Permutação Simples Fórmula da Permutação Simples Exemplos

Análise Combinatória – Permutação simples
Quando estudamos o princípio fundamental da contagem tínhamos quatro livros (português,
matemática, história e geografia) e calculamos o número total de formas que poderíamos empilhá-los
em uma carteira escolar. Em outras palavras, fazíamos uma permutação no posicionamento destes
livros na pilha sobre a carteira.
Permutação Simples
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a
diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos,
damos o nome de permutação simples.
Neste caso o agrupamento de livros ( português, matemática, história, geografia ), difere do
agrupamento ( matemática, história, português, geografia ), pois embora os elementos de ambos os
grupos sejam os mesmos, há mudança no posicionamento de ao menos um dos seus elementos.
Fórmula da Permutação Simples
Segundo o princípio fundamental da contagem vimos que o número de agrupamentos possíveis
deste exemplo era dado por:
4 . 3 . 2 . 1 = 24
Na página sobre fatoriais vimos que 4 . 3 . 2 . 1 é igual a 4!, então se chamarmos de Pn a permutação
simples de n elementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula:
Pn = n!
Resolvendo o exemplo com o uso da fórmula temos:
Exemplos
1-- Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?
Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra ou frase.
Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar.
Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações
calculando P5. Temos então:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Portanto:
O número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual 120.
2-- Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar
posicionadas nesta fila?
Temos que calcular P3, então:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Logo:
As três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes na fila.
3-- Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo
que eles comecem com a letra E e terminem com vogal?
Como na primeira posição sempre teremos a letra E, o número de possibilidades nesta posição é igual
a 1, podemos até dizer que é igual a P1.
Para a última posição temos disponíveis as letras I e A, pois a letra E já está sendo utilizada no
começo, então para a oitava letra temos que calcular P2:
P2 = 2! = 2 . 1 = 2
Como para as demais posições temos 6 letras disponíveis, calculemos então P6:
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Multiplicando tudo:
1 . 720 . 2 = 1440
Então:
A partir da palavra ERVILHAS podemos formar 1440 anagramas que comecem com a letra E e
terminem em vogal.
4-- Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as disposições possíveis
desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira?
Como temos três tipos de calçados, a permutação destes três tipos é igual a 6:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Ou seja, estando todos os calçados de um mesmo tipo juntos, o número de permutações é igual a 6,
levando-se em consideração apenas o tipo de calçado, mas não o calçado em si.
Para os sapatos, temos 3 deles, que permutados entre si resulta em 6 permutações:
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Para os chinelos, temos 2 pares, que permutados entre si resulta em 2 permutações:
P2 = 2! = 2 . 1 = 2
Finalmente para os tênis, temos 5 pares, que permutados entre si resulta em 120 permutações:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Multiplicando estes quatro números temos:
P3 . P3 . P2 . P5 = 3! . 3! . 2! . 5! = 6 . 6 . 2 . 120 = 8640
Este é o número de disposições possíveis.
Veja que os três últimos fatores (P3, P2 e P5) se referem às permutações dos sapatos, chinelos e tênis,
respectivamente entre eles mesmos, sem haver mistura de tipos de calçados.
Note, no entanto que o primeiro fator (P3) se refere às permutações entre os tipos de calçados em si,
por exemplo, "sapatos, chinelos, tênis" é um agrupamento e "chinelos, tênis, sapatos" é um outro
agrupamento, ou seja, embora não haja mistura entre calçados de tipos diferentes, os tipos de calçados
como um todo permutam entre si.
Portanto:
As disposições possíveis são 8640.