Probabilidade Parte 1

Probabilidade
Parte 1
Caique Tavares
Probabilidade:
A teoria das probabilidades é um ramo da
Matemática que cria, elabora e pesquisa
modelos para estudar experimentos ou
fenômenos aleatórios.
Principais
assuntos
abordados
em
probabilidade:
• Porcentagens;
• Conjuntos;
• Análise Combinatória.
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Espaço Amostral:
Espaço amostral: é o conjunto formado por
todos os resultados possíveis de um
determinado experimento ou fenômeno.
No experimento aleatório “lançar um dado e
registrar o seu resultado”, temos:
• espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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Evento:
Evento: é qualquer subconjunto do espaço
amostral.
Quando um evento coincide com o espaço
amostral, ele é chamado evento certo.
Quando um evento é vazio, ele é chamado
evento impossível. E quando a intersecção de
dois eventos é o conjunto vazio, eles são
chamados eventos mutuamente exclusivos.
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Evento:
No experimento aleatório “lançar um dado e
registrar o seu resultado”, temos:
• espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
• A: “ocorrência de um número menor que
7”→ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (evento certo);
• B: “ocorrência de um número maior que
6” → B = Ø (evento impossível);
• C: “ocorrência de número par” → C = {2,
4, 6};
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Evento
• D: “ocorrência de múltiplo de 3 ” → D = {3,
6};
• E: “ocorrência de número par ou
ocorrência de múltiplo de 3” → E = C  D
= {2, 4, 6}  {3, 6} = {2, 3, 4, 6} (união);
• F: “ocorrência de número par e ocorrência
de múltiplo de 3” → E = C  D =
{2, 4, 6}  {3, 6} = {6} (intersecção).
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Exercício 1:
No lançamento simultâneo de duas moedas
distinguíveis, defina o espaço amostral e os
eventos A: ocorrência de exatamente uma
cara; B: ocorrência de coroa em ambas; C:
ocorrência de pelo menos uma cara.
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Exercício 1:
Resolução:
• espaço amostral: Ω = {cara, cara; cara,
coroa; coroa, coroa; coroa, cara};
• evento A: A = {cara, coroa; coroa, cara}
• evento B: B = {coroa, coroa};
• evento C: C = {cara, cara; cara, coroa;
coroa, cara}.
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Exercício 2:
Defina o espaço amostral do experimento
“retirar uma carta, ao acaso, de um baralho
de 52 cartas” e os eventos A: ocorrência de
ás; B: ocorrência de ás de ouros; C:
ocorrência do número 2.
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Exercício 2:
Resolução:
• espaço amostral: 52(total de cartas);
• evento A: 4 “áses” (paus, espadas, ouros
e copas);
• evento B: 1 “ás de ouros”;
• evento C: 4 “números 2” (paus, espadas,
ouros e copas).
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Cálculos de Probabilidades
p(A) =
número de elementos de A
números de elementos de Ω
=
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
ou
p(A) =
número de 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
números 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝ó𝑠𝑠𝑖𝑣𝑒𝑖𝑠
0 ≤ p(A) ≤ 1
Quando p(A) = 0, A é um evento impossível
Quando p(A) = 1, A é um evento certo
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Exercício 3:
No lançamento de um dado perfeito, qual é
a probabilidade de sair número maior do
que 4?
a) 66%
b) 50%
c) 33%
d) 100%
e) Não existe essa probabilidade
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Exercício 3:
Resolução:
Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
n(Ω) = 6;
A: “ocorrência de número maior do que 4”
→ A = {5, 6}  n(A) = 2;
n(A) 2 1
Logo, p(A) =
= = = 33,333... %.
n(Ω) 6 3
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Exercício 4:
Um casal planeja ter exatamente 3 crianças.
Qual é a probabilidade de que todas as
crianças sejam do mesmo sexo?
a)
b)
c)
d)
e)
75,00%
12,50%
50,00%
37,50%
25,00%
Dica: Para resolver essa
questão é interessante
desenhar um diagrama
de árvore para mostrar
todos
os
possíveis
arranjos de meninos e
meninas.
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Exercício 4:
Resolução:
X
X
Y
X
X
Y
Y
X
X
Y
Y
X
Y
Y
• X: menino
• Y: menina
Ω = {(X, X, X), (X, X, Y),
(X, Y, X), (X, Y, Y), (Y, X, X),
(Y, X, Y), (Y, Y, X), (Y, Y, Y)}
A: “sejam do mesmo sexo”
A = {(X, X, X), (Y, Y, Y)} 
2
n(A) = 2  p(A) = = 0,25
8
p(A) = 25%
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Exercício 5 :
Numa enquete foram entrevistados 80
pessoas sobre os meios de transporte que
utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola.
Quarenta e duas responderam ônibus, 28
responderam carro e 30 responderam moto.
Doze utilizavam-se de ônibus e carro,14 de
carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco
utilizavam-se dos três: carro, moto e ônibus.
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Exercício 5 :
Qual é a probabilidade de que uma dessas
pessoas, selecionadas ao acaso, utilize
somente ônibus?
a)
b)
c)
d)
e)
27,50%
21,25%
08,75%
52,50%
21,25%
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Exercício 5 :
Note, que a questão
Transporte
Entrevistados
não restringe cada
A
ônibus
42
opção de transporte.
B
carro
28
Portanto o conjunto
C
moto
30
dos eventos A, B e C
D
ônibus e carro
12
E
carro e moto
14
não possuem apenas
F
ônibus e moto
18
pessoas que utilizam
G
carro, ônibus e carro
5
apenas um transporte,
Dica: Para resolver essa como também D, E e F
questão é interessante não possuem pessoas
que utilizam apenas
desenhar um diagrama.
dois transportes .
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Exercício 5 :
Resolução:
A
D
17
Diagrama →
7
7
F
13 5
G
3
C
9
B
E
X: “somente ônibus” → X = A – (D – G) – (F – G) –G
17
= 42 – 13 – 7 – 5 = 17  n(X) = 17  p(X) =
=
80
0,2125  p(X) = 21,25%.
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