Folha de Exercícios n.º 7 Soma limitada. Minimização limitada

U n i v e r s i d a d e da M a d e i r a
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ENGENHARIAS
TEORIA DA COMPUTABILIDADE E COMPLEXIDADE
Licenciatura em Engenharia Informática (2.º ano – 1.º->2.º semestre)
Licenciatura em Ensino de Informática (2.º ano – 1.º->2.º semestre)
Licenciatura em Matemática (2.º ano – 1.º->2.º semestre)
Ano Lectivo 2006/2007
Folha de Exercícios n.º 7
Soma limitada. Minimização limitada. Minimização
1. Mostre que a função D(x) = número de divisores de x (com a convenção D(0) = 1) é
computável.
2. Mostre que o predicado "x é primo" é decidível.
3. Mostre que as seguintes funções são computáveis:
(a) f(x) = número de divisores primos de x.
(b) px = x-ésimo número primo (com a convenção p0=1).
Note que px < px+1 ≤ px!+1.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
o expoente de p y na factorização
(c) (x)y = de x em números primos
0
, se x, y > 0
, se x = 0 ou y = 0
4. Mostre que a função mmc(x,y) = minimo múltiplo comum de x e y é computável.
5. Mostre que a função g : IN o → IN o , definida g(x)=menor inteiro cujo factorial é
superior a x é computável.
1
6. Mostre que as seguintes funções são computáveis:
(a) RaizQuad(x) =
⎧ n
⎪
(b) g(n,x) = ⎪⎨
⎪
⎪⎩
-
x
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎩⎪
x
-
, se x é um quadrado perfeito
, caso contrário
, se x é uma potência perfeito
, caso contrário
7. Seja f uma função computável injectiva total. Prove que f -1 é computável.
⎧x
⎪ , se x é múltiplo de y
é computável.
8. Mostre que a função quociente(x,y) = ⎨ y
⎪− , caso contrário
⎩
9. Sejam P e G programas URM que calculam as funções P : IN o → IN o e
G : IN o2 → IN o , respectivamente. Construa um programa URM que calcule a função
f : IN o → IN o tal que f ( x ) = µ y( g ( p ( x), y ) = 0) .
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