1a Serie

Constantes
Constante de Gravitação Universal: G = 6.67 × 10−11 N m2 Kg−2
Velocidade do som no ar: vsom = 344m/s
velocidade da luz no vácuo c = 3 × 108 m/s
mH = 1.0081 u.m.a., mHelio = 4.0039 u.m.a., 1 u.m.a = 1.66 × 10−27 kg;
distância da Terra ao Sol: D=1.5 × 1011 m;
luminosidade solar L⊙ = dE/dt = 3.827 × 1026 W Massa da Terra: M = 6 × 1024 kg,
Terra R = 6400 km
Raio da
1. Férias. Quase quuaase.
Quando viajar lembre-se que o funcionamento de vários sinais luminosos e de telefones SOS
colocados ao longo das estradas é assegurado por painéis solares.
(a) Estime qual a energia máxima que se consegue armazenar num painel solar durante uma
hora se o painel tiver uma área de 50 cm × 50 cm e na suposição que o painel tem um
sistema que lhe permite assegurar a incidência da luz do Sol na perpendicular. Considere
que o rendimento do painel é de 15 %, que o sistema electrónico consome pouca energia
e que só 35% da radiação incidente na atmosfera atinge a superfı́cie da Terra. Os valores
médios da luminosidade solar e da distância Terra-Sol são dados nas Constantes primeira
folha do enunciado. Sugestão: comece por calcular a energia recebida por segundo na
superfı́cie do painel.
(b) Suponha que o Sol teve uma luminosidade constante durante todo o perı́odo de vida
estimado em 4.5 mil milhões de anos. Determine qual a quantidade de massa que o Sol
perdeu por radiação durante 4.5 mil milhões de anos. Compare o valor obtido com o
valor para a massa da Terra. Nota: Recorde a equação de Einstein: E = m c2
2. Na escala de Vega, o Sol tem uma magnitude aparente magsol = -26.5. A estrela Polar é
uma supergigante amarela situada a 430 anos-luz da Terra e situa-se na constelação da UrsaMenor, próximo do Norte celeste. A magnitude aparente da estrela Polar é mag = 2.0. Por
definição, a magnitude de uma estrela é mag= -2.5 log10 F + Const, onde F o fluxo recebido
da estrela (energia por segundo e por m2 ).
(a) Qual o quantidade média de energia solar recebida na Terra, por m2 e por segundo?
(b) Compare o valor obtido para a energia recebido do Sol, por m2 e por segundo, com
a energia que receberia da estrela polar, por m2 e por segundo, se esta se encontrasse
a uma distância semelhante à que o Sol se encontra da Terra. Sugestão: comece por
calcular a distância entre a Terra e a estrela Polar.
3. A energia solar usada para o abastecimento de energia a uma nave espacial.
1
(a) Qual a quantidade de energia solar que recebe uma nave espacial durante um ano se
estiver situada a uma distância do Sol semelhante à distância a que a Terra se encontra
do Sol. Considere que a superfı́cie dos painéis solares é 50 m2 . Dê a resposta em
Wh. Sugestão: Comece por calcular a energia solar recebida por segundo (dE/dt) numa
superfı́cie de 50 m2 de painéis solares de uma nave espacial situada a uma distância do
Sol semelhante à distância a que a Terra se encontra do Sol.
(b) Qual deveria passar a ser a área dos painéis solares se a nave passasse para uma uma
distância 3 vezes superior para que continuasse a receber a mesma potência incidente do
Sol? Justifique a resposta.
4. Uma amostra com isótopo radioactivo de iodo 131 I, com T1/2 =8,04, dias apresenta uma
radioactividade de 5 mCi quando é produzida em Laboratório. Essa amostra é posteriormente levada para um Hospital onde fica armazenada. Antes de ser utilizada verificase que apresenta uma radioactividade de 4, 2 mCi. Quanto tempo passou desde que a
amostra foi produzida até que, no Hospital, se preparam para a utilizar? Recorde que
1 Ci = 3, 7 × 1010 Bq = 3, 7 × 1010 dec/s . Sugestão: pode eventualmente começar por calcular
λ, a constante de decaimento para o 131 I.
5. Chegou a sua vez de assegurar o comando de uma nave espacial que desde o dia 20 de Maio
está em manobras de aproximação ao planeta Z ∗ . Actualmente a nave está numa órbita
circular em torno desse planeta com um raio de 35 000 Km, por razões de segurança. O
planeta Z ∗ é um planeta exterior de um sistema extra-solar e tem a uma massa semelhante à
massa da Terra. Os cientistas receberam inicialmente um sinal estranho vindo desse planeta
e agora pretendem perceber umas manchas verdes que aparentemente se movem à superı́cie.
Perguntam-lhe por isso se pode passar para uma nova órbita circular com raio de 8750 km.
A massa total da nave, incluindo os astronautas, é 20000kg. Essa massa manter-se-á praticamente inalterada na viagem pois os motores com que está equipada a nave usam combustı́vel
da nova geração GF-PT.
(a) É possı́vel que, sem fazer nada, i.e só por acção da força gravı́tica do planeta, a nave
“caia’ de uma órbita circular estável com raio de 35000 km para uma órbita circular de
8750 km?
(b) Qual a energia total da nave quando começou a analisar o problema? Qual a relação
entre a energia potencial e a energia total?
(c) Qual a velocidade orbital, energia cinética e a energia potencial que terá obrigatoriamente
a nave para estar em órbita circular a 8750 km? Compare com o resultado da alı́nea
anterior e diga se para fazer a manobra precisa de accionar os motores.
(d) Como comandante da nave só pode aceitar passar para uma órbita inferior se conseguir
assegurar que os depósitos de energia de reserva da nave lhe permitirem, em situação
de emergência, afastar-se do planeta libertando-se completamente da força de atracção
gravı́tica deste. Qual a energia que obrigatoriamente deverá ter de reserva quando estiver
em a órbita a 8750 km?
6. Como é do seu conhecimento, a energia potencial gravı́tica de um corpo de massa m à superfı́cie da Terra é geralmente dada por Ep = mgh, onde h é a altura sobre a superfı́cie da
Terra a que se encontra o corpo de massa m, g = 9.8 m/s2 . Por outro lado, a energia potencial
gravı́tica de um corpo de massa m a uma distância R do centro da Terra, sendo R maior que
2
o raio da Terra, é dada por
GM m
,
R
onde G é a constante de Newton e M a massa da Terra.
Ep = −
(a) Explique por que motivo para R = RTerra + h e h << RTerra se podem usar as duas
expressões para energia potencial de um corpo de massa m próximo da superfı́cie da
Terra.
(b) Use a relação entre força e energia potencial e calcule num e noutro caso, i.e usando
cada uma das expressões para a energia potencial acima referidas, a força gravı́tica que
actua em m se h = 10 m e h = 5 × 103 m. Determine o valor para g em cada situação.
(a) (12/04/2006) Qual a energia mecânica de uma nave (m = 5 × 103 kg) em órbita em torno
da Terra a uma altitude de 500 km? Considere que a nave está unicamente sujeita à
força gravı́tica terrestre. Para responder, indique as expressões para a energia potencial,
a velocidade orbital da nave, a energia cinética da nave e a relação entre a energia
potencial e a energia mecânica da nave.
(b) Qual a energia que deverá ser dissipada por atrito, para que a nave consiga parar à
superfı́cie da Terra? Considere que a aterragem se dá numa pista à latitude do Equador.
Comece por calcular a energia potencial na nave à superfı́cie da Terra e posteriormente
calcule a velocidade de qualquer ponto à superfı́cie da Terra no Equador, devida a rotação
da Terra em torno do seu eixo.
7. Considere o sistema da figura 1.1
(a) Represente esquematicamente as forças que actuam nas massas m1 e m2 , presas nos
ganchos 1 e 2, respectivamente.
(b) Qual a relação entre a aceleração de m1 e a aceleração de m2 ? E a relação entre as
tensões aplicadas em cada massa? Justifique.
(c) Escreva as equações de movimento para cada massa. Calcule as expressões para as acelerações e tensões relativas a cada massa.
(d) Qual a relação entre as massas m1 e m2 para que os sistema esteja em equilı́brio?
(e) Se as massas forem iguais o que acontece ao sistema?
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(f) Pretende-se usar o sistema de roldanas da Fig 1.2 para elevar e colocar uma pedra sobre
um tapete rolante. A massa da pedra é M = 100kg. O sistema de roldanas está suspenso
ao tecto num carril. Compare a força que será necessária para elevar a pedra do chão e
pôr no tapete rolante nas seguintes situações: i) prende a pedra no gancho 1 e puxa em
~1 ) .
2 (F~2 ); ii) prende a pedra no gancho 2 e puxa em 1 (F
8. Considere os sistemas representados nas figuras seguintes e indique, em cada caso, que força
deverá aplicar para equilibrar um peso de 20 kg.
9. Suponha que, como Engenheiro e por estar devidamente preparado, se candidatou ao seguinte
Projecto: construção de um tapete rolante que permita o transporte de bagagens dos passageiros dos aviões desde o nı́vel onde são descarregadas até ao nı́vel onde podem ser recolhidas. Com o tapete rolante as bagagens serão elevadas 3 metros.
(a) Qual poderá ser o comprimento mı́nimo do tapete rolante para que as bagagens subam o
tapete sem deslizar. Considere que o atrito estático máximo entre as bagagens e o tapete
rolante é tipicamente µ = 0.57. Para resolver o problema represente esquematicamente
as forças que actuam numa mala e determine o angulo α máximo que o tapete pode
fazer com o chão.
(b) Considere que, por qualquer razão (por exemplo estética ou financeira) a empresa que o
contratou lhe impõe um limite máximo para o comprimento do tapete rolante e que é inferior ao que determinou na alı́nea anterior. Naturalmente não vai perder a oportunidade
de mostrar que consegue apresentar uma proposta alternativa e ainda mais competitiva.
Qual é essa proposta, i.e quais deverão ser os novos parâmetros do sistema? Pode mudar
o que quiser mas justifique bem a resposta, de um modo convincente, pois esperam-se
73 propostas e só será escolhida uma, talvez a sua.
10. Uma seta e um alvo estão inicialmente à mesma altura h1 do chão, sendo h1 = 1.5 m. A
distância da seta ao alvo é de D = 2 m. Um dispositivo assegura que quando a seta é lançada
no sentido do alvo, o alvo é deixado cair na vertical sem velocidade inicial. Verifica-se que a
seta atinje o alvo a uma altura do chão h2 = 0.5 m.
(a) Qual o intervalo de tempo entre o instante em que a seta é lançada e o instante em que
chega ao alvo?
(b) Qual a velocidade inicial da seta?
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11. Pretende-se que uma bola, lançada com velocidade inicial vo , atinja - no ponto mais alto da
sua trajectória - a caixa de uma carrinha colocado em cima de uma mesa. A altura da mesa
é h = 0, 9 m e está a 2 metros do ponto de lançamento. Calcule a velocidade inicial da bola
e o ângulo de lançamento.
12. Uma bola (A) é lançada com uma velocidade inicial ~vo,A = v0~ex (m/s) de uma altura h . A
uma distância D está uma outra bola (B), à mesma altura h. Um mecanismo assegura que a
bola A é lançada na direcção da bola B e exactamente no mesmo instante em que a bola B
é deixada cair sem velocidade inicial. As massas de A e B são iguais.
(a) Qual a velocidade mı́nima que deverá ter a bola A para que possa colidir com a bola B,
em função da distância D e da altura h?
(b) Nas alı́neas seguintes considere ~vo,A = 5~ex (m/s) e h = 1, 5 m, D = 2 m. Se por
falha dos sistema, A e B fossem lançadas em instantes diferentes e não houvesse colisão,
quais seriam as componentes das velocidades de A e B quando tocassem no chão? Ao
fim de quanto tempo A e B chegariam ao chão?
(c) Considere os valores indicados no enunciado, nomeadamente que a bola (A) é lançada
com uma velocidade inicial ~vo,A = 5~ex (m/s). Ao fim de quanto tempo se dá a colisão?
(d) A que altura do chão se dá a colisão?
(e) Quais as componentes da velocidade (vx,A , vy,A ) para a bola A e (vx,B , vy,B ) para a bola
B no instante antes da colisão?
(f) Considere que a colisão entre A e B é uma colisão elástica. Calcule as componentes
(vx∗ , vy∗ ) das velocidades de A e B logo após a colisão. Justifique a resposta considerando
que há conservação da energia cinética e conservação do momento linear durante a
colisão.
(g) Calcule as coordenadas (xA , yA ) do ponto onde A atinje o solo e as coordenadas (xB , yB )
onde B atinje o solo.
(h) Considere agora que A e B foram lançadas em instantes diferentes, não colidem, e determine as coordendas em que tocam no chão.
13. A escolha de um referencial e de um sistema de eixos adequado pode simplificar bastante a
análise do movimento de um corpo. Para o demonstrar, na aula teórica analisou-se o caso do
movimento circular uniforme de um corpo usando coordenadas polares (r, ϕ), como definido
na figura seguinte.
Seja ~r o raio vector que caracteriza a posição do corpo A e ~r = xe~x + y e~y . Seja r o módulo
de ~r. Os versores e~r e e~ϕ estão definidos na figura 3.
(a) Defina o vector ~r em coordenadas polares.
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(b) Sabendo que o ângulo ϕ varia com o tempo, considere ω = dϕ/dt. Calcule a velocidade
~v = d~r/dt em coordenadas polares. Indique as componentes radial e tangencial da
velocidade. Sugestão: comece por calcular de~r /dt e de~ϕ /dt.
(c) Calcule a aceleração do móvel em coordenadas polares no caso particular do movimento
circular uniforme. Identifique as componentes radial e tangencial. Qual a aceleração
centrı́peta?
(d) Obtenha a expressão para ~v e ~a em coordenadas cartesianas (x, y) para o movimento
circular uniforme.
14. Num simulador de vôo de um Boeing 737 pretende-se simular uma travagem do avião após
uma aterragem. O comandante tem 1000 metros de pista para parar e tocou a pista a 180
km/h. A sensação de travagem é conseguida inclinando o módulo do simulador. Qual o
ângulo a que se deve inclinar o módulo do simulador para simular esta travagem e para que o
piloto sinta a mesma desaceleração? Quais as forças qua actuam no piloto durante a travagem
real e no simulador? Para Fı́sicos: quais as conclusões desta experiência no que diz respeito
à comparação entre a massa gravitacional e a massa inercial?
15. A cadeira de um piloto de um avião de testes está ligada a uma balança, sendo que o piloto
fica sentado na balança. No solo a balança indica uma força de 800 N.
(a) Qual o valor indicado na balança durante a fase de vôo em que a altitude do avião é
constante e igual a h=10.000m, a velocidade do avião é de 900 km/h.
(b) A que velocidade deveria ir o avião para que a uma altitude de 10.000m a força na
balança se anulasse?
16. Um avião em vôo cruzeiro prepara-se para fazer uma curva. Durante esta a manobra as asas
do avião terão que fazer um ângulo α com a horizontal. Se o ângulo α durante a manobra de
um avião puder tomar um valor máxino de 45o e o módulo da velocidade do avião se mantiver
igual à velocidade em cruzeiro v = 900km/h, calcule o raio mı́nimo da trajectória. Considere
a massa do avião M=103 kg. Sugestão: relacione o ângulo com as forças que actuam no avião
durante a manobra.
17. Um avião, que se desloca com uma velocidade v = 900km/h a uma altitude h =12000m, tem
que fazer uma curva de raio R=5000m. A massa do avião com o piloto é 19150 kg.
(a) Represente esquematicamente quais as forças que actuam no avião, do ponto de vista do
piloto e do ponto de vista de um controlador aéreo situado numa torre de controlo de um
aeroporto. Qual a expressão para a aceleração do avião em cada um dos referenciais?
(b) Seja α o ângulo que as asas do avião fazem com o horizonte durante a manobra. Qual
o valor de α para que durante a manobra o módulo da velocidade do avião se mantenha
igual á velocidade em cruzeiro v = 900km/h?
(c) Qual a relação entre a força de sustentação do avião durante a manobra e anteriormente
à manobra indicada?
(d) Qual seria o raio de curvatura da trajéctoria se a velocidade do avião fosse 1480 km/h
e o piloto sentisse uma aceleração centrı́fuga a = 6g?
18. Qual o trabalho da força gravı́tica, F no deslocamento de um corpo de massa m de um ponto
situado a uma distância inicial ao centro da Terra, Ri , até um ponto situado a uma distância
final Rf do Centro da Terra. Considere que o movimento só tem componente radial. Compare
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a situação em que o corpo se aproxima com a situação em que o corpo se afasta do centro da
Terra. Considere que o mdulo da força força gravı́tica é dada por
F =
GMTerra m
R
19. Qual o trabalho da força gravı́tica, F no deslocamento de um corpo de massa m de um ponto
situado a uma altitude, hi , até um ponto situado a uma altitude final hf sobre a superfı́cie
da Terra. Considere que o movimento ocorre perpendicularmente à superfı́cie. Compare a
situação em que durante o movimento a altitude a que o corpo se encontra aumenta com a
situação em que o altitude a que o corpo se encontra diminui. Considere que a força gravı́tica
é dada por F = mgh.
20. Qual a energia total mecânica de um satélite em órbita da Terra? Compare com a energia
potencial gravı́tica e com a energia cinética.
21. Uma bola com massa m1 = 1 g colide com um alvo parado de massa m2 . Considere que a
colisão é completamente elástica e que a velocidade inicial da bola é ~v1 = 1m/s. Analise o
problema assumindo que a colisão se passa ao longo de uma direcção que une o centros de
massa de m1 e m2 .
(a) Considere que há conservação da energia e do momento linear na colisão e demonstre
que as expressões para v1⋆ - a velocidade da bola após a colisão e v2⋆ - a velocidade do alvo
após a colisão são dadas, respectivamente, por:
v1⋆ =
2m1
m1 − m2
v1 e v2⋆ =
v1
m1 + m2
m1 + m2
(b) Calcule a velocidade final da bola e do alvo nos casos em que: i) a massa da bola e
do alvo são iguais; ii) a massa do alvo pode ser considerada infinitamente maior que a
massa da bola.
(c) Calcule o momento linear transferido ao alvo nos casos anteriormente definidos como i)
e ii) por cada colisão.
22. Uma superfı́cie faz um ângulo de 30o com a horizontal. Sobre a superfı́cie incidem uniformemente 20000 esferas por segundo, cada esfera tem m = 1 g e velocidade ~v = 2m/s, sendo
paralela à horizontal. Considere a superfı́cie um alvo com massa M = 1, 7 kg e um sistema
de fixação que não lhe permite deslocar-se.
Calcule o momento linear transferido à superfı́cie por cada colisão e indique o sentido do vector
~S - força de sustentação, e que é a componente da
momento linear. Calcule a componente F
força F~ que actua na superfı́cie devido às colisões. Compare com o peso da superfı́cie.
23. Um disco e um anel rodam sem deslizar por um plano inclinado com L = 3m de comprimento.
Considere as massas do anel e do disco iguais a 200g, e os raios do anel e do disco iguais a 10
cm. O plano inclinado faz um ângulo de 15o com a horizontal. Considere o anel infinitamente
estreito com rint = rext .
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(a) [1] Qual a altura, relativamente a um plano horizontal, de que são largados o anel e o
disco?
(b) Calcule os momentos de inércia do disco e do anel relativamente ao ponto que passa no
centro de cada um e é perpendicular ao plano de rotação.
(c) Calcule a aceleração do anel e a aceleração do disco durante este movimento.
i. Calcule a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação do anel e do
disco quando se deslocaram 3 metros ao longo do plano inclinado.
ii. Calcule a velocidade do disco quando chega ao fim do plano inclinado.
iii. Calcule a velocidade do anel quando chega ao fim do plano inclinado.
iv. Qual dos dois (anel ou disco) chega primeiro ao fim do plano inclinado? Justifique.
24. Uma massa m = 0.7 kg está ligada a uma roldana de raio r = 5 cm como se vê na figura
em anexo e deixa-se cair de uma altura h = 1.5 m. O momento de inércia da roldana é
desconhecido. O objectivo deste trabalho é precisamente determinar o momento de inércia
da roldana.
(a) Calcule a expressão para a aceleração linear da massa m em queda.
(b) Verifica-se que ao largar a massa m esta cai no chão ao fim de 1 segundo. Sabendo que
a altura da queda é h = 1.5m, calcule o momento de inércia da roldana.
(c) (Alternativo: só se não conseguiu resolver as alı́neas anteriores) Calcule a aceleração
com que a massa cai se a roldana tiver densidade constante, massa=0.7 kg e raio 5cm.
Calcule a velocidade com que a massa atinge o solo e o tempo que demora a cair.
25. Demonstre que o momento de inércia de um anel homogénio relativamente a um eixo que
passa no centro de massa e é perpendicular ao plano do anel é dado por
onde m, rint e rext
1 2
2
+ rext
Ianel = m rint
2
são, respectivamente, a massa, o raio interior e o raio exterior do anel.
26. Um vendedor prepara-se para usar uma balança semelhante à indicada na figura para pesar
as cerejas que um Inspector à paisana da IGVAEEO lhe pretende comprar. Enquanto estava
à espera que lhe indicassem o peso das cerejas que colocara no saco, o Inspector repara que a
balança não está bem centrada e que a distância d1 =AC é cerca de 1 cm maior que a distância
d2 =AB=20 cm. O vendedor diz-lhe que no saco estão 2 kg de cerejas. O Inspector retira o
saco do suporte em C e troca-o de posição com as massas usadas para pesar. Assim, as
cerejas ficam suspensas em B e as massas em C. Recorde a experiência mostrada numa aula
teórica e responda às seguintes questões.
(a) Qual a equação para o equilı́brio do sistema quando as cerejas estão suspensas em C e
as massas em B. Obtenha a expressão para o valor da massa de cerejas contidas no saco
em função do valor das massas colocadas em C e das distâncias d1 e d2 .
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(b) Qual o valor da massa m⋆ que deve ser usado para equilibrar as cerejas quando estas
passam para a posição B. Compare o novo valor com o resultado da alı́nea anterior.
(c) Suponha que levava as cerejas numa missão espacial para um planeta distante.As cerejas
não sofrem quaisquer alterações durante a viagem. Quanto chega ao planeta resolve pesar
as cerejas usando a mesma balança e coloca as cerejas na posição B. A força gravı́tica
à superfı́cie do planeta é 1/5 da força gravı́tica à superfı́cie da Terra. Qual o valor da
massa que deve agora colocar em C para conseguir o equilı́brio do sistema. Compare
com a situação da alı́nea anterior.
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