matematica_11.

CURSO TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO
11
matemática
Função: definição, domínio e imagem
Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal
Ministério da Educação
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
equipe sedis
| universidade federal do rio grande do norte – ufrn
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
Ivana Lima
Diagramação
Ivana Lima
José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão Tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional
Janio Gustavo Barbosa
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Jeremias Alves A. Silva
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
á
r
e
v
ê
Voc
..
.
i
u
q
a
por
...o início de um estudo sobre alguns elementos da Álgebra, como o Sistema de
Coordenadas Cartesianas formalizado por Descartes, em 1637, na obra La Geómetrie.
Verá também o conceito de uma relação entre conjuntos e o conceito de função, como
também os conceitos de domínio, de contradomínio e de imagem de uma função, como
elaborar o estudo do sinal de uma função e como determinar o domínio de uma função
real. Na próxima aula, concluiremos o estudo sobre funções iniciado aqui, dando maior
enfoque à construção de gráficos de funções de vários tipos.
Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e
disponibilizamos, após cada conteúdo apresentado, algumas atividades (com questões
subjetivas) e, ao final de todo o conteúdo, uma lista de exercícios (com questões
objetivas). E, na seção Auto-avaliação, ao final desta aula, você encontrará mais uma
oportunidade para verificar sua aprendizagem e, se necessário, redirecioná-la.
Na seção Para consulta, disponibilizamos um material de apoio para uma consulta rápida
que lhe auxiliará na resolução de atividades relacionadas com o conteúdo aqui estudado.
 Saber construir um sistema de coordenadas cartesianas,
localizando nesse sistema alguns pontos dados, bem como
descrever as coordenadas de pontos situados em planos
cartesianos.
Objetivo
 Saber conceituar relações entre conjuntos, bem como os
conjuntos domínio, contradomínio e imagem de uma relação
entre dois conjuntos.
 Saber conceituar função, assim como domínio, contradomínio
e imagem de uma função.
 Saber realizar o estudo do sinal de uma função.
 Determinar o domínio de uma função real.
Matemática A11
Para começo
de conversa
Na compra de um tecido, o preço a se pagar depende da metragem comprada, ou seja,
o preço da compra está em função do comprimento do tecido comprado.
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura indicada depende da altura atingida pela
coluna desse elemento químico, quando esse se dilata, ou seja, a temperatura é dada
em função da altura do mercúrio contido em sua coluna central.
São muitas as situações do cotidiano nas quais utilizamos o conhecimento intuitivo
de função, porém no estudo de funções, precisamos compreender alguns conceitos
mais formais. Conceitos esses que veremos nesta aula e na próxima. Vamos começar
nossos estudos?
Matemática A11
Conhecendo a
Linguagem das funções
Sistema de coordenadas cartesianas
Quando você envia um e-mail pela internet ou um torpedo pelo celular, precisa incluir
informações sobre o destinatário (a pessoa ou grupo de pessoas) que vai receber a
mensagem.
Essas informações são as coordenadas para a localização do destinatário.
Em outras situações do dia a dia também utilizamos sistemas de coordenadas, como o
nome de um bairro, o nome de uma rua e um número nessa rua que indica a localização
de um domicílio, por exemplo. Um ponto sobre a superfície terrestre pode ser localizado
também por dois números chamados de latitude e de longitude.
Do mesmo modo, para localizar um ponto sobre um plano, podemos tomar como base
o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.
Regime de
capitalização
 O conceito do que
chamamos hoje
de coordenadas
cartesianas já era
utilizado por alguns
matemáticos, quando
René Descartes
(1596-1650), ou
Cartesius (em latim),
o formalizou em sua
obra La Géométrie
(1637).
Plano cartesiano
Para localizar um ponto no plano, podemos inserir nesse plano um sistema cartesiano
ortogonal de coordenadas chamado comumente de plano cartesiano.
O plano cartesiano, como você pode ver no gráfico 1, é formado pela união de dois eixos
perpendiculares entre si que se cruzam no ponto O – origem de ambos os eixos. O eixo
−−→
horizontal é chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo OX . O eixo vertical é
−→
chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo −
OY .
II Q
2ۼ quadrante
Eixo das ordenadas
y
IQ
1º quadrante
Eixo das abscissas x
3º quadrante
III Q
4º quadrante
IV Q
Gráfico 1 – Plano Cartesiano
Matemática A11
Os eixos dividem um plano formando quatro ângulos retos. Cada uma dessas partes do
plano é chamada de quadrante. Os quadrantes são enumerados no sentido anti-horário.
Temos assim, iniciando do canto superior à direita, primeiro quadrante (I Q), segundo
quadrante (II Q), terceiro quadrante (III Q) e quarto quadrante (IV Q).
No plano cartesiano, como pode ser visto no gráfico 2, cada ponto P do plano cartesiano
é formado por um par ordenado (a; b) de números reais, indicados entre parênteses, que
representam a abscissa e a ordenada do ponto, respectivamente. Cada ponto, indicado
por um par ordenado de números chamados de coordenadas do ponto.
y
II Q
IQ
P(a;b)
b
0
a
III Q
x
IV Q
Gráfico 2 – Localização do ponto P (a; b)
Para marcar um ponto P em um plano cartesiano, basta traçar uma perpendicular ao
eixo dos y que passa pela abscissa a e uma perpendicular ao eixo dos y que passa
pela ordenada b, como pode ser visto no Gráfico 2.
As coordenadas do ponto O (origem do plano cartesiano) é (0; 0), ou seja, os dois eixos
se encontram no ponto dos eixos onde x = 0 e y = 0. As coordenadas do ponto P, no
Gráfico 3, é (4; 3). A abscissa é 4 e a ordenada é 3. Indicamos o ponto por P (4; 3).
O primeiro número indica a medida do deslocamento horizontal, a partir da origem,
para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica
a medida do deslocamento vertical, a partir da origem, para cima (se positivo) ou para
baixo (se negativo).
Observe os sinais de x e de y em cada quadrante, no gráfico 3:
II Q
x <0e y >0
R(-4;3)
y
P(4;3)
3
-4
0
S(-4;-3)
-3
x <0e y <0
III Q
IQ
x >0e y >0
4
x
T(4;-3)
x >0e y <0
IV Q
Gráfico 3 – Sinais das coordenadas em cada quadrante
Matemática A11
Observe com atenção:
 os pontos que se encontram sobre os eixos cartesianos não pertencem a nenhum
quadrante;
 todo ponto sobre o eixo dos y tem abscissa nula;
 todo ponto sobre o eixo dos x tem ordenada nula;
 dois pontos são iguais se as abscissas forem iguais e se as ordenadas forem iguais.
Ou seja, (a; b) = (m; n), se, e somente se, a = m e b = n.
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 1
−−→
O ponto A(0; 3) localiza-se sobre o eixo OY , pois tem abscissa nula.
−−→
O ponto B(1; 0) localiza-se sobre o eixo OX , pois tem ordenada nula.
y
3
A(0;3)
B(1;0)
0
1
x
Gráfico 4 – Pontos A e B no plano cartesiano
Os pontos A e B não se localizam sobre nenhum quadrante.
Matemática A11
Praticando...
1
1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
A (0; 0) B (– 5; 0)
v
C (0; – 5) D (3; – 2)
E (4; 2) F (2; 4)
G (–2; 3) H (–1; -4)
I (3; 0) 0
x
J (0; 3)
2. Determine o valor real de m para que o ponto C(8; m – 5) se localize
sobre o eixo das abscissas.
r−2
; 5) se localize sobre
3. Calcule o valor real de r para que o ponto D(
5
o eixo das ordenadas.


7 t−2
−
;
pertença
4. Calcule os valores reais de t para que o ponto H
5 2
ao 2º quadrante.
5. Calcule entre os números reais os valores de a e de b de modo que pontos
M(a – 3; – 2) e N(2; b + 5) sejam iguais.
Responda aqui
Matemática A11
Produto cartesiano
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por
B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y
pertence ao conjunto B.
AXB = {(x; y) x ∈ A e y ∈ B}
exemplo Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. Assim, podemos obter os
produtos cartesianos AXB, BXA, AXA e BXB como você pode ver a seguir.
A
B
1.
.5
AXB = {(1; 5), (1; 7), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7)}
2.
3.
.7
Figura 1 – Diagrama do produto cartesiano AXB
B
A
5.
.1
BXA = {(5; 1), (5; 2), (5; 3), (7; 1), (7; 2), (7; 3)}
.2
7.
.3
Figura – Diagrama do produto cartesiano BXA
A
A
1.
.1
2.
.2
3.
.3
AXA = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
Figura – Diagrama do produto cartesiano AXA
7
Matemática a11
B
B
5.
.5
7.
.7
BXB = {(5; 5), (5; 7), (7; 5), (7; 7)}
Figura – Diagrama do produto cartesiano BXB
Há duas maneiras de representar o produto cartesiano. Uma delas é a representação
por um diagrama, como fizemos no exemplo 2 ou por uma representação em um
plano cartesiano. Veja como fazer uma representação de AXB no plano cartesiano,
no exemplo a seguir.
exemplo Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}.
y
7
5
0
F G H
C D E
1 2 3
C (1;5)
D (2;5)
E (3;5)
F (1;7)
G (2;7)
H (3;7)
Temos AXB = {(1; 5), (2; 5), (3; 5), (1; 7),
(2; 7), (3; 7)}, como você pode observar no
gráfico 5.
x
Gráfico – Produto cartesiano AXB
8
Matemática a11
2
Praticando...
1. Complete o quadro com as coordenadas de cada um dos pontos
destacados no plano cartesiano do gráfico 6.
Ponto
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
R
T
Abscissa
Ordenada
H
T
I
C
-6
F
-3
y
7
J
5
0
D
-4
E
-7
B
R
N
T
1
P
G
A
5
8 x
L
K
M
Gráfico 6 – Pontos em um plano cartesiano
2. Construa um plano cartesiano para representar o produto cartesiano
CXD, onde C = {1, 3, 5, 7} e D = {0, 2, 4}.
Responda aqui
Matemática A11
Relação entre conjuntos
Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Em
uma relação R de A em B todo par ordenado tem a forma (a; b), tal que a ∈ A e b ∈ B.
Uma relação de A em B também é chamada de relação binária de A em B.
exemplo Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}, o conjunto {(1; 7), (2; 7),
(3; 7)} é uma relação, pois é um subconjunto do produto cartesiano AXB.
Observe que 1∈A, 2∈A, 3∈A e 7∈B.
y
7
(1;7)(2;7)(3;7)
5
0
1
x
2 3
Gráfico 7 – A relação R1 no plano cartesiano
D(R1)
Im(R1)
A
B
1.
.5
2.
3.
.7
Figura – Diagrama de R1
10
Matemática a11
Na relação R1, o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B, conjunto
de chegada ou contradomínio da relação. Os primeiros elemento de cada par ordenado
de R1 formam o domínio da relação, cuja notação é D(R1). Ou seja, D(R1) = {1; 2; 3} =
A. Na relação R1, o conjunto de partida coincide com o domínio da relação.
Os segundos elementos de cada par ordenado de R1 compõem o conjunto-imagem da
relação, cuja notação é Im (R1). Ou seja, Im(R1) = {7}.
Que tal mais um exemplo?
exemplo Considere os conjuntos C = {-2; 0; 1; 2} e D = {0; 2; 3; 4}. Construa o
diagrama da relação R2 = {(x; y) | x ∈ C e y ∈D, onde y = x2}.
1º. Passo: devemos desenhar uma linha circular para cada conjunto e inserir
seus elementos correspondentes no interior dessas linhas.
C
D
-2.
0.
.0
.2
.3
1.
2.
.4
Figura – Diagrama de R2
º. Passo: indicar com setas as correspondências entre os elementos do
domínio da relação e os do conjunto-imagem.
Observe que, na relação R2, o domínio não coincide com o conjunto de
partida. O conjunto de partida é C e o domínio de R2 é D(R2) = {– 2, 0,
2}. O conjunto de chegada (ou contradomínio) é D e o conjunto-imagem
é Im(R2) = {0, 4}.
11
Matemática a11
Praticando...
3
1. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem em cada uma
das relações R:A→B a seguir, quando:
a) A = {1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1, 2} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a – 2}
b) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a}
c) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a2}
d) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 4} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2}
e) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2 – 1}
Responda aqui
12
Matemática A11
Funções no Plano cartesiano
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 9, 10, 11, 12, 13} e a relação de A
em B descrita por R3 = {(1; 8), (2; 9), (3; 9), (4; 10)}.
Observe a representação dessa relação no diagrama (Figura 7).
A
1.
2.
3.
4.
.8
B
.9
.10
.11
.12
.13
Figura 7 – Diagrama de R3
Note que todo elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento do
conjunto B. Com essa característica especial, essa relação é chamada de função.
Toda relação de A em B, em que cada elemento do conjunto A é também elemento
do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde com um único
elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em B. Ou seja: uma relação
em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um único y em B é denominada
uma função f de A em B.
Uma das notações mais comuns para representar uma função de A em B, é: f: A→B.
Veja que nem todas as relações são funções, como você pode observar nos dois
exemplos a seguir.
exemplo Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R4 = {(1,
5), (2, 6), (3, 6), (4, 7), (1, 7)} não é uma função em AXB, pois o valor 1 do
domínio da relação está associado a dois valores distintos do contradomínio,
que são 5 e 7.
A
1.
2.
.5
B
.6
.7
3.
4.
Figura 8 – Diagrama de R4
1
Matemática a11
exemplo 7
Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R5 = {(1, 5), (2, 6), (4, 7)} não
é uma função em AXB, pois nem todos os elementos domínio da relação (o
conjunto A) estão associados a elementos do contradomínio (o conjunto B).
Veja que o valor 3 (do domínio) não tem correspondente no contradomínio.
A
1.
2.
.5
B
.6
.7
3.
4.
Figura – Diagrama de R5
São três conjuntos especiais associados à função: o domínio, o contradomínio
e o conjunto-imagem.
O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a
função deve ser definida.
O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser
relacionados a elementos do domínio.
O conjunto-imagem é o conjunto de valores que efetivamente se corresponde
com o domínio da função. O conjunto-imagem é um subconjunto do
contradomínio.
Uma função f: A→B continua sendo uma relação, por isso os conceitos de domínio
(D), contradomínio (CD) e conjunto-imagem (Im) continuam válidos. Ou seja: se R é
uma função f: A→B, temos que:
 o domínio da relação R e da função f é o mesmo conjunto A, ou seja, D(R) = D(f) = A;
 O contradomínio da relação R e da função f é o conjunto B, ou seja, CD(R) =
CD(f) = B.
Agora observe os exemplos a seguir.
1
Matemática a11
Exemplo 8
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é a
imagem de x = – 2?
O que precisamos determinar é o valor de f(– 2), ou seja, o valor da função
quando x = – 2.
Logo, basta substituir o valor de x por – 2 e calcular o valor numérico da
expressão resultante.
Assim: f (–2) = – 2 + 2 ⇒ f(– 2) = 0.
Ou seja, a imagem de –2 é 0.
Exemplo 9
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é o
elemento do domínio cuja imagem é igual a – 2?
O que se quer descobrir nessa questão é qual o valor de x que tem f(x)
igual a – 2, ou seja:
f(x) = – 2 ⇒ x + 2 = – 2 ⇒ x = – 2 – 2 ⇒ x = – 4
O valor do domínio que tem imagem –2 é x = – 4.
Exemplo 10
O aluguel de imóveis teve reajuste anual de 12%. Qual é a lei de formação
da função que calcula o novo valor após o reajuste do aluguel de imóveis?
Quanto se pagará mensalmente pelo aluguel de um apartamento cujo
contrato previa o pagamento mensal de R$ 300,00, no contrato anterior?
15
Matemática A11
Podemos calcular o valor após o reajuste multiplicando a taxa de reajuste
(12% = 0,12) pelo valor x do aluguel e somando esse produto ao valor
original x. Assim, a lei de formação da função do reajuste do aluguel é f(x)
= 0,12x + x ⇒ f(x) = 1,12x.
Calcular o novo valor do aluguel é o mesmo que calcular o valor de f(300),
ou seja, é a imagem de 300. Assim: f(300) = 1,12 X 300 = 336.
O valor a ser pago no novo contrato é R$ 336,00.
Praticando...
4
1. Determine a imagem de x = 3 na função real f (x) =
x−2
.
3
2. Qual é o elemento do domínio da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x + 3 que tem
imagem igual a – 2?
3. Na função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x – 5, determine
o valor de f
 
3 .
2
4. Considere os conjuntos A = {–3, –1, 0, 1, 3} e B = {–9, –3, 0, 1, 3, 27}.
Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função
f ={(x; y) com x ∈ A e y ∈ B y = 3x2}.
5. Certo modelo de automóvel tem depreciação anual de preço de 10%
sobre o preço de compra x. Determine a lei de formação para a função
f que calcula o valor do automóvel após depreciação do preço ao final
de t anos.
16
Matemática A11
Responda aqui
f(x)
Domínio de uma função real e outras
características
Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação – uma lei que
associa elementos do domínio da função a elementos do contradomínio da função.
Costuma-se denotar por f(x) o elemento que a função f associa ao elemento x.
 Leonhard Euler (17071783), médico, teólogo,
astrônomo e matemático
suíço, desenvolveu,
entre outros trabalhos,
a idéia de função. Foi
o responsável também
pela adoção do símbolo
f(x) para representar
uma função f de x.
17
Matemática A11
exemplo 11
A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x + 1 é a função que relaciona todo o valor
de x do domínio ao valor x + 1 no contradomínio.
ℜ
1.
2.
3.
4.
...
...
...
ℜ
.2
.3
.4
.5
...
Figura 10 – Diagrama de f(x) = x + 1
exemplo 1
A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x2 é a função que relaciona todo o valor de
x do conjunto domínio ao valor de seu quadrado (x2) no contradomínio.
ℜ
1.
2.
3.
4.
...
...
...
ℜ
.1
.4
.9
.16
...
Figura 11 – Diagrama de f(x) = x2
18
Matemática a11
Quando queremos garantir que uma relação seja função, devemos definir para essa
relação um domínio no qual sua lei de formação tenha sentido, ou seja, um domínio
no qual, através dessa lei de formação, cada um dos seus elementos tenha um único
correspondente no contradomínio.
Em geral, quando não há indicação em contrário, o domínio de uma função f é um subconjunto
de ℜ, a não ser nos casos que isso está explicitamente indicado de outra forma. Toda função
que tem como domínio um subconjunto de ℜ é chamada de função real.
É possível determinar o domínio de uma função real conhecendo apenas a lei de
formação dessa função.
Quando a variável aparece no denominador ou no radicando de um radical de índice
par, na lei de formação da função, temos que lembrar quais são as condições para que
essa lei de formação resulte em um número real.
Veja mais alguns exemplos:
Exemplo 13
Determine o domínio da função real f (x) =
x+1
.
5−x
x+1
Como na expressão
, o denominador tem que ser diferente de zero,
5−x
temos:
5 – x ≠0⇒x ≠– 5 ⇒x ≠5
x+1
Logo, o domínio da função real f (x) = 5 − x é D (f) = {x ∈ ℜ|x ≠ 5}.
Exemplo 14
Determine o domínio da função real f (x) =
√
x − 9.
√
Para que o radical x − 9 resulte em um número real, o radicando deve ser
um número não negativo, ou seja, x – 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 9
A função real f (x) =
√
x − 9 tem como domínio o conjunto:
D(f)={x ∈ℜ x ≥ 9}
19
Matemática A11
Exemplo 15
x−2
Determine o domínio da função real f (x) = √
.
x−4
√
Como o radical x − 4 encontra-se no denominador, o radicando x – 4 não
pode ser negativo nem nulo. Ou seja, x – 4 > 0 ⇒ x > 4.
x−2
Assim, D(f) = {x ∈ℜ| x > 4} é o domínio da função real f (x) = √
.
x−4
Cada função, nos exemplos a seguir, tem características distintas. As funções apresentam
a mesma lei de formação, mas o domínio não é o mesmo. Observe qual é o conjunto
imagem em cada exemplo:
Exemplo 16
A função f: ℜ→ ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta
D(f) = ℜ, CD(f) = ℜ e Im(f) = ℜ+.
Exemplo 17
A função f: [0,2] → ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta
D(f) = [0,2], CD(f) = ℜ e Im(f) = [0,4].
20
Matemática A11
Praticando...
5
1. Dada a função f: ℜ→ ℜ, tal que f(x) = 3 – x, calcule:
 
1
f
a) f(–2) b)f(–1) c) f(0) d)
2
2. Observe o gráfico da função f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B =
{–3, –2, –1, 0, 1}. Determine:
a) f(–2) b) f(–1) c) f(0) d) f(1) e) f(2) f)
2f (−2)
f (2) + f (−1)
3. Considere: f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–3, –2, –1, 0, 1}.
Qual o valor do domínio de f possui como imagem o número 4:
4. Determine os valores do domínio da função f: ℜ*→ ℜ, definida pela lei
de formaçãof (x) =
x2 + 1
que possui imagem igual a –2.
x
5. Determine o domínio de cada função real a seguir:
a) f (x) =
√
3x + 5
3x − 5
b) f (x) = 3x + 15 c)f (x) = √
4 − 2x
2 − 4x
Responda aqui
21
Matemática A11
Estudo de sinal de uma função
Sendo uma função de domínio D, dizemos que:
 f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;
 f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;
 f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.
Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse elemento x. O sinal
de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem desse elemento.
Exemplo 18
Dada a função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = 5 – x, observe
que o sinal da função para x = 0, x = 3 negativo, para x = 5 nulo e para x =
6 positivo.
Realizar o estudo do sinal de uma função é analisar para quais valores do domínio a
função é positiva, negativa ou nula. Veja o exemplo a seguir.
22
Matemática A11
Exemplo 19
Considere a função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x – 4. Determine o estudo do
sinal da função.
Para determinar para quais valores do domínio a função assume cada um
dos sinais, basta substituir a lei de formação nas seguintes expressões:
f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0.
Assim:
f(x) > 0 ⇒x – 4 > 0 ⇒ x > 4
f(x) = 0 ⇒x – 4 = 0 ⇒ x = 4
f(x) < 0 ⇒x – 4 < 0 ⇒ x < 4
Ou seja, o estudo do sinal da função é:
 f(x) > 0, quando x > 4
 f(x) = 0, quando x = 4
 f(x) < 0, quando x < 4
Praticando...
6
1. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x – 5, para
a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6
2. E
labore o estudo de sinal da função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação
f (x) =
x−3
.
2
23
Matemática A11
Responda aqui
Agora que você resolveu todas
as atividades, que tal resolver
a lista de exercícios a seguir?
24
Matemática A11
5
a) todos os números reais menores que .
3
5
b) todos os números reais maiores que .
3
1
c) todos os números reais menores que − .
2
1
d) todos os números reais maiores que − .
2
. O valor real de m para que o ponto A
ordenadas é
b) 7. c) 2.
m−7 1
;
2
2
d) -7.

pertença ao eixo das
O
1
a) − .
2

exercícios
1. Os valores reais de t para os quais o ponto P (3m – 5; 2m + 1) se localiza
no terceiro quadrante são
SÃ
. Os valores reais de t para os quais o ponto B (3t + 15; 4t 2 – 36) pertença
ao eixo das abscissas são
a) – 1 e 1. b) – 2 e 2. c) – 3 e 3.
d) – 5 e 5.
VI
8x − 12
. O domínio da função real f (x) = √
é formado por todos os
5x − 1
números reais
RE
a) maiores que 0,2. b) menores que 0,2.
c) maiores que – 0,2. d) menores que – 0,2.
. Um termômetro de parede apresenta as indicações de temperatura
conforme o quadro a seguir. A lei de formação da função que relaciona
a temperatura (em graus Celsius) e a altura da coluna de mercúrio do
termômetro é
8x − 12
a) f(x) = 8x – 5 b) f(x) = 8 – 4x c) f (x) = √
5x − 1
Temperatura em
graus Celsius
Altura da coluna
em milímetros
0
5
25
30
4
12
44
52
d) f(x) = 5x – 12
Matemática a11
Resposta
Matemática a11
Nesta aula, você aprendeu: a utilizar o Sistema de Coordenadas Cartesianas,
na localização de pontos; a representar relações entre conjuntos através de
um plano cartesiano ou em diagramas de setas; a conceituar e identificar
o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma relação entre
conjuntos; a conceituar e identificar funções, o domínio, o contradomínio e
o conjunto-imagem de uma função e analisar o sinal de uma função.
Auto-avaliação
1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
A (0; 4) B (– 6; 0)
C (0; 0) D (3; – 2)
E (5;– 3) F (– 1; 6)
G (– 2; 3) H (7; – 4)
I (5; 0)
J (0; – 6)
2. Calcule o valor real de m para que o ponto C
sobre o eixo das abscissas.

7 3 + 2m
;
5
2

se localize
3. Determine o valor real de r para o ponto D (5; 3r − 2 ) se localizar sobre
5
o eixo das ordenadas.
4. Determine os valores reais de a e de b de modo que:
(– 5; 2a + 8) = (b + 5; 2).
5. Determine a imagem de x = – 3 na função real f (x) = 2 − x .
6
6. Dada a função f: ℜ→ℜ tal que f(x) = 5 – x, calcule:
 
3f (−5)
1
a) f(– 3) b) f(0) c) f
d)
f (2) + f (−1)
2
7. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f (x) = 2 − x , para
6
a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6
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Matemática A11
Para Consulta
Sistema de Coordenadas Cartesianas
2ۼ quadrante
Eixo das ordenadas
y
II Q
IQ
1º quadrante
Eixo das abscissas x
3º quadrante
4º quadrante
III Q
IV Q
Gráfico 1 – Plano Cartesiano
Sinais das coordenadas em cada quadrante
II Q
x <0e y >0
IQ
x >0e y >0
y
R(-4;3)
P(4;3)
3
-4
S(-4;-3)
x <0e y <0
III Q
0
-3
4
x
T(4;-3)
x >0e y <0
IV Q
Gráfico 3 – Sinais das coordenadas em cada quadrante
Produto Cartesiano
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano
de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x
pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Ou seja, AXB =
{(x; y) |x ∈ A e y ∈ B}.
Relação entre conjuntos
Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano
AXB. Na relação R:A→B, o conjunto A é chamado de conjunto de partida
e o conjunto B é o conjunto de chegada ou contradomínio da relação.
Os primeiros elementos de cada par ordenado de R formam o domínio da
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Matemática A11
relação, cuja notação é D(R). Os segundos elementos de cada par ordenado
de R compõem o conjunto-imagem da relação, cuja notação é Im(R).
Funções no Plano Cartesiano
Toda relação de A em B, onde cada elemento do conjunto A é também
elemento do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde
com um único elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em
B. Ou seja: Uma relação em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto
A, a um único y em B é denominada uma função f de A em B. Notação:
f: A→B.
São três os conjuntos especiais associados à função: o domínio, o
contradomínio e o conjunto-imagem.
O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a
função deve ser definida.
O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser
relacionados a elementos do domínio.
O conjunto-imagem como o conjunto de valores que efetivamente se
correspondem com o domínio da função. O conjunto-imagem é um
subconjunto do contradomínio.
Estudo de sinal de uma função
Sendo uma função de domínio D, dizemos que:
 f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;
 f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;
 f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.
Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse
elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem
desse elemento.
29
Matemática A11
Referências
BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática: aula por aula: ensino
médio. São Paulo: FTD, 2000. p. 43-70.
DANTE, Luiz Roberto. Funções. In: DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e
aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2003. p. 30-48.
PAIVA, Manoel. A linguagem das funções. In: PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo:
Moderna, 2003. p. 56-67.
PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. Ensino médio: relações e funções.
Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/fu ncoes/
funcoes.htm>. Acesso em: 12 out. 2008.
WIKIPÉDIA. Função. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%
A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out. 2008.
Anotações
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Anotações
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Anotações
32
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