicos da terceira e da quarta colunas por meio do conectivo .
Na primeira linha, ~p ~q tem valor lógico F, pois ~p tem valor F e ~q tem
valor F. Na segunda coluna, ~p ~q tem valor lógico F, pois ~p tem valor F e
~q tem valor lógico V. Os resultados das duas últimas linhas podem ser obtidos da mesma maneira.
Número total de linhas de uma tabela-verdade
A tabela-verdade construída anteriormente tem quatro linhas, pois a proposição p ~q é formada por duas proposições (p e q), cada uma apresentando dois valores lógicos possíveis (V ou F). Logo, basta fazer 2 . 2 = 4 para
encontrar o número total de linhas dessa tabela-verdade. Caso existissem
três proposições (p, q e r), a tabela-verdade seria formada por oito linhas, pois
2 . 2 . 2 = 8 possibilidades.
Em geral, para uma proposição composta com n proposições simples, a
tabela-verdade será formada por 2n linhas.
Exemplo:
Quantas linhas tem a tabela-verdade da proposição (p q) ~r?
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Proposições simples e compostas
p
q
r
~r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
p
q
V
V
F
F
F
F
F
F
(p
q) ~r
V
V
F
V
F
V
F
V
A proposição composta possui 3 proposições simples. Logo, a tabela-verdade possuirá 23 = 8 linhas.
Proposições especiais
Existem proposições que merecem atenção especial pelas características
que apresentam. São elas: a proposição tautológica, a proposição contraditória e a proposição contingencial.
Tautologia
Analise a seguinte proposição:
Paulo é dentista ou não é dentista.
Qual o valor lógico dessa proposição?
As sentenças “Paulo é dentista” e “Paulo não é dentista” são contraditórias.
Isso significa que, se uma for verdadeira, a outra será falsa. Não é possível que
ambas sejam verdadeiras, nem que ambas sejam falsas. Por isso, independentemente de quem seja Paulo e de qual seja a real profissão dele, a proposição
“Paulo é dentista ou não é dentista” deve ser necessariamente verdadeira.
Uma proposição composta que apresenta sempre o valor lógico V, independente dos valores lógicos das suas proposições simples componentes, é
denominada tautologia ou proposição tautológica.
Considerando p: Paulo é dentista e ~p: Paulo não é dentista, observe como
podemos construir a tabela-verdade da proposição composta p ~p:
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p
~p
p ∨~p
V
F
F
V
V
V
Tautologia
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Proposições simples e compostas
Essa tabela-verdade tem apenas duas linhas, pois existe apenas uma
única proposição simples que é p. A primeira coluna da tabela apresenta os
dois valores possíveis para p. A segunda coluna mostra os valores lógicos
contrários, pois ~p é a negação de p. E a última coluna é a disjunção entre as
proposições p e ~p.
Portanto, a proposição p ~p é um exemplo de tautologia ou proposição
tautológica. As afirmações “amanhã vai chover ou não vai” e “x A ou x A”
são exemplos de tautologias, pois ambas têm sempre o valor lógico V.
Contradição
Sendo p uma proposição lógica, vamos construir a tabela-verdade da proposição composta p ~p:
p
~p
p ~p
V
F
F
F
V
F
Contradição
Essa tabela tem apenas duas linhas e as duas primeiras colunas contêm os
dois valores possíveis para a proposição lógica p. A última coluna tem como
resultado a conjunção entre os valores lógicos das duas primeiras colunas.
Observe que a última coluna é formada apenas pelo valor F.
Uma proposição composta que apresenta sempre o valor lógico F, independente dos valores lógicos das suas proposições simples componentes, é
denominada contradição ou proposição contraditória.
Qual o valor lógico da proposição Paulo é dentista e não é dentista?
Sendo p: Paulo é dentista, a proposição em destaque tem a forma p ~p.
Observe que essa proposição composta não pode ter um valor lógico V, pois
isso somente ocorreria no caso em que p e ~p tivessem ambas o valor lógico
V, o que é impossível.
A proposição p ~p é um exemplo de contradição ou proposição contraditória. As declarações “hoje é domingo e hoje não é domingo” e “A B e A B”
são exemplos de contradições, pois ambas têm sempre o valor lógico F.
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Proposições simples e compostas
Contingência
Observe o seguinte conceito:
Uma proposição composta que apresenta valores V e F em linhas diferentes para algumas combinações dos valores lógicos das suas proposições simples componentes é denominada contingência ou proposição contingencial.
Como exemplo, vamos analisar o valor lógico da proposição composta p
~q por meio da construção da correspondente tabela-verdade:
p
q
~q
p ~q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
Contingência
A tabela tem quatro linhas, pois existem duas proposições simples: p e q.
As duas primeiras colunas apresentam as quatro combinações possíveis de
valores entre p e q. A terceira coluna é a negação da segunda coluna, logo,
apresenta valores contrários aos da segunda coluna. A quarta coluna é resultado da disjunção entre a primeira e a terceira colunas.
A coluna correspondente à proposição composta p ~q (4.ª coluna)
apresenta valores V e F, cada um deles situado em uma determinada linha.
Isso caracteriza uma contingência. Qual o valor lógico da proposição “Paulo
é dentista ou Carlos não é engenheiro”? O valor dependerá da veracidade
particular de “Paulo ser ou não dentista” e também de “Carlos ser ou não
engenheiro”.
Organizando os conceitos estudados, podemos escrever:
A proposição p ~p é uma tautologia.
A proposição p ~p é uma contradição.
A proposição p ~q é uma contingência.
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Proposições simples e compostas
Equivalências lógicas
Anteriormente, observamos algumas proposições que são logicamente
equivalentes, tais como uma proposição qualquer p e a sua respectiva dupla
negação:
p
~p
~(~p)
V
F
F
V
V
F
Equivalentes
Para representar que a proposição p é equivalente a ~(~p), em símbolos,
escrevemos:
p ~(~p)
ou
p
~(~p)
O que significa dizer que duas proposições são equivalentes?
Duas proposições compostas são equivalentes quando ambas apresentam sempre os mesmos valores lógicos, independentemente dos valores lógicos de cada proposição simples componente.
A tabela-verdade é um instrumento que permite verificar a veracidade de
equivalências lógicas. No próximo exemplo, mostraremos que as proposições ~(p q) e ~p ~q são logicamente equivalentes.
p
q
~p
~q
p q
~(p q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
~p
~q
F
F
F
V
Equivalentes
A tabela foi construída a partir das duas primeiras colunas que contêm
as quatro possibilidades de valores lógicos para as proposições p e q. Pela
tabela, observa-se que as colunas correspondentes às proposições ~(p q)
e ~p ~q são idênticas. Assim como os valores lógicos de ambas as proposições compostas são iguais para cada possível valor lógico de p e q. A conclusão é a de que ~(p q) e ~p ~q são logicamente equivalentes, ou seja,
~(p q) ~p ~q.
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Proposições simples e compostas
Observação:
Em geral, para negarmos proposições compostas por conectivos (e/ou)
basta negarmos cada uma das proposições simples componentes e substituirmos os conectivos por , e por . Assim, por exemplo, a negação da
proposição p q, representada por ~(p q), é dada por:
~(p q) ~p ~q
A negação da proposição p q, representada por ~(p q), é dada por:
~(p q) ~p ~q
A negação da proposição ~p q, representada por ~(~p q), é dada por:
~(~p q) ~(~p) ~q p ~q
Exemplo:
Por meio da tabela-verdade, vamos provar que as proposições ~(p q) e
~p ~q são equivalentes:
p
q
~p
~q
p q
~(p q)
~p ~q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
As proposições ~(p q) e ~p ~q são logicamente equivalentes:
~(p
q) ~p ~q ou ~(p q)
~p ~q
O quadro apresenta algumas equivalências lógicas:
Nome
Equivalência
Tautologia
p
Dupla negação
~(~p)
Comutação
Associação
(p p)
p
p q
q p
p q
q p
p (q r)
(p q) r
p (q r)
(p q) r
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Proposições simples e compostas
Nome
Distribuição
De Morgan
Equivalência
p (q r)
(p q) (p r)
p (q r)
(p q) (p r)
~(p q)
~p ~q
~(p q)
~p ~q
Todas essas equivalências podem ser verificadas por meio da tabela-verdade.
Ampliando seus conhecimentos
Texto extraído do livro intitulado Alice no País dos Enigmas.
(SMULLYAN, 2000)
Logo depois do julgamento, Alice encontrou a Duquesa, e as duas tiveram
a seguinte conversa extraordinária.
– O Gato de Cheshire disse que todos aqui são loucos – disse Alice. Isso é
mesmo verdade?
– É claro que não – retrucou a Duquesa. Se fosse mesmo verdade, o Gato
também seria louco, donde você não poderia confiar no que ele diz.
Isso pareceu perfeitamente lógico a Alice.
– Mas, vou contar-lhe um grande segredo, minha cara – continuou a Duquesa. Metade das criaturas daqui são loucas, totalmente loucas!
– Isso não me surpreende – disse Alice –, muitas me parecem bastante
loucas!
– Quando eu digo totalmente loucas – prosseguiu a Duquesa, ignorando
por completo a observação de Alice –, quero dizer o que digo: Elas são completamente delirantes! Todas as suas crenças são erradas – não apenas algumas, mas todas. Tudo o que é verdadeiro elas acreditam que é falso, e tudo o
que é falso, acreditam que é verdadeiro.
Alice refletiu um pouco sobre essa estranhíssima situação.
– A pessoa ou criatura louca acredita que dois mais dois são cinco?
– perguntou.
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Proposições simples e compostas
– Ora, é claro, menina! Já que dois mais dois não são cinco, naturalmente a
pessoa louca acredita que são.
– E a pessoa louca também acredita que dois mais dois são seis?
– É claro – respondeu a Duquesa –; já que não são, o louco acredita que são.
– Mas, não é possível que sejam iguais a cinco e seis! – exclamou Alice.
– É claro que não – concordou a Duquesa –, você sabe disso e eu sei disso,
mas o louco não sabe. E a moral da história é...
– E as pessoas sãs daqui? – interrompeu Alice (que já tinha ouvido moral
mais do que suficiente para um dia). Imagino que a maioria de suas crenças
esteja certa, mas que algumas estejam erradas, não é?
– Oh, não, não, não! – disse a Duquesa, em tom enfático. Isso pode ser verdade lá de onde você vem, mas por aqui, as pessoas sadias são cem por cento
exatas em suas crenças! Tudo o que é verdade elas sabem que é verdade, e
tudo o que é falso elas sabem que é falso.
Alice refletiu sobre isso. – Quem são os sadios e quem são os loucos aqui?
– perguntou. Eu gostaria de saber.
A lagarta e o lagarto
– Bem – respondeu a Duquesa –, considere, por exemplo, a Lagarta e Bill, o
Lagarto. A Lagarta acredita que ambos são loucos.
– Qual deles é realmente louco? – perguntou Alice.
– Eu não deveria precisar lhe dizer isso! – retrucou a Duquesa. Dei-lhe informações suficientes para que você deduza a resposta.
Qual é a solução? A Lagarta é louca ou sã? E o Lagarto?
Solução:
A lagarta acredita que ela e o lagarto são loucos. se a lagarta fosse sã, seria
falso ela e o lagarto serem loucos, donde (sendo sã) a lagarta não poderia
acreditar nesse fato mentiroso. Portanto, a lagarta deve ser louca. Já que ela
é louca, sua crença é errada, donde não é verdade que ambos sejam loucos.
Assim o outro (o lagarto) deve ser sadio. Portanto, a lagarta é, louca e o lagarto
é são.
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Proposições simples e compostas
Atividades de aplicação
1. Indique quais sentenças são proposições, atribuindo-lhes o valor lógico correspondente. Caso a sentença não seja uma proposição, marque
um X.
a) ( ) Zero é um número par.
b) ( ) 7 + 3
c) ( ) Todos os brasileiros são cariocas.
d) ( ) Amanhã choverá?
e) ( ) Charlie é dentista ou não é dentista.
f) ( ) Felicidades!
g) ( ) x > 2
h) ( ) Todos os meses do ano têm 28 dias.
i) ( ) x = 3 é raiz de x2 – 3x = 0
2. Um avião caiu em uma área não coberta pelo radar. Apenas o piloto se
salvou, conseguindo alcançar a praia de uma ilha. Nessa ilha morava
um aborígene que mentia às terças, quartas e quintas-feiras, e falava
a verdade nos outros dias da semana. Um dia o piloto encontrou o
aborígene, que lhe disse: “Ontem foi um dos meus dias de mentir”.
A partir da dedução correta da informação do aborígene, que dias da
semana poderiam ser?
3. Considere as seguintes proposições:
p: O Brasil situa-se na América do Norte.
q: Quatro é múltiplo de oito.
r: A adição e a subtração são operações inversas.
Com base nos valores lógicos das proposições p, q e r, atribua um valor
lógico às seguintes proposições:
a) ( ) ~p
b) ( ) q r
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Proposições simples e compostas
c) ( ) p q
d) ( ) r p
e) ( ) q ~r
4. Três senhoras, Dona Branca, Dona Rosa e Dona Violeta, passeavam
pelo parque, quando Dona Rosa disse:
– Não é curioso que estejamos usando vestidos de cores branca, rosa
e violeta, embora nenhuma de nós esteja usando um vestido de cor
igual ao seu próprio nome?
– Uma simples coincidência, respondeu a senhora com vestido violeta.
Qual a cor do vestido de cada senhora?
5. Se alguém diz: “Não nego que jamais deixarei de fumar”, continuará a
fumar ou não?
6. Na sua frente você tem três caixas e apenas uma delas tem um presente dentro. A única pista para descobrir onde está o presente são as
instruções na frente das caixas. Porém, não se esqueça, apenas uma
das inscrições é verdadeira. Onde está o presente?
Caixa 1: O presente está aqui.
Caixa 2: O presente não está aqui.
Caixa 3: O presente não está na Caixa 1.
7. Quatro amigos vão ao teatro e um deles resolveu entrar sem comprar
o ingresso. Aparece um guarda que quer saber qual deles entrou sem
pagar.
– Eu não fui, diz Ana.
– Foi o Bruno, diz Carlos.
– Foi a Deise, diz Bruno.
– O Carlos não tem razão, diz Deise.
Se só um deles mentiu, quem entrou sem pagar?
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Proposições simples e compostas
8. No ponto de ônibus escutei uma conversa curiosa entre dois amigos.
Um deles dizia que dificilmente seria enganado, pois era muito esperto. O outro resolveu, então, testar a esperteza do “modesto” e fez a ele
as seguintes afirmações:
1) Vou lhe dizer cinco verdades.
2) A frase anterior é mentira.
3) A frase anterior é mentira.
4) A frase anterior é mentira.
5) A frase anterior é mentira.
E no final perguntou: quantas verdades eu disse?
9. Ernesto comprará quatro passagens aéreas para dar uma de presente
para cada um de seus quatro sobrinhos. Para definir a época em que
irão viajar, Ernesto pediu para cada um dizer uma frase. Se a frase fosse
verdadeira, o sobrinho viajaria imediatamente; se fosse falsa, o sobrinho só viajaria no próximo mês. O quadro apresenta as frases que cada
sobrinho falou:
Sobrinho
Frase
Ana
Viajarei para os Estados Unidos.
Bruno
Meu voo será diurno.
Carlos
Viajarei no próximo mês.
Diego
O Atlético-PR é o melhor time do mundo.
A partir das frases ditas, Ernesto não pôde definir a época da viagem
de qual sobrinho?
10.Mostre que as proposições ~(p q) e (~p ~q) são logicamente equivalentes.
11.Numa cidade, um barbeiro corta o cabelo somente de todas as pessoas que não cortam o próprio cabelo. Esse barbeiro corta o próprio
cabelo?
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Proposições simples e compostas
Referências
ABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petrópolis: Vozes, 1994.
ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel,
2003. 203 p.
ARISTÓTELES. Tópicos. São Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleção Os Pensadores).
_____. Organon. São Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleção Os Pensadores).
BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A História da Lógica. Lisboa: Edições 70, 1982.
127 p.
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6. ed. São Paulo: Nobel,
1986. 158 p.
DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003.
102 p.
KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. 12. ed. Petrópolis:
Vozes, 2000. 179 p.
KOPNIN, P. V. A Dialética como Lógica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janeiro, 1978. 353 p.
LAUSCHNER, Roque. Lógica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos,
1984. 207 p.
LIARD, L. Lógica. 6. ed. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p.
LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. São Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337
p.
MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto – lógica, conjuntos e funções. São Paulo: Scipione, 1988. 240 p.
_____. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a
Matemática).
MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica
menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.
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Proposições simples e compostas
NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes,
1997. 174 p.
OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lógica Aritmética. Brasília: UnB, 2004. 241 p.
SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p.
SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1.
_____. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2.
SMULLYAN, Raymond. Alice no País dos Enigmas. Rio de Janeiro: Jorge Zahar,
2000. 191 p.
SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lógica – elementos da Lógica Formal e Teoria
da Argumentação. São Paulo: Atlas, 2003. 187 p.
TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367
p.
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Proposições simples e compostas
Gabarito
1.
a) V
b) X
c) F
d) X
e) V
f) X
g) X
h) V
i) V
2. Terça-feira ou sexta-feira.
3.
a) V
b) F
c) F
d) F
e) F
4.
Dona Rosa
Dona Violeta
vestido rosa
Dona Branca
vestido violeta
vestido branco
5. Continuará a fumar.
6. O presente está na caixa 2.
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Proposições simples e compostas
7. Deise.
8. Duas verdades.
9. Carlos.
10.Tabela-verdade:
p
q
~p
~q
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
~(p q) ~p ~q
F
V
V
V
F
V
V
V
As colunas associadas às proposições ~(p q) e (~p ~q) são idênticas.
Isso comprova a validade da equivalência lógica.
11.O barbeiro corta o cabelo de todas as pessoas que não cortam seu
próprio cabelo e somente delas. Assim, se ele corta seu próprio cabelo,
então ele é uma pessoa que não corta seu próprio cabelo. Por outro
lado, se ele não corta seu próprio cabelo, então ele corta seu próprio
cabelo. Estamos diante de um paradoxo. Não existe um barbeiro nessas condições.
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