Um Exemplo de Modelagem Matemática no Tratamento de Tumores

Encontro Regional de Modelagem Matemática e Computacional - ERMAC R6 - 2012
Universidade Federal Fluminense - UFF
Um Exemplo de Modelagem Matemática no
Tratamento de Tumores
José Sérgio Domingues
Instituto Federal Norte de Minas Gerais, IFNMG
39270-000, Pirapora, MG
E-mail: [email protected]
RESUMO
Para que um tumor possa crescer além de um volume aproximado de 3 mm3 é necessário
que ele já tenha adquirido a capacidade de induzir o crescimento de novos vasos sanguı́neos,
na sua direção, a partir de vasos pré-existentes, para que as suas necessidades de nutrição e
oxigenação sejam sanadas constantemente [1, 2, 3], esse processo de crescimento de novos vasos
é denominado angiogênese. Além disso, os novos vasos advindos pela angiogênese, servem de
via de acesso para que células tumorais que se desprendem do tumor inicial possam migrar
para outras partes do corpo, fazendo com que outros focos do tumor possam ocorrer em partes
distintas do organismo do hospedeiro, ocasionando o que chamamos de metástase.
Com o objetivo principal de estudar o crescimento de tumores sólidos onde a angiogênese já se
desenvolveu, propomos neste trabalho o modelo matemático descrito pela referência [3], fazendo
uma alteração na forma de determinação do parâmetro r, referente à taxa de crescimento da
população celular tumoral e que também faz parte do fator de tratamento. Já os outros valores
de parâmetros são os mesmos usados no referido trabalho. O modelo que adotamos foi
(
dN
K
= rN ln
dt
N
)
− γc(t)N
(1)
onde a concentração, c(t), do medicamento a cada instante t (consideramos os valores descritos
com um tratamento utilizando endostatina, conforme [3]), é dada pela equação
c(t) = c0 Ste−rt
(2)
e os parâmetros c0 = 0, 04 e S representam, respectivamente, a concentração inicial do medicamento e a função degrau definida como
{
S=
1, considerando o tratamento
0, desconsiderando o tratamento
onde consideramos que a inibição do crescimento das células tumorais depende da “força” de
atuação γ = 0, 014 da droga, da sua concentração no organismo no instante t, dada por c(t), e
da quantidade de células tumorais a cada instante, N = N (t).
Porém, diferentemente do que foi utilizado em [3], ou seja, um valor obtido de uma referência
bibliográfica, preferimos utilizar o tempo médio de duplicação, td = 10 meses, de um tumor de
mama, quando esse se encontra em fase exponencial de crescimento. Fazendo isso, e utilizando
a equação (1), sem o fator de tratamento, conseguimos provar que
[
r=−
]
1
ln(2n0 /K)
ln
,
td
ln(n0 /K)
(3)
sendo n0 = 109 a população tumoral inicial e K = 1012 o volume máximo que um tumor
pode atingir [4, 5]. Desta forma, determinamos o valor do parâmetro r, como sendo igual a
aproximadamente 10−2 .
Os resultados obtidos em nossa simulação computacional demonstraram que sob a ação desse
tratamento o tumor tem sua taxa de variação de crescimento reduzida por um considerável
perı́odo da sua evolução celular. Sendo assim, concluı́mos que esse tratamento permite uma
melhor qualidade de vida ao paciente, pois o volume tumoral demora muito mais a alcançar seu
valor máximo do que se o tratamento não estivesse sendo administrado.
Figura 1: Comparação entre as curvas que representam a evolução da população de células tumorais ao
longo do tempo, t × N , com e sem a consideração do tratamento. Note que no caso em que se considera
a inclusão do tratamento, S = 1, a população de células tumorais, N (t), cresce mais lentamente do
que o caso em que este tratamento não é considerado, S = 0, até o ciclo de evolução temporal de
aproximadamente t = 400.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, Desenvolvimento de Tumores, Angiogênese.
Referências
[1] J. Folkman, What is the evidence that tumors are angiogenesis dependent?, J. Natl Cancer
Inst., 82 (1990), 4–6.
[2] J.S. Domingues, ”Modelo Matemático e Computacional do Surgimento da Angiogênese em
Tumores e sua Conexão com as Células-Tronco”, Dissertação de Mestrado, DPPG, CEFETMG, Belo Horizonte, MG, 2010.
[3] J.S. Domingues, Análise do Modelo de Gompertz no crescimento de tumores sólidos e
inserção de um fator de tratamento, Biomatemática, 21 (2011) 103–112.
[4] D.S. Rodrigues, ”Modelagem matemática em câncer: dinâmica angiogênica e quimioterapia
anti-neoplásica”, Dissertação de Mestrado, UNESP, 2011.
[5] R.A. Weinberg, “A biologia do câncer”, Porto Alegre: Tradução Bruna Selbach et al,
Artmed, 2008.