Matemática

Questões do 2º ano
1) Com as letras da palavra COMPOSITORES, podem ser formadas diferentes
palavras com:
a) Menos de 490 e mais de 470 combinações
b) Exatamente 495 combinações
c) Mais de 500 combinações
d) Exatamente 450 combinações

Primeiro passo: Devemos contar quantas letras não repetidas temos na
palavra COMPOSITORES.
C–O–M–P–S–I–T–R–E
Temos 9 letras.

Segundo passo: Agrupando as 9 letras de 3 em 3, temos o seguinte
arranjo:
Portanto, podem ser formadas 504, ou seja, o item C está CORRETO
2) Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a quantidade de palavras de 3
letras que podem ser formadas, todas começando por U ou V, é :
a) 1345
b) 1352
c)1700
d) 845
e) 370

Primeiro passo: Este item fala que a palavra deve ter exatamente 3 letras
e que pode começar (primeira posição) tanto com a letra U como com a
letra V. Já a segunda e a terceira posição podem ter qualquer letra,
repetida ou não.

Segundo passo: Devemos calcular o arranjo:
,
3) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de
proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de
sorte que contenha ao menos 2 proteínas. O número máximo de pratos distintos
que poderei fazer é:
A)609 pratos
B)345 pratos
C)112 pratos
D)186 pratos
E)120 pratos
Se não houvesse
simplesmente C10, 5:
a
restrição
das
duas
proteínas,
o
cálculo
seria
Mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos
que só contém carboidratos, que é igual a C6, 5:
Não podemos nos esquecer de que também podemos montar pratos contendo
apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes
pratos são o produto de C6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4, 1,
referentes ao único item de proteína:
Multiplicando as combinações:
Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos
com somente um item de proteína. Então de 252 que é o número total de
combinações possíveis sem a restrição, devemos subtrair 66pratos para
obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186.
Poderíamos ter resolvido este exercício de uma outra maneira. Vamos lhe
explicar como e vamos lhe dar o resultado, mas o desenvolvimento em si você
mesmo deverá fazer, para que consiga fixar melhor os conhecimentos
adquiridos. Por favor, não deixe de fazê-lo.
O produto C6, 3 . C4, 2 = 20 . 6 = 120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de
carboidrato e 2 itens de proteína.
Já o produto C6, 2 . C4, 3 = 15 . 4 = 60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de
carboidrato e 3 itens de proteína.
Por fim o produto C6, 1 . C4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item
de carboidrato e 4 itens de proteína.
Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.
Portanto:
O número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos
dois itens de proteína, é igual a 186 pratos.
4) Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente
com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e apenas 2 salgados, dos 7 tipos
fabricados. Quantas são as diferentes possibilidades de preenchimento do
recipiente?
A)1050
B)2100
C)1040
D)1230
E)1176
Estamos trabalhando com combinação simples, pois não importa a ordem de
preenchimento dos recipientes. No caso dos doces vamos calcular C8, 3:
Já no caso dos salgados vamos calcular C7, 2:
O número total de combinações será então o produto de 56 por 21:
Logo:
São 1176 as diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente
5) Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca
dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas
barracas?
A)2520
B)2170
C)2040
D)1800
E)900
Para a primeira barraca há 8 pessoas disponíveis em relação à primeira vaga
e 7 para a segunda vaga. Multiplicando um pelo outro obtemos 56, mas como
não faz diferença se A vai dormir com B, ou se é B quem vai dormir com A, então
dividimos 56 por 2 que é o número total de permutações entre A e B. Esta
divisão resulta em28.
Restam agora 6 pessoas aguardando por uma vaga em uma barraca. Para as
demais barracas procedemos da mesma forma.
Para a segunda barraca há 6 pessoas disponíveis em relação à primeira vaga
e 5 para a segunda vaga. A metade do produto disto dá 15.
No caso da terceira barraca há somente 4 e 3 pessoas para cada uma das vagas.
A metade deste produto é 6.
Finalmente para a quarta barraca há 2 e 1 pessoas para cada uma das vagas. A
metade do produto é 1.
Multiplicando 28, 15, 6 e 1 obtemos 2520 opções de distribuição.
Veja os cálculos detalhados abaixo:
Também podemos resolver este exercício recorrendo à formula da combinação
simples:
Para exercitar faça os cálculos de C8, 2, C6, 2, C4, 2 e C2, 2 e confira.
Desta forma:
São 2520 as opções de distribuição das pessoas nas abarracas.
6) Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são
as disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos,
lado a lado na sapateira?
A)8700
B)7500
C)7300
D)8640
E)4100
Como temos três tipos de calçados, a permutação destes três tipos é igual a 6:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Ou seja, estando todos os calçados de um mesmo tipo juntos, o número de
permutações é igual a 6, levando-se em consideração apenas o tipo de calçado,
mas não o calçado em si.
Para os sapatos, temos 3 deles, que permutados entre si resulta
em 6 permutações:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Para os chinelos, temos 2 pares, que permutados entre si resulta
em 2 permutações:
P2 = 2! = 2 . 1 = 2
Finalmente para os tênis, temos 5 pares, que permutados entre si resulta
em 120 permutações:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Multiplicando estes quatro números temos:
P3 . P3 . P2 . P5 = 3! . 3! . 2! . 5! = 6 . 6 . 2 . 120 = 8640
Este é o número de disposições possíveis.
Veja que os três últimos fatores (P3, P2 e P5) se referem às permutações
dos sapatos, chinelos e tênis, respectivamente entre eles mesmos, sem haver
mistura de tipos de calçados.
Note, no entanto que o primeiro fator (P3) se refere às permutações entre os
tipos de calçados em si, por exemplo,"sapatos, chinelos, tênis" é um
agrupamento e "chinelos, tênis, sapatos" é um outro agrupamento, ou seja,
embora não haja mistura entre calçados de tipos diferentes, os tipos de
calçados como um todo permutam entre si.
Portanto:
As disposições possíveis são 8640
7)) Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam
um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federação de cada
um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?
A)40
B)30
C)24
D)12
E)10
Em outras palavras queremos saber o número de permutações possíveis entre
as unidades da federação de RS,RJ, RS e SP.
Através do cálculo de P4 temos:
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
No entanto a UF do RS ocorre 2 vezes, devemos portanto eliminar as duas
permutações
referentes
a
ela,
dividindo 24 por 2!,
quando
iremos
obter 12 maneiras diferentes de poder terminar o campeonato.
Podemos também solucionar o problema calculando P4(2):
Logo:
O campeonato pode terminar de 12 maneiras diferentes
8) Um certo número de pessoas pode ser agrupado de duas em duas pessoas,
não importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes
possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas fazem parte deste grupo?
A)7 pessoas
B)5 pessoas
C)12 pessoas
D)16 pessoas
E)6 pessoas
Como a ordem de posicionamento das pessoas é irrelevante, estamos falando
de combinação simples. Então temos que resolver a equação C10, 2 = 10:
Temos então que encontrar as raízes da equação
.
Depois de tratarmos sobre as relações de Albert Girard, aprendemos que
podemos resolver facilmente esta equação, respondendo à seguinte pergunta?
Quais são os dois números cuja soma é igual a 1 e cujo produto é igual -20?
Rapidamente deduzimos tratar-se dos números -4 e 5.
Como o conceito de fatoriais é aplicado somente aos números naturais, a raiz 4 deve ser descartada, então temos que n é igual a 5.
Assim sendo:
5 pessoas fazem parte deste grupo.
9) Se enfileirarmos 3 dados iguais, obteremos um agrupamento dentre
quantos possíveis?
A)216
B)432
C)200
D)230
E) 450
Quando temos apenas 1 dado, temos um total de 6 resultados possíveis.
Quando temos 2 dados, cada um dos 6 resultados possíveis de um dos dados,
pode ser combinado com cada um dos 6 resultados possíveis do outro dado,
resultando então em 36 resultados possíveis.
Como temos 3 dados, as 36 possibilidades combinadas dos outros 2 dados,
combinadas às 6 possibilidades do terceiro dado resultarão em 216 resultados.
Em outras palavras, pelo princípio multiplicativo temos:
6 . 6 . 6 = 216
Logo:
Obteremos um agrupamento dentre os 216 possíveis
10) Em um supermercado, um cliente empurra seu carrinho de compras
passando pelos setores 1, 2 e 3, com uma força de módulo constante de 4
Newton, na mesma direção e mesmo sentido dos deslocamentos.
Na matriz A abaixo, cada elemento aij indica, em joules, o trabalho da força que o
cliente faz para deslocar o carrinho do setor ipara o setor j, sendo i e j elementos
do conjunto {1, 2, 3}.
11) Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim, retornar ao setor 1,
a trajetória do cliente descreve o perímetro de um triângulo.
Nessas condições, o cliente percorreu, em metros, a distância de:
(A) 35
(B) 40
(C) 45
(D) 50
Alternativa correta: (C)
Cada elemento aij da matriz A representa o trabalho realizado por uma força para
deslocar o carrinho do setor i para o setor j.
Como os vetores que representam a força exercida sobre o carrinho e o
respectivo deslocamento são paralelos e de mesmo sentido, o trabalho em cada
trecho é dado por:
Uma vez que
, o trabalho total é igual a:
Portanto, a distância total d percorrida pelo cliente é:
12) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e
frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas
maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro
sempre ficará lotado?
A)Mais de 2.108
B)Exatamente 2.109
C)Menos 4.106
D)6 bilhões
E)6,5 bilhões
Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda
tem-se 11, para a terceira tem-se10 e assim por diante, até a décima ave onde
teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora.
Multiplicando tudo temos:
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800
Se
não
importasse
a
ordem
das
aves
no
poleiro,
iríamos
dividir 239500800 por 10! para anular a permutação das10 aves no poleiro, mas
como a ordem das aves empoleiradas distingue um agrupamento do outro, não
iremos realizar tal divisão, pois estamos na verdade trabalhando com arranjo
simples.
Já que estamos a trabalhar com arranjo simples, você já deve ter percebido que
poderíamos ter calculado A12, 10:
Então:
As aves podem ser empoleiradas de 239500800 formas distintas
17) Perpendiculares a duas retas paralelas não sobrepostas, foram traçadas
outras três retas paralelas não sobrepostas. Formaram-se então seis pontos
distintos nestes cruzamentos de retas. Quantos triângulos distintos podemos
formar interligando três pontos quaisquer?
Em relação às duas retas paralelas iniciais, para que formemos um triângulo,
precisamos tomar 2 pontos distintos de uma reta e 1 ponto da outra, já que três
pontos em linha não podem formar um triângulo.
Um triângulo que tenha os vértices nos pontos A, B e C, obviamente é o mesmo
triângulo com os vértices nos pontos B, C e A, ou em qualquer uma das suas
permutações. Sabendo disto, precisamos combinar dois a dois os pontos de
uma das retas ( C3, 2 ) e multiplicá-la por três, que é o número de pontos na outra
reta paralela.
Como vale o mesmo se considerarmos o contrário, ou seja, tomarmos C3, 2 dos
pontos da segunda reta e multiplicarmos pelos três pontos da outra reta, então
devemos multipicar tal resultado por dois:
Portanto:
Interligando três pontos quaisquer, que juntos permitem formar um triângulo,
podemos formar 18 triângulos distintos.
18) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra
CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e
as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem?
Trocando a sequência OURO por *, de CALOUROS passamos a ter CAL*S. Agora
temos cinco caracteres, logo devemos permutá-los para obter o número de
anagramas:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Dos 120 anagramas possíveis, temos alguns que possuem ou a sequência CS,
ou a sequência SC. Como desconsiderá-los?
É simples, vamos contá-los.
Vamos trocar a sequência formada pelas letras C e S, em qualquer ordem, por $.
Ficamos então com $AL*.
Temos então que calcular P4, mas como C e S são 2 letras que também
permutam entre si, devemos multiplicar P4por P2:
P4 . P2 = 4! . 2! = 4 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 = 48
Atente ao fato de que no caso da sequência CAL*S calculamos P5, mas não a
multiplicamos por nada, isto porque diferentemente do que ocorre com as letras
da sequência CS, as letras da sequência OURO não sofrem permutação entre si.
A sequência é sempre a mesma.
Então, dos 120 anagramas possíveis, 48 deles possuem uma das permutações
da sequência CS. Vamos portanto descontá-los:
120 - 48 = 72
Logo:
Podemos formar 72 anagramas que correspondem às condições do
enunciado
19)Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um
dado 7 vezes?
A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6,
ou seja, 1/6 é a probabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento.
Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento,
pois este é o resultado que pretendemos obter, no entanto quando obtemos um
outro resultado qualquer, estamos diante de um fracasso. Note que só há duas
possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quando dá
qualquer outro.
Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro
lançamento, eles são independentes.
Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em
cada lançamento.
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos
em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:
Lê-se
como número binomial de numerador n e denominador k, ou então
como número binomial n sobre k.
Na equação acima P representa a probabilidade procurada. n o total de
tentativas, k o número de tentativas que resultam em sucesso, p a probabilidade
de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermos um
fracasso.
Note que n - k representa o número de tentativas que resultam em fracasso,
assim como q é igual a 1 - p, ou seja, sendo p a probabilidade de sucesso, q é a
probabilidade de fracasso que a complementa, pois só podemos obter um
sucesso ou um fracasso, não há uma outra possibilidade.
Sendo n ≥ k, o número binomial
é dado por:
O espaço amostral do lançamento de um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 4, representamos
tal evento por:
E={4}
Em relação ao número de elementos temos que n(E) = 1 e n(S) = 6, portanto a
probabilidade da ocorrência de um 4 em um lançamento é:
p é a probabilidade de sucesso em um lançamento, a probabilidade de fracasso
é dada por q = 1 - p, portantoq = 5/6.
n é o número total lançamentos, então n = 7.
k é o número de sucessos, logo k = 4.
Antes de utilizarmos a fórmula
número binomial
, vamos calcular o
:
Agora sim temos todos os dados para podermos aplicar a fórmula. Vejamos:
A probabilidade 4375/279936 também pode ser representada na sua forma decimal,
bastando realizarmos a divisão de 4375 por 279936, que resulta em
aproximadamente 0,0156 e também na forma de porcentagem, bastando
multiplicarmos 0,0156 por 100% que dá 1,56%.
Portanto:
A probabilidade é 4375/279936, ou aproximadamente 0,0156, ou ainda 1,56%.
Questões:
11). Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.
02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, tal
que A = 2 . At.
11). (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A
= AT e é dita anti-simétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de A. Sendo
A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:
(01) A + AT é uma matriz simétrica
(02) A - AT é uma matriz anti-simétrica
04. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz antisimétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:
a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4
a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n
06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões
grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela
tabela:
Camisa
A
Camisa Camisa
B
C
Botões
p
3
1
3
Botões
G
6
5
5
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é
dado pela tabela:
Maio
Junho
Camisa A
100
50
Camisa B
50
100
Camisa C
50
50
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e
junho.
RESOLUÇÃO:
07. Sobre as sentenças:
I. O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2
É verdade que:
a) somente I é falsa;
b) somente II é falsa;
c) somente III é falsa;
d) somente I e III são falsas;
e) I, II e III são falsas.
08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
a) 3
b) 14
c) 39
d) 84
e) 258
10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes
transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:
a) (A = B) . C = A . C + B . C
b) (A + B)t = At + Bt
c) (A . B)t = At . Bt
d) (A - B)C = AC - BC
e) (At)t = A
Resolução:
01.
02.
03. (01) verdadeira
(02) verdadeira
04. B
05. E
06.
Maio Junho
Botões
500
p
400
Botões
1100 1050
G
07. B
08. C
09. D
10. C