(Microsoft PowerPoint - SEP 1 - Cap 3 item 3.1.5

Sistemas Elétricos de Potência
3. Elementos de Sistemas Elétricos de
Potência
3.1.5 Modelos de Linhas de Transmissão
Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito
E-mail:[email protected]
disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito
Conteúdo
- Modelo da Linha Curta;
- Modelo da Linha Média;
- Modelo da Linha Longa (modelo mais preciso).
Modelos de Linhas de Transmissão
• O modelo da linha de transmissão a ser adotado em
determinado estudo dependerá do comprimento da linha e da
precisão que se deseja ter da modelagem matemática.
• Veremos, a seguir, que o modelo de linhas longas é o mais
preciso, e portanto, pode ser utilizado para linhas curtas e
médias.
Modelo da Linha Curta
• Geralmente, as linhas curtas são aquelas com extensão de até
80 km ou 50 milhas.
• A capacitância de linhas até 80 km é desprezada, já que é
pequena, assim como a condutância (de dispersão) em
derivação.
• Desse modo, a linha é representada por seus parâmetros série e
seus respectivos efeitos, ou seja, resistência e indutância
(reatância indutiva). Veja a seguir:
Fig.: Modelo de Linha Curta para uma das fases
Modelo da Linha Curta
escrevendo a impedância complexa série como
Z = r + j⋅ XL
então:
I&S = I&R
V&S = V&R + Z ⋅ I&R
V&R = V&S − Z ⋅ I&S
onde: IS é a corrente que sai da barra transmissora (ou emissora);
IR é a corrente que chega na barra receptora;
VS é a tensão fase-neutro da barra transmissora (ou emissora);
VR é a tensão fase-neutro da barra receptora.
Modelo da Linha Média
• As linhas médias são aquelas com extensão de 80 km (ou 50
milhas) até 240 km (ou 150 milhas).
• Neste caso considera-se o efeito capacitivo das linhas,
incluindo a susceptância capacitiva em derivação ou shunt
(parte imaginária da admitância shunt), e despreza-se ainda a
condutância em derivação.
• Representando a linha de transmissão através do modelo πnominal, a capacitância da linha é concentrada em ambas as
extremidades e dividida por 2. Veja a figura abaixo:
Fig.: Modelo π-nominal de Linha Média para uma das fases
Modelo da Linha Média
Aplicando as Leis de Kirchhoff para a rede do modelo acima, temos:
LKT
LKC
V&S − Z ⋅ I&1 − V&R = 0
V&S = V&R + Z ⋅ I&1
Y
I&1 = I& R + ⋅ V&R
2
Y
Y
Y
I&S = I&1 + ⋅ V&S = I& R + ⋅ V&R + ⋅ V&S
2
2
2
(1)
(2)
(3)
Substituindo (2) em (1), obtemos:
Y

  ZY  &
V&S = V&R + Z ⋅  I& R + ⋅ V&R  = 1 +
 ⋅ V R + Z ⋅ I& R
2
2 

 
(4)
Agora, substituindo (4) em (3), obtemos:

Y
Y  ZY  &
I&S = I& R + ⋅ V&R + ⋅ 1 +
 ⋅ V R + Z ⋅ I& R 
2
2 
2 

 ZY 
 ZY  &
I&S = 1 +
 ⋅ Y ⋅ V&R + 1 +
⋅ IR
4
2




(5)
Modelo da Linha Média
Matricialmente, podemos escrever o modelo de linha média como o
seguinte quadripolo:
V&S   A B  V&R 
⋅ 
&  = 

&
C
D
I
I


S
 R
 
onde:
 ZY  B = Z
A = 1 +
,
2 

ZY 
(Ω) , C = 1 +
 ⋅ Y ( Siemens ) ,
4 

 ZY 
D = A = 1 +

2 

As constantes A, B, C e D são denominadas constantes generalizadas do
circuito da linha, ou parâmetros do quadripolo.
- Para I&R = 0
=> V&S = A ⋅ V&R
(relação à vazio do receptor)
- Para V&R = 0
=> V&S = B ⋅ I& R
(relação em curto do receptor)
Modelo da Linha Longa
• Tradicionalmente, as linhas longas são aquelas com extensão acima
de 240 km (ou 150 milhas).
• O modelo matemático adequado de linhas longas ou modelo mais
preciso para qualquer linha de transmissão deve considerar:
– os parâmetros uniformemente distribuídos ao longo da linha e não
concentrados (como nos casos anteriores);
– além disso, deve contemplar a teoria de ondas viajantes (progressivas e
regressivas), resultando em equações diferenciais parciais.
• Entretanto, é possível obter um circuito π-equivalente de uma linha
longa e representá-la com precisão em parâmetros concentrados
(desde que o interesse seja os valores de tensão e corrente nas
extremidades desta linha).
•
Assim, nosso modelo para linhas longas pode ser tratado como uma
“correção” sobre os parâmetros do modelo π-nominal, utilizando a
constante de propagação da onda (e arcos hiperbólicos). Veja a
seguir:
Modelo da Linha Longa
Fig.: Modelo π-equivalente de Linha Longa para uma das fases
• Para este modelo, temos:
 senh(γ ⋅ l ) 
Z eq = Z ⋅ 

 γ ⋅l 
 tanh(γ ⋅ l / 2) 
Yeq = Y 

 γ ⋅l / 2 
(Ω )
( Siemens )
sendo:
γ = z '⋅ y ' a constante de propagação da onda (por metro da linha);
z’ a impedância série por metro de linha;
y’ a admitância shunt por metro de linha;
l o comprimento total da linha;
Modelo da Linha Longa
Lembrando que:
e x − e −x
senh( x ) =
2
e x + e −x
, cosh( x) = 2
e
senh( x) e x − e − x
tanh( x) =
=
cosh( x) e x + e − x
Matricialmente, podemos escrever o modelo de linha longa como o
seguinte quadripolo:
V&S   A B  V&R 
⋅ 
&  = 

&
C
D
I
I


S
 R
 
onde:
 Z eq Yeq
A = 1 +
2





,
B = Z eq
(Ω)
, C = 1 + Z eq Yeq  ⋅ Yeq


4


( Siemens)
,
 Z eq Yeq
D = A = 1 +
2





Modelo da Linha Longa
Impedância Característica
• Nos estudos de linhas de transmissão, uma relação ou parâmetro de
certa relevância é a chamada impedância característica da linha (ou
Zc):
Zc =
z'
y'
• No caso particular de linha ideal, sem perdas, a impedância
característica pode ser simplificada por Zo:
Zc = Zo ≅
L'
ωL '
=
ωC '
C'
também chamada como impedância de surto.
Modelo da Linha Longa
Potência Característica
• Um bom “termômetro” da capacidade de transmissão de potência em
linhas de extra alta tensão é a potência característica da linha.
• Esta potência é o carregamento da linha pela impedância de surto (ou
característica) considerando uma carga resistiva pura com valor igual
a da impedância de surto.
• Por simplicidade, a potência característica pode ser expressa da
seguinte forma:
Pc =
VL
Zc
2
≅
VL
Zo
2
=
VL
2
L'
C'
Analisando a equação acima, podemos aumentar a capacidade de
transmissão aumentando a capacitância, ou diminuindo a indutância.
Obs.: esta potência também é chamada como “SIL” pelos engenheiros
de potência.
Associação de Quadripolos
Quadripolos em Cascata (Série)
V&S   A1
&  = 
 I S  C1
B1   A2
⋅
D1  C 2
B 2  V&R 
⋅ 
D 2   I&R 
Associação de Quadripolos
Quadripolos em Paralelo
• Nesta situação, basta fazermos o circuito equivalente para rede da
figura acima (figura da direita).
Referências Bibliográficas
[1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas de
Energia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003.
[2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de
Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.
[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:
linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição;
Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, 1979.
[4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos
de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.