Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace de

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO
COORDENAÇÃO ACADÊMICA
EletroEletronica
Analise sistemas LCIT usando
a Transformada de Laplace
Prof. Luis S. B. Marques
A frequência complexa
A variável complexa s é dada por:
Resposta para função exponencial com sigma maior e menor que zero
A Parte real ou frequência neperiana fornece informação
a respeito da taxa de crescimento ou decrecimento da
amplitude da função exponencial:
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A frequência complexa
A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para
a função exponencial:
1
0.8
Resposta para sigma a zero
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A frequência complexa
A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para
a função exponencial:
3
Resposta para sigma maior que zero
2
1
0
-1
-2
-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A frequência complexa
A Parte imaginária indica a frequência de oscilação para
a função exponencial:
3
Resposta para sigma menor que zero
2
1
0
-1
-2
-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A transformada de Laplace
A Transformada de Laplace é bastante utilizada para a
análise de transitórios no domínio do tempo, pois
permite que se leve em conta as condições iniciais do
sistema
A Transformada de Laplace de um sinal x(t) do domínio
do tempo para o domínio da frequência é definida por:
A transformada de Laplace
Exercício: Para um sinal x(t) dado determine a sua
transformada de laplace.
A transformada de Laplace
Propriedades da transformada de
Laplace
A transformada Inversa de Laplace
Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace
de:
Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace
de:
Exercício: Determine a transformada inversa de Laplace
de:
Solução de equação diferencial
usando Laplace
Exercício: Resolva a equação diferencial abaixo:
Função de transferência
A função de transferência de um sistema é definida como
a relação entre a transformada de Laplace do sinal de
saída e a transformada de Laplace do sinal de entrada
Diagrama de blocos
Estabilidade
Considerando que P(s) e Q(s) não possuem fatores em
comum implica em dizer que o denominador de H(s) é
idêntico a Q(s). Assim sendo, pode-se determinar a
estabilidade assintótica:
1.Um sistema LCIT é assintoticamente estável se e
somente se todos os polos da função de transferência
H(s) estiverem no SPE. Os polos podem ser simples ou
repetidos.
Estabilidade
2. Um sistema LCIT é instável se e somente se uma das
condições existirem: (i)ao menos um polo da função de
H(s) estiver no SPD; (ii) existirem polos repetidos de H(s)
no eixo imaginário.
3.Um sistema LCIT é marginalmente estável se e somente
se não existirem polos de H(s) no SPD e alguns polos não
repetidos estiverem no eixo imaginário.
A localização dos zeros de H(s) não são importantes na
determinação da estabilidade do sistema.
Exercício: Determine a corrente i(t) no circuito abaixo,
transformando o circuito para o domínio da frequência, se
todas as condições iniciais forem nulas. Use Laplace e
transformada inversa de Laplace.
Sistema massa-mola
adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
2a lei de newton:
Sistema massa-mola
adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
Sistema massa-mola
adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
Sistema massa-mola-amortecedor
adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
2a lei de newton:
C
Sistema massa-mola-amortecedor
adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
Sistema massa-mola-amortecedor
adotando a coordenada a partir da posição de equilíbrio estático
Geradores de condições iniciais
A corrente inicial no indutor e a tensão inicial no
capacitor antes da abertura da chave é igual a:
Geradores de condições iniciais
Diagrama de blocos
Diagrama de blocos de um
Sistema simples com uma entrada e uma saída
Diagrama de Blocos
Sistema composto de subsistemas conectados em série ou paralelo
Sistemas com realimentação
Análise de sistemas de controle
A figura acima representa um sistema de controle
automático de posição
Análise de sistemas de controle
Análise utilizando simulink
Análise de sistemas de controle
O Ganho do amplificador igual a 7 fornece uma resposta
lenta, característica de um sistema superamortecido.
Análise utilizando simulink
Análise de sistemas de controle
O Ganho do amplificador igual a 16 fornece a resposta mais
rápida sem oscilações, sistema com amortecimento crítico.
Análise utilizando simulink
Análise de sistemas de controle
O Ganho do amplificador igual a 80 fornece a resposta
rápida e oscilatória, sistema subamortecimento.
Resposta em frequência
Refere-se às características de respostas de um sistema
quando as entradas são senóides de várias frequências,
variando de 0 até ∞.
H(s)
A amplitude da resposta é igual à amplitude da entrada
multiplicada por
, e a fase deslocada por
em relação a fase de entrada.
Ganho de amplitude
do sistema
Resposta em frequência
Exemplo:
Se x(t)=5cos(10t+50)
Resposta em frequência
Usando Matlab
Exercício :Determine a resposta em frequência para um
atrasador ideal de T segundos
Exercício :Determine a resposta em frequência para um
derivador ideal.
Exercício :Determine a resposta em frequência para um
integrador ideal.
Exercício E4.14:Determine a resposta de um sistema LCIT
especificado pela equação diferencial abaixo para uma
entrada x(t).
Exercício :Obtenha o diagrama de bode para a seguinte
função de transferência:
Dependência da Resposta em Frequência
com os polos e zeros de H(s)
A resposta em frequência de um sistema é basicamente a informação sobre
a capacidade de filtragem do sistema
A função de transferência do sistema pode ser descrita por:
Z1 , Z2 , ..., ZN São os zeros de H(s)
λ1 , λ2 , ..., λN São os polos de H(s)
Dependência da Resposta em Frequência
com os polos e zeros de H(s)
O Valor para a função de transferência para uma determinada frequência s=p
O Fator p-zi é um número complexo representado por um vetor desenhado do
ponto z ao ponto p.
Dependência da Resposta em Frequência
com os polos e zeros de H(s)
Considere o tamanho deste vetor igual a ri e considere o seu ângulo igual a Φi
Então p-zi = riejΦi.
Similarmente, o vetor p-λi = diejΦi
Dependência da Resposta em Frequência
com os polos e zeros de H(s)
Aumento do Ganho
com um polo
Considere o caso de um único polo. Conectando o polo ao ponto p=jω temse que a distância do polo ao ponto p é igual a d. Dessa forma a amplitude de
H(s) é proporcional a 1/d.
Quando ω aumenta a partir de zero, d
diminui progressivamente até que ω
atinge ωo.
Quando ω aumenta progressivamente
além de ωo, d aumenta
progressivamente.
De acordo com a equação acima a
amplitude aumenta para 0≤ω≤ωo. A
amplitude diminui para ωo≤ω.
Aumento do Ganho
com um polo
Um polo em -α+jω0 resulta em um comportamento seletivo em frequência que
aumenta 0 ganho na frequência ω0.
Além disso, quando o polo se move mais para perto do eixo imaginário
(quando α é reduzido) este aumento se torna mais pronunciado.+jω0 resulta
em um comportamento seletivo em frequência que aumenta 0 ganho na
frequência ω0.
Redução do Ganho
com um zero
Considere agora o efeito do zero em relação à amplitude.
Um zero em -α+jω0 diminui o ganho de amplitude para esta
frequência.
Redução do Ganho
com um zero
Um zero no eixo imaginário em jω0 irá suprimir totalmente o ganho
(ganho zero) na frequência ω0 .
A colocação de um polo e um zero muito próximos tenderá a cancelar o
efeito um do outro na resposta em frequência.
A colocação adequada de polos e zeros pode resultar em uma gama de
comportamentos seletivos em frequência.
Assim é possível utilizar esta característica para projetar filtros passabaixas, passa-altas, passa-faixa e rejeita faixa.
Filtros passa-baixas
Um típico filtro passa-baixas possui um ganho máximo para ω=0.
Como um polo aumenta o ganho nas frequências em sua vizinhança,
coloca-se um polo (ou polos) no eixo real como mostrado na figura.
Exemplo de Filtro passa-baixas
Filtros passa-faixa
No filtro passa-faixa o ganho é aumentado em toda a banda passante.
Filtros passa-faixa
A frequência central ou frequência de ressonância ω0 é aquela para a qual as
reatâncias são iguais e se anulam, ou seja, o circuito possui função de
transferência puramente real.
Filtros passa-faixa
As frequências de corte superior e inferior podem ser calculadas de acordo
com as equações abaixo.
Fator de Qualidade
Exemplo de Filtro passa-faixa
syms L R
wo=1000;
c=10^-6;
eqn = wo==(L*c)^-0.5;
solL = vpasolve(eqn,L)
beta=400;
R=1/(c*beta)
Filtros passa-altas
Exemplo de Filtro passa-altas