Neste tópico discutiremos as EDOs atreladas ao Bernoulli

ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
AULA 02: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TÓPICO 02: REVENDO TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
VERSÃO TEXTUAL
Neste tópico discutiremos as EDOs atreladas ao Bernoulli,
equações exatas e equações homogêneas.
EDOS DE BERNOULLI
DEFINIÇÃO
Uma EDO de primeira ordem é dita ser de Bernoulli quando pode ser
escrita na forma:
Repare que para n = 0 ou n = 1 já sabemos resolver (ou não?).
Jakob Bernoulli[1]
E COMO RESOLVER, NOS OUTROS CASOS?
Já sabemos que para resolver algumas integrais uma estratégia é fazer
mudança de variável. Desta feita, seja u = y 1 - n, com n diferente de 0 e 1. Por
quê? Conforme historiadores da matemática, tentativas e erros consolidaram
a estratégia a ser utilizada.
Mas, prestem atenção aos expoentes de y... São “n” e “1”...
Com efeito, derivando ambos os membros da equação u = y
relação a variável x, temos:
1 - n
em
Organizando a escrita:
Substituindo na equação:
Temos:
Multiplicando ambos os membros da igualdade pelo inverso do
coeficiente de du/dx e fazendo a substituição u = y 1 - n chegamos em:
FÓRUM
Para debater no fórum:
(1) O que aconteceria se a substituição fosse u = y n - 1?
(2) Que estratégias seguir para resolver equação de Bernoullli?
EXEMPLOS
1) Y’ – 2xy = xy³
SOLUÇÃO
Notar que n = 3. Assim, ficamos com u’ + (– 2)(-2)xu = (-2)x .:
u’ + 4xu = - 2x
Comparando com:
Cuja solução é:
+C
Segue-se:
+C
De onde:
Por fim:
Como partimos da variável dependente y, devemos deixar a
solução em função dela. Como u = y-2, segue-se que uy² = 1 .: y² =
1/y. CONCLUIR!!!
2) Y’ = 4x-1y + xy1/2
SOLUÇÃO
Reescrevendo: Y’ - 4x-1y = xy1/2
Neste caso, n = ½
Daí, u’ + (1 – ½). - 4x-1u = (1 – ½) x
Ou seja, u’ + 2x-1u = – ½ x
Comparando com:
Cuja solução é:
+C
Segue-se:
+C
Lembrar que ∫
(inserindo constantes só no final...)
Organizando,
Ficou fácil... Concluir.
EDOs de Riccati não serão aqui debatidas. Todavia, discutir exemplos
destas EDOs no fórum.
EDOS EXATAS
DEFINIÇÃO
Uma EDO de primeira ordem do tipo
se existir uma função u(x, y) tal que
é dita EXATA
.
FÓRUM
VERSÃO TEXTUAL
Quando saber que uma EDO é exata?
Enunciarei parcialmente um teorema cujo enunciado completo
e respectiva demonstração devem ser debatidos no fórum:
é EXATA se
E como resolver?
Pensar “ao contrário”!
De ux = M(x,y), vamos integrar ambos os membros da
igualdade em relação à variável x.
Assim, u = ∫M(x,y)dx + g(y).
Por que apareceu g(y)? Porque ao derivar em relação à variável
x, y “se comporta” como constante.
Agora, derivar em relação a y a igualdade u = ∫M(x,y)dx + g(y),
não esquecendo da hipótese... uy = N(x,y).
Vamos aos exemplos para fixar melhor a ideia!
EXEMPLO 3
•
SOLUÇÃO
Note que M = 2x/y³ e N = (y² - 3x²)/y
4
.
Verificando se é exata:
■ Derivar M em relação a y. Ou seja, x “se comporta” como
constante: M y = -6xy -4
■ Derivar N em relação a x. Ou seja, y “se comporta” como
constante, antes de derivar, notar que podemos reescrever N =
(1/y²) – (3x²/y 4): N x = -6xy -4
De M = 2x/y³ vamos integrar em relação a x:
=u
Agora, derivar em relação a y: u
Igualando
com
-6xy
y
= g’(y)
-4
segue-se
que
Integrando, não esquecendo que x “se comporta” como
constante:
Por fim, é só substituir em u =
.
Concluir.
EXEMPLO 4
• (x³ + y³) + 3xy².y’ = 0
SOLUÇÃO
Verificar se é exata.
M(x, y) = x³ + y³ .: M
N(x, y) = 3xy² .: N
x
y
= 3y²
= 3y²
Pela igualdade observada, encontrar a função.
Partir de N(x, y) desta vez. Pois é indiferente a escolha!
Integrar N em relação a variável y: ∫3xy²dy = xy³ + g(x).
Agora, derivar em relação a x e igualar: y³ + g’(x) = 3y².
Organizando, g’(x) = 3y² - y³ .: g(x) = (3y² - y³)x + C
Daí...
Observação: como resolver M(x, y) + N(x, y).y’ = 0 se não for
exata?
EDO HOMOGÊNEA
DEFINIÇÃO
Uma função f: A
⊂ R²
R é homogênea de grau n se para todo k real f
n
(kx, ky) = k f(x, y) para qualquer (x, y)
∈ A.
EXEMPLOS
5. F(x, y) = x² + 3xy + y² é de grau “2”. Com efeito, F(kx, ky) = (kx)² +
3.(kx)(ky) + (ky)² = k²(x² + 3xy + y²).
6. F(x, y) = sen(xy) NÃO é homogênea. Pois, sen(kxky) = sen(k²xy) ≠
k²sen(xy).
Considere que M e N sejam homogêneas com mesmo grau, na equação
diferencial:
M(x, y) + N(x, y).y’ = 0
Assim, y’ = - M(x,y)/N(x,y).
OBSERVAÇÃO
Tem um resultado das funções homogêneas que argumenta o
seguinte: Seja f(x, y) homogênea de grau n. Considere (x, y) no domínio da
função e x não nulo. Seja k = 1/x. Assim,
.
Com base nessa observação:
Ou seja, a equação está dependendo do quociente y/x. Sim, e daí? – você
pode indagar!
Ora, podemos fazer uma mudança de variáveis... Vide exemplos:
EXEMPLOS
7. Resolver x² + 3xy + y² - x²y’ = 0.
SOLUÇÃO
Note que:
■ M(x, y) = x² + 3xy + y² .: My = 3x + 2y
■ N(x, y) = -x² .: Nx = -2x
Não é exata esta equação.
Todavia, M e N são homogêneas e possuem o mesmo grau –
confere?
Desta feita, seja v = y/x ou vx = y. Logo,
– usando a
derivação do produto – recordam?
Daí, x² + 3xy + y² - x²y’ = 0
–
substituímos “y” e “dy/dx”.
Organizando a escrita: x² + 3x²v + x²v² - x²(x.v’ + v) = 0.
Simplificando por x²(lembram que é homogênea de grau 2?)
1 + 3v + v² - x.v’ + v = 0.: v² + 4v + 1 = x.v’ .: v² + 4v + 4 – 4 + 1 =
x.dv/dx
(v + 2)² - 3 = x.dv/dx
Integrando ambos os membros da igualdade... Lembrando que,
em relação à variável v, podemos realizar nova mudança de variável,
para comparar com tabela da aula 1 seja u = v + 2 .: du = dv .:
...
Concluir!
8. Obter a solução geral de x²y – y³.y’ = 0.
SOLUÇÃO
Percebam que não é exata, todavia M e N são homogêneas de
grau 3.
Considere v = y/x. Por conseguinte, y = xv
Substituindo, x²y – y³.y’ = 0
x³v – x³v³.(xv’ + v) = 0
y’ = xv’ + v.
x²(xv) – (xv)³.(xv’ + v) = 0
Simplificando por x³... v – v³(xv’ + v) = 0
nova simplificação por v... 1 – v³ = xv²v’
v – v4 = xv³.v’ –
Conclusão é por conta de vocês...
FÓRUM
Debater as conclusões dos exemplos.
Observação
Por qual motivo nos interessa tais EDOs em detrimento de outras? Por
estarmos em um curso de Licenciatura, a maneira de resolver, isto é, as
estratégias utilizadas, são o norte a seguir. Desta feita, outras EDOs não
serão aqui estudadas, pois estamos em um curso introdutório cujo foco é o
raciocínio a seguir.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Escolha e resolva SOMENTE um dos itens de cada questão.
1. As EDOs abaixo são separáveis, encontre a solução geral:
a) Y’ = 1 + x + y² + xy²
b)
2. Resolva:
a)
b)
3. Determine a solução de:
a) Y’ + xy = x³y³
b) Y – y’.cosx = y²cosx(1 – senx)
4. Verifique se a EDO é exata e encontre a solução geral.
a)(y³ – x)y’ = y
b)(x – 4y)y’ + y – 3x² = 0
5. Verifique se a EDO é: (i) exata, (ii) homogênea, e (iii) encontre a
solução geral, sendo ou não exata:
a) X + 4y + 2x.y’ = 0
b) X² + y² + (2xy + y²)y’ = 0
FONTES DAS IMAGENS
1. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Jakob_
Bernoulli.jpg/200px-Jakob_Bernoulli.jpg
Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual