Variáveis aleatórias discretas

Escola Politécnica de Pernambuco
Departamento de Ensino Básico
Capítulo 3
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Prof. Sérgio Mário Lins Galdino
http://epoli.pbworks.com/
Bibliografia
Bibliografia :
•Spiegel, M., Schiller, J & Srinivasan, A.
Probability and Statistics. Crash Course, Mc
Graw-Hill , 2001
•Spiegel, M. Probabilidade e Estatística. Mc
Graw-Hill,1993.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
• Supondo que cada ponto do espaço amostral se
atribua um número. Nós então temos uma função
definida sobre o espaço amostral.
• Esta função é chamada de variável aleatória, ou
mais precisamente, função variável aleatória.
Representada por uma letra maiúscula X,Y, ...
Variáveis aleatórias discretas
• EXEMPLO 3.1. Suponha que uma moeda é lançada duas
vezes. Dado X representando o número de caras que
aparecem. Com cada ponto de amostra nós podemos
associar um número para X (Ca=Cara, Co=Coroa).
• Vê-se que X é uma variável aleatória.
Ponto amostral
(Ca, Ca)
(Ca, Co)
(Ca, Co)
(Co, Co)
X
2
1
1
0
Distribuição discreta de probabilidade
Seja X uma variável aleatória discreta, sejam x1, x2, x3... os valores
que ela pode tomar, e supondo ainda atribuidas a esses valores
probabilidades dadas por
P(X=xk) = f(xk)
k= 1, 2...
(1)
É conveniente introduzir a função de probabilidade dada por,
P(X = x) = f(x)
De modo geral, f(x) é uma função de probabilidade se
1.
f(x)  0
2. f(x)  1
(2)
Conceito de Probabilidade
EXEMPLO 3.2. Determine a função de probabilidade correspondente à
variável aletória do exemplo 3.1.
Supondo a moeda “honesta”, temos
P(CaCa)= ¼
P(CaCo)= ¼
P(CoCa)= ¼
P(CoCo)= ¼
Então,
P(X=0) = P(CaCa) = ¼
P(X=1) = P(CaCo U CoCa) = P(CaCo)+P(CoCa) = ¼+ ¼ = ½
P(X=2) = P(CoCo) = ¼
x
f(x)
0
¼
1
½
2
¼
Funções de distribuição para variáveis
aleatórias discretas
A função de distribuição de uma variável aleatória X é definida
como
P(X ≤ x) = F(x)
(3)
onde x é um número real, -∞< x < ∞. Pode-se obter a função
distribuição a partir da função de probabilidade observando que
F ( x)  P( X  x)   f (u )
u x
(4)
Funções de distribuição para
variáveis aleatórias discretas
A função de probabilidade pode ser obtida a partir da função de
distribuição.
Se X toma um número finito de valores x1, x2,..., xn, então a função
de distribuição é dada por
F(x) =
0
-∞< x < x
f(x1)
x1≤ x <x2
x2 ≤ x <x3
f(x1)+f(x2)
.
.
.
f(x1)+…+f(xn)
xn ≤ x< ∞
(5)
Funções de distribuição para variáveis
aleatórias discretas
EXEMPLO 3.3. Determine a função de
distribuição da variável aletória do exemplo 3.2.
F(x) =
0
¼
¾
1
-∞< x < 0
0≤ x < 1
1≤ x < 2
2≤ x< ∞
Valores Esperados
Se X é uma varivel contínua a probabilidade de X tomar
um determinado valor é, em geral, zero. Notemos então
que o que tem sentido é falar da probabilidade de X
estar entre dois valores diferentes.
Isso nos leva a postular a existência de f(x) tal que
1. f(x) ≥ 0
2. ∫ f(x)dx = 1
onde 2 é a afirmativa matemática de queuma variável
deve estar compreendida entre - ∞ e ∞.
Alguns teoremas importantes

Teorema 6:
Sendo A e B dois eventos quaisquer, então:
P(A  B)  P(A)  P(B) – P(A  B)

Teorema 7:
Para dois eventos A e B quaisquer:
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B')
Alguns teoremas importantes

Teorema 8: Se A deve resultar em um dos eventos
excludentes A1, A2, … An , então:
P(A) = P(A ∩ A1) + P(A ∩ A2)+... + P(A ∩ An)
Atribuições de Probabilidade



Dado um espaço amostral composto por tais eventos
elementares A1, A2, ..., An. Então P(A1 ) + P(A2) +...
+P(An) = 1
Se admitirmos probabilidade igual para todos os
eventos podemos representar da seguinte forma:
P(Ak) = 1 / n , k = (1, 2,..., n)
Se A for formado por h desses eventos, então:
P(A) = h/n
Probabilidade Condicional
• Considerando A e B serem dois eventos tal
que P(A) > 0.
• Denote P(B | A) ser a probabilidade da
ocorrência de B, na hipótese de A ter
ocorrido.
• Como A ocorreu, A passa a ser o novo espaço
amostral. O que leva à definição:
P(A  B)
P(B | A) 
P(A)
Teoremas Sobre Probabilidade
Condicional
• Teorema 1:
Para três eventos quaisquer A1, A2, A3:
P(A1∩A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3| A1 ∩A2)
• Teorema 2:
Se um experimento A deve ter como resultado
um dos eventos mutuamente excludentes A1, A2, ...,
An então:
P(A) = P(A1)P(A | A1)+P(A2)P(A | A2)+...+P(An)P(A | An)
Eventos Independentes
• Se a probabilidade de ocorrência de B não é
afetada pela ocorrência de A, dizemos que A e
B são eventos independentes
P(A  B)  P(A)  P(B)
Teorema (ou regra) de Bayes
• Sejam A1, A2, ... An eventos mutuamente
excludentes, onde um dos eventos deve
ocorrer. Então, se A é um evento, temos:
P(A k )P(A | A k )
P(A k | A) 
 P(A j )P(A | A j )
Análise Combinatória
• Método de contagem usado para calcular o
número de possibilidades existentes em
problemas de grande espaço amostral.
Princípio fundamental da contagem
•
Se determinado acontecimento ocorre em n
etapas diferentes, e se a primeira etapa pode
ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda
de k2 maneiras diferentes, e assim
sucessivamente, então o número total T de
maneiras de ocorrer o acontecimento é dado
por:
T  k1  k 2  k 3    k n
Arranjos Simples (Permutações)
Arranjos simples são agrupamentos de
elementos distintos, que a ordem faz a
diferença, por exemplo, os números de três
algarismos formados pelos elementos {1,2 e
3} são:
n!
•
P
n r
–
–
(n – r)!
Como no exemplo a ordem r = n ( 0! = 1)
3!
Logo:
6
3 P3 
(3 – 3)!
{ 312, 321, 132, 123, 213, 231 }
Combinação simples
•
Quando a ordem não importa, mas cada elemento
pode ser contado apenas uma vez (Exemplo: 123 =
321 = 132 = 213 ...)
n
n!
   n C r 
r! (n - r)!
r
•
O número de combinações costuma-se designar o
coeficiente binomial pelo fato de aparecerem no
desenvolvimento binomial
Coeficientes Binomias
Os números da formula de cominações são frequentemente
chamados de coeficientes binomiais porque eles surgem na
expansão binomial
 n  n 1  n  n 1 2
 n n
( x  y )  x    x y    x y      y
1
 2
 n
n
n
Aproximação de Stirling para n!
• Quando n é grande demais, n! pode ser
calculado com uma boa precisão usando a
aproximação de Stirling:
n! 2    n  n e
n n