Métodos Matemáticos para Engenharia

Métodos Matemáticos para
Engenharia
Transformada de Laplace
Docentes:
> Prof. Fabiano Araujo Soares, Dr.
Introdução
• Muitos parâmetros em nosso universo interagem
através de equações diferenciais;
• Por exemplo, a voltagem entre os terminais de
um indutor é proporcional à derivada da corrente
que passa por esse componente;
• A resposta em frequência e ao impulso desses
sistemas devem ser consistentes com as
soluções dessas equações;
• Consequentemente, a resposta ao impulso
desses sistemas devem consistir apenas de
exponenciais e senóides (autofunções);
Introdução
• A Transformada de Laplace é a técnica
para analisar esses sistemas onde os
sinais são contínuos;
• A Transformada-Z é uma técnica similar
a Transformada de Laplace usada para
casos onde os sinais são discretos;
A Transformada de Laplace
• A Transformada de Laplace transforma um
sinal no domínio do tempo em um sinal no
domínio-s, também chamado de plano-s;
• O domínio-s é um plano complexo:
•
•
Números reais são dispostos ao longo do eixo
horizontal;
Números imaginários são dispostos ao longo do
eixo vertical;
A Transformada de Laplace
• A distância ao longo do eixo real é
expressada pela variável σ;
• A distância no eixo imaginário é
expressada pela variável ω;
• A notação complexa para cada posição no
domínio-s é denotada pela variável s,
onde:
s = jω + σ
Números Complexos
• Lembrando que, como todos os números
complexos, as partes reais e imaginárias
podem ser expressas em magnitude e
fase;
• Ou seja, se temos uma variável complexa
A, sua coordenada polar será:
M=
(Re A) + (Im A)
2
 Im A 
θ = arctan 
 Re A 
2
Números Complexos
• E convertendo a coordenada polar para
retangular temos:
Re A = M cos(θ )
Im A = M sin (θ )
• E temos então:
a + jb = M (cos(θ ) + j sin (θ ))
Retangular
Polar
Números Complexos
• Finalmente, utilizando a fórmula de Euler:
e = cos( x ) + j sin ( x )
jx
• Chegamos a:
a + jb = Me
jθ
A Transformada de Laplace
• Retornando então a transformada de
Laplace, temos que, para fazer uma
transformação no domínio do tempo para
o domínio-s, procedemos da seguinte
forma:
A Transformada de Laplace
1. Representamos uma função x(t) no
domínio do tempo;
A Transformada de Laplace
2. Multiplicamos a função x(t) por infinitas
curvas exponenciais, cada uma com uma
constante σ diferente;
x(t )e
Para -∞<σ<∞
−σt
A Transformada de Laplace
3. Fazemos a transformada de Fourier
complexa
para
cada
função
exponencialmente ponderada no domínio
do tempo;
A Transformada de Laplace
4. Organizamos cada espectro ao longo de
uma linha vertical no plano-s. As
frequências positivas na metade superior
e as frequências negativas na metade
inferior;
A Transformada de Laplace
• Matematicamente temos o seguinte:
• A transformada de Fourier é definida por:
∞
X (ω ) =
− jω t
(
)
x
t
e
dt
∫
−∞
A Transformada de Laplace
• Podemos expandir a transformada de
Fourier para a transformada de Laplace
fazendo:
∞
X (σ , ω ) =
∫ [x(t )e ]e
−σt
−∞
− jω t
dt
A Transformada de Laplace
• E que pode ser reescrita na forma
abreviada:
∞
X (s ) =
∫ x(t )e
−∞
− st
dt
A Transformada de Laplace
• Vamos analisar três pares de pontos
complexos no plano-s:
A Transformada de Laplace
• Se o sistema que estamos investigando é
estável a amplitude da resposta ao
impulso vai diminuir a medida que o
tempo aumenta até chegar ao valor de
zero em t=+∞;
• Por outro lado, se o sistema é instável
mesmo o menor distúrbio no sistema
gerará uma resposta infinita;
A Transformada de Laplace
• A transformada de Laplace sonda o domínio
do tempo para identificar as suas
propriedades chaves:
1. A frequência das senóides (como em Fourier);
2. A constantes das exponenciais de decaimento;
• A resposta ao impulso é sondada quando
multiplicamos o impulso por essas formas de
onda e depois integramos de t= -∞ a t=+∞;
A Transformada de Laplace
•
•
O objetivo da transformada de Laplace é então
encontrar combinações de σ e ω que cancelem a
resposta ao impulso;
Esse cancelamento pode ocorrer de duas formas:
1. A área sob a curva deve ser zero;
2. A área sob a curva deve tender a infinito (ser
“apenas exatamente” infinita);
•
Todos os outros resultados devem ser ignorados;
A Transformada de Laplace
• Pontos
no
plano-s
que
produzem
cancelamentos em zero são chamados de
zeros do sistema;
• Pontos que produzem respostas que tendem
ao infinito são chamados de polos;
• Um exemplo mostrará como isso funciona:
Considere uma função analógica que
produza a seguinte resposta no plano-s;
A Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace
• Vamos sondar esse plano-s em 5 pares
de posições:
A Transformada de Laplace
• Vamos começar analisando os pontos a
e a’:
A Transformada de Laplace
• Vamos analisar agora os pontos b e b’:
A Transformada de Laplace
• Analisando os pontos c e c’:
A Transformada de Laplace
• Analisando os pontos d e d’:
A Transformada de Laplace
• Analisando os pontos e e e’:
Polos
Vamos observar o que ocorre com a resposta
em frequência de H(s) conforme modificamos a
posição dos polos;
Resposta em Frequência vs. Polos
Comportamento em função de ξ
Domínio da frequência:
Comportamento em função de ξ
Domínio do tempo:
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