´Algebra /´Algebra Linear - Área Interdepartamental de Matemática

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Álgebra / Álgebra Linear
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Ano lectivo 2007/2008
Capı́tulo 1
Apresentação da disciplina
Objectivos
Nesta disciplina pretende-se dotar os alunos de conhecimentos em Álgebra Matricial com aplicação à discussão
e resolução (exacta ou aproximada) de sistemas de equações lineares, bem como de algumas noções de Espaços
Vectoriais, Determinantes e Valores e Vectores Próprios. Tratam-se de áreas de interesse indiscutı́vel nos mais
variados ramos de Engenharia.
Programa
1. Números complexos
Só para os Cursos de Engenharia Electrotécnica e de Computadores e Engenharia Informática
(a) Forma algébrica e trigonométrica;
(b) Potências e raı́zes;
(c) Fórmulas de De Moı̂vre.
2. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
(a) Noções gerais e notação;
(b) Operações sobre matrizes;
(c) Sistemas de equações lineares;
(d) Representação matricial;
(e) Método de eliminação de Gauss;
(f) Caracterı́stica de uma matriz e aplicação à discussão da solução de um sistema de equações lineares;
(g) Inversão de uma matriz não singular: método de Gauss-Jordan;
(h) Decomposição P T LU de uma matriz;
(i) Métodos iterativos para a aproximação da solução de um sistema de equações lineares: métodos de
Jacobi e Gauss-Seidel.
1
3. Espaços Vectoriais
(a) Introdução;
(b) Definição e exemplos de espaços vectoriais;
(c) Subespaços. Combinações lineares. Geradores. Dependência linear. Bases. Dimensão;
(d) Espaço-linha e espaço-coluna de uma matriz.
4. Determinantes
(a) Definição e cálculo de determinantes de 2 e 3 ordem;
(b) Teorema de Laplace;
(c) Menores complementares e complementos algébricos;
(d) Aplicação de Teorema de Laplace ao cálculo de determinantes;
(e) Propriedades dos determinantes;
(f) Inversão de matrizes;
(g) Resolução de sistemas de equações lineares: Regra de Cramer.
5. Valores e vectores próprios
(a) Valores e vectores próprios de uma matriz;
(b) Cálculo de valores e vectores próprios;
(c) Diagonalização;
(d) Aplicação à análise de convergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
Bibliografia Recomendada
F. Dias Agudo, Introdução Álgebra Linear e Geometria Analı́tica , Escola Editora, Lisboa, 1978.
M. Ferreira, Álgebra Linear , Edições Sı́labo, Lisboa, 1993.
E. Giraldes, P. Smith, Curso de Álgebra Linear e Geometria Analı́tica, Mcgraw-Hill, Lisboa, 1995.
S. Lipschutz, Álgebra Linear. Mcgraw-Hill, S. Paulo, 1972.
G. Luı́s, C. Silva Ribeiro, Álgebra Linear, Mcgraw-Hill, Lisboa, 1985.
L. T. Magalhães, Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, Texto Editora, 1989.
C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 2000.
C. Monteiro, G. Pinto, Álgebra Linear e Geometria Analı́tica, Problemas e Exercı́cios, Mcgraw-Hill ,
Lisboa, 1997.
W. Nicholson. Linear Algebra with Applications, PWS Publishing Company, Boston, 1995.
M. Noble, J. Daniel, Applied Linear Algebra, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1998.
M. R. Valença, Métodos Numéricos, Instituto Nacional de Investigação Cientı́fica, 1990.
H. Pina, Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995.
M. Heath, Scientific Computing: an Introductory Survey, McGraw-Hill, 2007.
R. Burden e J. Faires, Numerical Analysis, John Wiley & Sons, 1993.
2
Avaliação
Por frequência:
Cursos de Engenharia Electrotécnica e de Computadores e Engenharia Informática
Alunos em regime ordinário: A avaliação por frequência consiste na realização de duas provas
escritas, classificadas de 0 a 8 valores cada uma, e na realização de um trabalho computacional
recorrendo ao software Maple, classificado de 0 a 4 valores. O trabalho poderá ser realizado em
grupos, com no máximo três alunos, ou individualmente. O aluno fica aprovado por frequência se
obtiver pelo menos 2.5 valores em cada uma das duas provas escritas e pelo menos 1.5 valores no
trabalho computacional, e se a soma das classificações obtidas nas provas escritas e no trabalho
computacional for igual ou superior a 10 valores.
Alunos em regime trabalhador estudante: A avaliação por frequência consiste na realização de
duas provas escritas, classificadas de 0 a 10 valores cada uma. O aluno fica aprovado por frequência
se obtiver pelo menos 3 valores em cada uma das duas provas escritas, e se a soma das classificações
obtidas nestas provas for igual ou superior a 10 valores.
Cursos de Engenharia Civil, Engenharia do Ambiente e Biológica e Engenharia Quı́mica e
Bioquı́mica
A avaliação por frequência consiste na realização de duas provas escritas, classificadas de 0 a 10
valores cada uma. O aluno fica aprovado por frequência se obtiver pelo menos 3 valores em cada uma
das duas provas escritas, e se a soma das classificações obtidas nestas provas for igual ou superior a
10 valores.
Por exame:
Cursos de Engenharia Electrotécnica e de Computadores e Engenharia Informática
Se o aluno foi admitido a exame, pode fazer o exame da época normal, que consistirá numa prova
escrita, classificada de 0 a 20 valores, sobre toda a matéria leccionada.
A classificação obtida no exame será calculada através da fórmula
16
max CP E, CT C +
× CP E
20
em que CP E representa a classificação obtida na prova escrita e CT C representa a classificação
obtida no trabalho computacional.
O aluno fica aprovado se obtiver uma classificação igual ou superior a 10 valores.
Se o aluno foi dispensado de exame, por ter obtido aprovação por frequência, mas pretende melhorar a sua classificação, pode igualmente fazer o exame da época normal, que, como já foi referido
anteriormente, consistirá numa prova escrita, classificada de 0 a 20 valores, sobre toda a matéria
leccionada.
Na realização desta prova o aluno tem assegurada a classificação mı́nima já obtida na avaliação por
frequência, ficando com a classificação final correspondente à melhor das classificações obtidas, de
entre aquela classificação e a classificação obtida no exame, sendo esta última classificação obtida
através da fórmula de cálculo apresentada anteriormente.
Os alunos reprovados na época normal podem propor-se ao exame da época de recurso, que consistirá numa prova escrita, classificada de 0 a 20 valores, sobre toda a matéria leccionada. Como
habitualmente, o aluno fica aprovado se nesta prova obtiver uma classificação igual ou superior a 10
valores.
3
Cursos de Engenharia Civil, Engenharia do Ambiente e Biológica e Engenharia Quı́mica e
Bioquı́mica
Se o aluno foi admitido a exame, ou foi dispensado de exame mas pretende melhorar a sua classificação, pode fazer o exame de época normal, que consistirá numa prova escrita, classificada de 0 a 20
valores, cobrindo toda a matéria dada. O aluno fica aprovado se nesta prova obtiver uma classificação
igual ou superior a 10 valores.
Os alunos reprovados na época normal podem propor-se ao exame da época de recurso, que consistirá
numa prova escrita com as mesmas caracterı́sticas da prova da época normal.
Nota importante: Em qualquer uma das avaliações, se a classificação obtida for superior a 17 valores, o aluno
deverá submeter-se a uma prova adicional (oral ou escrita) de defesa de nota, pois caso contrário, ficará com a
nota de 17 valores. Na realização desta prova, o aluno tem assegurada a classificação mı́nima de 17 valores.
Calendário das Avaliações
As datas previstas para as provas de avaliação são:
Prova
1 Frequência
2 Frequência
Exame
Recurso
Trabalhador Estudante
Época Especial
Data
17 de Novembro de 2007
9 de Janeiro de 2008
25 de Janeiro de 2008
19 de Fevereiro de 2008
9 de Setembro de 2008
23 de Setembro de 2008
Hora
a definir
9:30
9:30
9:30
16:00
16:00
Sala
a definir
O219
O219
O219
B255
B255
Nota importante: No inı́cio de cada época de avaliações, os alunos deverão confirmar estas datas.
4
Capı́tulo 2
Exercı́cios de Provas de Avaliação
2.1
Ano Lectivo 1999/2000
Nota Importante: Neste ano lectivo, os números complexos faziam parte integrante do programa da disciplina.
2.1.1
Frequência - 24 de Janeiro de 2000
1. Calcule
√ !6
1 − 3i
√
3+i
2. Considere a matriz A tal que


0
2 1
=  2 −1 0 
1
0 0
A−1
e a matriz


1 3 −4
1 .
B= 0 2
−3 1
5
(a) Determine a matriz Y tal que A−1 Y − B
(b) Resolva o sistema de equações
(c) Obtenha a decomposição P T LU de A−1 .
3. Considere as matrizes
com α, β ∈
T
= det(2A)B.


1
AX =  1 
1




4
−2
1
−1
A= 0 α−1 0  e B = β 
0
0
β
α
. Discuta o sistema de equações AX = B em função dos parâmetros α e β.
5
4. Discuta a caracterı́stica da matriz
em função do parâmetro real k.
5. Considere definidos em
com k ∈ .
4

k
 1
2

3 0
2 0 
0 2
k
0
k
os vectores a = (2, 1, −2, 1), b = (0, 1, 0, k), c = (−1, 0, 1, 0) e d = (3, k, −3, 0),
(a) Determine o valor de k para o qual os vectores a, b, c e d formam uma base de
(b) Faça k = 0 e admita que S é o subespaço de
4
4
.
gerado pelos vectores b, c e d.
i. Calcule a dimensão de S.
ii. Verifique se o vector a pertence a S.
6. Considere os planos Π1 : z − 2 = 0, Π2 : 4x − 2y + z = 8 e Π3 : 2x − y − 3z = 0.
(a) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta t que passa por P0 = (1, −1, 2) e é paralela ao
vector ~u = (1, 2, 0).
(b) Calcule a distância da recta t ao plano Π3 .
7. Determine α ∈
de modo que a matriz

admita apenas valores próprios reais.
2.1.2

0
3
3
2
2 
A= α
α −1 −1
Frequência - 2 de Fevereiro de 2000
1. Dado
z=
calcule z 4 .
√
3+i
√
1 − 3i
2. Considere as matrizes




1 0 1
2 1 0
T
A =  2 1 3  , B =  4 3 2  e C = 2 −1 0
0 1 0
2 1 3
(a) Indique, justificando, qual o valor lógico da expressão


3
0 1
1
1
(AT − B)C = −  7 −1 2 
2
2
5
2 4
(b) Determine a matriz Y tal que (Y − A)T A = (AB −1 )−1 A.
(c) Resolva o sistema AX = C.
3. Discuta, em função do parâmetro λ, a solução do sistema

 x − 2y + 2z = λ
−y + 2z = λ2

x − y + λ2 z = 0
6
4. Considere a matriz

1 k
 k 1
H =
 −1 k
1 0

1
0 

0 
1
2
3
0
0
Determine os valores de k para os quais |H −1 | = 21 .
5. Dada a matriz

2 1 −1
0
3
1 
A= 1 0
3 2 −5 −1

(a) Caracterize o espaço coluna de A.
(b) Indique a dimensão do espaço coluna de A.
(c) Indique uma base do espaço linha de A.
6. Considere as rectas
t1 : P = (2, 3, 0) + λ(2, 1, −1), λ ∈
t2 : P = (0, −1, 0) + µ(2, 4, 0), µ ∈
,
e a recta t3 definida por
y
z
= 2x
= 1
(a) Determine o plano definido pelas rectas t1 e t2 .
(b) Calcule a distância entre as rectas t2 e t3 .
7. Suponha que a matriz real A é de ordem 3. Mostre que se A tiver um valor próprio igual a zero então a
sua caracterı́stica é inferior a 3.
2.1.3
Exame - 9 de Fevereiro de 2000
1. Considere z0 , z1 ∈
dados por
z0 = 1 − i, z1 =
√
2cis
π
4
Mostre que:
(a) z0 z1 = |z0 |2 ;
n
π
π
z0
(b)
= cos n + i sin n , n ∈
z1
2
2
2. Considere as matrizes
A=
2 1
0 4
3 2 −1 3
, B=
(a) Determine a matriz Y que satisfaz a
(b) Determine os valores de α ∈
1 0
1 1

1
, C = 0 
1
T
1
Y (BB T )−1 − AAT = BB T
2

para os quais CC T + αI3 é invertı́vel.
7
3. Considere o sistema de equações

x
+y

−2x +(a − 3)y

−x
−ay
+2z
−3z
+(b − 3)z
= 0
= b
= a−b+3
(a) Indique as condições às quais devem satisfazer os parâmetros reais a e b para que o sistema tenha
uma infinidade de soluções.
(b) Resolva o sistema depois de substituir a e b por valores que o tornem possı́vel e determinado.
4. Dada a matriz


0 t 1 0
 2 0 t 1 

E=
 2 1 0 t 
0 1 0 1
determine t de modo que |2E| + |E T | = 68.
5. Seja a matriz

com α ∈
.

1
0 2
 2
α 4 

A=
 −1
5 α 
0 −1 0
(a) Discuta a dimensão do espaço coluna de A em função do parâmetro α.
(b) Faça α = 0.
i. Indique, justificando, três linhas de A que formem uma base de 3 .
ii. Escreva o vector (0, 1, −2) na base que indicou na alı́nea anterior.
6. Considere o ponto P0 = (1, 2, 1), a recta r : X = (1, 0, 1) + λ(2, 1, 4) e o plano Π : 2x + αy − βz = 8,
α, β ∈ .
(a) Determine α e β por forma a que o plano Π seja paralelo a r e contenha P0 .
(b) Para α = β = 2, calcule a medida do ângulo formado entre a recta r e o plano Π.
7. Verifique se


1
 0 
2
é vector próprio de


1 0 3
 −1 1 2 
0 0 1
2.1.4
Exame - 21 de Fevereiro de 2000
√
1. Dados os complexos z1 = 2 − 2 3 i21 e z2 = 8cis 5π
3 escreva
z1 + 21 z 2
z2
na forma algébrica.
8
2. Considere as matrizes




1 0 1
3 1 0
A =  0 1 0 , B =  4 4 2 
2 1 3
2 1 4
(a) Determine a decomposição LU da matriz B − I.
(b) Obtenha a matriz X que verifica
−1
−1 −1
X AB −1
− AX −1
=A
3. Discuta o sistema


em função dos parâmetros reais α e β.
4. Considere as matrizes
com x ∈

1
 1
A1 = 
 1
1
x+y−z
αx + y + z

x + αy + 3z
1
1
2
0
0
0
1
1
= β
= 1
= 6β 2


1
x 1
 x 1
2 
 e A2 = 
 x 2
0 
1
x 0
. Determine o valor de x para o qual |A1 | + |A2 | = 0.
0
0
1
1
5. O subespaço vectorial F de
3

1
2 

0 
1
é gerado pelos vectores a = (2, 1, 6), b = (1, 1, 3), c = (0, 2, 0) e d = (1, 0, 3).
(a) Caracterize o subespaço F .
(b) Obtenha uma base de F .
(c) Averigue se é possı́vel escrever o vector (1, 0, 2) na base que indicou na alı́nea anterior.
6. Considere as rectas
t1 : X = (1, 2, 3) + λ(1, m, 1), λ ∈
e
t2 :
com m ∈
.
x−z
y
= 2
= 2
(a) Escreva uma equação do plano Π que contém a recta t2 e o ponto P0 = (1, 1, 1).
(b) Determine os valores de m para os quais as rectas t1 e t2 formam um ângulo de
π
4.
7. Seja D uma matriz quadrada. Mostre que, se |2D| = 8, então D não tem valores próprios nulos.
2.1.5
Recurso - 11 de Setembro de 2000
1. Dados os números complexos z1 = 2cis π6 e z2 = 1 +
√
3i, escreva, na forma algébrica,
z 51
1
−
z2
z1
2. Considere as matrizes



 
2
2
1 0 0
1
 −1 
, C = 1 2 3
 3 
A =  0 −3 2 0  , B = 
e
D
=
 3 
4
5 2 1
3
0

9
(a) Determine a decomposição P > LU da matriz A.
(b) Verifique se ABC é invertı́vel e resolva, em ordem a Y , o sistema ABCY = D.
(c) Resolva a equação DX = I3 + (DC)> .
3. Seja

com m ∈

0 0 2 1
 m m 0 0 

E=
 1 3 0 m 
1 2 1 1
.
(a) Calcule o determinante da matriz 21 E > .
(b) Classifique o sistema EX = 0 em função de m.
4. Considere a matriz


1 2 1
A= 0 a 0 
0 0 b
com a, b ∈ . Sabendo que u = (2, −1, 0) é vector próprio de A e que a soma dos valores próprios de A é
igual a 5, determine a e b.
5. Considere a recta r : 2 − x = y = z + 1, o plano φ : x + 2y − z = 1 e os pontos P = (1, 2, −1) e Q = (0, 1, 2).
(a) Escreva a equação de um plano que contém os pontos P e Q e intersecta o plano φ.
(b) Suponha que F1 e F2 são faces paralelas de um cubo. Determine a medida do volume desse cubo,
admitindo que F1 está contida em φ e que F2 tem pontos de r.
6. Considere a matriz


1 2 1 3
A= 0 1 4 2 
−1 0 3 1
(a) Indique uma base B do subespaço vectorial de
4
gerado pelos vectores-linha de A.
(b) Verifique se (1, 2, 1, 0) pode ser escrito como combinação linear dos vectores da base B.
(c) Comente a seguinte afirmação:
“O vector (1, 2, 1, 0) não pertence ao subespaço vectorial de 4 gerado pelos vectores-linha
de A, logo não pode ser escrito como combinação linear dos vectores da base B.”
2.2
2.2.1
Ano Lectivo 2000/2001
Frequência - 29 de Janeiro de 2001
1. Considere as matrizes






1 −1 2
1 0 2
2
2 0 , B =  3 2 4 , C =  0 
A =  −2
1 3 2
1
0
1 0
(a) Determine a decomposição P T LU de A.
(b) Obtenha a matriz Y tal que (A − det(AT )Y )T A = (AB −1 )−1 A.
10
(c) Resolva o sistema AX = C.
2. Dada a matriz

1
1
3k
k

1

1

2k + 1 
2k
k
 0
F =
 2k 2
0
1
k
2k
0




2
1
−2  e B =  θ 
ρ−1
ρ
determine uma condição envolvendo o parâmetro real k de modo que
1 −1
F
= 1.
det
2
3. Considere as matrizes
2 −θ
A =  −2 2θ
0
θ2
Determine os valores dos parâmetros reais θ e ρ para os quais o sistema AX = B não é possı́vel determinado.
4. Considere a matriz


1 2 0 3
A =  −2 1 0 1 
5 0 0 2
(a) Indique, justificando, uma base do espaço–coluna de A.
(b) Escreva o vector u = (8, 1, 7) na base que indicou.
5. Considere o plano Π : 2x − 3y + z − 4 = 0 e a recta r dada por

 x = 1+λ
y = 2+λ λ∈
r:

z = 3+λ
(a) Indique as posições relativas da recta r e do plano Π.
(b) Calcule a distância da recta r ao plano Π.
(c) Construa a equação geral do plano que contém a recta r e é perpendicular ao plano Π.
6. Considere a matriz

(a) Indique os valores próprios de H.

2 1 0
H = 0 2 3 
0 0 5
(b) Calcule a dimensão do subespaço vectorial de
pendentes de H.
2.2.2
3
gerado pelos vectores próprios linearmente inde-
Frequência - 31 de Janeiro de 2001
1. Considere as matrizes




2 1 0
3 −2 1
6 3 
A =  1 3 0  e B =  −2
2 1 4
1
3 4
(a) Determine a decomposição P T LU de B − 2I3 .
11
(b) Determine a matriz X que verifica
(A−1 B)−1 X − (2X T (B −1 A)T )T = det(B − 2I3 )B −1 A
2. Dada a matriz
determine os valores de k ∈


1
1
2
1
 1 k+1
3
0 

M =
 −1 −1 2k − 2 0 
1
1
2
2
para os quais
1
|M T | = 4| M −1 |.
2
3. Discuta a solução do sistema


em função dos parâmetros λ, µ ∈
x − 2y + 8z
λx + 3λy + µz

2x − 4y + λ2 z
.
4. Considere a matriz
= µ
= λ2
= λ


0
1 2 3
F =  1 −1 2 1 
2 −1 6 5
(a) Caracterize o espaço-linha de F .
(b) Obtenha a dimensão do espaço-linha de F .
5. Considere os planos
Π1 : 2x − 2y + z − 1 = 0
Π2 :
4y − 2z − 2 = 0
Π3 :
2y − 4z − 2 = 0
(a) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta r que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 3) e é
−
paralela ao vector →
u = (0, −2, −4).
(b) Indique as posições relativas da recta r e do plano Π3 .
(c) Calcule a distância da recta r ao plano Π3 .
6. Determine os valores de a, b ∈
2.2.3
para os quais os vectores (1, −2) e (−2, 1) são vectores próprios de
2 1
H=
.
−b a
Exame - 14 de Fevereiro de 2001
1. Considere as matrizes




1 2
1
0 1 1
A =  2 4 −2  , B =  1 0 0 
1 1
2
3 0 2
(a) Calcule a matriz X que é solução da equação
X − detB · (AT B T )T A−1
12
T
= 2B T A−1
(b) Obtenha a decomposição P T LU da matriz B e use esta decomposição para resolver o sistema


2
By =  1 
5
2. Considere a matriz A e o vector b dados por

1
 0
A=
 1
0
com α, β, γ ∈
1
0
1
−2
0 α−2
1 2−α


−1
1
1
 0
−1
0 
, b = 
 β−1
0
1 
γ γ+4
γ+1




. Discuta a solução do sistema Ax = b em função dos parâmetros α, β e γ.
3. Considere as matrizes

−1
 1
B1 = 
 2
0
com x ∈
4
3
1
1
2
3
1 −1



1
−1 4
3 1

1 
x x 
 , B2 =  x x



2
2 2
3 2 
2
0 1 −1 2
. Determine os valores de x para os quais
|B1T B2 | + |2B2 | = 0
.
4. Considere definido em
(−2, 2, 0).
3
o subespaço F gerado pelos vectores u = (−1, 1, 3), v = (4, −4, 0) e w =
(a) Caracterize F .
(b) Obtenha uma base de F e indique a dimensão desse subespaço.
(c) Determine para que valores de θ ∈
o vector (θ, −3, 3) pertence a F .
5. Considere a recta r definida pela intersecção dos planos
Π1 : x + y + z − 3 = 0
Π2 : x − y − z + 4 = 0
e a recta s dada por
7
.
2
s:x=1∧y−z =
(a) Obtenha as equações gerais da recta r.
(b) Indique, justificando, qual a posição relativa das rectas r e s.
(c) Calcule a distância entre as rectas r e s.
6. Considere a matriz quadrada A de ordem n e o vector b ∈ n . Mostre que se A tem um valor próprio
nulo então o sistema Ax = b não pode ser possı́vel determinado.
13
2.2.4
Exame - 19 de Fevereiro de 2001
1. Considere as matrizes



−1 0 −1
2 1 4
0  e B= 3 1 0 
A= 0 2
2 1
3
2 2 1
(a) Determine os valores de α ∈

para os quais B − αI é invertı́vel.
(b) Determine a matriz X tal que
−1
T
X (AT )−1 B T − (AX −1 )−1
= A(B − I)−1
2. Considere a matriz
com α, β ∈
.


1

β
1 + α + 2β
1 2
3
 0 3
6
1 8 15 + β
(a) Determine a decomposição LU de A.
(b) Indique, justificando, para que valores de α e β se tem
i. c(A) = 2;
ii. c(A) = 3;
iii. c(A) = 4.
(c) Considere α = β = 0 e


0
b =  1/2 
1
Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição LU de A.
3. Considere a matriz
com k ∈


1 −1 0 0
 0
1 2 k 

E=
 1
k 2 0 
k
0 0 1
. Determine os valores de k para os quais
|2E T E −1 | + |E| = 16
4. Considere os vectores u = (α, 1 + α, 2α), v = (1, 1, 3) e w = (2, 1, 0) de
(a) Determine α de modo que u seja combinação linear de v e w.
(b) Caracterize o subespaço W gerado por v e w.
(c) Obtenha uma base e indique qual a dimensão de W .
5. Considere a recta
t1 : X = (2, 3, 3) + λ(1, 1, 0), λ ∈
a recta t2 dada por
t2 : x = 1 ∧ y − 2 = z − 3
e a recta t3 definida por
x
y+z
14
= 1
= 8
3
, com α real.
(a) Determine a equação geral do plano definido pelas rectas t1 e t2 .
(b) Indique, justificando, a posição relativa das rectas t2 e t3 .
(c) Calcule a distância entre t2 e t3 .
6. Considere a matriz
com a, b ∈

1
−2
C =  0 2a + 1
0
0
.

3
40 
b−2
(a) Indique os valores próprios de C.
(b) Sabendo que u = (2, 1, 0) é vector próprio de C e que a soma dos valores próprios de C é igual a
zero, determine a e b.
2.2.5
Recurso - 10 de Setembro de 2001
1. Considere as matrizes




1 1 0
2 1 3
A= 3 3 1  e B= 4 3 2 
0 2 1
2 1 0
(a) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
(b) Mostre que o sistema linear (B − I3 )x = b não pode ser possı́vel indeterminado, qualquer que seja o
vector b ∈ 3 .
(c) Determine a matriz Z tal que
A
−1 T
2. Discuta, em função do parâmetro θ ∈
3. Dada a matriz
B
−1
Z
−1
−1
− AZ
T T
T
= A (B − I3 )T
, a solução do sistema

2y + z = 1

x − 2z = θ

x + θ2 y − z = 0

Determine os valores de α ∈

0
0 1 α
 2 −1 α 0 

K=
 2 −α 0 1 
0 −1 0 1
para os quais
|K T | − |2K| + 60 = 0
4. Considere definido em
3
o subespaço F gerado pelos vectores u = (2, 1, 3), v = (−1, 0, 1) e w = (1, 1, 4).
(a) Caracterize F .
(b) Obtenha uma base de F e indique, justificando, qual a dimensão deste subespaço.
(c) Determine para que valores de ρ ∈
o vector (2ρ, ρ, 3ρ) pertence a F .
5. Considere os pontos P = (0, 1, 0), Q = (1, 0, 0) e o vector ~v = (0, − 21 , 1) de
15
3
. Determine:
(a) a equação cartesiana do plano Π1 que contém o ponto Q e é perpendicular a ~v .
(b) as equações paramétricas do plano Π2 que contém o ponto Q e a recta r dada por

 x = 0
y = − 21 λ
r:

z = λ
,λ ∈
(c) a posição relativa do plano Π1 e da recta r.
6. Considere a matriz
N=
Determine os valores de θ1 , θ2 ∈
2.3
3
θ1
4
θ2
de modo que (1, 2) e (−2, 2) sejam vectores próprios de N .
Ano Lectivo 2001/2002
2.3.1
1 Frequência – Cursos de Eng. Electrotécnica e Civil
1. Considere as matrizes




2 1 0
1 0 1
A= 4 2 1  eB= 0 1 0 
0 1 2
1 0 2
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) Obtenha a dimensão do espaço das linhas de A.
(c) Indique, justificando, uma base do espaço das colunas de A.
(d) Caracterize o subespaço F de
3
gerado pela primeira e terceira linhas de A.
(e) Determine, caso existam, os valores de θ ∈
para os quais o sistema


5+θ
(BB T + θI)x =  1 + θ 
8+θ
é possı́vel indeterminado.
−1 −1
T
(f) Determine a matriz Y tal que (A − 2Y ) A = A BB T
A.
2. Discuta a caracterı́stica da matriz

em função do parâmetro λ ∈
.

λ 2λ 2 1
 1 0 3 1 
2 λ 0 2
3. Seja A uma matriz qualquer. Mostre que c(A) = c(AT ).
16
2.3.2
1 Frequência – Cursos de Eng. Quı́mica e Informática
1. Considere a matriz A tal que
A−1
e a matriz


2 0 0
=  −2 1 0 
0 2 1


1 3 4
B= 0 2 1 
1 3 5
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A−1 .
(b) Resolva o sistema Ax = b2 , em que b2 é a segunda coluna de B.
−1
−1 T
(c) Determine a matriz Y tal que Y A−1
Y + Y B −1 Y
= B T + AT .
2. Considere definidos em
3
os vectores u = (1, −2, 1), v = (1, 0, λ) e w = (λ, −3, 0), com λ ∈
(a) Determine os valores de λ para os quais os vectores u, v e w formam uma base de
(b) Faça λ = 0 e considere o subespaço S de
3
3
.
.
gerado por u e v.
i. Caracterize S.
ii. Determine a dimensão de S.
3. Dados



β−1
0
α2 β − 2
−2  e b =  −α 
A =  −2 −2α
2
α
2
1

discuta a solução do sistema Ax = b em função dos parâmetros α, β ∈
.
4. Dada uma matriz A qualquer, sejam R(A) e C(A) os espaços das linhas e das colunas de A respectivamente.
Mostre que dimR(A) = dimC(A).
2.3.3
2 Frequência – Cursos de Eng. Electrotécnica e Civil
1. Dadas as matrizes



0
0 1
x
0
0 1
x
 0

 0
4
x
0
4
x
0
 e E2 = 
E1 = 
 1 −x 0
 x −x 0
1 
1
0 −1 0 −1
0 −1 0 −1
determine os valores de x ∈
para os quais:




(a) a caracterı́stica de E1 é igual a 4.
1
(b) |E1T | − |2E1 | + 16 =
−1 −1
|E2 E1 E2 |
2. Considere definidos em
paramétricas são
3
o plano Π1 cuja equação geral é 2x − y + z + 1 = 0 e o plano Π2 cujas equações

 x
y

z
= 2+λ+µ
= −1 + λ + 2µ
= 3−λ
, λ, µ ∈
(a) Indique, justificando, quais as posições relativas de Π1 e Π2 .
17
(b) Obtenha a equação vectorial do plano Π1 .
(c) Calcule a distância entre os dois planos.
(d) Obtenha as equações cartesianas da recta que passa por P0 = (2, −1, 3) e é perpendicular ao plano
Π2 .
3. Considere a matriz
A=
com α, β ∈
1
α
2
β
,
. Determine α e β de modo que (1, 1) e (2, −1) sejam vectores próprios de A.
4. Mostre que, se λ é valor próprio da matriz quadrada A, então também é valor próprio da matriz A T .
2.3.4
2 Frequência – Cursos de Eng. Quı́mica e Informática
1. Considere a matriz

com α ∈
2+α 3
α
 1
1
1
H=
 2−α 0 2−α
2+α 3
α
.

2
α 

1 
3
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais a matriz H é invertı́vel.
(b) Determine, caso existam, os valores de α tais que |2H T | + |2H −1 | − |I4 | = 31.
2. Considere em
3
as rectas r e s dadas respectivamente por
r : 1−x =
z−2
∧y =1
3
e
s : X = (1, 4, 2) + λ(3, 1, 1), λ ∈
(a) Indique, justificando, qual a posição relativa das duas rectas.
(b) Calcule a distância entre r e s.
(c) Obtenha, caso exista, a intersecção da recta r com o plano Π que passa por P = (1, 2, 1) e é
perpendicular a s.
3. Considere a matriz

com a, b ∈
.

2
2
5

2
E =  0 2a + 1
0
0
3b − a
(a) Determine os valores de a e b de modo que (1, 1, 1) seja vector próprio de E.
(b) Averigue se, para os valores obtidos de a e de b, a matriz E é diagonalizável.
4. Seja A uma matriz quadrada qualquer, e B = SAS −1 , em que S é uma matriz quadrada invertı́vel. Mostre
que A e B têm os mesmos valores próprios.
18
2.3.5
Exame – Cursos de Eng. Electrotécnica, Civil e Informática
1. Considere a matriz A e o vector-coluna b dados por




1
2 3
6
4 5  e b =  11 
A= 2
3 −1 2
4
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) Considere a matriz C = bbT + I3 . Determine a matriz Z tal que
(A−1 Z − C)T = det(3AT )C
2. Considere as matrizes


α α2
3 1 −2 2
 α α


0 1
α α 
e M =
H=
 0 1
 0 0
α 2 
0 0
0 1
1 4

com α ∈
.
α3
α
1
0

α4
α2 

α 
1
(a) Indique para que valores de α a matriz H é invertı́vel.
(b) Determine, caso existam, os valores de α para os quais
|H −1 |
1
1
+ 16| H T | =
− 13|M | + 7
81
2
|3H|
3. Considere definidos em 4 os vectores u = (1, −2, −1, α), v = (−2, 4, 2, 4) e w = (3, α, −3, 3α), com
α ∈ . Seja S o subespaço vectorial de 4 gerado por u, v e w.
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais dim S = 3.
(b) Considere α = −2. Caracterize o subespaço F de
4. Considere, definidos em
3
4
gerado por u e v.
, a recta r que passa pelos pontos P1 = (0, 1, 2) e P2 = (1, 1, 0) e os planos
Π1 : x − 2z + 2 = 0
e
Π2 : y + z − 1 = 0.
(a) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta s que passa pelo ponto Q1 = (−2, 1, 0) e é
paralela ao vector ~u = (2, −1, 1).
(b) Calcule a distância entre as rectas r e s.
5. Considere a matriz
com a, b ∈
.


1 3 2
A= 0 a 2 
0 0 b
(a) Determine os valores de a e de b para os quais (1, 1, 1) é vector próprio de A.
(b) Considere a = b = 1. Averigue se a matriz A é diagonalizável.
6. Seja V um espaço vectorial com vector nulo ~0 e seja W um subespaço vectorial de V . Mostre que ~0
pertence a W .
19
2.3.6
Exame – Curso de Eng. Quı́mica
1. Considere as matrizes






1 −1 2
0 1 0
2
2 3 , B =  2 0 3 , c =  3 
A =  −2
0
2 0
0 4 0
2
(a) Determine a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = c usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) Obtenha a matriz Y tal que (det(A−1 )Y − A)T A−1 = (A−1 B −1 )−1 A−1 .
2. Determine para que valores de β ∈ o sistema

3y



βx +βy
−x +2y



+βz
+z
z
+w
+2w
=
=
=
=
0
0
0
0
apenas admite a solução nula.
3. Dada a matriz
calcule k ∈

2 1
 2 0
E=
 0 k
2 2
0
k
1
0
de modo que |2E T | − 8|E| + |I4 | = −31.

k
1 

0 
k+1
4. Considere os vectores a = (4, 5, 6), b = (−1, −2, −3), c = (7, 8, 9) e d = (1, α, 2), com α ∈
(a) Determine, caso exista, o valor de α para o qual o subespaço de
2.
3
(b) Mostre que os vectores a e b formam uma base no subespaço de
.
gerado por a, b e d tem dimensão
3
gerado por a e b.
(c) Determine, caso existam, as coordenadas do vector (2, −3, 0) na base mencionada na alı́nea anterior.
5. Considere definidas em
3
as rectas

 x = 7 + 3λ
z
y = 6 + 2λ
r1 : 1 − x = ∧ y = 2 e r 2 :

3
z = 2+λ
,λ ∈
(a) Mostre que as rectas r1 e r2 se intersectam no ponto P = (1, 2, 0).
(b) Obtenha as equações cartesianas da recta s que passa por Q = (1, 1, 1) e é perpendicular ao plano
que contém ambas as rectas.
(c) Calcule a distância entre as rectas r1 e s.
6. Considere a matriz
A=
com α, β ∈
.
1 α
β 2
,
(a) Determine α e β de modo que (1, 2) seja vector próprio de A associado ao valor próprio λ = 3.
(b) Considere α = 1 e β = 2. Averigue se a matriz A é diagonalizável.
7. Sejam A uma matriz quadrada qualquer de ordem n e b ∈ n . Mostre que se A tiver um valor próprio
igual a zero então o sistema Ax = b não pode ser possı́vel determinado.
20
2.3.7
Exame de Recurso
1. Considere as matrizes




1 2 3
1 0 0
A =  2 4 3 , B =  0 2 0 
−1 3 2
0 0 1
(a) Calcule a matriz W que é solução da equação
W − det B · (AT B T )−1 A
T
= 2B −1 A
(b) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A e use esta decomposição para resolver o sistema


6
Ax =  9 
4
2. Considere a matriz A e o vector b dados por

0 1
−2
 1 1
0
A=
 0 1 1−α
1 0 α−1
com α, β, γ ∈


−1
0
0
 1
−1
1 
, b = 
 γ+1
γ γ+4 
0
1
β




. Discuta a solução do sistema Ax = b em função dos parâmetros α, β e γ.
3. Considere as matrizes

com φ ∈
−1
 4
H1 = 
 3
1
φ
φ
φ
φ


2
0
1 1
1 1
 −1 4
2
1 
3
1
 , H2 = 
 0 1 −1 2
3 −1 
2
2
2 2
3 2
. Determine os valores de φ para os quais |H2T H1 | + |2H1 | = 0.
4. Dada a matriz






1 0
1
3
0 −1 
A= 2 1
3 2 −1 −5
(a) Caracterize o espaço coluna de A.
(b) Indique a dimensão do espaço linha de A.
(c) Seja S o subespaço de 3 gerado pela segunda e terceira colunas de A. Averigue se o vector x =
(3, 2, 3) pertence a S.
5. Sejam r1 a recta que passa pelos pontos (0, 2, 2) e (4, 5, −2), r2 a recta definida por

2µ
 x =
y = −1 + 4µ , µ ∈

z =
0
e r3 a recta dada por
x=
y
∧z =1
2
(a) Indique, justificando, qual a posição relativa do plano definido pelas rectas r 1 e r2 e a recta r3 .
(b) Calcule a distância entre as rectas r2 e r3 .
6. Mostre que se uma matriz tem os seus valores próprios todos iguais a um e é diagonalizável, então essa
matriz tem que ser a matriz identidade.
21
2.4
Ano lectivo 2002/2003
Nota importante: No ano lectivo 2005/2006, 2 Semestre, a matéria relativa à 1 Frequência deixou de figurar
no programa da disciplina.
2.4.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Informática, Quı́mica e do
Ambiente
1. Determine o polinómio do 4 grau que admite 1, 2 e 3 como raı́zes, cujo resto da divisão por x − 4 é 5 e
cujo resto da divisão por x − 5 é 6.
2. Uma câmara municipal pretende construir no interior de uma rotunda um monumento, composto por um
cubo, um cilindro e uma esfera, colocados da seguinte forma:
Sabendo que o raio da esfera é metade do raio do cilindro, que a altura do cilindro é o triplo do seu raio e
que a aresta do cubo é o dobro do raio do cilindro, determine o raio da esfera de modo que a área lateral
desta figura seja 7π + 8. Note que:
A área lateral do cilindro é dada por 2πrh, em que r é o raio do cilindro e h a altura;
A área da esfera é 4πr 2 .
Caso necessite, considere π = 3.14.
3. As famı́lias Silva e Teixeira viajaram, cada uma no seu veı́culo, da cidade X para a cidade Y , com paragem
na cidade B para comprar caramelos. A famı́lia Silva fez o percurso de X para B a uma velocidade média
de 80 km/h e de B para Y a 60 km/h, enquanto que a famı́lia Teixeira, de condução mais lenta, percorreu
a distância de X para B numa média de 40 km/h e de B para Y a uma média de 50 km/h. Sabendo
que a famı́lia Silva demorou 3 horas de X para Y e a famı́lia Teixeira demorou quatro horas no mesmo
percurso, determine a distância de X para B.
4. Mostre que
é um número inteiro.
√
√
2+ 8
√
√
2− 8
2.4.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Determine um polinómio de 4 grau de coeficientes reais que admita −1, 1 e 2 como raı́zes e tal que o
resto da sua divisão por x − 3 seja 16 e o resto da sua divisão por 2x + 4 seja 12.
2. As cidades de Coimbra e Bragança distam 295 kms entre si. De Coimbra parte um autocarro expresso
para Bragança à velocidade de 80 km/h e de Bragança parte, 30 minutos mais tarde, um automóvel para
Coimbra à velocidade de 90 km/h. Os dois veı́culos encontram-se numa localidade na estrada entre as
duas capitais de distrito. Qual a distância entre essa localidade e Bragança?
22
3. Um laboratório encomendou a construção do seguinte objecto, correspondente à justaposição de um paralelipı́pedo rectângulo com uma pirâmide rectangular regular:
Sabendo que a área lateral da pirâmide é de 1040 cm2 , que a aresta da sua base mede 20 cm e que a altura
do paralelipı́pedo é o dobro da medida dessa aresta, calcule o volume total do objecto. Tenha em conta
os seguintes aspectos:
A área lateral de uma pirâmide regular é dada por A =
altura de uma das faces laterais;
O volume de uma pirâmide regular é dado por V =
é a altura da pirâmide.
4. Mostre que
p×a
2 ,
b×h
3 ,
em que p é o perı́metro da base e a é a
em que b é a área da base da pirâmide e h
√
√
18 + 2
√
√
18 − 2
é um número inteiro par.
2.4.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e
Engenharia Informática
1. Considere a matriz A e o vector b definidos por




1
1
0
1
0
γ +4 , b =  γ +2 
A= 1
0 α−2
0
β−1
com α, β, γ ∈
.
(a) Discuta a solução do sistema em função dos parâmetros α, β e γ.
(b) Considere α = β = γ = 1.
i. Mostre que a matriz A é invertı́vel.
ii. Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
iii. Seja C = bbT . Obtenha a matriz W que é solução de (W − C)T U −1 = (AL)−1 P T L.
2. Considere definido em
com α ∈ .
4
o subespaço S gerado pelos vectores (1, 0, 1, 1), (0, −2, 1, α) e (1, −2, 2, α + 1),
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais dim(S) = 2.
(b) Para α = 0, caracterize S.
3. Mostre que, se A e B são matrizes quadradas invertı́veis, então (AB) −1 = B −1 A−1 .
23
2.4.4
2 Frequência – Curso de Engenharia Civil
1. Considere a matriz A e o vector b definidos por




1
0
1
1
0
β +3 , b =  β +1 
A= 1
0 α−3
0
1
com α, β ∈
.
(a) Discuta a caracterı́stica de A em função dos parâmetros α e β.
(b) Considere α = β = −1 e a matriz C = bbT .
i. Obtenha a decomposição P T LU de A.
ii. Mostre que C − I é invertı́vel.
iii. Determine a matriz X que é solução da equação
(C − I)T X T (AT )−1 = A−1 (C − I)
2. Considere a matriz
com β ∈
T


1 2
1
3 
E= 3 2
2 0 β−2
e seja W o espaço coluna de E.
(a) Determine, caso existam, os valores de β para os quais W tem dimensão 3.
(b) Considere β = 4.
i. Indique, justificando, uma base de W .
ii. Caracterize W .
3. Mostre que, se A é uma matriz quadrada invertı́vel, então a sua inversa é única.
2.4.5
2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Considere as matrizes

com α, θ ∈
.

 


1 3
0
1
1
1 1
1 1  e E = bbT ,
A =  2 6 −1  , b =  1  , C =  α
2 0
2
θ
2α 2α 1
(a) Mostre que c(E) = 1, para todo θ.
(b) Discuta a solução do sistema Cx = b em função dos parâmetros α e θ.
(c) Considere α = θ = 0.
i. Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição P T LU de A.
ii. Determine a matriz Z tal que
A−1 Z + AEC T
T
AT = CE T AT + 3I3−1 + C −1
em que I3 representa a matriz identidade de ordem 3.
2. Considere definido em
λ∈ .
3
o subespaço W gerado pelos vectores u = (−2, λ + 1, 2) e v = (−2, λ, 1), com
24
(a) Determine, caso existam, os valores de λ para os quais dimW = 1.
(b) Considere λ = 0.
i. Caracterize W .
ii. Obtenha uma base de W .
3. Seja A uma matriz qualquer. Mostre que o espaço das linhas de A e o espaço das colunas de A têm a
mesma dimensão.
2.4.6
3 Frequência – Cursos de Engenharia Civil e Engenharia Informática
1. Considere as matrizes

(a) Calcule k ∈
1 −k
 k
0
E =
 0
1
0
1
de modo que


0 0
1
 0
2 1 
 , W =
 0
2 k 
0 1
0
|2E T | − 8|E| +
2
2
0
0
3
5
3
0


4

6 
 e b=

7 
4

1
3 

3 
2
15
|W | = 15.
24
.
(b) Considere k = 0. Indique, justificando, se o sistema Ex = b é um sistema de Cramer.
(c) Mostre que W é diagonalizável.
2. Considere a recta r : 2 − x = y = 1 + z, o plano Π : −x − 2y + z = −1 e os pontos P = (0, 1, 2) e
Q = (1, 2, −1).
(a) Indique, justificando, qual a posição relativa da recta r e do plano Π.
(b) Escreva a equação geral do plano que contém os pontos P e Q e é paralelo à recta r.
(c) Calcule a distância entre a recta r e a recta s que contém os pontos P e Q.
3. Seja A uma matriz quadrada. Mostre que, se λ é valor próprio de A, então também é valor próprio de
AT .
2.4.7
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica e Engenharia do Ambiente
1. Considere as matrizes

com α, β, γ ∈
.

1 0
1
0
 1 α α2 + 1 α 
, E = γ
A=
 0 −1
α
1 
β
2
1 α α + 1 2α
−β
γ
, w=
1
1
,
(a) Determine, caso existam, os valores de α, β e γ para os quais
|A|
= 1 − γ 2 + β 2 E −1 −1
|2A |
(b) Determine os valores de β e γ para os quais w é vector próprio de E associado ao valor próprio λ = 2.
25
2. Considere a recta r que passa pelos pontos P = (1, 2, −1) e Q = (2, 0, 1), a recta s dada por
x + 2y − z + 1 = 0
2x + z − 3 = 0
e o ponto R = (1, 1, 0).
(a) Determine a equação geral do plano Π que passa pelo ponto R e contém a recta s.
(b) Indique, justificando, qual a posição relativa da recta r e do plano Π.
(c) Calcule a distância entre as rectas r e s.
3. Mostre que, se λ é valor próprio da matriz invertı́vel A, então
1
λ
é valor próprio de A−1 .
2.4.8
3 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Considere a matriz A dada por


0 2 0
1 2 α 

0 2 0 
−α 2 1
e seja H uma matriz quadrada de ordem 3 invertı́vel tal que 2H −1 H T H −1 H 4 = 64. Determine, caso
existam, os valores do parâmetro α ∈ para os quais
1+α
 0
A=
 α
0
4 21 AT − |I4 | = 0
|H −1 |
2. Considere definidos em 3 o plano Π1 : X = (1, 1, 1) + λ(2, 0, 0) + µ(0, −1, 0), λ, µ ∈ , o plano
Π2 : x + y − z = 3, o plano Π3 que passa pelos pontos Q1 = (−1, −1, 1), Q2 = (0, −1, 1) e Q3 = (1, 0, 2),
e a recta r definida por r : x = 5 ∧ 2 + y = z.
(a) Mostre que os planos Π2 e Π3 se intersectam na recta r.
(b) Calcule a distância da recta r ao plano Π1 .
3. Considere a matriz
W =
com α, β ∈
α+1 β
β−2 α
.
(a) Determine os valores de α e β para os quais o vector v = (1, 2) é vector próprio de W associado ao
valor próprio λ = 1.
(b) Considere α = 10 e β = 0. Mostre que W é diagonalizável.
4. Mostre que se A é uma matriz invertı́vel qualquer, então
det(A−1 ) =
26
1
det(A)
2.4.9
Exame – Cursos de Engenharia Civil e de Informática
1. Considere definidas as matrizes



2 1 −4
4
A =  4 2 −1  , E =  0
−2 0
6
α
com α ∈



−1
0
2α
2
α  eb= 5 
4
0 α − 21
.
(a) Determine a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) Determine, caso existam, os valores de α para os quais |2E| + |2AT | =
8
|A−1 | .
(d) Considere α = 0. Obtenha a matriz X tal que
E −1 XA−1
−1
− AT X −1 E
T
em que I3 representa a matriz identidade de ordem 3.
= E −1 I3
2. Considere definidos em 3 o plano Π dado por X = (−1, 2, 0) + λ(1, 2, 1) + µ(0, −1, 0), λ, µ ∈
r cujas equações cartesianas são
x+1
= −z ∧ y = 2
2
3
, a recta
e o ponto P0 = (2, 3, 4).
(a) Mostre que P0 6∈ Π.
(b) Calcule a distância entre a recta r e o plano Π.
(c) Obtenha a equação geral do plano Π1 que passa por P0 e contém a recta r.
3. Considere o sistema Ax = b com

2
 1
A=
 2
1
com α, β, γ ∈


4 −β 1

2
1 1 
, b = 


3
2 2
3
1 γ

α
1 

2 
1
.
(a) Discuta a solução do sistema em função dos parâmetros α, β e γ.
(b) Indique, justificando, para que valores de β e γ a matriz A não tem valores próprios nulos.
(c) Considere α = β = γ = 1.
i. Obtenha uma base de C(A), o espaço das colunas de A.
ii. Averigue se (2, 4, 5, 7) ∈ C(A).
→
−
→
−
4. Seja W um subconjunto de um espaço vectorial V de vector nulo 0 . Mostre que se 0 ∈
6 W , então W
não é subespaço vectorial de V .
27
2.4.10
Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica e Engenharia do Ambiente
1. Considere as matrizes

α
 1

A=
1+α
1−α
com α, β, γ, θ ∈
1
0
2 1−α
3
α
1 1−α


−1
α

−α 
 , b =  4 − 2α
 4 + 2α
1 
1+α
β



 
4
0 γ
1

, C =  1
 ed= 2 
1
θ

3 −1 2
1
.
(a) Discuta a caracterı́stica da matriz A em função do parâmetro α.
(b) Determine os valores de α para os quais
T 1
2A + P23 = 16 A−1 − 1
2
16
(c) Considere α = 0.
i. Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
ii. Caracterize o subespaço W de
4
gerado pelas colunas de A.
iii. Determine, caso existam, os valores de β para os quais b ∈ W .
(d) Determine caso existam os valores de γ e θ para os quais d é vector próprio de C.
(e) Considere γ = θ = 0.
i. Mostre que a matriz C é diagonalizável.
ii. Determine a matriz X solução da equação
|C| ·
2. Considere definidas em
3
CX −1
−1
C + C X −1 C
a recta r1 dada por
x =2∧
−1 T
=
1
(ddT + I3 )
dT d
3−y
= 4 − z,
2
a recta r2 cujas equações paramétricas são

 x
y

z
= 2+λ
= 3 + 2λ , λ ∈
= 4 − 3λ
e a recta r3 dada pela intersecção dos planos Π1 : 2y + z − 2 = 0 e Π2 : x + 2y − 3z − 2 = 0.
(a) Averigue se a recta r1 intersecta o plano Π2 .
(b) Determine a equação geral do plano Π definido pelas rectas r1 e r2 .
(c) Calcule a distância entre as rectas r1 e r3 .
3. Sejam A uma matriz quadrada qualquer de ordem n e b ∈ n . Mostre que se o sistema Ax = b é possı́vel
determinado então a matriz A não tem valores próprios nulos.
28
2.4.11
Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Considere a matriz C invertı́vel tal que
C −1
e a matriz E dada por


0
8
0
0 
=  1 −2
0
0 −1


2 1 −1
E =  0 3 −2 
−3 1
5
(a) Resolva o sistema Cx = d, em que d =
T
(b) Obtenha a decomposição P LU de C
(c) Resolva o sistema C
−1
−1
T
1 2 3
.
.
x = d usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(d) Determine a matriz Z tal que
(Z + E)(C T )−1
T
=
1
C −1 E
det(3C)
(e) Indique, justificando, se a matriz C −1 é diagonalizável.
2. Considere, definidos em 3 , os planos Π1 : 2x − z + 1 = 0 e Π2 : y = −2, bem como a recta r1 definida
por r1 : x = y+2
2 = z − 1 e a recta r2 que corresponde à intersecção dos planos Π 1 e Π2 .
(a) Determine o plano Π3 definido pelas rectas r1 e r2 .
(b) Determine a equação geral do plano Π4 que é perpendicular a Π3 e contém a origem (0, 0, 0).
(c) Calcule a distância da recta r1 ao plano Π4 .
3. Considere a matriz
com α ∈
.


2 α
2 1 

0 0 
0 1
0 1
 α 0
N =
 1 α
0 1
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais pode garantir que a matriz N não admite
inversa.
(b) Calcule α de modo que
2
|2(N −1 )T |
+ |2I4 | = 16
em que I4 designa a matriz identidade de ordem 4.
4. Considere a matriz W dada por

com β ∈
.

2
0
1
 4
β
2 

W =
 β
5 −1 
0 −1
0
(a) Discuta a dimensão do espaço das colunas de W em função do parâmetro β.
(b) Faça β = 0.
29
i. Indique, justificando, uma base do espaço das linhas da matriz W .
ii. Escreva o vector z = (0, −2, 2) na base que indicou na alı́nea anterior.
→
−
5. Seja V um espaço vectorial qualquer e seja W um subconjunto de V que não contém o vector nulo 0 de
V . Mostre que W não é subespaço de V .
2.4.12
Exame de Recurso
1. Considere as matrizes




0
3
2 0
5
 0
A =  −6 −4 1  , b =  −9  , C = 
 3
0
2 1
3
α

com α ∈
.


1
α 2
α α5


1
1 4 
0 1
e E=
 0 0
1 −2 2 
α
α α
0 0
α6
α8
α
0

α7
α9 

α10 
1
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição P T LU que obteve na alı́nea anterior.
−1 −1 T
(c) Determine a matriz Z que satisfaz a Z 2I4 + E AU −1 L−1 P E
= 0.
(d) Determine, caso existam, os valores de α para os quais a matriz C é invertı́vel.
(e) Indique, justificando, para que valores de α a igualdade
det(2E T ) −
1
= 9α2 + 26
det C −1
é verdadeira.
2. Considere a matriz
com α, β ∈


3
0
0

2α − 1
0
A= 2
3
−12
4β − 3
2
.
(a) Determine, caso existam, os valores de α e β para os quais o vector (β, 2, 3) é vector próprio de A
associado ao valor próprio λ = −2.
(b) Considere α = β = 0. Indique, justificando, se a matriz A é diagonalizável.
3. Considere o seguinte sólido definido em
3
.
P4
P5
P7
P6
30
P1
P2
O
P3
em que O = (0, 0, 0), P1 = (0, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (0, 1, 0), P4 = (a, 0, 1),P5 = (a, 1, 1), P6 = (a, 1, 0)
e P7 = (a, 0, 0), com a ∈ .
(a) Determine a equação geral do plano Π1 definido pelos pontos P1 , P2 e P3 .
(b) Mostre que a equação cartesiana do plano Π2 que contém as arestas OP3 e P4 P5 é x − az = 0.
(c) Determine, caso exista, o valor do parâmetro
a > 0 para o qual a distância do plano Π 2 à recta r
√
2
que contém os pontos P6 e P7 é igual a 2 .
4. Considere a matriz
com θ ∈
.


2θ
θ
1
W =  0 −1 −1 
θ
2
2
(a) Discuta a dimensão do espaço C(W ) das colunas de W em função do parâmetro θ.
(b) Considere θ = 0.
i. Caracterize o espaço C(W ).
ii. Obtenha uma base do espaço R(W ) das linhas de W .
5. Mostre que, se a matriz quadrada A de ordem n tem os seus valores próprios todos iguais a γ > 0 e é
diagonalizável, então A = γIn .
2.5
Ano lectivo 2003/2004
Nota importante: No ano lectivo 2005/2006, 2 Semestre, a matéria relativa à 1 Frequência deixou de figurar
no programa da disciplina.
2.5.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Informática, Quı́mica e do
Ambiente
1. Mostre que
é um número racional.
√
√
2 + 4 18
√
√
2 − 4 18
2. Determine os números reais m e n de modo que o polinómio x4 − mx3 + nx2 + 3x + 1 seja divisı́vel por
(x − 2)(x + 1).
3. Considere o sólido constituı́do pelo cilindro A, pelo cone B e pela pirâmide triangular regular C que
apresentamos na figura seguinte.
C
B
A
Admitindo que:
31
o raio do cilindro é igual ao raio do cone e a altura do cilindro é de 1 cm;
a altura do cone é de 2 cm;
as faces da pirâmide são triângulos equiláteros iguais de lado igual ao raio do cilindro e a pirâmide
tem uma altura de √43 cm;
determine o raio do cilindro por forma a que o volume do sólido seja igual a 5π +1 (considere, se necessário,
π = 3.14).
4. Dois casais de namorados, que designaremos por primeiro casal e segundo casal, têm à sua disposição uma
charrette e um automóvel (ambos com apenas dois lugares) para se transportarem da cidade C para a
cidade T . Como querem passar por um agradável miradouro P entre C e T , combinaram que o primeiro
casal usaria a charrette de C para P e o automóvel de P para T , enquanto que o segundo casal faria ao
contrário. O primeiro casal demorou 3 horas de C para T , enquanto o segundo casal demorou 2 horas no
mesmo percurso. Atendendo a que as velocidades médias da charrette e do automóvel são respectivamente
de 25 km/h e de 50 km/h, indique qual dos casais andou mais tempo de charrette.
2.5.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Três cubos têm arestas, medidas em centı́metros, respectivamente iguais a y + 1, y e y − 1, em que y é um
número natural maior ou igual a 2. Determine, caso exista, o valor de y para o qual a soma dos volumes
do maior e do menor dos cubos é igual ao dobro da área total das faces do cubo restante.
2. Uma instituição de ensino superior pretende construir na sua entrada principal uma obra de arte composta
por um cone, um cilindro e uma esfera dispostos como na figura seguinte:
Sabendo que se pretende que:
√
a altura do cone seja igual a 2 2 vezes o seu raio,
o raio do cilindro seja metade da sua altura e igual aos raios da esfera e do cone,
determine o raio do cilindro por forma que a área lateral total da figura seja de 44π.
3. Simplifique o mais possı́vel a expressão:
(−a)
−n
−p
− ab
k
0
− (−a)
n
: an
1 p
b
com a, b ∈
+
e n, k, p ∈
, atendendo a que n é ı́mpar e p é par.
4. Um avião percorre a distância entre duas cidades em duas etapas, tendo efectuado 5 horas de voo no total.
Na primeira etapa foram percorridos 2400 km a uma velocidade média de 900 km/h, tendo a segunda
etapa sido percorrida a uma velocidade média de 600 km/h. Calcule a distância entre as duas cidades.
32
2.5.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e
Engenharia Informática
1. Considere as matrizes






1 −1 2
1 0 2
2
A =  −2
2 0 , C =  3 2 4 , b =  0 
0
1 0
1 3 2
1
(a) Determine a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(c) Obtenha a matriz Y que é solução de
2. Considere definidos em
com k ∈ .
4
T T −1
−1 −1 −1 −1
AT AT − 2Y
A = A−1 C
U L P .
os vectores a = (2, 1, −2, 1), b = (0, 1, 0, k), c = (−1, 0, 1, 0) e d = (3, k, −3, 0),
(a) Determine o valor de k para o qual os vectores a, b, c e d formam uma base de
(b) Faça k = 0 e considere o subespaço S de
4
4
.
gerado pelos vectores b, c e d.
i. Calcule a dimensão de S.
ii. Caracterize o subespaço S.
3. Discuta a caracterı́stica da matriz

em função do parâmetro t ∈
t
 0
F =
 2t2
0
.

1 1
1

t 1
1

2t 3t 2t + 1 
0 t
2t
4. Dados uma matriz A quadrada de ordem n e um vector b ∈
impossı́vel então c(A) < n.
n
, mostre que se o sistema Ax = b é
2.5.4
2 Frequência – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes A e b dadas por




1 2
3
6
1  e b= 7 
A= 2 4
3 1 −2
2
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) Determine a matriz Z tal que
U
(A
−1
Z)
−1
1
− A
2
33
T
A
−1
!T
=
1
(P L)−1 A
2
2. Considere a matriz
com α ∈

0 1
E= 3 α
2 1
.

0 α
−3 0 
−2 1
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais as três últimas colunas de E geram
(b) Considere α = 0 e seja W o espaço gerado pelas duas primeiras linhas de E.
i. Calcule a dimensão de W .
ii. Caracterize W .
3. Discuta a solução do sistema de equações

x
+y

−x
−ay

−2x +(a − 3)y
em função dos parâmetros a, b ∈
+2z
+(b − 3)z
−3z
3
.
= 0
= a−b+3
= b
.
4. Mostre que, para toda a matriz invertı́vel A, se tem AT
−1
= A−1
T
.
2.5.5
2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Considere as matrizes
com λ ∈






−1
1 2
2
1
A =  2 −2 0  , b =  0  e d =  λ 
1
0 0
1
2
, e a matriz C tal que

1 0 2
= 3 2 4 
1 3 2
C −1

(a)
(b)
(c)
(d)
Determine a decomposição P T LU da matriz A.
Resolva o sistema de equações lineares Ax = b usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
Mostre que qualquer que seja o λ se tem c(ddT ) = 1.
Considere λ = 1. Determine, caso exista, a matriz Y que é solução de
T
−1 −1 −1
1
A−1 AT AT + 3Y
= T U −1 P T L
A C
d d
2. Discuta a solução do sistema de equações lineares Ex = b, com




1
1
2
0
θ  e b= ρ−θ+3 
E =  −1 −ρ
−3 −3 θ − 6
ρ+3
em função dos parâmetros ρ, θ ∈
3. Considere definidos em
3
.
os vectores u = (2, α, 1), v = (4, 1, 0) e w = (−1, 2, 2), com α ∈
.
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais os vectores u, v e w são linearmente dependentes.
(b) Considere α = 0 e seja F o subespaço de 3 gerado por u e v.
i. Obtenha uma base de F .
ii. Caracterize o subespaço F .
4. Mostre que se a matriz A quadrada de ordem n é invertı́vel então a sua inversa é única.
34
2.5.6
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e
Engenharia Informática
1. Considere a matriz M e o vector v dados por

1 −1
 θ
0
M =
 0 −θ
1
7
com θ ∈
.



0 −1
θ

1 −θ 
ev= 1 
0
1 
−1
θ
1
(a) Mostre que para todo o valor de θ se tem det(vv T ) = 0.
(b) Determine, caso existam, os valores de θ para os quais
1 1
M + |M T | + 1 |I6 | =
2 −1
16
|M M −1 M |
em que In representa a matriz identidade de ordem n, n ∈
2. Considere definidos em
3
.
a recta r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 2, 1), λ ∈
2x + y = 1
y−z−2 = 1
, a recta s dada por
e os pontos P = (1, −1, 2) e Q = (2, 0, 0).
(a) Obtenha a equação cartesiana do plano Π que passa pelo ponto P e é paralelo ao plano que contém
as rectas r e s.
(b) Calcule a distância da recta r à recta t que passa pelos pontos P e Q.
3. Considere a matriz
W =
com α, β ∈
β
β
α
2
.
(a) Determine, caso existam, os valores de α e de β para os quais (1, 1) é vector próprio de W associado
ao valor próprio λ = 1.
(b) Mostre que, para β = 0, a matriz W é diagonalizável.
4. Seja A uma matriz quadrada invertı́vel qualquer, e seja λ 6= 0 um seu valor próprio. Mostre que
próprio de A−1 .
2.5.7
3 Frequência – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes

com α ∈
.

 2
1
0 0 −α
α +1
1
2
3
2
 α


8
0
0
0
α
+
1
4
5
 eM =
E=
 0 −α 1

1 
0
0
α2 + 1
6
0 −1 0 −1
0
0
0
α2 + 1
(a) Mostre que não existe nenhum valor de A tal que det(M ) = 0.
35




1
λ
é valor
(b) Determine, caso existam, os valores de α tais que
1
|E| − |3E T | + 81 =
2. Considere definidos em
3
|M −1 E −1 M |
o plano Π1 : x + 2y − 5z + 8 = 0, o plano Π2 cujas equações paramétricas são

 x = 2λ
y = 1 − λ + µ , λ, µ ∈

z = 2 − 2µ
e a recta r : X = (0, 4, 0) + α(−1, −2, 5), α ∈
.
(a) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta s dada por
x + 2y = 2
z = 2
(b) Determine a distância entre as rectas r e s.
3. Considere a matriz
com α, β ∈

α
0
A= 3 1−β
1
−1
.

0
0 
α+β
(a) Determine, caso existam, os valores de α e β para os quais a matriz A admite o vector próprio (1, 1, 1).
(b) Considere α = β = 1. Indique, justificando, se a matriz A é diagonalizável.
4. Seja A uma matriz quadrada qualquer, e seja λ um seu valor próprio. Mostre que λ também é valor
próprio da matriz AT .
2.5.8
3 Frequência – Engenharia Electrotécnica
1. Considere as matrizes
com α ∈
− {0}.

1
0 0
 0
α
0
W =
 α −1 0
0
0 α

α
0 
 e H = α −1
0 
1 α
1
(a) Mostre que a matriz H não pode ter valores próprios nulos.
(b) Determine, caso existam, os valores de α para os quais
em que I3 representa a matriz identidade de ordem 3.
2. Considere a matriz
com α, β ∈
.

2α
F = 0
0
−1
α+β
0
16
− det(H T H −1 ) = det(2I3 ),
α2 det(2(W T )−1 )

0
3 
β
(a) Determine, caso existam, os valores de α e β para os quais u = (1, 2, 1) é vector próprio de F .
(b) Considere α = 1 e β = 0. Indique, justificando, se a matriz F é diagonalizável.
36
3. Considere o seguinte sólido, definido no espaço 3 , em que os pontos têm as coordenadas O = (0, 0, 0),
P1 = (a, 0, 0), P2 = (a, a, 0), P3 = (0, 0, a) e P4 = (0, a, a), com a ∈ + , e seja s a recta definida pelos
pontos O e P1 .
P4
P3
P2
P1
O
(a) Mostre que a recta r que contém os pontos P2 e P4 é dada por a − x = z ∧ y = a.
(b) Determine a equação geral do plano Π paralelo à recta s e que contém a recta r.
(c) Determine, caso exista, o valor de a para o qual a distância entre as rectas r e s é igual a 1.
4. Mostre que se λ é valor próprio da matriz quadrada A, então também é valor próprio de A T .
2.5.9
Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática
1. Considere as matrizes





3
0
0
1 3 −1
−3
2
0 
A= 2 6
0  , b =  −4  e E =  −1
2
−2 −1 α + 4
1 4
5
2

com α ∈
.
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
−1 −1
T
(c) Determine a matriz Y tal que EU −1 L−1 P A
E
+ E −1 Y = I3 − E −1 E T .
(d) Mostre que a matriz E é diagonalizável.
2. Considere as matrizes

com λ, ρ ∈
.


2 0
1
λ
ρ
2
 2 λ

 0 ρ+1
0
1


Q=
 2 1 λ+1 λ  e W = 0
0
0 0
1
1
0
0
3
5
ρ+2
0
(a) Indique, justificando, para que valores de ρ a matriz W admite inversa.
(b) Calcule λ e ρ de modo que
|W −1 | |(2W )T |
33
+ |2I4 | =
8
|2Q−1 |
2
em que In designa a matriz identidade de ordem n.
37

4
6 

7 
ρ+3
3. Considere a matriz
com α ∈


2α α 1
M = 0 2 2 
α 2 2
.
(a) Discuta a dimensão do espaço C(M ) das colunas de M em função do parâmetro α.
(b) Considere α = 1.
i. Caracterize o espaço C(M ).
ii. Obtenha uma base do espaço R(M ) das linhas de M .
4. Considere definidos em
o plano Π2 dado por
3
o plano Π1 que passa pelos pontos P1 = (0, 0, 1), P2 = (0, 1, 1) e P3 = (1, 0, 3),
Π2 : X = (0, −2, 1) + λ(0, 0, −1) + µ(1, 0, −1), λ, µ ∈
a recta r cujas equações paramétricas são

 x
y

z
= λ
= −2 + 2λ , λ ∈
= 1+λ
,
e a recta s definida pela intersecção dos planos Π1 e Π2 .
(a) Determine a equação geral do plano Π3 paralelo às rectas r e s e que passa pela origem (0, 0, 0).
(b) Determine a distância da recta r ao plano Π3 .
→
−
→
−
5. Mostre que se W é um subespaço do espaço vectorial V e se 0 é o elemento neutro de V , então 0 ∈ W .
2.5.10
Exame – Curso de Engenharia Civil
1. Considere a matriz A cuja inversa A−1 é dada por

A−1
e as matrizes B e d dadas por

1 −1 3
4 0 
=  −4
0
2 0


 
1 0 2
3
B =  3 2 4 , d =  0 
1 3 2
2
(a) Determine a decomposição P T LU de A−1 .
(b) Obtenha o vector y tal que Ay = d.
(c) Obtenha a matriz W tal que (A−1 − det(A)W )T A = (A−1 B −1 )−1 A−1 .
(d) Mostre que c(ddT ) = 1.
2. Discuta a solução do sistema de equações




x + y + αz + w
x + 3y + z + w
2x + 4y + (1 + 2α)z + (1 − γ)w



x + 3y + z + (1 + α)w
em função dos parâmetros α, β, γ ∈
.
38
=
=
=
=
β
1
2
1
3. Considere a matriz
com λ ∈


λ
2
1
1
 0
1
0
λ 

C=
 0 −3 −1 −2λ 
1
0
0
λ
. Determine, caso existam, os valores de λ para os quais a igualdade
2|C| − 2 |I4 | = 16 − 2C T C −1 é verdadeira.
4. Considere definidos em
(1, α, −1, 0), com α ∈ .
4
os vectores a = (0, 1, 0, α), b = (−2, −1, 2, −1), c = (−1, 0, 1, 0) e d =
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais os vectores a, b, c e d formam uma base de
4
.
(b) Faça α = 0 e admita que S é o subespaço de
4
gerado pelos vectores a, c e d.
i. Calcule a dimensão de S.
ii. Verifique se o vector b pertence a S.
5. Considere definidos em 3 o plano Π1 que passa pelos pontos P1 = (1, 0, 2), P2 = (0, 1, 2) e P3 = (0, 0, 2)
e os planos Π2 e Π3 definidos por
Π2
Π3
: X = (1, 0, 4) + λ(−1, 1, 6) + µ(1, 0, −4), λ, µ ∈
: x − 2y − 3z = 0.
(a) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta t que passa por P0 = ( 32 , 0, 2) e é paralela ao
−
vector →
u = ( 12 , 1, 0).
(b) Calcule a distância da recta t à recta s definida pela intersecção dos planos Π 1 e Π3 .
6. Considere a matriz

1
A =  θ2
θ1
0
θ1
θ3

0
0 
θ2
com θ1 , θ2 , θ3 ∈ . Sabendo que u = (2, −1, 0) é vector próprio de A e que a soma dos valores próprios
de A é igual a 5, determine θ1 , θ2 e θ3 .
2.5.11
Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Considere as matrizes




1 2 2
2 0 1
A =  2 4 0  e B =  −2 1 0  .
1 1 3
0 2 1
(a) Determine a decomposição P T LU de A.
(b) Determine, caso exista, o vector z solução de B −1 z = d, em que d é a segunda coluna de A.
(c) Determine a matriz Y que verifica
BT
−1
Y Y B −1
T BT
−1
YT
39
−1
− Y A−1
−1
Y
−1
= B −1
T
B −1
2. Discuta a solução do sistema

+2y
 x
−x +(α − 2)y

2αy
em função dos parâmetros α, β ∈
3. Considere a matriz
com k ∈
+2z
−2z
+(α − 1)z
=
3
=
−2
= β−3
.

1
 k
E=
 0
0
.
+w
−w
+(α2 − α)w

0
1 
,
k 
1
0 k
1 0
1 1
0 1
(a) Mostre que |E| = k 2 − k + 2.
(b) Determine, caso existam, os valores do parâmetro k tais que
|2E −1 | − 4|(E −1 )T | + 2|E T E −1
em que I3 representa a matriz identidade de ordem 3.
T
| = |2I3 |,
(c) Indique, justificando, se a matriz E pode admitir valores próprios nulos.
(d) Determine, caso existam, os valores de k para os quais o espaço vectorial formado pelas colunas de
E tem dimensão 4.
(e) Considere k = 1 e seja W a matriz formada pelas terceira e quarta colunas de E. Obtenha uma base
do espaço linha de W .
4. Considere definidos em 3 o plano Π1 que passa pelos pontos P1 = (2, 1, 0), P2 = (0, 0, 0) e P3 = (1, 1, 2),
o plano Π2 definido por Π2 : x + az = −4, com a ∈ e a recta s definida por
x = −4 − 3z ∧ y =
com z ∈
4 5
+ z,
3 3
.
(a) Determine a de modo a que Π1 e Π2 se intersectem na recta s.
(b) Calcule a distância da recta s à recta r definida por
r:
2−x
y
1−z
= =
.
3
2
2
→
−
5. Seja V um espaço vectorial e seja W um subespaço vectorial de V . Se 0 é o elemento neutro de V , mostre
→
−
que 0 ∈ W .
2.5.12
Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática
1. Considere a matriz
e a matriz B tal que


2 −1 0
1 1 
A =  −2
0
2 1
B −1


1 3 4
= 0 2 1 
1 3 5
40
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b2 , em que b2 é a segunda coluna de B −1 , usando a decomposição que obteve
na alı́nea anterior.
T
−1
−1
−1
(c) Determine a matriz Z tal que ZA−1
Z + Z (BZ)
= BT
+ AT + det(B)Z T .
2. Discuta a solução do sistema de equações

x
+y

−2x
+ay

−x −(a + 3)y
+2z
−3z
+bz
= 0
= 3
= a+3
em função dos parâmetros reais a e b.
3. Considere as matrizes

com α, β ∈
.
2 1
2
 2 0 α+2
W =
 0 1
0
0 α
1

α
1 

1 
0
e


−1
0
0
0
 1 β2 + 1 0
0 

R=
 2
0
−2 0 
1
0
2 β2
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais pode garantir que a matriz W não admite
inversa.
(b) Mostre que a matriz R é diagonalizável.
(c) Indique, caso existam, os valores de α e β para os quais é verdadeira a igualdade
1
2|RT R−1 |
+ |2I4 | − 16 =
|2(W −1 )T | + |R| − 2β 2 (β 2 + 1)
2
em que I4 designa a matriz identidade de ordem 4.
4. O subespaço vectorial F de
3
é gerado pelos vectores a = (1, 2, α), b = (1, 1, 1) e c = (1, 0, 0), com α ∈
.
(a) Determine, caso existam, os valores de α para os quais dim(F ) = 2.
(b) Considere α = 2.
i. Caracterize F .
ii. Averigue se (1, 0, 2) ∈ F .
5. Considere, definidos em
3
, a recta r : X = (1, 0, −2) + λ(0, 1, 2), λ ∈
x = 1
−y = 2z + 4
, a recta s dada por
o plano Π1 definido pelas duas rectas, e os pontos P = (1, 1, 1) e Q = (1, 2, 3).
(a) Determine a equação cartesiana do plano Π2 que contém os pontos P e Q e é perpendicular ao plano
Π1 .
(b) Seja t a recta que passa por P e é perpendicular a Π1 . Determine a distância de t a s.
6. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 que admite os vectores próprios (1, 0) e (0, 1). Mostre que A é
uma matriz diagonal.
41
2.5.13
Exame de Recurso – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes

0
2 −3 0
−4
 1
6 5 , b =  3 , W = 
A =  −4
 α
0
1 2
0
2

com α ∈





0
3 α
1 α2
1
1 α 
 eR= 0 α
1 −2 α 
0 0
4
2 α

α4
α3 
−1
.
(a) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição P T LU que obteve na alı́nea anterior.
(c) Obtenha, caso existam, os valores de α para os quais a matriz W admite inversa.
(d) Determine, caso existam, os valores de α para os quais a igualdade
det(2R) + 9α2 =
1
−3
det(W −1 )
(e) Considere α = 1. Determine a matriz X que é solução de
−1 −1 T
X det(R−1 )I3 − RU −1 L−1 P A
R
= det(bbT )I3
2. Discuta a solução do sistema de equações




em função dos parâmetros α, γ ∈
.
x+y+z+w
2x + 3y + 2z + 2w
x + 3y + z + w



x + 3y + z + γw
=
=
=
=
α
2
1
1
3. Considere a matriz


0 2β β
M =  −1 β 2 
−1
1 2
com β ∈
.
(a) Discuta a dimensão do espaço R(M ) das linhas de M em função do parâmetro β.
(b) Considere β = 0. Caracterize o espaço R(M ).
4. Considere o seguinte sólido definido em
3
42
S2
S1
A
S4
S3
P1
P2
P4
P3
em que os pontos mencionados têm coordenadas
P1 = (0, 0, 0)
P3 = (2, 2, 0)
S1 = (0, 0, α)
S3 = (2, 2, α)
e A = (1, 0, α) com α ∈
pontos P2 e P3 .
P2 = (0, 2, 0)
P4 = (2, 0, 0)
S2 = (0, 2, α)
S4 = (2, 0, α)
. Considere a recta s que contém os pontos A e S1 e a recta r que contém os
(a) Mostre que o plano Π que contém as rectas r e s é dado pela equação cartesiana αy + 2z − 2α = 0.
(b) Determine, caso existam, os valores de α > 0 para os quais a recta t contendo os pontos P 1 e S3 está
à distância 1 da recta s.
5. Considere a matriz
com θ, γ ∈


2θ
γ 1
H =  0 −1 γ 
0
0 2
.
(a) Determine os valores de θ e γ para os quais (1, 1, 1) é vector próprio de H.
(b) Considere θ = γ = 0. Mostre que H é diagonalizável.
6. Seja A uma matriz quadrada qualquer cujos valores próprios estão no intervalo [2, 6]. Mostre que esta
matriz admite inversa.
2.5.14
Exame de Recurso – Curso de Engenharia Electrotécnica
1. Considere as matrizes






1 −1 2
1 0 2
2
2 0 , B =  0 2 4 , c =  0 
A =  −2
0
1 0
0 0 2
1
(a) Determine a decomposição P T LU de A.
43
(b) Resolva o sistema Ax = c usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(c) Obtenha a matriz Y tal que
B T AB T
−1
2. Discuta a solução do sistema Ax = b, com

2 −θ
A =  −2 2θ
0
θ
em função dos valores dos parâmetros reais θ e ρ.
3. Considere a matriz
− det(B −1 )Y
T
=
1
cT c
B.



2
1
−2  e b =  θ 
ρ−1
ρ

α
 1
E =
 0
0

1 0 0
0 0 α 

0 α 1 
α 1 0
Determine, caso existam, os valores do parâmetro α ∈
que satisfazem
1
T −1 T +
16
E
E
= |2I4 | + 1
|2E −1 |
em que I4 representa a matriz identidade de ordem 4.
4. O subespaço vectorial F de
β∈ .
3
é gerado pelos vectores b = (1, β + 6, 3), c = (0, 2, β) e d = (1, 0, 3), com
(a) Determine, caso existam, os valores de β para os quais dim F = 3.
(b) Considere β = 0.
i. Caracterize o subespaço F .
ii. Obtenha uma base de F .
iii. Averigue se é possı́vel escrever o vector (1, 0, 2) na base que indicou na alı́nea anterior.
5. Considere os pontos P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0) e R = (0, 2, −2) definidos em
3
.
(a) Determine as equações paramétricas da recta s que contém o ponto R e é perpendicular ao plano
definido pelos pontos P , Q e R.
−
−
→
(b) Obtenha a equação cartesiana do plano Π2 que contém o ponto P e a recta r de equação X = Q+αQR,
α∈ .
(c) Calcule a distância entre as rectas r e s.
6. Considere a matriz A quadrada de ordem n e o vector b ∈ n . Mostre que se os valores próprios de A são
todos diferentes de zero, então o sistema de equações lineares Ax = b não pode ser possı́vel indeterminado.
2.6
Ano lectivo 2004/2005
Nota importante: No ano lectivo 2005/2006, 2 Semestre, a matéria relativa à 1 Frequência deixou de figurar
no programa da disciplina.
44
2.6.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Informática, Quı́mica e do
Ambiente
1. (0.75) Considere os números reais a e b tais que a ≥ 2 e b = a3 . Mostre que
√
√
a+ b
1+a
√ =
√
1
−a
a− b
2. (1.0) Sejam P (x) o polinómio dado por
P (x) = x4 + mx3 + 2x2 + nx + 3
e Q(x) o quociente da divisão do polinómio P (x) por x − 1. Determine, caso existam, os valores dos
parâmetros reais m e n para os quais o polinómio P (x) é divisı́vel por (x − 1) e a soma dos coeficientes
do polinómio Q(x) é igual a 2.
3. (1.25) Considere a, b ∈
+
en∈
par. Simplifique a expressão
a n
1
p
√
√
√
× −
: an
4
3
4
a a× b
b
b
√
n
:
1
ab
b
4. (1.0) Resolva a seguinte inequação
√
x x2 − x − 2 x2 + 3
≤0
|x| + 3
2.6.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. (0.75) Mostre que
√
√
x+
x−
√
√
4x5
4x3
=
1 + 2x2
1 − 2x
qualquer que seja o número real positivo x diferente de 21 .
2. (1.0) Seja P (x) o polinómio dado por
P (x) = x3 + αx2 + 2βx − 3
Determine, caso existam, os valores dos parâmetros reais α e β para os quais o polinómio P (x) é divisı́vel
por (x − 1)(x + 1).
3. (1.25) Considere a, b, y ∈
+
e k, m, n ∈
. Simplifique a expressão
−k −3
k+3
y × y
: y1
p√
p
p√
√
m n
9
3
ak
b×
a3
√
√
:
n
3
a
a
4. (1.0) Resolva, em ordem a x, a seguinte inequação:
(|x + 2| + 1) x2 + x − 2
√
x−1
45
x2 + 4
≥0
2.6.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e
Engenharia Informática
1. Considere as matrizes






1 0 2
1
1
A =  1 3 2  b =  0 , d =  3 
3 2 4
2
α
, e a matriz C tal que
com α ∈
C −1


1 2
0
= 2 4
3 
1 1 −1
(a) (1.0) Determine a decomposição P T LU da matriz C −1 .
(b) (0.75) Obtenha a solução do sistema de equações Cx = b.
(c) (0.75) Discuta a caracterı́stica da matriz ddT em função do parâmetro α.
(d) (1.0) Determine, caso exista, a matriz W tal que
(2W − A)T C = (LU )−1 P −1 C T U T LT P
2. (1.25) Discuta a solução do sistema de equações lineares

+αx2 +2x3
 x1
x1
+αx2 +βx3

2x1 +(α + 2)x2 +3x3
em função dos parâmetros α, β ∈
3. Considere definidos em
4
T
C −1
=
0
= α+β
= β+2
.
os vectores a = (2, λ, 1, 2), b = (4, 1, 0, λ) e c = (−2, 2, 1, 4), com λ ∈
.
(a) (1.0) Determine, caso existam, os valores de λ para os quais os vectores a, b e c são linearmente
independentes.
(b) Considere λ = 1 e seja S o subespaço de
4
gerado por a e c.
i. (0.5) Obtenha uma base de S.
ii. (1.0) Caracterize o subespaço S.
4. (0.75) Mostre que se a matriz A é invertı́vel, então (A−1 )T = (AT )−1 .
2.6.4
2 Frequência – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes
com α ∈
, e a matriz




1 2
0
−1
2  b =  −2 
A= 2 4
1 2 −1
−1


1 0 2
C= 1 3 2 
3 2 4
(a) (1.0) Determine a decomposição P T LU da matriz A.
(b) (1.0) Obtenha a solução do sistema de equações Ax = b, usando a decomposição que obteve na
alı́nea anterior.
46
(c) (1.5) Determine, caso exista, a matriz W tal que
A−1 (3W + 2C)T = U −1 (P L)−1 A−1 U T LT P
2. (1.25) Discuta a caracterı́stica da matriz


1 ρ
θ
θ+ρ−1

H= 1 2
θ
0
1 2 θ+ρ+2
2−θ
T
A
em função dos parâmetros reais θ e ρ.
3. Considere definidos em
com α ∈ .
3
os vectores u1 = (2, 4, −2), u2 = (α, 4, 2), u3 = (α + 2, 8, 0) e u4 = (2, α, 4),
(a) (1.0) Determine, caso existam, os valores de α para os quais é possı́vel obter um subconjunto de três
destes vectores que seja linearmente independente.
(b) Considere α = 0 e seja S o subespaço de
3
gerado por u1 , u2 e u4 .
i. (0.5) Indique, justificando, qual a dimensão de S.
ii. (1.0) Caracterize S.
4. (0.75) Mostre que se a matriz A é invertı́vel, então a sua inversa é única.
2.6.5
2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere as matrizes A e b dadas por




1 0 3
4
A= 2 0 1  e b= 3 
1 4 5
14
(a) (1.0) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) (1.0) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) (1.25) Determine, caso exista, a matriz Y tal que
−1
−1 T
−1
U −1 L−1 AAT
AP
+ A−1 U T LT P Y = 2 A AT
2. (1.5) Discuta a solução do sistema de equações

x
+2y
+z

−x −(β − 3)y
−z

−2x
−3y +(α − 2)z
em função dos parâmetros α, β ∈
3. Considere definidos em
3
= 0
= α + 9β + 3
= 0
.
os vectores a = (2, 0, −1), b = (1, 1, 0) e c = (−1, α2 , 0), com α ∈
.
(a) (1.0) Determine, caso existam, os valores de α para os quais os vectores a, b e c formam uma base
de 3 .
(b) Faça α = 1 e considere o subespaço W de
3
gerado pelos vectores a e c.
i. (0.5) Obtenha uma base de W .
ii. (1.0) Caracterize o subespaço W .
4. (0.75) Mostre que qualquer matriz invertı́vel admite apenas uma inversa.
47
2.6.6
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e
Engenharia Informática
1. Considere a matriz
com α ∈

0
 1
N =
 2
α
.

α
1
0
0 α+1 1 

2
2
0 
1
α
1
(a) (0.75) Determine, caso existam, os valores de α para os quais pode garantir que a matriz N não
admite inversa.
(b) (1.00) Calcule α de modo que
2
|2I4 | · |N |
+
− 16 = 0
|2(N −1 )T | |N −1 N T N |
em que I4 designa a matriz identidade de ordem 4.
2. Considere em
3
a rectas r dada por
r:
3x + z
y
= 5
= 1
e a recta s que passa pelos pontos (1, 4, 2) e (4, 5, 3).
(a) (1.25) Obtenha, caso exista, a intersecção da recta r com o plano Π que passa por P = (1, 2, 1) e é
perpendicular a s.
(b) (1.25) Indique a posição relativa da recta s e do plano Π1 dado por 3x + z − 5 = 0.
(c) (1.25) Calcule a distância entre r e s.
3. Considere a matriz
com a, b ∈
.

1
2
1

E = 0 a+1
3
0
0
b − 2a

(a) (1.00) Determine os valores de a e b de modo que (1, 1, 1) seja vector próprio de E.
(b) (0.75) Averigue se, para os valores obtidos de a e de b, a matriz E é diagonalizável.
4. (0.75) Mostre que se a matriz A é invertı́vel, então det(A−1 ) =
1
.
det A
2.6.7
3 Frequência – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes

com α ∈
.
α2 + 1

1
W =

2
3


0
0
0
0 1

 0 α
α2 + 2
0
0
 eZ=

 1 α
4
α2 + 3
0
0
5
α2 + 9
0 0
0
9
α+9
1

−α
0 

1 
−1
(a) (0.50) Indique, caso existam, os valores de α para os quais a matriz W não é diagonalizável.
48
(b) (0.50) Mostre que det(Z) 6= 0, qualquer que seja α.
(c) (0.75) Determine, caso existam, os valores de α para os quais
T
Z + |−2Z| + 80 =
8
|W T Z −1 W −1 |
2. Considere definidos em 3 o plano Π1 cuja equação cartesiana é 2x − 2y + z − 1 = 0, o plano Π2 que passa
pelo ponto R = (0, 0, −1) e contém a recta
x−y−z =
1
t:
3z = −1
e o plano Π3 que passa pelos pontos A = (0, 0, − 21 ), B = (0, 1, 0) e C = (0, 2, −1).
(a) (1.25) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta r que passa pelo ponto P0 = (1, 0, −1)
−
e é paralela ao vector →
u = (0, 1, 2).
(b) (1.25) Indique a posição relativa da recta r e do plano Π3 .
(c) (1.25) Calcule a distância entre as rectas r e t.
3. (1.75) Considere a matriz

θ1
A= 0
0
θ2
2
0

θ3
θ3 
1
com θ1 , θ2 , θ3 ∈ . Sabendo que (1, 2, 3) é vector próprio de A e que a matriz A tem determinante nulo,
determine θ1 , θ2 e θ3 .
4. (0.75) Mostre que se o escalar λ 6= 0 é valor próprio da matriz invertı́vel A, então
matriz A−1 .
1
λ
é valor próprio da
2.6.8
3 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere a matriz
com α ∈


1 1 3
1
 0 2 3 −1 

M =
 α 0 α
α 
0 α 0
3
.
(a) (1.25) Determine, caso existam, os valores de α tais que
81 det M
+ 1 = det(I4 ) − α(2α + 3)
det(3M T M −1 )
em que I4 é a matriz identidade de ordem 4.
(b) (0.50) Considere α = 0. Indique, justificando, se a matriz M é diagonalizável.
2. Considere definidos em
3
os planos Π1 e Π2 dados por
Π1
Π2
: x + y − z = −2
: X = (4, 1, 2) + λ(3, 0, 1) + µ(1, 0, 0), λ, µ ∈
e a recta r que passa pelos pontos P1 = (1, 1, 1) e P2 = (1, −1, 0).
49
(a) (1.25) Determine a equação cartesiana do plano Π3 que contém o ponto P1 e a recta s correspondente
à intersecção dos planos Π1 e Π2 .
(b) (1.25) Indique, justificando, a posição relativa da recta r e do plano Π3 .
(c) (1.25) Calcule a distância entre as rectas r e s.
3. (1.75) Considere a matriz

com a, b ∈
W.
1
2
W = 0 a+b
0
b

0
1 
a
. Determine, caso existam, os valores de a e de b para os quais (1, −1, 1) é vector próprio de
4. (0.75) Seja A uma matriz quadrada invertı́vel qualquer. Mostre que, se λ é valor próprio de A, então
é valor próprio de A−1 .
2.6.9
1
λ
Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática
1. Considere as matrizes




2+α
1 2
1
1 100 200
 1
A =  2 4 −2  , B =  0 −1 300  e H = 
 2−α
1 1
2
0
0 −1
2+α

com α ∈
.

3 −2 2
1
0 α 

0
0 1 
3 −2 3
(a) (1.5) Calcule a matriz X que é solução da equação
(AT )−1 X − det(B −1 ) · (A−1 B −1 )−1 A−1
(b) (1.5) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
T
= 2B T A−1
(c) (1.0) Resolva o sistema


2
Ay =  1 
5
usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(d) (1.5) Determine, caso existam, os valores de α para os quais a matriz H é invertı́vel.
(e) (1.0) Determine, caso existam, os valores de α tais que
−1
|2 H T
| + 2|H|
− |2I4 | = 32
−1
|H |
em que I4 representa a matriz identidade de ordem 4.
2. (2.0) Discuta a caracterı́stica da matriz

em função do parâmetro real k.
k
 0
F =
 2k 2
0
1
k
2k
0
50
1
1
3k
k

1

1

2k + 1 
2k
3. Considere os vectores u = (α − 1, α, 2α − 2), v = (1, 1, 3) e w = (2, 1, 0) de
3
, com α real.
(a) (1.5) Determine α de modo que u seja combinação linear de v e w.
(b) (1.5) Caracterize o subespaço W gerado por v e w.
(c) (1.0) Obtenha uma base e indique qual a dimensão de W .
4. Considere em
3
a recta r dada por
r:
z + 3x = 5
y = 1
e a recta s que é perpendicular ao plano Π1 : 3x + y + z − 4 = 0 e que passa pelo ponto P0 = (1, 4, 2).
(a) (1.5) Obtenha, caso exista, a intersecção da recta r com o plano Π 2 que passa por P1 = (1, 2, 1) e é
perpendicular a s.
(b) (1.5) Calcule a distância entre r e s.
5. Considere a matriz
W =
com α, β ∈
α
β+1
β−1 α−1
.
(a) (1.5) Determine os valores de α e β para os quais o vector v = (1, 2) é vector próprio de W associado
ao valor próprio λ = 1.
(b) (1.5) Considere α = 9 e β = 1. Mostre que W é diagonalizável.
→
−
6. (1.5) Seja V um espaço vectorial e seja 0 o seu vector nulo. Mostre que se W é um subespaço vectorial
→
−
de V então 0 ∈ W .
2.6.10
Exame – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes




1
0 2
α
3
2 0
5
 0
1
1
0
A =  −6 −4 1  , b =  −9  , C = 
 0 −1 0 −2
0
2 1
3
α
0 α −1

com α ∈
.
2 α 5 α6

 0 −1 α8
 e E=

 0 0
2
0 0
0



α7
α9 

α10 
−1
(a) (1.5) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) (1.0) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição P T LU que obteve na alı́nea anterior.
(c) (1.5) Determine a matriz Z que satisfaz a
T
−1
E −1 U −1 L−1 P AE −1
Z + 2I4 E −1 = I4
(d) (1.5) Determine, caso existam, os valores de α para os quais a matriz C é invertı́vel.
(e) (1.0) Indique, justificando, para que valores de α a igualdade
é verdadeira.
2 E −1 E T E +
51
16
= 2 E 2 |2C −1 |
2. (2.0) Discuta a solução do sistema de equações

+y
 x
2x +(α + 1)y

x
+2y
em função dos parâmetros α, β ∈
+2z
−z
+5z
= 0
= α+β−1
= 2
.
3. Considere a matriz W dada por

com β ∈

2
0
1
 4
β
2 

W =
 β
5 −1 
0 −1
0
.
(a) (1.5) Determine, caso existam, os valores de β para os quais o espaço–coluna de W tem dimensão 3.
(b) Considere β = 0 e seja F o subespaço de
3
gerado pelas duas primeiras linhas de W .
i. (1.5) Caracterize F .
ii. (1.0) Averigue se (1, 1, 1) ∈ F .
4. Considere a recta r definida pela intersecção do plano Π1 : x + y + z − 3 = 0 com o plano Π2 que passa
pelos pontos (0, 0, 4), (0, 4, 0) e (−4, 0, 0) e a recta s dada por
s:x=1∧y−z =
7
.
2
(a) (1.5) Obtenha a equação cartesiana do plano Π3 que passa pelo ponto R = (0, 1, 0) e é perpendicular
a r.
(b) (1.5) Calcule a distância entre as rectas r e s.
5. Considere a matriz
com a, b ∈
.


1
3
2
2 
A = 0 a+1
0
0
b+2
(a) (1.5) Determine os valores de a e de b para os quais (1, 1, 1) é vector próprio de A.
(b) (1.5) Considere a = b = 1. Averigue se a matriz A é diagonalizável.
6. (1.5) Seja A uma matriz quadrada de ordem n e b um vector coluna de ordem n. Mostre que se o sistema
Ax = b é possı́vel determinado então a matriz A não tem valores próprios nulos.
2.6.11
Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere a matriz A tal que
A−1
e as matrizes W e g dadas por


1 −2
0
=  −2
4 −3 
2
3
5



3 2 0
1
W =  0 1 5  , g =  −1 
0 0 2
2

52
(a) (1.5) Determine a decomposição P T LU da matriz A−1 .
(b) (1.5) Resolva o sistema Ax = g.
(c) (1.5) Determine, caso exista, a matriz Z tal que
T
−1 −1
det W T
1
−1 T
−1
W
ZA A W A
A W
+
I3 = 0
6 det (W −1 )
gT g
em que I3 é a matriz identidade de ordem 3.
(d) (1.5) Indique, justificando, se a matriz W é diagonalizável.
2. (2.5) Considere a matriz


α
3 −1 −1
 0
1
0 −α 

F =
 0 −4
1 2α 
1
0
0 −α
Determine, caso existam, os valores do parâmetro α ∈
para os quais
16 det(F 2 )
+ 15 det I4 = det(2I4 ) det(F T F −1 )
det(2F )
3. Considere a matriz
com µ, θ ∈

1 2θ
M =  2 6θ
2 0
, e seja T o espaço das colunas de M .

0
θ−2 
µ − 2θ
(a) (2.5) Discuta a dimensão de T em função dos valores dos parâmetros µ e θ.
(b) (1.5) Indique, caso existam, os valores de µ e θ para os quais (1, 1, 1) é vector próprio de M .
(c) Considere µ = 4 e θ = 1.
i. (1.5) Caracterize T .
ii. (1.5) Indique uma base do espaço das linhas de M .
4. Considere a seguinte representação geométrica
P7
P3
P8
P4
P6
P2
P5
P1
em que os pontos mencionados têm as coordenadas seguintes:
P1
P2
P3
P4
com a ∈
+
= (0, −a, 0) P5
=
(a, 0, 0) P6
=
(0, a, 0) P7
= (−a, 0, 0) P8
= (0, −a, 2a)
=
(a, 0, 2a)
=
(0, a, 2a)
= (−a, 0, 2a)
. Sejam r a recta que contém os pontos P3 e P4 e s a recta que passa pelos pontos P5 e P6 .
53
(a) (1.5) Mostre que a equação cartesiana do plano Π definido pelas rectas r e s é dada por x−y −z +a =
0.
(b) (1.5) Determine, caso
√ existam, os valores do parâmetro a para os quais a recta t que passa por P 7 e
P8 está à distância 2 de Π.
5. (1.5) Seja A uma matriz quadrada de ordem n e b um vector coluna de ordem n. Mostre que se os valores
próprios de A estão todos no intervalo [π, 2π], então o sistema Ax = b é possı́vel determinado.
2.6.12
Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática
1. Considere as matrizes






1
1
3 −2 1
0
2 1 0
 1 k+1
6 3 , b =  5  e M = 
A =  1 3 0  , B =  −2
 1
1
1
3 4
6
2 1 4
1
1

com k ∈
2
3
2 − 2k
2
.

−1
0 

0 
−2
(a) (1.5) Determine a decomposição P T LU de B − 2I3 .
(b) (1.0) Resolva o sistema (B − 2I3 )x = b, usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(c) (1.5) Determine, caso exista, a matriz X que verifica
(A−1 B)−1 X − (2X T (B −1 A)T )T = det((B − 2I3 )U −1 L−1 P )B −1 A
(d) (1.5) Determine os valores de k para os quais a matriz M é invertı́vel.
(e) (1.0) Obtenha, caso existam, os valores de k para os quais
|M −1 M T M | +
1
|2M |
=
|2M | + |2I4 |.
|M −1 |
16
2. (2.0) Discuta a solução do sistema


em função dos parâmetros a, b ∈
3. Considere definido em
(2, −2, 0).
3
.
x − 2y + z
bx + 3by + az

2x − 4y + bz
= a
= b2
= b
o subespaço F gerado pelos vectores u = (−1, 1, 3), v = (−1, 1, 0) e w =
(a) (1.5) Caracterize F .
(b) (1.5) Obtenha uma base de F e indique a dimensão desse subespaço.
(c) (1.0) Determine para que valores de θ ∈
4. Considere definidos em
dada por
3
o vector (θ, −3, 3) pertence a F .
o plano Π que passa pelos pontos (0, 0, 4), (−2, 0, 0) e (0, −1, 1), e a recta r
r:
x−y+1 = 0
y−z+1 = 0
(a) (1.5) Construa a equação geral do plano que contém a recta r e é perpendicular ao plano Π.
54
(b) (1.5) Calcule a distância da recta r ao plano Π.
5. Considere a matriz
com a, b ∈

1
−2
C =  0 2a + 1
0
0
.

3
1 
b−2
(a) (1.5) Sabendo que u = (0, 1, 2) é vector próprio de C e que a soma dos valores próprios de C é igual
a zero, determine a e b.
(b) (1.5) Considere a = b = 1. Indique, justificando, se a matriz C é diagonalizável.
6. (1.5) Considere a matriz quadrada A de ordem n e o vector b ∈ n . Mostre que se nenhum dos valores
próprios de A é nulo, então o sistema Ax = b é possı́vel determinado.
2.6.13
Exame de Recurso – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes A e B e o vector-coluna b dados por



1 2
0
1
2 3
 α 1 α−1
4 5 , B = 
A= 2
 0 3
α
3 −1 2
0 1
0
com α ∈
.



1
6

0 
e b =  11 
1 
4
1
(a) (1.5) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) (1.0) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) (1.5) Considere a matriz C = bbT +I3 , onde I3 representa a matriz identidade de ordem 3. Determine,
caso exista, a matriz W tal que
T T T
A−1 A−1 U −1 L−1 P AW − CAT A−1
A = CT
(d) (1.5) Indique, justificando, para que valores de α a matriz B é invertı́vel.
(e) (1.0) Determine, caso existam, os valores de α para os quais
|2B T | +
4
= 40 det(B T (B −1 )T )
|B −1 |
2. (2.0) Discuta a caracterı́stica da matriz


1
1
2
0
H =  2 α + 1 −1 α + β + 1 
1
2
5
2
em função dos parâmetros reais α e β.
3. Considere definidos em
3
os vectores u = (0, 1 − α, α), v = (1, 2, 3) e w = (−1, −1 − α, α − 3), com α ∈
.
(a) (1.5) Mostre que o subespaço gerado por u, v e w tem dimensão 2, qualquer que seja o valor do
parâmetro α.
(b) Considere α = 0, e seja F o subespaço de
3
i. (1.0) Obtenha uma base de F .
55
gerado por v e w.
ii. (1.5) Caracterize F .
4. Considere definidas em 3 a recta r : X = (0, 2, 1) + λ(2, 1, −1), a recta s que passa pelos pontos
P = (0, −1, 0) e Q = (2, 3, 0), e a recta t dada por
t: x=
y
∧ z=1
2
(a) (1.5) Determine a equação cartesiana do plano Π definido pelas rectas r e s.
(b) (1.5) Calcule a distância entre as rectas s e t.
5. Considere a matriz
com a, b ∈


a
2
1
W = 0 a+b 3 
0
0
b
.
(a) (1.5) Determine, caso existam, os valores de a e b para os quais (1, 2, 1) é vector próprio de W .
(b) (1.5) Considere a = 2 e b = 4. Mostre que W é diagonalizável.
6. (1.5) Considere a matriz A = γIn , com γ ∈
diagonalizável, então γ = 1.
2.6.14
e In a matriz identidade de ordem n. Mostre que se A é
Exame de Recurso – Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere as matrizes




1 2 3
1 0 0
A =  2 4 3 , B =  0 2 0 
−1 3 2
0 0 1
(a) (1.5) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
(b) (1.5) Resolva o sistema de equações


6
Ax =  9 
4
usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(c) (2.5) Calcule a matriz W que é solução da equação
det(B −1 ) det(B 2 )
W − det B · (A−1 B −1 )T AT
det(B T )
T
2. Considere os vectores u = (α − 1, α, 2α − 2), v = (1, 1, 3) e w = (2, 1, 0) de
= 2B −1 A
3
, com α real.
(a) (2.0) Determine α de modo que u seja combinação linear de v e w.
(b) (2.0) Caracterize o subespaço S gerado por v e w.
(c) (1.5) Obtenha uma base e indique qual a dimensão de S.
3. Considere, definidos em 3 , o plano Π1 de equação y − z + 3 = 0, o plano Π2 que passa pelos pontos
A = (0, 1, 0), B = (1, 0, 0) e C = (0, 0, 1), e a recta r dada por
x−y+z = 0
r:
x+y−z = 2
56
(a) (2.0) Obtenha a equação cartesiana do plano Π paralelo a Π1 e que contém a recta r.
(b) (2.5) Calcule a distância da recta r à recta s correspondente à intersecção dos planos Π 1 e Π2 .
4. Considere a matriz
com a, b ∈

1
−2
C =  0 2a + 1
0
0
.

3
−1 
b−2
(a) (2.0) Sabendo que u = (2, 1, 0) é vector próprio de C e que a soma dos valores próprios de C é igual
a zero, determine a e b.
(b) (1.0) Considere a = b = 1. Mostre que C é diagonalizável.
5. (1.5) Sejam A uma matriz quadrada qualquer de ordem n e b ∈ n . Mostre que se o sistema Ax = b é
possı́vel determinado então a matriz A não tem valores próprios nulos.
2.7
Ano Lectivo 2005/2006
2.7.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Ambiente e Informática
1. (0.75) Mostre que
√
√
3 + 27
√
√ = −2
3 − 27
2. (1.0) Seja P (x) o polinómio dado por
P (x) = x4 + (a + 1)x2 + bx + 1
Determine, caso existam, os valores dos parâmetros reais a e b para os quais o polinómio P (x) é divisı́vel
por x + 1 e admite x = 1 como raı́z.
3. (1.25) Considere x, y, z ∈
+
e k, m, n ∈ . Mostre que
p√
p
p√
√
m n
9
3
z×
x3
xk
√
: √
6
n
√
1
x
x
− k
6
−k ! = z × x n mn
1
y −4 × y k+4 :
y
4. (1.0) Resolva em ordem a x a seguinte inequação
√
x − 1 x2 − 2x − 3
≥0
(x2 + 6) (|x| + 1)
2.7.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Civil
1. (0.75) Mostre que
para todo a > 0.
√
√
a + 4a
√ = −3
√
a − 4a
57
2. (1.0) Seja P (x) o polinómio dado por
P (x) = x4 + ax2 + 2bx + 2
Determine, caso existam, os valores dos parâmetros reais a e b para os quais o polinómio P (x) é divisı́vel
por x − 1 e admite x = −1 como raı́z.
3. (1.25) Considere x, y, z ∈
+
e k, m, n ∈ . Mostre que
p√
p√
10
3
√
z×
x4
p
× nx
√
√
n m
5
√
1
x×
xk
− k
6
k ! = z × x n mn
1
y 5 : y k+5 ×
y
4. (1.0) Resolva em ordem a x a seguinte inequação
(|x| − 2) x2 − 5x + 6
p
≥0
|x| + 1 (x2 + 3)
2.7.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica e Informática
1. Considere as matrizes A e b dadas por




1 2 3
8
A =  2 4 0  e b =  10 
3 1 2
8
(a) (1.0) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) (1.0) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) (1.25) Determine, caso exista, a matriz Z tal que
−1 −1
T
P −1 A AT A
LU + ZU −1 L−1 P −1 A = AT A + I3
em que I3 designa a matriz identidade de ordem 3.
2. (1.5) Discuta a solução do sistema de equações lineares

 βx +2βy +2z
x
+3z

2x +2βy
= 1
= 1
= 2
em função do parâmetro real β.
3. Considere a matriz
com α ∈
.


1
2 0
W =  2 −1 1 
3 −1 α
(a) (1.0) Determine, caso existam, os valores de α para os quais o espaço das colunas de W tem dimensão
3.
(b) Faça α = 0 e considere o subespaço S de 3 gerado pela primeira e pela terceira linhas de W .
i. (0.5) Obtenha uma base de S.
ii. (1.0) Caracterize o subespaço S.
4. (0.75) Mostre que, se A é uma matriz invertı́vel, então a sua inversa é única.
58
2.7.4
2 Frequência – Cursos de Engenharia Civil e do Ambiente
1. Considere as matrizes A e b dadas por




3
1 2 2
A= 3 6 1  eb= 4 
3 1 2
5
(a) (1.0) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(b) (1.0) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior.
(c) (1.25) Determine, caso exista, a matriz Y tal que
U −1 L−1 P
T
AT Y + U A−1
em que I3 designa a matriz identidade de ordem 3.
−1
PTL
−1
= 2I3
2. (1.5) Discuta a caracterı́stica da matriz

em função do parâmetro real λ.
3. Considere definidos em
3

1 λ 2λ 2
H = 1 1 0 3 
2 2 λ 0
os vectores u = (1, 2, 0), v = (2, −1, 1) e w = (3, −1, α), com α ∈
.
(a) (1.0) Determine, caso existam, os valores de α para os quais os vectores u, v e w formam uma base
de 3 .
(b) Faça α = 0 e considere o subespaço F de
3
gerado pelos vectores u e w.
i. (0.5) Obtenha uma base de F .
ii. (1.0) Caracterize o subespaço F .
4. (0.75) Mostre que, se A e B são matrizes quadradas de ordem n invertı́veis, então (AB) −1 = B −1 A−1 .
2.7.5
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, do Ambiente e Informática
1. Considere as matrizes

com α ∈
.


0 α −1
0
α
2
1
 1 0
 2α α + 1
0 −1 
4



E=
eF =
1 1
1 −1 
3α 4α2 α + 2
−1 0
0
α
5α −α3
α
(a) (1.25) Mostre que det E = 1 − α2 .

−3
5 

1 
α+3
(b) (0.75) Indique, justificando, para que valores de α a matriz E admite inversa.
(c) (1.00) Obtenha, caso existam, os valores de α para os quais
1 −1 T E E 1
=
16 2
|2I4 | − 9
−1
16
(E T ) em que I4 representa a matriz identidade de ordem 4.
59
(d) (1.25) Considere α = 0. Mostre que os valores próprios de F são todos distintos.
2. Considere definidos em 3 o plano Π1 que contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (1, −1, 0) e C = (0, 1, −1),
a recta r dada por X = (1, 2, 1) + λ(0, 2, 3) e a recta s definida por
x − y = −1
s:
x−z =
0
(a) (1.00) Obtenha a equação cartesiana do plano Π2 que contém as rectas r e s.
(b) (1.00) Indique, justificando, qual a posição relativa da recta s e do plano Π 1 .
(c) (1.00) Calcule a distância da recta r à recta t correspondente à intersecção dos planos Π 1 e Π2 .
3. (0.75) Mostre que, para qualquer matriz A invertı́vel,
det(A−1 ) =
1
det A
2.7.6
3 Frequência – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes

.
com α ∈
0 α
 1 0
E=
 1 1
−1 0


−1
0
α
2
 2α α + 1
0 −1 
 eF =
 3α 4α2
1 −1 
0
α
5α −α3

1
−3
4
5 

α
1 
α α+3
(a) Mostre que det E = 1 − α2 .
(b) Indique, justificando, para que valores de α a matriz E admite inversa.
(c) Obtenha, caso existam, os valores de α para os quais
16
| 21 E −1 E T |
1
=
|2I4 | − 9
|(E T )−1 |
16
em que I4 representa a matriz identidade de ordem 4.
(d) Considere α = 0. Mostre que os valores próprios de F são todos distintos.
2. (0.75) Mostre que, para qualquer matriz A invertı́vel,
det(A−1 ) =
2.7.7
1
det A
Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica, do Ambiente e Informática
1. Considere
com α ∈

.



2
1 1
5 1
3 1
2
A =  −4 −2 7  , B T =
e C = 1 0 
−1 0 −3
2
α α
0 2
(a) (1.5) Determine para que valores de α a matriz A é não singular.
(b) Considere α = 2.
60
i. (1.5) Determine a matriz Z que satisfaz a
−1 T
det(A)A2 Z T A
= CB T
ii. (1.0) Obtenha a decomposição P T LU de A.
(c) (1.5) Indique, justificando, se os valores próprios da matriz C T C são todos distintos.
2. Considere a matriz
com λ ∈

1
2 λ
 0
1 0
C=
 −1 −3 0
0 −1 1
.

1
2λ 

−2λ 
−λ
(a) (1.0) Indique, caso existam, os valores de λ para os quais a matriz C tem determinante nulo.
(b) (1.0) Determine, caso existam, os valores de λ para os quais a igualdade
2|C| + 2C T C −1 − 6 |I4 | = 16
é verdadeira.
3. (2.0) Discuta, em função do parâmetro θ ∈


4. Considere definidos em
com k ∈ .
4
, a solução do sistema
2y + z
x − 2z

x + θ2 y − z
= 1
= θ
= 0
os vectores a = (3, 1, −2, 1), b = (1, 1, 0, k), c = (−1, 0, 1, 0) e d = (3, k, −3, 0),
(a) (1.5) Determine o valor de k para o qual os vectores a, b, c e d formam uma base de
(b) Faça k = 0 e admita que S é o subespaço de 4 gerado pelos vectores b, c e d.
i. (2.0) Caracterize S.
ii. (1.0) Verifique se o vector a pertence a S.
4
.
−
5. Considere os planos Π1 : 2−z = 0, Π2 : 4x−2y+z = 8 e o plano Π3 perpendicular ao vector →
v = (−2, 1, 3)
e que contém o ponto Q = (0, 0, 3).
(a) (2.0) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta t que passa por P0 = (1, −1, 2) e é
−
paralela ao vector →
u = (2, 4, 0).
(b) (2.0) Calcule a distância da recta t ao plano Π3 .
6. (2.0) Seja A uma matriz quadrada de ordem n qualquer tal que det A ∈ [−3, −1]. Mostre que c(A) = n.
2.7.8
Exame – Curso de Engenharia Civil
1. Considere a matriz A tal que
A−1
e as matrizes
com α, β ∈


1 −2
0
4 −3 
=  −2
2
3
5

.




−1 −2 0
1
α
2
3 1  , c= 2  e D = 0 α+β
B= 0
1
2 0
−1
0
0
61

1
3 
β
(a) (1.0) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A−1 .
(b) (1.0) Resolva o sistema Ax = c.
(c) (1.5) Determine, caso exista, a matriz Y que verifica
Y − Y (AY )−1
T
A = A−1 (B T )−1
−1
A−1
(d) (1.5) Determine, caso existam, os valores de α e β para os quais (1,2,1) é vector próprio da matriz
D.
(e) (1.0) Considere α = 1 e β = 2. Indique, justificando, se os valores próprios de D são todos distintos.
2. Considere a matriz
com λ ∈


1
1
0 1
 1
2
λ2 0 

E=
 0 −1 −2λ 1  .
−1 −1 −λ2 0
.
(a) (1.5) Mostre que |E| = λ2 − 2λ.
(b) (1.5) Determine, caso existam, os valores de λ para os quais é verdadeira a igualdade
2|E| + 4λ = |2E T E −1 | − 12|I4 |
em que I4 representa a matriz identidade de ordem 4.
3. (2.0) Discuta a solução do sistema


em função dos parâmetros a, b ∈
4. Considere definidos em
3
x +y
2x +y

−x
+2z
+2z
+w
−3w
+aw
= 1
= 0
= b
.
os vectores a = (1, 1, 0), b = (−1, 0, −1) e c = (−1, α2 , 1), com α ∈
(a) (1.5) Determine os valores de α para os quais os vectores a, b e c formam uma base de
(b) Faça α = −1 e admita que S é o subespaço de
3
.
3
.
gerado pelos vectores a e c.
i. (1.5) Caracterize o subespaço S.
ii. (1.0) Averigue se o vector b pertence a S.
5. Considere em
3
a recta r dada por
r:
3x + z
y
= 5
= 1
e a recta s que passa pelos pontos A = (1, 4, 2) e B = (4, 5, 3).
(a) (1.5) Indique a posição relativa da recta r e do plano Π que passa pelo ponto C = (1, 2, 1) e é
perpendicular à recta s.
(b) (2.0) Calcule a distância entre as rectas r e s.
6. (1.5) Sejam A uma matriz quadrada de ordem n tal que det A < −2 e b ∈
sistema Ax = b não pode ser impossı́vel.
62
n
, com n ∈
. Mostre que o
2.7.9
Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Quı́mica, do Ambiente e Informática
1. Considere as matrizes




1 1 0
1
A= 3 3 1  ec= 1 
0 2 1
1
e a matriz B tal que
B −1


1 −2 0
= 0
1 1 
0
2 0
(a) (1.0) Indique a decomposição P T LU de A.
(b) (1.0) Obtenha a solução do sistema Ax = c, usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(c) (1.0) Determine os valores próprios de B −1 .
(d) (1.5) Determine, caso exista, a matriz X tal que
T
−1 −1 T −1
P L
(A + X)AT A−1 = BA−1
U
2. (2.5) Discuta a caracterı́stica da matriz

1
β
α−β
β
α
M = 1
1 α+β−2
α
em função dos parâmetros reais α e β.

2
α 
α
3. (2.5) Considere as matrizes

com k ∈
1
1
0
 1
2
k2

W =
0 −1 −2k
−1 −1 −k 2



1
−1 2
0
0 
 e F = 0 k k−3 
1 
0 0
2
0
. Indique, caso existam, os valores de k para os quais se verifica a igualdade
81
1
+ |2W | = |3W T | + |F | + |4P13 |
|W −1 | 16
em que P13 é uma matriz de permutação de ordem 3.
4. Considere definidos em
3
os vectores u = (1, α2 − 2, 3), v = (1, 1, 4) e w = (0, −1, 1), com α ∈
.
(a) (1.0) Determine, caso existam, os valores de
alpha de modo que u seja combinação linear de v e w.
(b) Considere α = 2 e seja S o subespaço de
3
gerado por u, v e w.
i. (0.5) Obtenha uma base de S e indique, justificando, a dimensão deste subespaço.
ii. (1.0) Caracterize S.
5. Considere definido em 3 o plano Π1 que passa pelos pontos A = (0, 1, 2), B = (1, 0, 2) e C = (1, 1, 2), o
plano Π2 que contém o ponto P1 = (0, 0, 8) e a recta s dada por
2x − y = 4
s:
z = 0
−
e o plano Π3 perpendicular ao vector →
v = (2, −1, −3) e que contém o ponto Q = (0, 0, 3).
63
(a) (2.0) Indique, justificando, qual a posição relativa dos planos Π1 e Π2 .
(b) (2.0) Calcule a distância da recta s ao plano Π3 .
6. (2.0) Mostre que, qualquer que seja a matriz A invertı́vel de ordem n, (A T )−1 = (A−1 )T .
2.7.10
Exame de Recurso – Curso de Engenharia Civil
1. Considere as matrizes





−1
1 2
0
3
2
4
3
2  e c =  −2 
A =  2 4 −1  , B =  α − 1
1
1 2
3
0
α−1 2

com α ∈
.
(a) (1.0) Indique a decomposição P T LU de A.
(b) (1.0) Obtenha a solução do sistema Ax = b, usando a decomposição que obteve na alı́nea anterior.
(c) (1.0) Mostre que a matriz ccT não é invertı́vel.
(d) Considere α = 1.
i. (1.0) Indique, justificando, quais são os valores próprios de B.
ii. (1.5) Determine, caso exista, a matriz Z tal que
A−1 (3Z + 2B)T = U −1 (P L)−1 A−1 (U T LT P )T A
2. (2.5) Discuta a caracterı́stica da matriz


α−β+2 2−α
α
0 
α
0
1 2
W = 1 2
1 β
em função dos parâmetros reais α e β.
3. (2.5) Considere as matrizes

com β, γ ∈
2 1
 2 0

W =
0 1
0 β
2
β+2
0
1


β
−1
0
0 0
2

1 
0 0
 e F = 1 γ +1
 2
1 
0
−2 0
0
1
0
2 γ2




. Indique, caso existam, os valores de β e γ para os quais se verifica a igualdade
2 det(F T F −1 )
1
+ det(2I4 ) − 16 =
−1
T
2
2
det(2(W ) ) + det(F ) − 2γ (γ + 1)
2
em que I4 designa a matriz identidade de ordem 4.
4. Considere definidos em
4
os vectores u = (2, θ, 1, 2), v = (1, 1, 0, θ) e w = (1, 2, 1, θ), com θ ∈
.
(a) (1.0) Determine, caso existam, os valores de θ para os quais os vectores v e w são linearmente
dependentes.
(b) Considere θ = 0 e seja S o subespaço de
4
gerado por u e w.
i. (0.5) Obtenha uma base de S.
ii. (1.0) Caracterize o subespaço S.
64
5. Considere, definidos em 3 , a recta r que passa pelos pontos A = (1, 0, −2) e B = (1, 1, 0), a recta
s : X = (1, −4, 0) + λ(0, 2, 1), o plano Π1 que contém as duas rectas, e os pontos P = (1, 1, 1) e
Q = (1, 2, 3).
(a) (2.0) Determine a equação cartesiana do plano Π2 que contém os pontos P e Q e é perpendicular
ao plano Π1 .
(b) (2.0) Seja t a recta que passa por P e é perpendicular a Π1 . Determine a distância de t a s.
6. (2.0) Mostre que a inversa de qualquer matriz quadrada de ordem n invertı́vel é única.
2.7.11
1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere a matriz A tal que
A−1
e as matrizes M e b dadas por


1 2
3
1 
= 3 6
−3 1 −2

com λ ∈



3
1 λ 2λ 2
M =  1 1 0 3 e b =  4 
5
2 2 λ 0
.
(a) (1.0) Obtenha a decomposição P T LU de A−1 .
(b) (1.0) Calcule a solução do sistema Ax = b.
(c) (1.75) Discuta a caracterı́stica da matriz M em função do parâmetro λ.
(d) (1.5) Considere λ = 0. Determine, caso exista, a matriz W tal que
U −1 L−1 P
T
AT W + 2 U A−1
2. (1.75) Discuta a solução do sistema de equações

x
+2y

−x +(β + 1)y

−2x
+5y
em função dos parâmetros α, β ∈
−1
+z
−z
+(α − 2)z
PTL
−1
M = 2M
= 0
= α
= 0
.
3. (1.0) Mostre que, se A é uma matriz quadrada invertı́vel, então (AT )−1 = (A−1 )T .
2.7.12
2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere definidos em
com k ∈ .
4
os vectores a = (−1, 0, 1, 0), b = (1, 1, 0, k), c = (3, 1, −2, 1) e d = (3, k, −3, 0),
(a) (0.75) Determine o valor de k para o qual os vectores a, b, c e d formam uma base de
(b) Faça k = 0 e admita que S é o subespaço de
i. (1.0) Caracterize S.
ii. (0.5) Verifique se o vector a pertence a S.
65
4
gerado pelos vectores b, c e d.
4
.
2. Considere definidos em 3 o plano Π1 que contém os pontos A = (0, 1, 2), B = (0, 0, 2) e C = (1, 0, 2), o
plano Π2 que contém o ponto Q = (0, 0, 8) e a recta
2x − y = 4
s:
z = 2
e finalmente o plano Π3 : −2x + y + 3z − 9 = 0.
(a) (1.25) Obtenha, caso exista, a intersecção dos planos Π1 e Π2 .
(b) (1.25) Calcule a distância da recta s ao plano Π3 .
3. (1.0) Considere a matriz

com λ ∈

1
2 λ
1
 0
1 0
2λ 

C=
 −1 −3 0 2λ − 5 
0 −1 1
−λ
. Determine, caso existam, os valores de λ para os quais a igualdade
2|C| + 2C T C −1 − 6 |I4 | = 18
é verdadeira.
4. Considere a matriz
W =
com δ, θ ∈
δ θ
1 2
.
(a) (0.75) Determine os valores de δ e θ de modo que (2, 1) e (2, 2) sejam vectores próprios de W .
(b) (0.75) Considere δ = θ = 0. Indique, justificando, se a matriz W é diagonalizável.
5. (0.75) Mostre que, para qualquer matriz A invertı́vel, det(A−1 ) =
2.7.13
1
.
det A
Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere as matrizes

1 −1
0
0
 0
1
α
2
A=
 0
1
1
α
1
0 α+2 1
com α, β, γ, θ ∈
.







α+1
4
θ γ
1

 2(α + 1) 
, b = 


1 0  e d =  −2 

 3(α + 2)  , C = 1
3 −1 2
0
β
(a) (2.0) Obtenha det(A) em função do parâmetro α.
(b) (2.0) Determine os valores de α para os quais
1
1
T
det 2A + det
I4 = 16 det A−1 −
2
16
(c) Considere α = 0.
i. (1.5) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
ii. (2.0) Caracterize o subespaço W de 4 gerado pelas linhas de A.
iii. (1.5) Determine, caso existam, os valores de β para os quais b ∈ W .
66
(d) (2.0) Determine, caso existam, os valores de γ e θ para os quais d é vector próprio de C.
(e) Considere γ = θ = 0.
i. (1.5) Mostre que a matriz C é diagonalizável.
ii. (2.0) Determine a matriz X solução da equação
2. Considere definidos em
3
C X −1 C
o plano
−1
+ CX −1
−1
C
T
=
det(C)
(ddT + I3 )
dT d
Π1 : X = (0, 0, 1) + λ(0, 1, 0) + µ(1, 0, 2), λ, µ ∈
,
o plano Π2 que passa pelos pontos P1 = (0, −2, 1), P2 = (0, −2, 0) e P3 = (1, −2, 0), a recta r que passa
pelos pontos Q1 = (0, −2, 1) e Q2 = (1, 0, 2), e a recta s definida pela intersecção dos planos Π1 e Π2 .
(a) (2.0) Determine a equação geral do plano Π3 paralelo às rectas r e s e que passa pela origem (0, 0, 0).
(b) (2.0) Determine a distância da recta r ao plano Π3 .
3. (1.5) Seja A uma matriz quadrada de ordem n e b um vector coluna de ordem n. Mostre que se o sistema
Ax = b é possı́vel determinado então a matriz A não tem valores próprios nulos.
2.7.14
Exame de Recurso – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
1. Considere as matrizes






1 −2 1
1 1
0
1
6 0  , B =  2 3 −2  e b =  13 
A =  −3
2
2 3
1 0
1
3
(a) (1.5) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
(b) (1.0) Resolva o sistema Ax = b usando a decomposição P T LU que obteve na alı́nea anterior.
(c) (1.5) Determine a matriz Y que verifica
BY − AB −1 AB −1
2. (1.5) Discuta a solução do sistema

x
+2y

−2x +(α − 4)y

x +(2 − α)y
em função dos parâmetros α, β ∈
−1 B −1
+2z
+2(α − 2)z
+2(1 − α)z
T
= 2AB T
=
1
= β−2
=
−2
.
3. Considere definido em 3 o subespaço vectorial S gerado pelos vectores u = (2, 0, 4), v = (γ, 1, 2γ − 1) e
w = (4, 3, γ + 4), com γ ∈ .
(a) (1.5) Determine, caso existam, os valores de γ para os quais dim S = 3.
(b) Considere γ = 1.
i. (1.5) Caracterize S.
ii. (1.5) Mostre que os vectores u e w formam uma base do subespaço de
vectores.
67
3
gerado por esses dois
4. (2.0) Considere a matriz

com λ ∈
1
2 λ
 0
1 0

C=
−1 −3 0
0 −1 1

1
2λ 

−2λ 
−λ
. Determine, caso existam, os valores de λ para os quais a igualdade
2|C| + 2C T C −1 − 6 |I4 | = 16
é verdadeira.
5. Considere definidos em 3 a recta r : x + 3 = y − 1 = z, o plano Π1 : x + y − 2z = 1 e o plano Π2 que
passa pelos pontos (0, 0, 0), (2, 0, 0) e (1, 1, −2).
(a) (1.5) Mostre que os planos Π1 e Π2 se intersectam na recta s que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e
Q = (−4, 1, −2).
(b) (2.0) Calcule a distância da recta r ao plano Π1 .
6. Considere a matriz
W =
com δ, θ ∈
.
δ θ
1 2
(a) (1.5) Determine os valores de δ e θ de modo que (2, 1) e (2, 2) sejam vectores próprios de W .
(b) (1.5) Considere δ = θ = 0. Indique, justificando, se a matriz W é diagonalizável.
7. (1.5) Seja E uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que se |2E| = 1 então E não tem valores próprios
nulos.
2.8
Ano Lectivo 2006/2007
2.8.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica, Quı́mica
e Bioquı́mica, Electrotécnica e de Computadores e Informática
1. Considere as matrizes A e B dadas por




−1
1 2
1 −1 0
6 2 
A =  2 −2 0  e B =  2
1
0 0
3
0 1
(a) (1.0) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A.
(b) (1.0) Resolva o sistema de equações lineares Ax = b usando a decomposição obtida na alı́nea anterior,
em que b é a segunda coluna da matriz B.
(c) (1.5) Determine, caso exista, a matriz Y que verifica a equação matricial
T
−1
A−1 Y B + 2 A−1 B A−1 = B T A−1 P T L P −1 L
A
2. (1.5) Discuta a solução do sistema de equações lineares

+2y
+2z
 x
2 x + (a + 4) y
+4z

a y + (b − 1) z
em função dos parâmetros a, b ∈
.
68
+2w
+ (a + 4) w
+aw
= 3
= 9
= a
3. Considere definidos em
subespaço vectorial de
4
4
os vectores u = (1, 2, 1, −1), v = (0, 1, 0, 2) e w = (1, 4, 1, 3), e seja X o
gerado por u, v e w.
(a) (1.5) Caracterize o subespaço X.
(b) (0.75) Determine, caso existam, os valores dos parâmetros reais α e β para os quais o vector a =
(α, β, 1, 2) pertence a X.
4. (0.75) Mostre que se A é uma matriz qualquer quadrada de ordem n regular, então a sua inversa é única.
2.8.2
2 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica, Quı́mica
e Bioquı́mica, Electrotécnica e de Computadores e Informática
1. Considere a matriz
com a, b ∈

2
0
A =  2 2a − 3
5
2
.

0

0
3b − 2a
(a) (1.0) Determine os valores de a e de b para os quais (1, 1, 1) é vector próprio de A.
(b) Considere a = 1 e b = 2.
i. (0.75) Indique, justificando, quais os valores próprios de A.
ii. (0.5) A matriz A é diagonalizável? Justifique.
2. Considere as matrizes
com k ∈

1 4
 1 k
B=
 0 0
1 4
.


1 −k
0
0
1 
 e C = 0
1
1 
k2
0 −1

0 −1
−2 k 3 
1 −k
(a) (1.0) Mostre que |B| = k 2 − 4k.
(b) (0.75) Usando a teoria dos determinantes, determine, caso existam, os valores de k para os quais o
espaço das colunas da matriz B tem dimensão 4.
(c) (1.25) Determine, caso existam, os valores de k para os quais a igualdade
−16 | B | − | 2 C T | + | 2 B T B −1 | = | 12 I2 |
é verdadeira, em que I2 representa a matriz identidade de ordem 2.
3. Considere definidas, em
3
, a recta r dada por
x+y
z
= 3
= 2y + 1
e a recta s que passa pelos pontos Q1 = (1, 1, 1) e Q2 = (0, 2, 3).
(a) (1.0) Mostre que as rectas r e s são paralelas.
(b) (1.0) Determine uma equação cartesiana do plano Π que contém as duas rectas.
4. (0.75) Dada uma matriz A qualquer, sejam R(A) e C(A) o espaços das linhas e o espaço das colunas de
A, respectivamente. Mostre que dim R(A) = dim C(A).
69
2.8.3
Exame – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica, Quı́mica e
Bioquı́mica, Electrotécnica e de Computadores e Informática
1. Considere as matrizes regulares A e B tais que




0 −3 0
−5 −2 0
1 1 
A−1 =  1 −2 0  e B −1 =  0
2
2 1
0
2 0
(a) (1.0) Obtenha a decomposição P T LU da matriz A−1 .
(b) (1.0) Resolva o sistema de equações lineares Ax = b, em que b é a terceira coluna da matriz B −1 .
(c) (1.5) Determine o valor próprio da matriz B −1 que tem maior valor absoluto.
(d) (1.0) Sem calcular a matriz B, indique, justificando, se esta matriz é diagonalizável.
(e) (1.5) Determine, caso exista, a matriz Y que verifica a equação matricial
T −1 h −1 T −1 −1 i−1
T
B
U L P
(Y B − 2 I3 ) = P −1 U T LT
em que I3 representa a matriz identidade de ordem 3.
2. (1.5) Determine, caso existam, os valores do parâmetro real λ para os quais a caracterı́stica da matriz


1
2 λ
1
0
 0
1 0
2λ
2 

C =
 −1 −3 0
−2 λ λ − 5 
0 −1 0 −λ − 3 λ − 2
é inferior a 4.
3. Considere a matriz

1
 0
D=
 −1
3

0 −2
1
1 

2
4 
0 −6
e sejam R(D) e C(D) o espaços das linhas e o espaço das colunas de D, respectivamente.
(a) (1.0) Obtenha uma base de C(D) e indique, justificando, a dimensão deste espaço.
(b)
i. (1.5) Caracterize R(D).
ii. (0.75) O vector (1, 0, 2) pertence a R(D) ? Justifique.
4. Considere a matriz
com k ∈

1
 1
E=
 0
−1
.
0
k2
1
0
1
−7
0 1 − k2

0
1 

1 
1
(a) (1.25) Mostre que |E| = k 2 − 7.
(b) (1.0) Usando a teoria dos determinantes determine, caso existam, os valores de k para os quais a
matriz E é não-singular.
(c) (1.5) Determine, caso existam, os valores de k para os quais a igualdade
2
− |2 P23 | − k 2 = |E −1 E T | − 2 k
|E −1 |
é verdadeira, em que a matriz de permutação P23 é de ordem 4.
70
5. Considere definidos em 3 o plano Π1 que passa
a recta r cujas equações paramétricas são

 x =
y =

z =
pelos pontos P = (1, 0, 0), Q = (1, 1, 0) e R = (0, 0, 0) e
1
1+λ , λ∈
λ
(a) (2.0) Determine a equação cartesiana do plano Π2 perpendicular a Π1 e que contém a recta r.
(b) (2.0) Seja s a recta de equação vectorial X = (2, 1, 0) + α(1, 0, 1), α ∈
entre as rectas r e s.
. Determine a distância
6. (1.5) Mostre que se λ 6= 0 é valor próprio de uma matriz A regular qualquer, então
A−1 .
2.8.4
1
λ
é valor próprio de
Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica,
Quı́mica e Bioquı́mica, Electrotécnica e de Computadores e Informática
1. Considere a matriz regular A tal que
A−1
e a matriz regular


−2 0
2
=  0 3 −1 
0 0
1


1 3 −1
0 
B= 2 6
1 4
5
(a) (1.25) Obtenha a decomposição P T LU da matriz B.
(b) (1.0) A matriz A−1 é diagonalizável ? Justifique.
(c) (1.25) Determine os valores próprios da matriz AT .
(d) (1.5) Determine, caso exista, a matriz X que verifica a equação matricial
A−1 B T (X − B)
2. Considere o sistema de equações lineares


T
= U −1 P T L
x +y
2x +y

−x
+z
−3z
+αz
−1
B −1 A
−1
= 1
= 0
= β
(a) (1.5) Discuta a solução do sistema em função dos parâmetros α, β ∈
.
(b) (1.0) Resolva o sistema para α = 4 e β = 1, através do método de eliminação de Gauss.
3. Considere definidos em
3
os vectores a = (1, −1, 3), b = (2, 0, −4), c = (4, 1, 2) e d = (0, −1, −10).
(a) (1.0) Os vectores a, b e c formam uma base de
(b) Seja S o subespaço de
3
3
? Justifique.
gerado pelos vectores b, c e d.
i. (1.5) Caracterize S.
ii. (0.75) Determine, caso existam, os valores do parâmetro real θ para os quais o vector e =
(3, 1, θ 2 ) pertence a S.
71
4. Considere a matriz
com k ∈


1
1
0 1
 1
2 −k 2 0 

C=
 0 −1
2 1 
−1 −1
k2 0
.
(a) (1.25) Mostre que |C| = 2 − k 2 .
(b) (1.0) Usando a teoria dos determinantes determine, caso existam, os valores de k para os quais a
caracterı́stica da matriz C é inferior a 4.
(c) (1.5) Determine, caso existam, os valores de k para os quais a igualdade
−3 +
8
+ 2 k 2 = |2 C T C −1 | + 8 |P12 |
8|C −1 |
é verdadeira, em que a matriz de permutação P12 é de ordem 3.
5. Considere definidos em 3 o ponto P0 = (1, 2, 1), a recta r : X = (1, 0, 1) + λ(2, 1, 4), λ ∈
Π : 2x + αy − βz = 8, α, β ∈ .
e o plano
(a) (2.0) Determine os valores de α e β por forma a que o plano Π seja paralelo à recta r e contenha o
ponto P0 .
(b) (2.0) Considere α = 0 e β = 1. Determine a distância entre a recta r e o plano Π.
6. (1.5) Mostre que se A é uma matriz quadrada regular qualquer, então
| A−1 | =
72
1
|A|
Capı́tulo 3
Exercı́cios das Aulas Práticas
3.1
Números Complexos
Só para os Cursos de Engenharia Electrotécnica e de Computadores e Engenharia Informática
1. Represente no plano de Argand os complexos:
(a) 1 + 2i;
(b) −3i;
(c) 1 − 4i;
(d) −3.
2. Dados os complexos z1 = 3 − 2i e z2 = −4 + i, verifique que:
(a) z1 + z2 = z1 + z2 ;
(b) z1 .z2 = z1 .z2 ;
(c) z1 + z1 = 2Re(z1 );
(d) z2 − z2 = i.2Im(z2 ).
3. Sendo z = 2 − 5i e z 0 = a + bi, em que a e b designam números reais, calcule z + z 0 e z.z 0 e determine os
números reais a e b de modo que z + z 0 seja um número real e z.z 0 seja um imaginário puro.
4. Reduza à forma a + bi os números designados por:
(a)
3
(1−i)3 ;
(b)
1+i
1−i ;
3−2i
4i ;
2
i+1 .
(c)
(d)
5. Escreva na forma trigonométrica:
(a)
1
2;
(b) −2;
(c)
1
2 i;
73
(d) −2i.
6. Calcule o módulo e o argumento positivo mı́nimo de cada um dos complexos:
(a) −1 + i;
√
(b) −3 + 3i;
(c) 4i;
√
(d) 3 − i.
7. Considere os complexos z = −2 + 2i e z 0 = 1 + i.
(a) Represente z e z 0 geometricamente.
(b) Escreva z e z 0 na forma trigonométrica.
(c) Calcule 2z + z 0 e verifique graficamente o resultado encontrado.
√
3
(d) Determine z 2 .
8. Represente na forma algébrica:
(a) 2cis( 9π
4 );
(b) 2cis( π6 );
√
(c) 2cis(− 3π
4 );
(d) 3cis(− 19
3 π).
9. Calcule z, sendo
z
2+3i
= 1 − 5i.
π
10. Sendo z1 = 2cis 4π
3 e z2 = 2cis 4 ,
(a) Calcule zz12 , na forma trigonométrica e na forma algébrica, e aproveite o resultado para calcular sin
e cos 13π
12 ;
(b) Resolva, em
, a equação
z 2 + z2 = 0
3.2
Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
1. Considere as matrizes
Determine A + B e A − B.




2 1
0 −1
1 .
A =  3 3 , B =  1
0 1
1
2
2. Calcule os produtos AB e BA nos seguintes casos:
(a)
A=
2 1 −3
−1 0
4
T
e B=
1 −2 5
3
4 0
(b)



6
1
2 −2
1
2  e B= 2
A =  −2
−2 −4
4
5
74
3
1
5
2
2
2
3
5
3


13π
12
3. Sejam
A=
1 −1 2
0
3 4
, B=
4
0 −3
−1 −2
3
e C=
(a) Calcule 3A − 4B, BC, (AC)T e CC T .
2 −1 3
T
.
(b) Admita que BAT = [dij ]i,j=1,2 . Calcule d12 e d21 .
(c) Pode calcular o produto AB?
4. Dadas as matrizes
5
−3
,
3 −1
2
0
5 −2
identifique-as de modo a que seja possı́vel calcular

−1
0
e  2 −2 
3
3

(a) (AT + B)T C. Calcule esta matriz.
(b) ABC.
5. Dadas as matrizes


5 −2
−3 2 0
A =  3 11  e B =
4 5 1
1 −3
determine a matrix X tal que 3AT + 2X = 4B.

2
3
2 1 1
2 1


6. Calcule 3 1 0
e
.
1 3
0 1 2
1 3
7. Seja B =
.
5 3
(a) Mostre que B 2 − 4B − 12I2 = 02 .
(b) Determine a matriz X = [x1

1 2
8. Dadas as matrizes A =  −1 2
0 1
x2 ]T tal que BX = 6X.





0
1
2
1
1
0 −2
3 , B =  0 −1
2  e C =  2 −3
1 , determine
2
1 −1 −3
1
2
5
(a) a matriz X que verifica a equação
i. X + AB = C T A
ii. (A − 3X)T = 2C 2 − 4BI3
iii. 3X T + AB = AB T
X
(b) as matrizes X e Y tais que
X
9. Dadas as matrizes I =
1 0
0 1
eJ=
−Y = B + A
.
+2Y = A − B
0 1
1 0
, resolva o sistema


X
X

2X
−Y
−2Y
+Y
+Z = 0
−Z = I
+2Z = J
.
10. Diz-se que as matrizes A e B comutam se AB = BA. Encontre todas as matrizes que comutam com
2 0
(a)
0 3
75
1
2
(b)
−1 −1
1 1
(c)
0 1



1 −3
2
1
4
1 −3  , B =  2
1
11. Considere as matrizes A =  2
4 −3 −1
1 −2


2
 1 


 0  . Verifique que AB = AC e BD = CD. Note, contudo,
1



1 0
2
1 −1 1
1 1 , C =  3 −2 −1 2  e D =
1 2
2 −5 −1 3
que B 6= C.
12. Suponha que o produto de matrizes XY é definido. Demonstre que
(a) se X tem uma linha nula, então XY tem uma linha nula.
(b) se Y tem uma coluna nula, então XY tem uma coluna nula.
13. Sejam A e B matrizes de ordem n e Cj = [0 0 . . . 1 0 . . . 0], onde 1 é o valor da entrada (1,j) de Cj , j=1,
...,n. Mostre que
(a) Cj B é a j-ésima linha de B.
(b) Se ACjT = BCjT , ∀j = 1, . . . , n, então A = B.


a b c
14. Com A =  d e f , efectue as multiplicações
g h i

α
 0
0


0 0
α 0
α 0 A ,  0 β
0 α
0 0



0
α 0
0 A , A 0 β
γ
0 0



0
1 0 0
0  ,  0 0 1 A ,
γ
0 1 0





1 0 0
0 0 1
0 0 1
A 0 0 1  ,  0 1 0 A e A 0 1 0 .
0 1 0
1 0 0
1 0 0
Admitindo que A é uma matriz de ordem n, tire conclusões acerca dos produtos:
(a) DA e AD, com D uma matriz diagonal de ordem n.
(b) P A e AP , com P uma matriz de permutação de ordem n.
15. Que mudança se dá no produto AB das matrizes A e B se:
(a) trocarmos as linhas i e j de A? Efectuarmos uma permutação nas linhas de A?
(b) trocarmos as colunas i e j de B? Efectuarmos uma permutação nas colunas de B?
16. Seja A uma matriz diagonal de ordem n com elementos principais λ1 , λ2 , . . . , λn . Calcule Ak , com k ∈
17. Mostre, por indução sobre n ∈ , que
n cos θ k sin θ
cos nθ
=
− k1 sin θ
cos θ
− k1 sin nθ
.
k sin nθ
cos nθ
, k 6= 0.
18. Prove que o produto de duas matrizes triangulares superiores (inferiores) da mesma ordem é ainda uma
matriz triangular superior (inferior). A que são iguais os elementos principais da matriz produto?
76
19. Verifique que

 

 



1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
 α 1 0  =  α 1 0  0 1 0  =  α 1 0  0 1 0  0 1 0 .
β γ 1
β 0 1
0 γ 1
0 0 1
β 0 1
0 γ 1
Generalize esta decomposição para as matrizes triangulares inferiores com elementos iguais a um na
diagonal principal, de ordem 4 e de ordem 5.
20. Seja A uma matriz do tipo m × n.
(a) Prove que AT A e AAT são matrizes simétricas.
(b) Prove que se m = n então A + AT é simétrica. O que se pode afirmar em relação à matriz A − AT ?
21. Mostre que se A é uma matriz simétrica de ordem p e B é uma matriz de tipo p × q, então B T AB é uma
matriz simétrica.
22. Indique, justificando, o valor lógico da proposição:
“Quaisquer que sejam as matrizes A e B de ordem n, (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .”
23. Calcule a caracterı́stica das matrizes




6 3 −4
0
1
3 −1
5  , B= 1
2 −4
3  , C= 0 0 0
A= 1 2
,
3 2
1
1 −3
2
2






0
1
2
4 3
1
0 1 6 −5
 1
2
3 
 1 1
 −3 2 9 −1 


0 





3
6 
D=
, E=
, F = 1
.


2 3
1
−2 1 4
1
 2
6 11 
3 6 −2
−5 2 7
5
0 −1 −3
24. Demonstre que a matriz

tem caracterı́stica 4.
25. Determine k ∈
seja inferior a 4.

0 −2 −4
0
 0
0
3 −1 

E =
 2 −3
1
5 
0
0 −1
0
por forma que a caracterı́stica da matriz

4 4 −3
 1 1 −1
F =
 k 2
2
9 9
k

1
0 

2 
3
26. Resolva graficamente o sistema
x
x
−y
+2y
= 0
= 6
27. Resolva, se possı́vel, os seguintes sistemas de equações lineares:

−x2
+x3 = −1
 3x1
9x1 −2x2
+x3 = −9
(a)

3x1
+x2 −2x3 = −9
77
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)




2x1
+x2 +2x3
+x4 = 5
4x1 +3x2 +7x3 +3x4 = 8
−8x1
−x2
−x3 +3x4 = 4



6x1
+x2 +2x3
−x4 = 1

 2x −3y = −1
−4x −6y = −2

12x −18y = −6

+x2 =
1
 −x1
3x1 −2x2 = −1

2x1
−x2 =
1

−x2 +2x3 = −5
 −x1
−3x1
−x2 +7x3 = −22

x1 −3x2
−x3 =
10

x1 +x2
=
1




=
4
 x1 +x2 +x3
x1
+x3 +x4
= −4


x
+x
+x
=
2

3
4
5


x4 +x5 = −1

+x2 −2x3 +3x4 = 1
 2x1
3x1 +2x2
−x3 +2x4 = 4

3x1 +3x2 +3x3 −3x4 = 5

−x3 =
0
 5x1
4x1 +2x2
+x3 =
1

3x1
−x2 +3x3 = −1
28. Para cada um dos seguintes sistemas, escreva a solução geral como soma de uma solução particular, caso
exista, com a solução geral do sistema homogéneo correspondente.
x1 +x2 +x3 = 1
(a)
x1
−x3 = 2

 x1 +x2 +x3 = 2
2x1 +x2 +x3 = 3
(b)

3x1 +x2 +x3 = 4
29. Indique um sistema de equações lineares
(a) com três equações e três incógnitas que tenha
1 1 1
T
como solução.
T
(b) com três equações e três incógnitas que tenha −2 1 −1
como solução.
T
(c) com três equações e duas incógnitas que tenha 1 2
como solução.
T
(d) com duas equações e três incógnitas que tenha 1 −1 0
como solução.
30. Considere o seguinte sistema de equações lineares

+x2
 x1
x1 +2ax2

x1
+x2
Discuta o sistema para diferentes valores de a e de b.
78
+x3
+2ax3
+ax3
= 1
= 1
= b
31. Determine β ∈
de modo que o sistema

 βx
admita somente a solução trivial.

x
−y
−2βy
−y
+βz
−2z
+βz
= 0
= 0
= 0
32. Encontre todas as matrizes X de tipo 3 × 4 tais que AX = 0, com


1 −2
3
5 −6 
A =  −2
2 −3
6
33. Estabeleça uma relação entre a, b e c de modo que o

x +2y

4x +2y

−2x +6y
sistema
+az
+bz
+cz
= 1
= 2
= 0
(a) seja possı́vel e determinado.
(b) seja impossı́vel.
34. Considere o sistema de equações lineares

 2x +3y
−x

4y
+12z
−3z
+8z
−2w
+4w
+8w
= a
= b
= c
(a) Estabeleça uma relação entre a, b e c para que o sistema seja possı́vel.
(b) Determine a solução geral do sistema indicado, sabendo que
x(1) =
é uma solução particular.
1 − 31
0 0
T
35. Encontre a condição a que devem satisfazer y1 ,y2 ,y3 e y4 para que as equações
x1
2x1
x1
x2
−x3
+x2
+2x2
+x3
+3x4
−2x4
+2x3
+5x4
+x5
−x5
+4x5
+6x5
= y1 ,
= y2 ,
= y3 ,
= y4
sejam compatı́veis.
36. Encontre os valores do parâmetro k para os quais o sistema

+3z
 x −2y
2x +ky
+6z

−x +3y +(k − 3)z
tem:
(a) uma solução;
(b) nenhuma solução;
(c) uma infinidade de soluções.
79
= 1
= 6
= 0
37. Discuta, segundo os valores do parâmetro real p, os sistemas
(a)


(b)


x
+y
x +py

px
+y
x
+y
(1 + p)x
−y

2x −py
+z
+z
=
p+1
=
1
= p + 2p2
+(1 − p)z
+2z
+3z
38. Discuta, em função dos parâmetros reais a e b o seguinte

+z
 x +y
ax +y +bz

x +y +az
= p+1
=
0
= p+2
sistema de equações:
= a
=
b
= ab
39. Resolva o sistema AX = B, com
A=
4 1
3 1
e B=
1 2
−1 3
1
1
3
3
2
0
4
0
.
40. Considere as matrizes
A=
3 4
1 1


1
2
1
1
 0
2 , C = 
, B =  3 −1
 3
1
1 −1
0

E=
1 0
4 1

1
0 0
1 0
, F = 2
3 −1 1


0 1 0
P1 =  0 0 1  , P2
1 0 0
(a) Obtenha a inversa de cada uma das matrizes.



2
1 −1
2
1


2 
 , D =  1 −4 −1 −2 


4
−2
2
1
1 
4
1 −7
1
2

1
 3
, G = 
 1
2

0 1 0
= 1 0 0
0 0 1

0
1
0
4

0
0
1
3

0
0 

0 
1

(b) Calcule P1T e P2T e compare-as com P1−1 e P2−1 respectivamente. Que conclui?
41. (a) Verifique que

é a inversa de
(b) Verique que

1 0 0
R =  −α 1 0 
−β 0 1


1 0 0
S =  α 1 0 .
β 0 1


1
0 0
1 0 
R1 =  −α
−β −γ 1
80
não é a inversa de

1
S1 =  α
β
(c) Verifique que

0 0
1 0 .
γ 1



1
0 0
1 0 0
1 0   −α 1 0 
R2 =  0
0 −γ 1
−β 0 1
é a inversa de

1
S1 =  α
β

0 0
1 0 .
γ 1
(d) Procure generalizar estas observações para matrizes de ordem n.
42. Com base no exercı́cio anterior e no exercı́cio 19, calcule as matrizes inversas de E, F e G do exercı́cio 40.
43. Determine a caracterı́stica da matriz

3
 4
A=
 −2
1

2 −1 2
0
3 1 
.
1 −1 2 
0 −2 3
Com base no valor que obteve, que pode afirmar relativamente à existência de A −1 ?
44. Sendo A uma matriz quadrada tal que A2 + A + I = 0, determine A−1 .
45. Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, prove que os sistemas de n equações e n incógnitas AX = B
e A−1 X = C possuem a mesma solução se e só se B = A2 C.
46. Seja


1 2 1
A =  −1 1 1  .
0 2 2
Sabendo que A3 − 4A2 + 5A − 2I = 0, calcule A−1 .
47. Com
A=
1 2
2 3
e B=
3 1
5 2
,
resolva as equações
(a) AX −1 = B;
(b) (AX)T = B;
(c) [(AX)−1 B]T = A.
48. Dadas as matrizes




1 0 3
1 −1 −1
1
0 
H= 0 1 0  e M = 0
0 1 2
3
2
0
obtenha a matriz N = (H −1 M )T H T + 3M −1 .
49. Mostre que a inversa de uma matriz simétrica invertı́vel também é simétrica.
81
50. Suponha que C é uma matriz triangular superior tal que C −1 = C T . Mostre que C é diagonal e que todos
os seus elementos diagonais são diferentes de zero.
51. Para cada uma das seguintes matrizes determine uma factorização LU , onde L é triangular inferior com
elementos diagonais iguais a um e U é uma matriz condensada. Se tal não for possı́vel, determine a
factorização P T LU , onde P é uma matriz de permutação adequada.








0 0
1 2 3
2 1 0 3
1
0
 1 2 
1 8

1 , E = 
A=
, B =  2 4 2 , C =  0 1 1 0 , D =  0
 2 4 ,
0 1
1 1 1
2 1 0 3
3 −1
0 0






1 2 3 1
2 0 2 0 2
1 3 5
 0 1 1 2 
 0 1 0 1 0 



F =  3 12 18  , G = 
 1 3 4 3 , H =  2 1 0 2 1 
5 18 30
0 1 2 0
0 1 0 1 0
52. Calcule a inversa da matriz
e a inversa da matriz


2 0 5
R= 2 0 3 
1 3 2


−2
4 −2 6
 2 −5
4 8 

S=
 −2
6 −1 1 
3 −6
6 10
a partir das decomposições LU de R e de S respectivamente.
53. Determine a decomposição LU da matriz

2
 0
A=
 2
0
e resolva, utilizando essa decomposição, os sistemas
T
(a) AX = 6 4 8 −4
;
T
(b) AX = 1 2 4 7
.
4
3
7
0
0
3
9
6

2
1 

7 
5
54. Resolva, se possı́vel, os seguintes sistemas, recorrendo à decomposição LU da matriz dos coeficientes:

x +2y −2z = 3

−2x −4y
+z = 1
(a)

−x −2y
−z = 4

 3x −y +2z = 1
5x +y −3z = 0
(b)

2x +2y −5z = 2

−y +3z = 1
 x
(c)
−x
+y −2z = 1

2x −2y
= 1

−y +3z = −2
 x
−x
+y −2z =
1
(d)

2x −2y
=
2
82
55. Considere as matrizes




1 0 0
0
1 3
A =  0 1 1  e B =  1 −1 2  .
3 0 2
1
1 0
(a) Calcule a matriz X = (AT B T )T A−1 + 2A−1 B.
(b) Obtenha a decomposição P T LU de B e resolva a equação LY = P T em ordem a Y .
56. Considere as matrizes




1 0 1
2 1 0
A= 2 1 3  e B= 4 3 2 
0 1 0
2 1 3
Obtenha a decomposição LU de B e resolva em ordem a X a equação (X − A) T U −1 = (BL)−1 L.
57. Dada a matriz


1
1
2
0
1 
A= 2
−1 −1 −1
considere a sua decomposição A = LU . Sabendo que A é invertı́vel, resolva
(a) a equação AU −1 (2I3 + X) = LU −1 L;
T
(b) o sistema AX = B, com B = 1 1 1
.
3.3
Espaços Vectoriais
1. Considere o conjunto
+
dos números reais positivos e as operações
⊕:
e
⊗:
Mostre que (
+
+
+
× + →
(a, b) →
7
a ⊕ b = ab
+
× +
(λ, a)
+
→
7
→
λ ⊗ b = aλ
, ⊕, ⊗) é um espaço vectorial real.
2. Para cada alı́nea, verifique se o conjunto S dos vectores de
um subespaço:
3
que satisfazem a condição dada é ou não
(a) x + y = 0;
(b) x2 − y 2 = 0;
(c) x + y = 1;
(d) y = 2x e z = 3x;
(e) x + y + z = 0 e x − y − z = 0;
(f) x − y + 2z = 0.
3. Averigue se, em
3
, o vector u = (1, 3, −10) é combinação linear dos vectores
(a) a = (2, 1, −3), b = (3, 2, −5), c = (1, −1, 1).
(b) a = (2, 2, −3), b = (0, 1, −2), c = (2, 3, −5).
4. Determine α de modo que p1 (x) = αx2 +x+2 seja combinação linear de p2 (x) = x+1 e p3 (x) = x2 +2x+1.
83
5. Procure uma condição para a, b e c de modo que (a, b, c) seja combinação linear de u = (1, −3, 2) e
v = (2, −1, 1). Indique para que valores de k o vector (1, k, 5) é combinação linear de u e v.
6. Para cada um dos casos seguintes, escreva o vector u como combinação linear dos vectores de B:
(a) u = (1, −2, 5), B = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, −1, 1)};
(b) u = (1, 1, 1), B = {(0, 1, −1), (1, 1, 0), (1, 0, 2)};
(c) u = 5 + x, B = {x + x2 , x − 1, 2}.
7. Escreva o polinómio g(t) = t2 + 4t − 3 como combinação linear dos polinómios a1 (t) = t2 − 2t + 5,
a2 (t) = 2t2 − 3t e a3 (t) = t + 3.
8. Encontre condições sobre x, y e z de modo que (x, y, z) ∈
v = (1, −1, 2).
3
seja combinação linear de u = (2, 1, 0) e
9. Mostre que os vectores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram
10. Determine as componentes de u = (a, b, c) ∈
g = (2, 1, 0, h = (1, −1, 2) e p = (0, 3, −4).
3
3
.
de modo que u pertença ao subespaço gerado por
11. Defina o subespaço
3
(a) de
(b) de
4
gerado por a = (3, −1, 0) e b = (2, 1, 1).
gerado por a = (1, 2, 0, 1) e b = (1, 3, 1, 1).
12. Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
(a) {(−1, 1, 0), (0, −1, 2), (−2, 1, 2)};
(b) {(1/3, 0, 2), (3, 0, 1)};
(c) {−4x3 + 3x2 + 3x − 2, 2x3 , −2, 3x2 + 3x} no espaço dos polinómios de 3 grau de coeficientes reais.
13. Sejam a, b, c e d vectores de um certo espaço vectorial, tais que c = 2a − b e d = a + 3b. Mostre que, se a
e b são linearmente independentes, então c e d também o são.
14. Indique uma base do subespaço V de
4
definido por V = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈
15. Indique uma base e a dimensão dos subespaços vectoriais de
16. Encontre uma base para o subespaço de
e (2, 1, 2, 6).
4
3
4
: x1 −x2 = 0 e x3 −x4 = 0}.
do exercı́cio 2.
gerado pelos vectores (1, −1, 2, 1), (−1, 2, −3, 1), (−1, 3, −3, 1)
17. Encontre os valores de k para os quais os vectores (3 − k, −1, 0), (−1, 2 − k, −1) e (0, −1, 3 − k) geram um
espaço vectorial de dimensão 3.
18. Considere o conjunto B = {(1, 3), (2, 6)}.
(a) Caracterize o subespaço S de
2
gerado por B.
(b) Indique uma base de S.
(c) O vector (1, 5) pertence a S?
19. No espaço vectorial
(3, −6, 0, 3).
4
considere os vectores u1 = (3, −4, 1, 2), u2 = (1, 0, 0, 0), u3 = (1, 0, 1, 0) e u4 =
(a) Defina o subespaço X gerado por u1 , u2 , u3 e u4 .
(b) Calcule α de modo que (1, α, 0, 8) pertença a X.
(c) Determine, justificando, uma base e a dimensão de X.
84
20. Indique quais dos vectores u1 = (−3, −1, 15, 6) e u2 = (1, 0, −1, 0) pertencem ao subespaço de
por v1 = (−1, 3, 5, 2), v2 = (2, −1, 0, 1) e v3 = (1, −8, 5, 3).
4
gerado
21. Determine a dimensão e indique uma base para o espaço das colunas e outra para o espaço das linhas das
matrizes
3
1
(a)
;
−6 −2
3 0 −6 0
(b)
;
1 0 −2 0


−1 3 0 2
(c)  0 2 2 0 .
−1 3 0 3
22. Indique um subconjunto de {(1, −1, 2), (−1, 1, 2), (1, 1, 1), (2, 1, 1)} formado por vectores linearmente independentes.
23. Seja


2 3 1
2
C =  1 2 0 −1 
0 2 4
0
(a) Indique, caso exista, uma base de
3
formada pelos vectores coluna de C. Justifique a sua resposta.
(b) Verifique se o vector (1, 3, 5, 0) pertence ao subespaço de
4
gerado pelos vectores linha de C.
24. Considere os vectores u1 = (−1, 2, 0), u2 = (1, 1, 2), u3 = (0, 1, 0), u4 = (1, 1, 0) e u5 = (0, 1, 1).
(a) Mostre que B1 = {u1 , u2 , u3 } e B2 = {u3 , u4 , u5 } são bases de
3
.
(b) Determine as coordenadas do vector u = (1, −2, 5) na base B1 e na base B2 .
(c) As coordenadas do vector v na base B1 são (3, 0, 1). Determine as coordenadas de v na base B1 .
3.4
Determinantes
1. Calcule os seguintes determinantes:
|E| = |J| = 6 9
|A| = 8 12
4
1
5
1
|B| = 12345 12345
67890 67890
2 −1
2 3
2 −3 |F | = 1 −4 −2 0
3 −1 a 0 0 0 0 0 0 b 0 c 0 0 0 0 d 0 1 2 3
|C| = 4 5 6
7 8 9
2
3
4 1 −1
2 |G| = 0
3 −3 1 −1
2 a 0
2 0
b a
1 −1 |K| = 1 a
0
1 |L| = 0 b
0 1 −1
0 0
2 0 0
3
0
1
2
85
5
1
4
2
4
0
3
7
−1
3 1 |D| = 2
5 3 1 −2 1 0 0
0 0
a 0
b a
0 b
0
1
0
7
2
0
1
0
b 0 0 0 a |H| = |M | = x
x
x
x
b
3
0
6
7 0 8
9 0 9
5 a 1
0 0 0
a1
x
x
x
a2
b1
x
x
a3
b2
c1
x
ax
|N | = ay
az
2. Mostre que
1 x1
1 y1
(a) 1 y1
1 y1
1
1
(b) 2 −1
3
0
1 1
a b
(c) 2 2
a 3 b3
a b
2a + p
(d) 2p + x
2x + a
3. Sabendo que
a 2 + x2
a2 + y 2
a2 + z 2
1
1
1
|R| = |P | = 1 1 1
1 2 1
1 1 3
.. .. ..
. . .
1 1 1
x a a
a x a
a a x
.. .. ..
. . .
a a a
a a a
. . . 1 . . . 1 . . . 1 . ..
. .. ... n |Q| = ... x a ... a x
1 1 1 ...
1 0 1 ...
|S| = 1 1 0 . . .
.. .. .. . .
. . .
.
1 1 1 ...
...
...
...
..
.
a
a
a
..
.
a
a
a
..
.
1
2
2
2
..
.
2
= (y1 − x1 )(y2 − x2 )(y3 − x3 ).
2
a ab ac 2 1 = 0 e ab b2 bc = 0, sem calcular os determinantes.
ac bc c2 3 1 1 c d = (d − c)(d − b)(d − a)(c − b)(c − a)(b − a).
c2 d2 c3 d 3 a b c 2b + q 2c + r 2q + y 2r + z = 9 p q r .
x y z 2y + b 2z + c x2
x2
y2
y2
x3
x3
x3
y3
calcule o determinante de
a 1 1 b 0 1 = 1,
c 3 1 
B=
m−
1
3
1
3
3a

m m−1

0
1
3b
3c
4. Resolva as seguintes equações, em ordem às variáveis x, y e z:
1
2
4 (a) x x2 x3 = 3x2 − 6x;
0 x4
3 1 + 3x 3 + 2x 1 + x (b) 9 + 3x 6 + 2y 3 + y = 0.
10 + 3z 7 + 2z 2 + z 5. Considere a matriz

4 y 2
 1 3 1

A=
2 x 1
5 4 0

0
3 

0 
1
Diga, justificando, para que valores de x e y se pode garantir que |A| = 0.
86
1
1
1
..
.
0
2 2 2 ... n 2
2
2
2
..
.
2
2
3
2
..
.
2
2
2
4
..
.
...
...
...
...
..
.
2
2
2
2
..
.
6. Determine para que valores do parâmetro real µ

1
 2

 −1
0
tem caracterı́stica igual a quatro.
se pode garantir que a matriz

0 −1
0
µ
0
1 

0
µ −1 
1
2
1
7. Dada a matriz

determine k ∈
4
 1

 k
9

4 −3 1
1 −1 0 
,
2
2 2 
9
k 3
de modo que o determinante desta matriz seja nulo.
8. Diz-se que a matriz A é ortogonal se AT A = I. Mostre que, se A é ortogonal, então |A| = ±1.
9. Mostre que, se A é uma matriz de uma ordem qualquer ı́mpar e tal que A = −A T , então |A| = 0.
10. Sejam M = XAB + (B T CX T )T e N = 2In , com A, B, C e X matrizes regulares de ordem n. Sabendo
que |M | = |N |, calcule |X|.
11. Aplicando a teoria dos determinantes, indique quais das seguintes
inversa das matrizes que forem não singulares.



1 2 −1
1
3
1
 1 3
−2 3
2
1
2 , C = 
A=
, B= 0
 2 1 −4
1 5
−2 −6 −2
1 0
3
matrizes são singulares e calcule a



2
0 1 −1

−3 
, D =  1 2 −1 
−2 
1 3
3
−1



1 −a
0
0
a
b
c
3 −1 y
 0

1
−a
0
, G =  2
1
1 , F = 
1 0 
E = 1
 0
0
1 −a 
a+1 b+1 c+1
0
2 1
0
0
0
1



12. Seja

1 1 1
 1 1 1
A=
 1 1 a
1 b 1
(a) Determine |A|. Em que condições é que A é regular?

1
2 

1 
1
(b) Considere a = 3 e b = 2. Sendo B e C duas matrizes de ordem 4 tais que (AT )−1 = C −1 BC,
determine |2B|.
13. Determine os valores de x para os quais as matrizes




1
−1
0
1
2
3
tan x
1
A=
, B= 2
2
0 , C =  1
x2
9 
2 sin x cosecx
2
2
2
1 2x + 1 x
−1 2x − 4 3
são singulares.
87
14. Determine para que valores de α, β ∈
a matriz

1 0
−1
 1 α α2 + β
A=
 0 1
α
1 α α2 + β
é invertı́vel.

0
αβ 


β
α + αβ
15. Sejam A, B e C matrizes de ordem n tais que |A| = −1, |B| = 2 e |C| = 3. Calcule |A 2 BC T B −1 | e
|B 2 C −1 AB −1 C T |.
16. Se A é uma matriz de ordem 3 e det(2A−1 ) = −4 = det(A3 (B −1 )T ), calcule det A e det B.
17. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando a Regra de Cramer:
3x +4y =
9
(a)
2x
−y = −1

+y
+z = 2
 x
x +2y
+z = 1
(b)

x +2y +3z = 3

+z = −1
 x +y
−y
+z =
3
(c)

2x −y +5z =
7
18. Considere a matriz
com α, β ∈


α −1
3
1 −3 
A= 0
−1 −2
β
.
(a) Determine, justificando, os valores de α e de β para os quais o sistema Ax = b, com b =
é um sistema de Cramer.
(b) Considerando α = 1 e β = 8, resolva o sistema Ax = b usando a regra de Cramer.
19. Considere o sistema de equações


x +ky
ky

kx +2y
+z
+z
+(k + 1)z
+kw
+kw
+2kw
= 0
= 1
= t
(a) Discuta-o em função dos parâmetros reais k e t.
(b) Para k = 2 e t = w = 0 use a regra de Cramer para calcular o valor de x.
20. Considere o sistema de equações

+y
 ax
ax +(a + 3)y

2ax +(a + 4)y
+z
+z
+(a2 − a)z
=
−b
=
a
= 2+a−b
(a) Discuta-o em função dos parâmetros reais a e b.
(b) Tomando a = b = 1, calcule o valor de x pela regra de Cramer.
88
1 1 1
T
3.5
Valores e Vectores Próprios
1. Para cada uma das seguintes matrizes, obtenha os seus valores
associado a cada um destes:
4 −5
2 1
0
A=
, B=
, C=
2 −3
−1 0
−1





1 −1
0
3 2 4
−3
E =  −1
2 −1  , F =  2 0 2  , G =  −7
0 −1
1
4 2 3
−6
próprios e calcule um vector próprio
1
0
, D=
1 1
0 1



1 −1
2 1 1
5 −1  , H =  2 3 2 
6 −2
3 3 4
2. (a) Prove que os valores próprios de uma matriz diagonal são os seus elementos diagonais.
(b) Determine os valores próprios e vectores próprios da matriz


3
0 0
 0 −2 0 
0
0 5
(c) Indique, justificando, se é possı́vel generalizar (2a) para matrizes
(d) Indique quais são os valores próprios das matrizes



4 1 0
α 1
A =  0 3 2 , B =  0 α
0 0 5
0 0
com α, β ∈
. Estude os casos α = β e α 6= β.
triangulares.

0
1 ,
β
3. Considere a matriz A quadrada de ordem n, com valores próprios λ1 , λ2 , . . . , λn .
(a) Mostre que A2 tem valores próprios λ21 , λ22 , . . . , λ2n .
(b) Generalize o resultado da alı́nea anterior para qualquer potência A k de A, k ∈ .
(c) Suponho que A é não singular, como relaciona os valores próprios de A −1 com os valores próprios de
A?
4. Uma matriz A quadrada de ordem 2 tem valores próprios 3 e 5 e a eles estão associados, respectivamente,
os vectores próprios (1, 2) e (2, −1). Prove que A é simétrica.
5. Averigue se cada uma das matrizes do exercı́cio (1) é ou não diagonalizável, e, em caso afirmativo,
determine uma matriz diagonalizante.
6. Considere a matriz


1 1 1
A= 1 1 1 
1 1 1
(a) Determine os valores próprios de A.
(b) Determine um vector próprio associado ao valor próprio nulo que tenha norma 1.
(c) Averigue se A é diagonalizável.
9
3 4
7. Calcule
.
5 2
8. Considere a matriz
A=
7 −4
9 −5
(a) Calcule os valores próprios de A.
(b) Sem calcular os vectores próprios de A, mostre que A não é diagonalizável.
89
3.6
Métodos Iterativos para Sistemas de Equações Lineares
1. Resolva o sistema de equações lineares




x1
2x

1 −


x1 −
2x2
x2
x2
− 3x3
+ x3
+ 4x4
+ x4
+ 3x4
= 0
= 3
= 25
= 8
+ 3x3
(a) usando o método de Gauss-Seidel.
(b) usando o método de Jacobi.
2. Dado o sistema de equações lineares

 4x1
x1

2x1
+ 2x2
+ 3x2
+ 4x2
3. Dado o sistema de equações lineares

 −8x1
x1

x1
+ x2
− 5x2
+ x2
− 2x3
+
x3
= 1
= 1
= 2
determine a sua solução usando o método de Jacobi (Gauss-Seidel).
+ x3
+ x3
− 4x3
= 1
= 16
= −7
e partindo do vector inicial x0 = (0, 0, 0), obtenha uma segunda aproximação para a sua solução usando
o método de Jacobi (Gauss-Seidel).

6x2 + 3x3 = 4

ax1 + 3x2 + 2x3 = 4 .
4. Considere o sistema de equações lineares

x1 + 2x2 + 8x3 = 4
(a) Poderá aplicar o método de Gauss-Seidel ao sistema anterior? Em caso negativo, reescreva-o de
forma conveniente.
(b) Determine valores de a que garantam a convergência do método de Gauss-Seidel.
5. Considere um sistema de equações lineares Ax = b, sendo
2
1
A=
e
k−1 1
b=
1
2
com k 6= 3, cuja solução se pretende aproximar. Escolha um valor para k de modo a que a aplicação
do método de Jacobi gere uma sucessão convergente para a solução do sistema. Obtenha-a em segunda
aproximação.
6. Considere um sistema de equações lineares Ax = b, com




4 −1 −1
−1
0  e b =  7 .
A =  −1 4
4
−1 0
3
3
(a) Mostre que os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel são convergentes.
(b) Determine uma segunda aproximação da solução utilizando o método de Gauss-Seidel.
90
7. Considere um sistema de equações lineares Ax = b, sendo
2−k 4
A=
e
3
4
b=
1
2
com k 6= −1, cuja solução se pretende aproximar. Escolha um valor para k de modo a que a aplicação do
método de Gauss-Seidel gere uma sucessão convergente para a solução do sistema. Obtenha-a em segunda
aproximação.
91
Conteúdo
1 Apresentação da disciplina
1
2 Exercı́cios de Provas de Avaliação
5
2.1
2.2
2.3
2.4
Ano Lectivo 1999/2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Frequência - 24 de Janeiro de 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Frequência - 2 de Fevereiro de 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Exame - 9 de Fevereiro de 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.4
Exame - 21 de Fevereiro de 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.5
Recurso - 11 de Setembro de 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Ano Lectivo 2000/2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1
Frequência - 29 de Janeiro de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2
Frequência - 31 de Janeiro de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3
Exame - 14 de Fevereiro de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.4
Exame - 19 de Fevereiro de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5
Recurso - 10 de Setembro de 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ano Lectivo 2001/2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
1 Frequência – Cursos de Eng. Electrotécnica e Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2
1 Frequência – Cursos de Eng. Quı́mica e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3
2 Frequência – Cursos de Eng. Electrotécnica e Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4
2 Frequência – Cursos de Eng. Quı́mica e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.5
Exame – Cursos de Eng. Electrotécnica, Civil e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.6
Exame – Curso de Eng. Quı́mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.7
Exame de Recurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ano lectivo 2002/2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
92
2.4.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Informática, Quı́mica e do Ambiente . . . . 22
2.4.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia
Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4
2 Frequência – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.5
2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.6
3 Frequência – Cursos de Engenharia Civil e Engenharia Informática . . . . . . . . . . . 25
2.4.7
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica e Engenharia do Ambiente . . . . . . . . 25
2.4.8
3 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.9
Exame – Cursos de Engenharia Civil e de Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.10 Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica e Engenharia do Ambiente . . . . . . . . . . . . 28
2.4.11 Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.12 Exame de Recurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5
Ano lectivo 2003/2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Informática, Quı́mica e do Ambiente . . . . 31
2.5.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia
Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.4
2 Frequência – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.5
2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.6
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia
Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.7
3 Frequência – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.8
3 Frequência – Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.9
Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática 37
2.5.10 Exame – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.11 Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.12 Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.13 Exame de Recurso – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.14 Exame de Recurso – Curso de Engenharia Electrotécnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6
Ano lectivo 2004/2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Informática, Quı́mica e do Ambiente . . . . 45
93
2.6.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . 45
2.6.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia
Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.4
2 Frequência – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.5
2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . 47
2.6.6
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia
Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.7
3 Frequência – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.8
3 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . 49
2.6.9
Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática 50
2.6.10 Exame – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.11 Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.12 Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente e Engenharia Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.13 Exame de Recurso – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.14 Exame de Recurso – Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . . . . 56
2.7
Ano Lectivo 2005/2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, Ambiente e Informática . . . . . . . . . . 57
2.7.2
1 Frequência – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.3
2 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7.4
2 Frequência – Cursos de Engenharia Civil e do Ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.5
3 Frequência – Cursos de Engenharia Quı́mica, do Ambiente e Informática . . . . . . . . 59
2.7.6
3 Frequência – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.7
Exame – Cursos de Engenharia Quı́mica, do Ambiente e Informática . . . . . . . . . . . . 60
2.7.8
Exame – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7.9
Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Quı́mica, do Ambiente e Informática . . . . . 63
2.7.10 Exame de Recurso – Curso de Engenharia Civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7.11 1 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . 65
2.7.12 2 Frequência – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . 65
2.7.13 Exame – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.14 Exame de Recurso – Curso de Engenharia Electrotécnica e de Computadores . . . . . . . 67
2.8
Ano Lectivo 2006/2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
94
2.8.1
1 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica, Quı́mica e Bioquı́mica,
Electrotécnica e de Computadores e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.8.2
2 Frequência – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica, Quı́mica e Bioquı́mica,
Electrotécnica e de Computadores e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8.3
Exame – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica, Quı́mica e Bioquı́mica, Electrotécnica e de Computadores e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.8.4
Exame de Recurso – Cursos de Engenharia Civil, Ambiente e Biológica, Quı́mica e Bioquı́mica, Electrotécnica e de Computadores e Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Exercı́cios das Aulas Práticas
73
3.1
Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2
Matrizes e Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3
Espaços Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4
Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5
Valores e Vectores Próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6
Métodos Iterativos para Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
95