PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PROBABILIDADES

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
PROBABILIDADES
Bruno Baierle
Maurício Furigo
Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)
Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais
Revisando - Análise combinatória
Se um evento pode ocorrer de qualquer um de 𝑛1 modos e se,
quando ele ocorre, um outro evento pode realizar-se de qualquer
um de 𝑛2 modos, então o número de maneiras segundo as quais
ambos os evento podem ocorrer numa dada ordem será 𝑛1 𝑛2 .
Exemplo. Se há 2 candidatos a governador e 6 a prefeito, de
quantos modos podem ser preenchidos os dois cargos?
2 X 6 = 12 modos
Revisando – Fatorial de n
O fatorial de n, é representado por n!, sendo definido
como:
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 1.
Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Lembrando que 0! = 1
Revisando – Permutações
Uma permutação de n objetos diferentes, tomados r de
cada vez, é um arranjo de r dos n objetos, levando-se
em consideração a ordem de sua disposição.
Sendo representado por:.𝑛 𝑃𝑟 ; 𝑃 𝑛, 𝑟 ou 𝑃𝑛,𝑟 e é dado
por:
.𝒏 𝑷𝒓 =
𝒏!
𝒏−𝒓 !
Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras 10 pessoas poderão
sentar-se em um banco, se houver apenas 4 lugares?
R = 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040
O primeiro lugar pode ser preenchido de 10 maneiras, o segundo
de 9 maneiras, o terceiro de 8 maneiras e o quarto de 7 maneiras.
Revisando – Combinações
Uma combinação de n objetos diferentes, tomados r de
cada vez, é uma escolha de r dos n objetos, não se
levando em consideração a ordem de sua disposição.
𝑛
Sendo representado por: .𝑛 𝐶𝑟 ; C 𝑛, 𝑟 ; 𝐶𝑛,𝑟 ou 𝑟 e é
dado por:
.𝒏 𝑷𝒓
𝒏
=
𝒓
𝒓!
Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras uma
comissão de 5 pessoas pode ser escolhida entre
9?
𝑛
𝟗!
R=
= =
𝟓!
𝑟
9x8x7x6x5
5x4x3x2x1
= 126
Revisando – Conjuntos
Um conjunto é uma coleção de objetos, usualmente
representados por letras maiúsculas. Podendo ser por união ou
intersecção.
União
Exemplo: Definindo C como união de A e B, (denominado
algumas vezes a soma de A e B), então:
C=A∪B
Desse modo, C será formado de todos os elementos que
estejam em A, ou em B, ou em ambos.
Revisando – Conjuntos
Intersecção
Exemplo: Definindo D como a intersecção de A e B,
(denominada algumas vezes como o produto de A e B), então:
D=A∩B
Desse modo D, será formado por todos os elementos que
estão em A e em B.
Probabilidade
Definição clássica: Se um experimento aleatório tem n resultados
igualmente prováveis, e 𝑛𝐴 desses resultados pertencem a certo
evento A, então a probabilidade de ocorrência do evento A é
definida como:
𝑷 𝑨 =
𝒏𝑨
𝒏
Probabilidade
Definição experimental: Seja um experimento aleatório com
espaço amostral Ω e um evento A de interesse, onde esse
experimento é repetido n vezes e o evento A ocorreu n(A) vezes.
Então a frequência relativa do evento A é dada por:
𝒏(𝑨)
𝒇 𝑨 =
𝒏
Exemplo 1. (SPIEGEL) Se em 1.000 lances de uma moeda
resultam 529 caras, a frequência relativa das caras é de 529/1.000
= 0,529. Se em outros 1.000 lances resultam 493 caras, a
frequência relativa no total dos 2.000 lances é de (529
+ 493)/2.000 = 0,511.
De acordo com a definição estatística poder-se-á chegar cada vez
mais próximos de um número que será denominado probabilidade
de ocorrer uma cara no único lance de uma moeda, de acordo com
os resultados apresentados até agora ele será de 0,5.
Espaço Amostral
Definição: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
dado experimento. Sendo representado por S ou Ω.
Ao se estudar um número de resultados em um espaço
amostral, surgem 2 possibilidades:
 O espaço amostral será discreto quando este for finito ou
infinito numerável.
 O espaço amostral será contínuo quando este for infinito
não numerável.
Espaço Amostral Finito
Condições:
(a) 𝑝𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘
(b) 𝑝1 + 𝑝2 + … + 𝑝𝑘 = 1
Espaço Amostral Finito
Exemplo 2. (MEYER) Suponha que somente três resultados sejam
possíveis em um experimento, a saber, 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 . Além disso,
suponha que 𝑎1 seja duas vezes mais provável de ocorrer que 𝑎2 ,
o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que 𝑎3 .
Então:
𝒑𝟏 = 𝟐𝒑𝟐 e 𝒑𝟐 = 𝟐𝒑𝟑 .
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 = 𝟏
𝟒𝒑𝟑 + 𝟐𝒑𝟑 + 𝒑𝟑 = 𝟏
𝟏
𝟕
𝟐
𝟕
𝒑𝟑 = ; 𝒑𝟐 = e 𝒑𝟏 =
𝟒
𝟕
Espaço Amostral Infinito Numerável
Exemplo 3. Uma moeda ser lançada sucessivas
vezes até que ocorra uma cara (K).
Ω = { K, CK, CCK, CCCK, CCCCK, ...,}
Espaço Amostral Infinito Não Numerável
Exemplo 4. Uma lâmpada ao ser fabricada e
ensaiada, observar o seu tempo de vida.
Ω = 𝑡 ∊ 𝑅|𝑡 ≥ 0
Eventos
Definição: Um evento é um subconjunto de um espaço
amostral.
 Quando o espaço amostral for finito ou infinito numerável, todo
subconjunto poderá ser considerado um evento.
 Quando o espaço amostral for infinito não enumerável, nem
todo subconjunto poderá ser considerado um evento.
Operações entre eventos
Evento mutuamente excludentes
Definição: Dois eventos são denominados excludentes se eles
não puderem ocorrer juntos.
 Logo evento A e B serão mutuamente excludentes em:
𝑨∩𝑩=∅
Exemplo 5. (MEYER) Um dispositivo eletrônico é
ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado.
Admitindo que o espaço amostral seja { t | t ≥ 0}. Sejam
A, B e C três eventos definidos da seguinte maneira:
A = {t | t < 100}; B = { t | 50 ≤ 𝑡 ≥ 200}; C = { t | t > 150}.
Portanto:
A ∪ B = {t | t ≤ 200};
A ∩ B = {t | 50≤ t < 100};
B ∪ C = {t | t ≥ 50}; B ∩ C = { t | 150 < t ≤ 200}; A ∩ C = ∅;
A ∪ C = { t | t < 100 ou t > 150}; Ᾱ = { t | t ≥ 100}; 𝐶 = { t | t ≤ 150}.
Exemplo 6. Se E1 é o evento “extração de um às de um
baralho” e E2 é o da “extração de um rei”, logo:
P(𝐸1 ) =
4
52
=
1
13
e
P 𝐸2 =
4
52
=
1
,
13
então, a probabilidade de se extrair ou um às, ou um rei, em
um lance único é:
P(𝐸1 + 𝐸2 ) = P 𝐸1 + P 𝐸2
1
1
𝟐
=
+
=
13 13 𝟏𝟑
Propriedades
(1) 0≤ P(A) ≤ 1.
(2) P (Ω) = 1.
(3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Teoremas
Teorema 1. Se ∅ for o conjunto vazio, então P(∅) = 0
Demonstração: para qualquer evento (A), podemos
escrever A = A ∪ ∅ , uma vez que ambas são
mutuamente excludentes, e decorre da propriedade 3,
que:
𝐏 𝐀 = 𝐏 𝐀 ∪ ∅ = 𝑷 𝑨 + 𝑷(∅)
Teoremas
Teorema 2. Se Ᾱ for o evento complementar de A,
então:
𝑷 𝑨 = 𝟏 − 𝑷(Ᾱ)
Demonstração: pode-se escrever Ω = A ∪ Ᾱ e,
empregando as propriedades 2 e 3, tem-se:
𝟏 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(Ᾱ)
Teoremas
Teorema 3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então:
𝑷 𝑨∪𝑩 =𝑷 𝑨 +𝑷 𝑩 −𝑷 𝑨∩𝑩 .
Demonstração: esse teorema consiste em decompor A ∪ B e B
em dois eventos mutuamente excludentes e, em seguida, a
aplicação da Propriedade 3, logo:
𝑨∪𝑩=𝑨∪ 𝑩∩Ᾱ ,
𝑩 = 𝑨∩𝑩 ∪ 𝑩∩Ᾱ
Resulta em:
𝑷 𝑨∪𝑩 =𝑷 𝑨 +𝑷 𝑩∩Ᾱ ,
𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ
Subtraindo a segunda igualdade da primeira, têm-se:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 − 𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Teoremas
Teorema 4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer,
então:
𝑷 𝑨∪𝑩∪𝑪 =𝑷 𝑨 +𝑷 𝑩 +𝑷 𝑪 −𝑷 𝑨∩𝑩 −
𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)
Demonstração: esse teorema consiste em escrever A ∪ B ∪
C na forma (A ∪ B) ∪ C e aplicar o resultado do teorema 3.
Teoremas
Teorema 5. Se A ⊂ B, então P(A)≤ P(B)
Demonstração: pode-se decompor B em
mutuamente excludentes, da seguinte forma:
𝑩=𝑨∪ 𝑩∩Ᾱ
Portanto,
𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ ≥ 𝑷(𝑨)
Pois,
𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ ≥ 𝟎 pela propriedade 1.
dois
eventos
Probabilidade condicional
Consiste em calcular a probabilidade de ocorrência de um evento
(A) condicionada à ocorrência prévia de um evento (B). Essa
probabilidade é representada por P(A|B), ou seja, probabilidade de
A dado B.
Sendo assim, seja A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0, a
probabilidade condicional pode ser definida por:
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷 𝐀𝐁 =
𝑷(𝑩)
Probabilidade condicional
Exemplo 7. (BARBETTA, pg 103) Seja o lançamento de 2 dados
não viciados e a observação das faces voltadas para cima.
Calcule:
a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma
é menor ou igual a 5.
b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces
são iguais.
(1,1)
(2,1)
(3,1)
Ω=
(4,1)
(5,1)
(6,1)
𝐸1 = 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , (6,6)
𝐸2 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑙 𝑎 5
= 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , (4,1)
Portanto, 𝐸1 ∩ 𝐸2 = { 1,1 , 2,2 },
esquematicamente:
a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se
que a soma é menor ou igual a 5.
𝑃 𝐸1 𝐸2
2
𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2
2
36
=
=
=
= 𝟎, 𝟐
10
𝑃(𝐸2 )
10
36
b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que
as faces são iguais.
𝑃 𝐸2 𝐸1
2
𝑃 𝐸2 ∩ 𝐸1
2
36
=
=
= = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 ≡ 𝟑𝟑%
6
𝑃(𝐸1 )
6
36
Regra do produto
A regra do produto é uma consequência da probabilidade
condicional, obtida ao isolar a probabilidade da intersecção.
𝑃 𝐴𝐵 =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷 𝑩 . 𝑷(𝑨|𝑩)
ou
𝑃 𝐵𝐴 =
𝑃(𝐵∩𝐴)
𝑃(𝐴)
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷 𝑨 . 𝑷(𝑩|𝑨)
Exemplo 8. (BARBETTA, pg 105) Uma caixa contém 4 cartões
amarelos e 8 vermelhos. Retira-se ao acaso, 2 cartões um após o
outro, sem reposição. Qual a probabilidade que ambos sejam
amarelos ?
R= Chamando de 𝐴𝑖 o evento que representa cartão amarelo na
𝑖 -ésima extração, e 𝑉𝑖 , o evento que representa cartão vermelho
na 𝑖 -ésima extração (𝑖 = 1, 2), logo:
Ω=
𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴1 , 𝑉2 , 𝑉1 , 𝐴2 , (𝑉1 , 𝑉2 )
Como a probabilidade de interesse é 𝑃 (𝐴1 , 𝐴2 ) , aplicando a regra do
produto, têm-se:
𝑃 𝐴1 =
4
12
𝑃 𝐴2 |𝐴1 =
1
= existe 4 cartões amarelos dentre os 12 cartões, e
3
3
supondo que tenha sido extraído cartão amarelo na
11
1ª extração, restando 3 amarelos dentre 11 cartões, logo:
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴2 |𝐴1
1 3
1
= ∙
=
3 11 11
Eventos Independentes
Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de
um dos eventos não influencia a probabilidade de ocorrência dos
outros eventos.
Portanto 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 e 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵
logo evento independente pode ser definido como:
A e B são independentes
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷(𝑩)
Exemplo 9. (SPIEGEL), Sejam 𝐸1 e 𝐸2 os eventos “cara na quinta
jogada” e “cara na sexta jogada” de uma moeda, respectivamente.
Então 𝐸1 e 𝐸2 são eventos independentes, de modo que a
probabilidade de ocorrer cara em ambas as jogadas, quinta e
sexta, é admitindo-se que a moeda é “honesta”, logo:
𝑃 = 𝐸1 𝐸2 = 𝑃 𝐸1 . 𝑃 𝐸2
1
1
1
=
∙
=
2
2
4
Exemplo 10. (MEYER), Admita-se que dentre 6 parafusos, dois
sejam menores do que um comprimento especificado. Se dois dos
parafusos forem escolhidos ao acaso, qual será a probabilidade de
que os dois parafusos mais curtos sejam extraídos? Seja 𝐴𝑖 o
evento (o 𝑖-ésimo parafuso escolhido é curto), 𝑖 = 1, 2.
1
5
2
6
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴2 𝐴1 𝑃 𝐴1 = ∙ =
1
15
Teorema da Probabilidade Total
Seja 𝐸1 , 𝐸2 , 𝐸3 , … , 𝐸𝑛 eventos que constituem uma
partição do espaço amostral Ω , então:
a) 𝐸1 ∩ 𝐸𝑗 = ∅ para todo 𝑖 ≠ 𝑗
b) 𝑃(𝐸𝑖 ) > 0, para 𝑖 = 1, 2, 3, … 𝑘
c) 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ … ∪ 𝐸𝑘 = Ω
Teorema da Probabilidade Total
Pela regra do produto têm-se a equação do
teorema da probabilidade total.
𝒌
𝑷 𝑭 =
𝑷 𝑬 𝒊 ∙ 𝑷(𝑭|𝑬𝒊 )
𝒊=𝟏
Exemplo 11. As máquinas A e B são responsáveis por 70% e 30%,
respectivamente, da produção de uma empresa. A máquina A produz
2% de peças defeituosas e a máquina B produz 8% de peças
defeituosas. Calcule o percentual de peças defeituosas na produção
desta empresa.
Solução:
P(A) = 70%; P(B) 30%; P(D|A) = 2%; P(D|B) = 8%
P D = P D A .P A + P D B .P B
Teorema da Probabilidade Total
P D = 0,02.0,70 + 0,08.0,030 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖 ≡ 𝟑, 𝟖%
Exemplo 12. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho.
A probabilidade de que consiga resolver a questão sem necessidade de
uma pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que
consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade de o aluno fazer
a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a
questão.
Solução
P(Sucesso | sem pesquisa) = 40%;
P(Fracasso | sem pesquisa) = 60%;
P(Sucesso | com pesquisa) = 70%;
P(Fracasso | com pesquisa) = 30%;
P(com pesquisa) = 80%;
P(sem pesquisa) = 20%
P sucesso = P sucesso ∩ sem pesquisa + P sucesso ∩ com pesquisa =
P(sucesso | sem pesquisa). P(sem pesquisa) + P(sucesso |sem
pesquisa). P(sem pesquisa)
Teorema da Probabilidade Total
P D = 0,40 ∙ 0,20 + 0,70 ∙ 0,08 = 0,08 + 0,56 = 𝟎, 𝟔𝟒 ≡ 𝟔𝟒%
Teorema de Bayes
Considere eventos 𝐸1 mutuamente excludentes e um evento F qualquer
cuja união representa o espaço amostral Ω, isto é, um dos eventos
necessariamente deve ocorrer.
Ou seja, o Teorema de Bayes permite obter a probabilidade de que um
dos eventos 𝐸𝑖 ocorra, sabendo-se que o evento F ocorreu.
Portanto,
𝑷 𝑬𝒊 ∙ 𝑷(𝑭|𝑬𝒊 )
𝐏(𝑬𝒊 |𝑭) =
𝑷(𝑭)
Teorema de Bayes
Exemplo 13. As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40%,
respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de peças
defeituosas na produção destas máquinas valem 3% e 7% respectivamente.
Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção desta empresa, qual é a
probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B?
Solução
A: peça produzida por A
B: peça produzido por B
d: peça defeituosa
P(d|A) = 3% = 0,03
P(d|B) = 7% = 0,07
P(A) = 60% = 0,60
P(B) = 40% = 0,40
O exercício pede a probabilidade P(B | d).
Pelo Teorema de Bayes,
P d|B . P(B)
P(B|d) =
P d A ∙ P A + P d B ∙ P(B)
0,07 ∙ 0,4P B
P Bd =
= 0,6087 ≡ 𝟔𝟎, 𝟖𝟕%
0,03 ∙ 0,6 + 0,07 ∙ 0,4
Teorema de Bayes
Exemplo 14. (MEYER), Uma determinada peça é manufaturada por três
fábricas (1, 2, 3). Sabe-se que a peça 1 produz o dobro de peças que 2, e
2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das
peças produzidas por 1 e por 2 são defeituosas, enquanto 4% daquelas
produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças produzidas são
colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída ao acaso. Qual
é a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica 1?
Pelo Teorema de Bayes
P(Bi |A) =
P A|Bi ∙P(Bi )
k P A B P(B )
j
j
i=1
i = 1, 2, … , k
0,02 ∙ 1 2
P Bi A =
= 0,40 ≡ 𝟒𝟎%
1
1
1
0,02 ∙
4 + 0,04 ∙
4
2 + 0,02 ∙
Referências
SPIEGEL, M. R. Estatística.3ª Edição. São Paulo -SP, 2006.
BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para
Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São
Paulo - SP, 2010.
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição.
LTC. Rio de Janeiro – RJ, 2012.
Bertolo, L.A. Probabilidades, Teorema da Probabilidade Total e
Teorema de Bayes. IMES- Catanduva. Disponível em:
<http://www.bertolo.pro.br/AdminFin/AnalInvest/Aula040912Revisa
o.pdf>. Acesso em Outubro de 2013.