(X, d) um espaço métrico compacto, (Y,d) um espaço métrico e E

Lista 7
MA-604 Espaços Métricos
13/6/2015
1. Sejam (X; d) um espaço métrico compacto, (Y; d) um espaço métrico e E C (X; Y )
um conjunto de aplicações contínuas X ! Y . Mostre que as seguintes a…rmações
são equivalentes:
(a) 8x 2 X, 8" > 0, 9 > 0, 8f 2 E, y 2 B (x; ) ) d (f (y) ; f (x)) < ". (Isto é, E
é equicontínuo em todo x 2 X.)
(b) 8" > 0, 9 > 0, 8f 2 E, 8x; y 2 X, d (x; y) < ) d (f (y) ; f (x)) < ". (Isto é,
E é uniformemente equicontínuo.)
2. Dado um intervalo fechado [a; b] R seja E um conjunto de funções [a; b] ! R tal
que toda f 2 E é de classe C 1 e existe M > 0 tal que jf 0 (x)j < M para toda f 2 E
e x 2 [a; b]. Tome uma sequência fn 2 E e mostre que existe uma subsequência fnk
que converge uniformemente.
3. Dado um espaço métrico compacto X seja V
C (X; R) um subespaço vetorial de
dimensão …nita. Denote por E = ff 2 V : kf k1 1g a bola unitária de V . Mostre
que o conjunto E é equicontínuo. (Dê uma demonstração direta a partir da de…nição
e outra aplicando o teorema de Arzelá-Ascoli.)
4. Use o exercício anterior para mostrar que se a < b então dim C ([a; b] ; R) = 1.
5. Sejam (V; k k) e (W; k k) espaço vetoriais normados. Uma transformação linear T :
V ! W é dita compacta se para toda bola B (x; r) V sua imagem T (B (x; r)) é
um conjunto relativamente compacto de W .
(a) Mostre que se T : V ! W compacta então T é contínua.
(b) Sejam C ([a; b] ; R) com a norma k k1 e C (1) ([a; b] ; R) com a norma kf k(1)
1 =
0
(1)
supx2[a;b] jf (x)j + supx2[a;b] jf (x)j. Mostre que a inclusão f 2 C ([a; b] ; R) ,!
f 2 C ([a; b] ; R) é uma aplicação linear compacta. (Use o teorema de ArzeláAscoli.)
6. Mostre que um subconjunto Y
X de um espaço topológico X é ao mesmo tempo
aberto e fechado se, e só se, sua fronteira @Y = ;. Use isso para mostrar que X
é conexo se, e só se, os únicos subconjuntos Y
X que têm fronteira vazia são os
triviais ; e X.
7. Sejam X um espaço topológico conexo e
uma relação de equivalência em X.
Mostre que se as classes de equivalência [x] de
são conjuntos abertos então para
dois elementos quaisquer x; y 2 X são equivalentes (x y), isto é, existe uma única
classe de equivalência.
1
8. Seja (X; d) um espaço métrico completo e conexo. Suponha que uma relação de
equivalência em X satisfaz as propriedades: i) a quantidade enumerável de classes
de equivalência de
é enumerável; ii) duas classes de equivalência [x] e [y], x; y 2
X, quaisquer homeomorfas entre si. Mostre que que existe uma única classe de
equivalência.
9. Num espaço mético (X; d) suponha que x 2 X é tal que 8" > 0, 9r < " tal que
a esfera S (x; r) = fy 2 X : d (y; x) = rg é um conjunto vazio. Mostre que a
componente conexa Cx de X que contém x se reduz ao conjunto unitário fxg.
10. Sejam (X; d) um espaço métrico e
X um subconjunto enumerável. Mostre que
é completamente separável. (Sugestão: use o exercício 9 da lista 6 e o exercício
anterior.)
11. Sejam X e Y espaços métricos e f : X ! Y uma aplicação contínua. Suponha
que X é conexo e mostre que f é constante se sua imagem f (X) está contida num
conjunto enumerável de Y .
12. Seja f : X ! Y uma aplicação contínua entre espaços métricos. Mostre que o seu
grá…co graf (f ) = fx (f (x)) 2 X Y : x 2 Xg é conexo (em relação à topologia
produto) se, e só se, X é conexo.
13. Seja (X; d) um espaço métrico e suponha que para algum x 2 X as bolas B (x; r),
r > 0, sejam conjuntos conexos. Mostre que X é conexo. Dê exemplo em que mostre
que a recíproca não vale, isto é, X é conexo e, no entanto alguma bola não é conexa.
14. Sejam (X; d) um espaço métrico conexo e f : (X; d) ! (R; j j) uma aplicação contínua. Mostre que se existem x1 ; x2 2 X tal que f (x1 ) f (x2 ) < 0 então existe x0 2 X
tal que f (x0 ) = 0.
15. Num espaço métrico (X; d) sejam dados um ponto x 2 X e um subconjunto conexo
Y
X. Mostre que se y1 e y2 são elementos de Y tal que d (y1 ; x) d (y2 ; x), então
para todo c 2 R tal que d (y1 ; x) c d (y2 ; x), existe y 2 Y com d (y; x) = c. Dê
exemplos de conjuntos não conexos Y tal que (i) a a…rmação não é verdadeira e (ii)
a a…rmação é verdadeira.
16. Seja A
X um subconjunto aberto do espaço métrico (X; d). Mostre que se C é
uma componente conexa de A então C também é aberto (em X).
17. Mostre que se um espaço métrico (X; d) tem uma quantidade …nita de componentes
conexas então cada uma delas é um conjunto aberto.
2
18. Seja (V; jj jj) um espaço vetorial normado (sobre R ou C). Mostre que V é conexo.
Mostre também que suas bolas abertas B (x; r) e suas bolas fechadas B [x; r] são
conjuntos conexos.
19. Mostre que S 1 = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 = 1g é um conjunto conexo (com a topologia
usual de R2 ). (Sugestão: a aplicação f : R ! R2 , f (t) = (cos t; sent) é contínua.)
Generalize mostrando que S n 1 = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn : x21 +
+ x2n = 1g é conexo.
n
1
(Sugestão: as interseções de S
com subespaços de dimensão dois são homeomorfas
1
a S .)
20. Em R2 , com a topologia usual, considere os conjuntos X e Y , onde X é o grá…co da
função f : (0; +1) ! R, f (x) = sen x1 e Y é o intervalo f(0; y) : y 2 [ 1; 1]g. Mostre
que X, Y e X [ Y são conexos. Mostre que X [ Y não é conexo por caminhos.
21. Sejam f : X ! Y um homeomor…smo entre espaços métricos e Z X. Mostre que
a restrição de f a X n Z ainda é um homeomor…smo entre X n Z e Y n f (Z). Use
isso para mostrar que as letras O e I não são homeomorfas (veja essas letras como
subconjuntos de R2 com a topologia usual e do jeito que estão grafadas neste texto).
(Sugestões: 1) retirando qualquer ponto de O …ca um conjunto conexo, mas pode-se
retirar pontos de I e se obter conjuntos não conexos. 2) Use este método para, num
domingão à tarde, fazer uma tabela das letras do alfabeto que são homeomorfas
entre si.)
22. Dê, se possível, exemplos das seguintes situações.
(a) Um espaço métrico (X; d) que é completo e enumerável e tal que d não é a
distância 0; 1 (d (x; y) = 0 se x = y e d (x; y) = 1 se x 6= y).
(b) Um espaço topológico (X; ) e um elemento x 2 X tal que o conjunto fxg
não é fechado (apesar de ser compacto, já que é um conjunto …nito. Isto é,
num espaço topológico em geral um conjunto compacto pode não ser fechado.
Compare com o exercício ??.)
(c) Um conjunto conexo cujo interior não é conexo.
(d) Um espaço métrico X tal que alguma de suas componentes conexas C não é
um conjunto aberto.
(e) Uma aplicação contínua f : X ! Y e um subconjunto conexo C
f 1 (C) não é conexo.
3
X tal que