Ficha 6 - Elementos de Matemática Finita

Elementos de Matemática Finita
Ficha 5 - Funções geradoras e Recorrências
(Para apresentar na quarta-feira, dia 12 de Novembro)
1. Determine o quociente e o resto da divisão de a(x) = x4 + 4x3 + x2 − 3x + 5 por
b(x) = x2 + 3x − 2 em Q[x].
2. Determine o máximo divisor comum mónico entre a(x) e b(x) com:
(a) a(x) = x3 − 3x2 + 4
e
b(x) = − x2 + 1.
(b) a(x) = x3 − 3x2 + 4
e
b(x) = (x + 1)(x + 2) · · · (x + 23).
3. Novamente com a(x) = x3 − 3x2 + 4 e b(x) = 2x − 3 escreva o máximo divisor comum
mónico d(x) na forma
d(x) = a(x)u(x) + b(x)v(x),
para certos polinómios u, v ∈ Q[x] de grau mínimo.
4. Considere a função racional
2x3 − 5x2 − 2x + 7
.
x2 − 3x + 2
Represente-a na forma p(x) + f (x), onde p(x) é um polinómio e f (x) é uma fracção
própria.
5. Decomponha a função racional (própria)
x2 − x − 4
x3 + x2 − 5x + 3
em fracções simples.
6. Decomponha as seguintes funções racionais em fracções simples.
(a)
2 + x + x2
(1 + x)(2 + x)(3 + x)
(b)
3x − 5
6 − 11x + 6x2 − x3
7. Represente
as seguintes funções racionais em série de Maclaurin (isto é, na forma
P∞
n)
a
x
n
n=0
(a)
2x2 − 1
x+3
(b)
1 − 4x
(1 + x)3
8. Considere a seguinte sequência definida pela relação de recorrência linear
u0 = u1 = 1,
un+2 − 4un+1 + 4un = 0,
Determine uma fórmula para un .
n ≥ 0.
9. Considere a seguinte sequência definida pela relação de recorrência linear
a0 = 1, a1 = 2,
an+2 = 5an+1 − 4an ,
n ≥ 0.
Mostre que an = 31 (4n + 2).
10. Considere a sequência definida pela relação de recorrência não homogénea
u0 = 1,
un+1 = 2un + n2n ,
n ≥ 0.
(a) Mostre que a função geradora da sequência (un ) é da forma
f (x) =
A
B
C
+
+
,
2
1 − 2x (1 − 2x)
(1 − 2x)3
(b) Determine A, B e C, e a fórmula geral de un .
11. Seja A(x) a função geradora da sequência (an ), n ≥ 0. Determine as funções geradoras P (x), Q(x) e R(x), respectivamente, das sequências pn := 5an , qn := an + 5 e
rn := an+5 .
12. Determine a função geradora para o número de maneiras ak de distribuir k bolas por
2 caixas, com a condição de uma delas ficar com um número par de bolas. Obtenha
uma fórmula para ak .
13. Supomos que temos um número ilimitado de moedas de 5, 10, 20 cêntimos. Determine a função geradora para o número de maneiras bn de escolher n moedas com as
seguintes restrições: o número de moedas de 5 cêntimos é múltiplo de 4, o número
de moedas de 10 cêntimos é ≤ 3 e o número de moedas de 20 cêntimos é superior a
2.