Cálculo

Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro De Ciências Exatas e da Terra
Departamento de Física Teórica e Experimental
Programa de Educação Tutorial
Curso de Nivelamento:
Pré-Cálculo
PET DE FÍSICA:
Carlene Paula Silva de Farias
Cleiton Cruz Serafim
Cristóvão Porciano do Nascimento Júnior
Edson José da Costa Santos
Flávio Maux Viana da Silva
Francisco Biagione de Lima Júnior
George Barbosa de Araújo
Ivandson Praeiro Sousa
Jadson Tadeu Dantas Souza
Maxwell Santana Libório
Rafaela Medeiros de Souza
Rodrigo dos Santos Candreva
Valmar da Silva Sobrinho
2011
NATAL-RN
Sumário
1.
Operações Básicas e Funções ................................................................................................................................... 2
Conjuntos Numéricos.................................................................................................................................................... 2
Funções ......................................................................................................................................................................... 3
Funções Crescentes e Decrescentes ............................................................................................................................. 3
Funções Pares e Ímpares .............................................................................................................................................. 3
Operações com funções................................................................................................................................................ 4
Translação de funções .................................................................................................................................................. 4
Composição de funções ................................................................................................................................................ 4
2. Funções Polinomiais...................................................................................................................................................... 5
As funções polinomiais de n-ésima ordem têm a seguinte forma: .............................................................................. 5
Função constante .......................................................................................................................................................... 5
Função afim................................................................................................................................................................... 5
Sinal de uma função ...................................................................................................................................................... 6
Inequações .................................................................................................................................................................... 7
Função Quadrática: ..................................................................................................................................................... 10
Inequações de 2o grau: ............................................................................................................................................... 10
Funções de grau superior (≥3) .................................................................................................................................... 12
3. Funções Trigonométricas ........................................................................................................................................ 13
Identidades Trigonométricas ...................................................................................................................................... 13
4. Limite e Funções Contínuas .................................................................................................................................... 16
Revisão ........................................................................................................................................................................ 16
Limites ......................................................................................................................................................................... 16
Limites laterais e condição de existência de limites ................................................................................................... 17
Propriedade dos limites .............................................................................................................................................. 17
Continuidade ............................................................................................................................................................... 18
5. Funções Exponenciais ............................................................................................................................................. 19
Funções exponenciais ................................................................................................................................................. 19
Propriedades ............................................................................................................................................................... 19
Função exponencial na base e .................................................................................................................................... 19
O que é o número e? .................................................................................................................................................. 19
Gráficos e transformação de funções exponenciais ................................................................................................... 19
Funções hiperbólicas................................................................................................................................................... 20
Funções Logarítmicas .................................................................................................................................................. 20
Propriedades ............................................................................................................................................................... 21
Logaritmos com base e ............................................................................................................................................... 21
1
1. Operações Básicas e Funções
Conjuntos Numéricos
•
Conjunto dos números naturais 0, 1, 2, 3, … .
•
Conjunto dos números inteiros … , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … .
•
Conjunto dos números racionais ; , e q 0 .
Dados dois elementos e , temos que: e · .
Dados dois elementos e , temos que: , e · . Note que .
Dados dois elementos e , temos que: , , · e
.
•
d)
Quais das proposições são verdadeiras?
3 ';
';
!;
)
';
a)
)
*
e) √4 '.
2. Efetue:
b)
. Note que
Conjunto dos números irracionais ! "#, $, √2, … &. Note que o conjunto dos números reais
' ( !.
Exercícios
1.
a)
b)
c)
,
*
.
,
,
-
2
c) 2 d)
e)
*
,
0
.
*
)
/
.
,
,
/
)
· /
,
)
f) 1 2 · 1 2 g)
h)
i)
,
)*5
)4
,5 0
6*5
,
*5 7
7
89
9:
3
0
;<= ;> 0
Funções
Uma função ? de um conjunto @ para um conjunto A é uma regra que associa um único elemento
em A a cada elemento em @. Sejam @, A ' e ?: @ C A uma função tal que ?DE F.
Funções Crescentes e Decrescentes
Seja ?: @ C A uma função. Dizemos que ? é estritamente crescente se, sempre que, dados
) , * @, com ) G * , tivermos ?D) E G ?D* E.
Seja ?: @ C A uma função. Dizemos que ? é estritamente decrescente se, sempre que, dados
) , * @, com ) G * , tivermos ?D) E H ?D* E.
Funções Pares e Ímpares
Uma função par ocorre quando ?DE ?DE, e um função ímpar ocorre quando ?DE ?DE.
O produto de uma função par por uma função par tem como uma função par. O produto de uma função
ímpar por uma função ímpar tem como uma função par. E o produto de uma função ímpar por uma função
par tem como uma função ímpar.
3
Operações com funções
•
•
•
•
D? IEDE ?DE IDE;
D? IEDE ?DE IDE;
D? · IEDE ?DE · IDE;
D?/IEDE ?DE/IDE , IDE 0 ;
Translação de funções
Podemos fazer uma translação vertical K unidades para cima numa função ?DE, com K H 0.
F ?DE K
D1E
F ?D LE
D2E
Podemos fazer uma translação horizontal L unidades para esquerda numa função ?DE, com L H 0.
Composição de funções
A função composta entre duas funções ? e I é definida como:
D? M IEDE ?NIDEO
D3E
Exercícios:
1.
a)
b)
c)
d)
2.
a)
b)
c)
d)
e)
Classifique as seguintes funções (se são funções crescentes ou decrescentes, pares ou ímpares):
?DE ;
?DE * ;
?DE , ;
?DE ||;
Dadas as funções ?DE * 2 1 e IDE 2.
Encontre translação vertical da função ?DE 3 unidades para baixo;
Encontre translação horizontal da função ?DE 1 unidades para esquerda;
Encontre translação vertical da função IDE 2 unidades para cima;
Encontre translação horizontal da função ?DE 2 unidades para esquerda;
Encontre ?NIDEO.
4
2. Funções Polinomiais
As funções polinomiais de n-ésima ordem têm a seguinte forma:
DE Q Q Q6) Q6) R * * ) ) 4 4
S DE Q Q Q6) Q6) R * * ) 4
Mais estaremos interessados apenas em estudar funções polinomiais de 1ª e 2ª ordem.
Função constante
R.
Funções de f de R em R tal que para cada elemento x ϵ R está associado o mesmo elemento c ϵ
f(x) = c
Função afim
Função Identidade:
Funções de f de R em R tal que para cada elemento x ϵ R está associado o próprio x.
f(x) = x
Funções de f de R em R tal que para cada elemento x ϵ R está associado um elemento mx ϵ R,
tal que m ≠ 0.
Função linear:
f(x) = mx
5
Caso geral da função afim: funções f de R em R, da forma: f(x) = mx + b, com m ≠ 0. Para m =
1 e b = 0 tem-se a função identidade (e também linear) e para b = 0 e qualquer valor de m (≠ 0, claro),
tem-se uma função linear.
Importante:
i)
ii)
O gráfico da função afim é sempre uma reta, sendo que para obtê-lo são necessários pelo
menos dois pontos (dois valores de x e seus correspondentes valores de f(x) no plano
cartesiano).
O termo m é conhecido com coeficiente angular, o qual representa a inclinação da reta, ou
seja, é o valor da tangente do ângulo U:
= VWDUE
Onde = é o coeficiente angular que representa a inclinação da reta, ou seja, é o valor da tangente
do ângulo U:
iii)
iv)
v)
= VWDUE
O termo b é conhecido como coeficiente linear e representa o valor de f quando x é zero, ou
seja, o ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas.
O de x para o qual f(x) é zero é denominado “zero da função”, nesse ponto (x,0) a reta corta
o eixo das abscissas.
O sinal do coeficiente angular indica se a função é crescente ou decrescente, ou seja, se para
maiores valores de x se obtém maiores ou menores valores de f(x). Para m>0 a função é
crescente, para m<0 a função é decrescente.
Sinal de uma função
Dada uma função f de R em R definir para quais valores de x f é negativa, nula ou positiva
significa determinar o sinal da função. Esse procedimento é útil no cálculo de inequações. Ex:
6
Para x < x1 ou x>x2 y>0
Para x = x1 ou x = x2 y = 0
Para x1<x<x2 y <0
Inequações
Sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade, os valores da(s) variáve(l)/(eis)
que tornam a sentença verdadeira correspondem à solução da inequação.
Ex: 5x + 3 > 2, solução: x>
6)
.
Inequações simultâneas:
Inequações da forma: f(x) < g(x) < h(x), ou quaisquer outros sinais de desigualdades entre as
funções, compõem inequações simultâneas.
Pode-se decompô-las da seguinte forma:
f(x) < g(x) ...(I)
g(x) < h(x) ... (II)
A intersecção das soluções de (I) e (II) será a solução desse sistema de inequações.
Ex: - 2 < 3x – 1 < 4
-2 < 3x – 1 → x >
3x -1 < 4 → x
.
<,
6)
,
Logo a solução final será a intersecção:
6)
,
.
<x<,
7
Inequações-Produto:
Dados duas funções f(x) e g(x) inequações do tipo f(x)g(x) > 0 ou qualquer outro sinal de
desigualdade são denominadas inequações-produto.
Ex: (3x+3)(5x-3) > 0
Chamando f(x) = 3x + 3 e g(x) = 5x-3, sendo o produto dessa funções é positivo implica que
ou ambas funções são positivas ou ambas funções são negativas. (Lembrar do “jogo” dos sinais – mais
com mais “dá” mais, menos com menos “dá” menos). Com isso pode-se decompor a inequação em duas
e resolver como o caso de inequações simultâneas, lembrando que nesse exemplo em particular há
dois casos possíveis. A união das soluções dos casos possíveis será a solução final da inequaçãoproduto.
1o Caso:
3x+3 >0 ...(i)
5x-3>0...(ii)
Resolvendo (i): x> -1
Resolvendo (ii): x > 3/5
(i) ∩ (ii): x> 3/5
2o Caso:
3x + 3 < 0 ... (i)’
5x-3 <0 ...(ii)’
Resolvendo (i)’: x<-1
Resolvendo (ii)’: x < 5/3
(i)’ ∩ (ii)’: x<-1
Logo, a solução final será a união dos dois casos:
-1>x ou x>3/5
Inequações-quociente:
Inequações da forma:
XDYE
ZDYE
> 0 ou qualquer outro sinal de desigualdades entre os membros. O
procedimento de resolução é análogo ao de inequações-produto, lembrando que não se pode haver
denominador nulo.
Exercícios:
1. Construa o gráfico das funções definidas de R em R:
a)
b)
c)
d)
e)
y = -3
y = 3x
Y
y=*
y = 3x + 2
–x + 1
8
2. Resolva graficamente os sistemas de equações:
a) [
cE _
F 5]
F 1
)
Y6`
)
Y6`
)
Ya`
)
b) [
,
/]
)
– Ya` /
2F 1 ]
2 4F 3
)
Y6`
(Sugestão: Faça
e
)
Ya`
)
3. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos:
a) (2,3) e (3,5)
b) (3,2) e (2,-3)
4. A função f é definida por f(x) = ax +b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3).
5. Obtenha as seguintes equações da reta:
a) Passa pelo ponto (-2,4) e tem coeficiente angular -3.
b) Passa pelo ponto (-2,1) e tem coeficiente linear 4.
c) Passa pelos pontos (3,1) e (9,5).
6. Determine para quais valores de m as funções abaixo serão crescentes, decrescente ou
constante:
a) y = (m+2)x -3
b) y = m(x-1) + 3 – x
7. Estude os sinais das funções definidas nos reais (dizer para quais valores de x a função é
positiva, negativa ou nula):
Y
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Y
x+1 ≤ 7 -3x < * - 1
2-x < 3x + 2 < 4x + 1
(4-2x)(5+2x)<0
(5 – 3x)(7-2x)(1-4x) ≤ 0
(3x+5)² >0
(x-3)5(2x+3)6 <0
(3x-2)³(x-5)²(2-x)x>0
*Ya)
H0
Ya*
.Y6,
,Y6/
)
H 1
*
,
Y6) Y6* Y6,
D)6*YE
≤0
D.6YED,6YE
+
-
,
b) y = , + *
a) y = 4 – x
8. Resolva as inequações:
<0
9
Função Quadrática:
Funções definida de R em R com a seguinte forma geral:
f(x) = ax²+bx+c, a≠0
Características importantes das funções quadráticas:
(i) O gráfico da função quadrática é uma parábola.
(ii) O sinal do coeficiente a defina a concavidade da parábola, a>0 concavidade
concavidade para baixo.
para cima, a<0
(iii) Os valores de x para os quais f é nula são os chamados zeros da função. A função quadrática
pode ter 0, 1 ou 2 zeros distintos. A determinação dessa quantidade provém do valor da grandeza
∆ = b²-4ac.
(iv) O valor de c será o valor de f(x) para x = 0, o gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto (0,c).
(v) Para o caso de a>0 a função admitirá um valor mínimo que será o valor f(x) no vértice da
parábola. Já para a<0 a função admitirá um valor máximo, também no vértice da parábola.
68 6c
(vi) A coordenado do vértice da parábola é: ( *7 , /7 ).
Inequações de 2o grau:
Trata-se de inequações do tipo:
ax²+bx+x >0, ou qualquer outro sinal de desigualdade.
A resolução desse tipo de inequação leva em consideração o estudo do sinal da função
quadrática.
Ex: x² - 3x + 2 >0
10
Seja a função: f(x) = x² - 3x + 2, graficamente tem-se:
Nota-se que os valores para os quais f(x) >0 são:
x<1 ou x>2
Exercícios:
1. Construa os gráficos das seguintes funções definidos nos reais:
a) y = x²
b) y = x² - 2x + 4
2. Determine uma função quadrática tal que f(-1) = -4, f(1) = 2 e f(2) = -1.
3. Seja f(x) = ax²+bx+c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = -2, determine o produto abc.
4. Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m-1)x² + (2m+3)x + m tenha dois
zeros reais e distintos.
5. Determine os valores de m para que a função f(x)= mx² + (m+1)x + (m+1) tenha um zero real e
duplo.
6. Determine o parâmetro m na equação x²+mx+m²-m-12 = 0, de modo que ela tenha uma raiz nula
e outra positiva.
7. Obtenha uma equação do segundo grau com raízes 1+√3 e 1-√3.
11
8. Determine os vértices das parábolas:
a) y = -x²+3x
b) y = x²- - x -2
,
9. Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4cm, estando a
base do retângulo num lado do triângulo.
10. Resolva as inequações:
a) x² - 6x + 9 ≥ 0
,
b) –x² + * x +10>0
c) (1-4x²)(2x²+3x)>0
Y²a,Y6)3
d) 6Y²a-Y6)4 ≥ 1
e) 4<x²-12≤4x
11. Determine m de modo que a equação (m-1)x² + (2m+3)x+m =0 admita raízes de sinais
contrários.
12. Sejam p e q reais, se a equação em x:
x² +p²x+q²+1 =0
tem duas raízes reais, x1 e x2, qual o sinal dessas raízes?
Funções de grau superior (≥3)
Tais funções aparecem com menos freqüência em problemas elementares, seu estudo faz-se
mais convenientemente utilizando-se ferramentas do cálculo, como derivadas, o que será visto na
disciplina Cálculo I.
O número máximo de raízes reais distintas que tais funções podem apresentar é igual ao grau da
função.
12
3. Funções Trigonométricas
São funções periódicas cujo valor da função depende do ângulo descrito no círculo trigonométrico.
O valor do cosseno do ângulo está representado no gráfico no eixo horizontal entre o intervalo
f1; 1g, o valor do seno do ângulo está representado no gráfico no eixo vertical entre o intervalo f1; 1g, e
o valor da tangente do ângulo está representado no gráfico no eixo vertical deslocado uma unidade para
direita entre o intervalo D∞; ∞E.
Identidades Trigonométricas
As identidades trigonométricas são as seguintes:
;<i * DUE i$W* DUE 1
D1E
essa identidade pode ser demonstrada utilizando o teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras
tanDUE i$WDUE
,
cos DUE
cotanDUE * * ; *
;<iDUE
,
senDUE
13
secDUE 1
,
cos DUE
cosecDUE 1
senDUE
VW* DUE 1 i$; * DUE
D2E
Demonstração da identidade (2):
VW* DUE 1 i$W* DUE
i$W* DUE ;<i * DUE
1
1
i$; * DUE.
*
*
;<i DUE
;<i DUE
;<i * DUE
cosD E cosDE cosDE i$WDEi$WDE
Demonstração da identidade (3):
Temos que os pontos são os seguintes:
D3E
o) DcosDE; i$WDEE
o* D1; 0E
o, DcosDE ; i$WDEE
o/ DcosDE ; i$WDEE
o. DcosD E ; i$WD EE
Note que a distância entre os pontos o) e o/ é igual à distância entre os pontos o* e o. . Temos que:
q
DcosDE cos DEE* DsenDbE senDaEE* DcosDa bE 1E* sen* Da bE
2 2cosDEcosDE 2senDEsenDE cos * Da bE 2 cosDa bE 1 sen* Da bE
q
r
2cosDEcosDE 2senDEsenDE 2 cosDa bE
cosDa bE cosDEcosDE senDEsenDE
i$WD E i$WDE cosDE cosDE i$WDE
tanD E tanDE tan DE
1 tan DEtan DE
14
D4E
D5E
Exercícios:
1. Mostre que
2. Mostre que
3. Mostre que
4. Mostre que
;<i * DE i$W* DE i$WDEi$WDE i$WDE;<iDE 1 cosD2E
2
1 cosD2E
2
cosD E cos D E
2
senD E senD E 2
5. Esboce no gráfico abaixo as funções trigonométricas i$WDE, ;<iDE e VWDE.
15
4. Limite e Funções Contínuas
Revisão
a) Função de uma variável: Uma relação entre dois números é chamada de função se, e somente se, dado dois
conjuntos onde um é a imagem e outro é o domínio. Onde um elemento do domínio se relacione com
apenas um elemento da imagem.
b) Podemos denotar uma função como sendo y=f(x), nesse caso o conjunto de todos os valores que x pode
assumir chama-se domínio e os valores que y pode assumir chama-se imagem.
c) Uma função f(x) é igual a g(x) se, e somente se, todos os elementos dos conjuntos imagem e domínio das
duas funções forem iguais.
d) O gráfico de uma função, como o próprio nome já diz, mostra a relação entre os dois conjuntos imagemdomínio graficamente. É importante frisar que se temos a relação algébrica, temos o gráfico
automaticamente, mas se tivermos apenas alguns pontos particulares é necessário cuidado, pois não
necessariamente podemos esboçar o gráfico somente com eles.
e) O gráfico de uma função pode ser esboçado em qualquer sistema de coordenadas, porém o mais comum é
o plano cartesiano.
Limites
Imagine uma função que relaciona um valor da aresta com o valor da área do quadrado. É claro que essa
função seria do tipo:
?DE ²
Nesse caso cada valor da aresta se relaciona com apenas um valor de área. Porém note que para valores
simétricos (2,-2) temos o mesmo valor de área.
Agora imagine que nos aproximamos do valor de aresta igual a 3, é claro que quanto mais se aproximamos
do valor de 3 mais a área tende a 9. Nesse caso dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a 3 é 9. Em
notação matemática temos:
lim ?DE 9
YC,
Agora se tivermos uma função qualquer: g(x)=y, tal que g(x)L sempre que x4 , ou seja, sempre que x
tende a um valor de x particular. Então dizemos que:
lim IDE x
YCYw
Assim temos uma representação do limite. Podemos encarar o limite como uma função (“Função limite”).
Existe uma definição formal para o limite, mas não iremos preocupar-se com ela nesse curso de nivelamento, pois
não é de grande utilidade nos problemas da Física. Por hora trataremos apenas da noção intuitiva de limite.
OBS.: Nem sempre existe o limite para um ponto em particular da função, um limite só existe se obedecer às duas
condições que iremos mostrar mais tarde. Por hora faremos exemplos em que os limites em questão sempre
existam.
16
Exercícios
1) limYC/ 5 3
,Y²a/Y
/Y
,Y²6/Y6/
limYC* DY6*E
2) limYC4
3)
4) No caso do exemplo 4 como é gráfico da função em qual é estudada o limite?
DICA: Você já deve ter percebido que o limite de uma função existe mesmo que ela não esteja definida no ponto em
questão. Podemos dizer que:
“Na determinação do limite de f(x), quando x tende para a, não interessa como f está definida em a (nem mesmo se
f está definido). A única coisa que interessa é como f está definida para valores de x na vizinhança de a.”
5) limYC*
6) Dada:
Y²6/
Y6*
?DE Calcule:
2 i$ 2]
6 i$ 2
lim ?DE
YC*
Limites laterais e condição de existência de limites
Limite lateral a direita de ?DE quando tende a 4a :
lim ?DE x
YCYwz
Limite lateral a esquerda de ?DE quando tende a 46 :
lim ?DE x
YCYw{
O limite da função ?DE quando tende a 4 existe e é igual a x se e somente se ambos os limites laterais
existe e são iguais a x. Ou seja,
lim ?DE x
YCYw
|
lim ?DE limz?DE x
YCYw{
YCYw
Exercícios
1) Mostre que todos os limites acima existem e dê um exemplo de um limite que não existe.
DICA: para a segunda parte do exercício use uma função parecida com a do exercício 7.
Propriedade dos limites
Os limites obedecem algumas propriedades, ou seja, algumas relações algébricas que são verdadeiras
quando são utilizadas com limites. Abaixo seguem algumas dessas propriedades:
17
Seja ?DE ;, onde ; é uma constante, temos que:
lim ?DE lim ; ;
YCYw
Seja:
lim ?DE x)
$
YCYw
temos que:
D1E
YCYw
lim IDE x*
YCYw
lim f?DE IDEg x) x*
D2E
YCYw
lim f?DE · IDEg x) · x*
YCYw
lim }
YCYw
?DE
x)
~ ,
IDE
x*
IDE, x* 0
Q
lim f?DEgQ  lim ?DE€ xQ) ,
YCYw
YCYw
lim |?DE|  lim ?DE
YCYw
D3E
WH0
D6E
YCYw
D4E
D5E
Exercícios
Resolva os limites abaixo utilizando as propriedades acima e sabendo que lim ?DE 9 e lim IDE 4.
YC,
a) limYC, f?DE IDEg
b) lim f3?DE 2IDEg
YC,
c) lim ‚?DE · IDE
YC,
XDYE
d) lim ƒZDYEƒ
YC,
Continuidade
•
•
•
Uma função ? é contínua em 4 se:
? está definida em 4 , ou seja ?D4 E existe;
limYCYw ?DE x;
limYCYw ?DE ?D4 E.
Exercícios
Indique quais das 7 funções do primeiro exercício são continuas e quais não.
18
YC,
5. Funções Exponenciais
Funções exponenciais
Sejam a e b constantes reais, uma função exponencial em x é uma função que pode ser escrita na forma:
?DE . Y
Onde 0, H 0 $ 1. A constante a é o valor da função quando 0 e b é a base.
Propriedades
„6Q „aQ „ Q
„
i$ = H W
Q
„
„
1 2 „
D„ EQ „Q
DE„ „ „
Função exponencial na base e
Qualquer número exponencial pode ser escrito em termos da base e:
?DE . $ …Y
O que é o número e?
É a inicial do nome de Leonhard Euler (1707-1783), responsável por introduzir a notação. Como ?DE $ Y
tem propriedades especiais no cálculo que simplificam muitas contas, então e é a base natural da função
exponencial, definida como:
1 Q
$ lim ‡1 ˆ 2,7182818 …
QC†
W
Gráficos e transformação de funções exponenciais
lim Y ∞
YCa†
lim Y 0
YCa†
lim Y 0
YC6†
lim Y ∞
YC6†
i$ H 1
i$ 0 G G 1
i$ H 1
i$ 0 G G 1
19
a) ‹DŒE Œ
b) ‹DŒE ŽŒ
Funções hiperbólicas
Podemos escrever funções hiperbólicas definidas a partir de combinações de funções exponenciais, tais como:
Exercícios
$ Y $ 6Y
coshDE 2
$
$ Y $ 6Y
senhDE 2
Identifique o valor da constante e da base das funções abaixo:
a) ?DE 3Y
b) ?DE 6 6/
c) ?DE 2. 1,5Y
d) ?DE 5.2
2. Esboce o gráfico das funções exponenciais a seguir:
a) ?DE $ Y6*
b) IDE $ 6Y
c) LDE 4. $ Y
d) KDE $ *Y
3. Defina as funções hiperbólicas VWLDE, sechDE, cschDE $ cothDE em termos de funções exponenciais.
4. Mostre que cosh²(t) - senh²(t) = 1.
1.
Funções Logarítmicas
Teorema: Seja ?: 'a C ' uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) tal que
?DFE ?DE ?DFE para quaisquer x,y Є 'a . Então existe a>0 tal que ?DE log 7 para todo x Є '.
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Se H 0 $ 0 G 1, então:
F log 8 se, e somente se,
` Exemplos:
a) log * 8 3, pois 2, 8
)
*
b) log * √3 , pois 3
)5
* √3
c) log / 1 0, pois 44 1
Propriedades
1)
Regra do Produto: log 8 D ”•E log 8 ” log 8 •
2)
Regra do Quociente: log 8 D E log 8 ” log 8 •
–
—
3E Regra da Potência: log 8 ” 9 ; log 8 ”
Logaritmos com base e
Os chamados logaritmos naturais ou ln são a inversa da função exponencial ?DE $ Y .
?DE log ˜ ln se, e somente se, $ ` F ln Assim:
Gráficos
f(x) = x
f(x) = ln x
Exercícios
1. Calcule:
a)
)
log . *.
b) log . 25
c) log - 7
d) log 0 4
2. A partir das propriedades dos logaritmos, transforme ln D8F / E em uma soma logarítmica.
3. Transforme ln . 2ln DFE em apenas um logaritmo, utilizando as suas propriedades.
4. Esboce o gráfico das seguintes funções:
a) ?DE ln D 2E
b) IDE ln D3 E
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