08 aula n3 - graficos

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Prof. Edmary Barreto
Construção de Gráficos
Roteiro
1) Determinar o domínio da função
2) Calcular os pontos de interseção com os eixos
3) Determinar as assíntotas
4) Calcular os pontos de interseção com as assíntotas
5) Calcular f’ e encontrar os pontos críticos
6) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento
7) Encontrar os pontos de máximo e mínimo
8) Calcular f’’ e encontrar os pontos de inflexão
9) Determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo
10) Esboçar o gráfico
Exercícios:
x  2x  1
x
2
1) f(x) =
2) f(x) = e x Curva de Gauss
2
3) f(x) = (x – 2)2 (x – 5) = x3 – 9x2 + 24x – 20
4) f(x) = x/(1 + x2)
x 3  27
5) f(x) = 2
x 9
1) Df = R – {-3, 3} 2) (0, 3)
3) x = -3 AV não existe AH
y = x AO
4) não há interseção 5) x = 0 e x = - 6 6) cresc x < -6 , x > 0 decresc –6 < x < 0
x3  1
( x  1)( x 2  x  1)
6) f(x) = 2

x  3x
( x  3) x
1) Df = R – {-3, 0} 2) (-1, 0)
3) x = 0 e x = -3 AV y = x – 3 A O
4) (-1/9, -28/9)·
7) f(x) = 4x/(1 + x2)
Assíntotas
A reta r chama – se assíntota duma curva, se a distância  dum ponto variável P da curva a esta reta tende
para zero, quando o ponto P tende para o infinito.
Assíntota vertical
Dizemos que a reta x = a é assíntota vertical do gráfico de uma função y = f(x) se pelo menos uma das
afirmações abaixo é verdadeira.
lim f ( x)
 
x  a
lim f ( x)
 
x  a
lim f ( x)
 
x  a
lim f ( x)
 
x  a
Assíntota horizontal
Dizemos que a reta y = b é assíntota horizontal do gráfico de uma função y = f(x) se pelo menos uma das
afirmações abaixo é verdadeira.
lim f ( x)
b
x  
lim f ( x)
b
x  
Assíntota oblíqua
Dizemos que uma reta y = ax + b é uma assíntota do gráfico de uma função y = f(x) se existem a e b reais
tais que :
f ( x)
x
x  
a  lim
b  lim  f ( x)  ax
x  
Ponto crítico
Dada uma função y = f(x) dizemos que c  Df é um ponto crítico de f se f’(c) = 0 ou não existe f’(x).
Valor máximo relativo
Dizemos que uma função f tem um valor máximo relativo em c, se existe um intervalo aberto I  Df
com c  I, tal que f(x)  f (c) , x  I .
Valor mínimo relativo
Dizemos que uma função f tem um valor mínimo relativo em c, se existe um intervalo aberto I  Df com
c  I, tal que f(x)  f (c) , x  I .
Obs: Se uma função f tem um máximo ou um mínimo relativo em c, então dizemos que f tem um
extremo relativo em c.
Teorema de Fermat: Seja f definida no intervalo (a, b). Se f possui um extremo relativo em
c  (a, b) e f’(x) existe, então f’(c) = 0.
Funções crescentes e decrescentes
Diz-se que uma função f definida em um intervalo I é crescente neste intervalo se, e somente se,
f ( x1 )  f ( x2 ) sempre que x1  x2 para todo x1, x2  I .
Diz-se que uma função f definida em um intervalo I é decrescente neste intervalo se, e somente se,
f ( x1 )  f ( x2 ) sempre que x1  x2 para todo x1, x2  I .
Teorema: Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então:
i)
se f’(x) > 0 x  (a, b) , então f é crescente em [a, b].
ii)
se f’(x) < 0 x  (a, b) , então f é decrescente em [a, b].
Teste da 1a derivada para extremos relativos
Seja f uma função contínua em (a, b) e derivável em (a,b) exceto eventualmente em c  (a, b). Então:
i)
se f’(x) < 0 x  (a, c) e f’(x) > 0 x  (c, b) , então f(c) é um mínimo relativo em f.
ii)
se f’(x) > 0 x  (a, c) e f’(x) < 0 x  (c, b) , então f(c) é um máximo relativo em f.
Teste da 2a derivada para extremos relativos
Se f uma função contínua em I, c  I é um ponto crítico de f no qual f’(c) = 0 e f’existe para todos os
valores de x  I . Então, se f’’(c) existe e
i)
se f”(c) > 0, então f tem um mínimo relativo em c.
ii)
se f”(c) < 0 , então f tem um máximo relativo em c.
iii)
se f”(c) =0, então nada se pode afirmar sobre f(c).
Concavidade
Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I, e c um ponto qualquer de I tal que existe
f’(c). Dizemos que f tem concavidade voltada para baixo em I se, e somente se, para todo x  I, sendo x
diferente de c, o ponto P(x, f(x)) do gráfico de f se encontra abaixo da reta tangente ao gráfico de f no
ponto Po(c, f(c)).
Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I, e c um ponto qualquer de I tal que existe
f’(c). Dizemos que f tem concavidade voltada para cima em I se, e somente se, para todo x  I, sendo x
diferente de c, o ponto P(x, f(x)) do gráfico de f se encontra acima da reta tangente ao gráfico de f no
ponto Po(c, f(c)).
Teorema: Seja f uma função derivável num intervalo aberto (a, b). Então
i) se f”(x)  0,  x  (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua convexidade voltada para
cima (a curva é côncava) neste intervalo.
ii) se f”(x)  0,  x  (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua convexidade voltada para
baixo (a curva é convexa) neste intervalo.
Dizemos que o ponto (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico da função f, se o gráfico da
função f tiver neste ponto reta tangente e se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que, se x
 I, então
i)
f”(x) < 0, se x < c e f”(x) > 0, se x > c.
ii)
f”(x) > 0, se x < c e f”(x) < 0, se x > c.
Isto é, “se f muda de concavidade em c”.
Teorema: Seja y = f(x) a equação da curva. Se f”(c) = 0 ou f”(c) não existe e a derivada Segunda
f”(x) muda de sinal passando pelo valor x = c, o ponto da curva da abscissa x = c é um ponto de
inflexão.