probabilidade

FACULDADE DE ALAGOAS
Curso :
ADMINISTRAÇÃO
Disciplina:
ESTATÍSTICA
Professor: FERNANDO CHAGAS
PROBABILIDADE
Se consultarmos um dicionário da Língua Portuguesa, para pesquisar o vocábulo “PROBABILIDADE”,
encontraremos algo como: Qualidade do que é provável; possibilidade de que certo fato venha a ocorrer.
No estudo da Matemática, a PROBABILIDADE é exatamente a área que trata da análise dos fenômenos
aleatórios, isto é, daqueles que não são previsíveis, ainda que se faça uma grande quantidade de
repetições.
Por exemplo, ao jogarmos uma moeda ao ar, há duas possibilidades de sua face voltada para cima, quando
ela retornar ao solo: cara ou coroa. Mesmo que a joguemos três vezes seguidas e tenha caído com a face
“cara” voltada para cima, não significa que na quarta jogada voltará a ter a mesma face visível.
ESPAÇO AMOSTRAL
Quando realizamos um experimento, denomina-se Espaço Amostral todos os resultados possíveis de
acontecer. No exemplo da moeda, o Espaço Amostral é o conjunto formado pelos resultados “cara” e
“coroa”.
Vamos representar esse Espaço Amostral por S. Assim, no caso da moeda temos S = {Ca, Co}, onde
Ca=Cara e Co=Coroa.
Se jogarmos um dado sobre uma mesa, os resultados possíveis da face superior são: 1,2,3,4,5 ou 6. Assim,
temos S = {1,2,3,4,5,6}.
Se jogarmos, ao mesmo tempo, dois dados sobre a mesa, o Espaço Amostral será:
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Haverá, portanto, 36 possibilidades de resultados. Veja que a possibilidade (1,2) e (2,1), por exemplo,
embora apresentem os mesmos números, têm ordens diferentes, considerando-se que a 1ª posição é de um
dos dados e a 2ª posição é do outro dado.
EVENTO
Denomina-se EVENTO, qualquer subconjunto do ESPAÇO AMOSTRAL de um fenômeno aleatório. Vamos
representar um evento por E.
Como o Evento é um subconjunto do Espaço Amostral, temos que E  S ( o Evento está contido no
Espaço Amostral).
Se E = S, esse Evento é denominado de EVENTO CERTO. Por exemplo: joga-se um dado sobre uma mesa.
O Evento de sair uma face voltada para cima com um número menor ou igual a 6 é um EVENTO CERTO.
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Se E = Ф, esse Evento é denominado de EVENTO IMPOSSÍVEL. Por exemplo: joga-se um dado sobre uma
mesa. O Evento de sair uma face voltada para cima com um número maior que 6 é um Evento Impossível.
Exemplos de Espaço Amostral e Evento:
Experimento aleatório: Joga-se um dado sobre uma mesa
a) Evento: Sair um número PAR
Temos: S={1,2,3,4,5,6} e E={2,4,6}
b) Evento: Sair um número múltiplo de 3
Temos S={1,2,3,4,5,6} e E={3,6}
c) Evento: Sair o número 8
Temos S = {1,2,3,4,5,6} e E = Ф
d) Evento: Sair um número menor ou igual a 6
Temos S = {1,2,3,4,5,6} e E={1,2,3,4,5,6}
PROBABILIDADE
n(E)
A probabilidade de um Evento E acontecer é o número real P(E) tal que P(E)n(S), onde n(E) é o
número de elementos de E e n(S) é o número de elementos de S.
Nos exemplos anteriores, teríamos:
n
(
E
) 3
(
E
)

0
,
5
a) Sair um número PAR  P
que corresponde a 50%
n
(
S
) 6
n
(
E
) 2
(
E
)
 
0
,
3333
b) Sair um número múltiplo de 3  P
que corresponde a 33,33%
n
(
S
) 6
n
(
E
) 0
(
E
)

0
c) Sair o número 8  P
n
(
S
) 6 que corresponde a 0%
n
(
E
) 6
(
E
)

1
d) Sair um número menor ou igual a 6  P
n
(
S
) 6 que corresponde a 100%
É fácil verificar-se, portanto, que a Probabilidade de um Evento acontecer é um número compreendido entre
0 e 1 (ou, em termos percentuais, entre 0% e 100%).
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EVENTOS COMPLEMENTARES
Vimos que ao lançarmos um dado, a probabilidade de sair um número múltiplo de 3 é de 33,33%. A
probabilidade de sair um número que não seja múltiplo de 3 é, portanto, o complemento do que falta para
100%, ou seja, 66,67%.
Considerando que p seja a probabilidade de que um evento ocorra e q seja a probabilidade que ele não
ocorra, temos que p + q = 1 ou p + q = 100%.
Exemplo:
O time de vôlei Guararapes irá jogar contra o time Sertaneja. Qual a probabilidade de vitória do Guararapes?
(levando-se em conta que estamos em um Espaço Equiprovável, em que as duas equipes são equivalentes)
O Espaço Amostral é S={V,E,D}  V=Vitória, E=Empate, D=Derrota
Evento : Vitória  E={V}
n
(
E
)1
(
E
)
 
0
,
3333
Teremos, assim, P
, que corresponde a 33,33%
n
(
S
) 3
O evento complementar terá probabilidade de 66,67% (acontecer empate ou derrota).
EVENTOS INDEPENDENTES
Quando temos dois eventos, cuja realização ou não, de um, NÃO interfere na probabilidade de realização do
outro, eles são denominados de Eventos Independentes.
Exemplo: Ao lançarmos no ar duas moedas, a face que cairá voltada para cima de uma delas NÃO interfere
no resultado da outra.
Quando isso acontece, a Probabilidade dos eventos se realizarem simultaneamente é igual ao PRODUTO
das probabilidades de realização dos dois eventos. No exemplo da moeda, se quiséssemos saber a
probabilidade de sair “simultaneamente” a face “cara” voltada para cima nas moedas teríamos:
1
1
1
P
(
E
)

P
(
E
).
P
(
E
)

.

0
,
25
, que corresponde a 25%.
1
2
2
2
4
Esse resultado fica bem visível se construirmos o quadro dos resultados possíveis:
Moeda 2 Cara
Moeda 1
Cara
Coroa
(Cara, Cara)
(Coroa, Cara)
Há uma chance, em quatro, ou seja, 25%
Coroa
(Cara, Coroa)
(Coroa, Coroa)
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Se jogássemos dois dados sobre uma mesa, qual a probabilidade de no 1º sair o número 6 e no 2º o número
5?
Os eventos são Independentes. A probabilidade do 1º evento é igual à do 2º evento:
n
(E
) 1
(E
) 1 
No 1º dado: P
1
n
(S
) 6
n
(E) 1
(E
) 2 
No 2º dado: P
2
n
(S
) 6
11 1
(E
) . 
Assim, P
66 36
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Quando, porém, a realização de um evento EXCLUI a realização do(s) outro(s), esses eventos são
MUTUAMENTE EXCLUSIVOS.
Se isso acontece, a Probabilidade de que Um ou OUTRO se realize é igual à SOMA das probabilidades de
que cada um se realize (p = p1 + p2)
.
Exemplo: Um dado é lançado sobre uma mesa. Qual a probabilidade da face voltada para cima ser o
número 2 ou o número 3?
n
(E
) 1
(E
) 1 
De sair 2: P
1
n
(S
) 6
n
(E) 1
(E
) 2 
De sair 3: P
2
n
(S
) 6
11 2 1
(
E
)    que corresponde a 33,33%
Assim: P
66 6 3
Regra da Adição para a Probabilidade de A ou B:
(
A

B
)

P
(
A
)

P
(
B
)

P
(
A

B
)
A probabilidade do evento A ou B ocorrer P( A ou B ) é dada por P
.
(
A

B
)
P
(
A
)

P
(
B
)
Se os eventos são mutuamente exclusivos, a Regra fica P
Exemplo 1: Você seleciona a carta de um baralho, ao acaso. Qual a probabilidade dessa carta ser um 4 ou
um
Ás.
Como
os
eventos
são
mutuamente
exclusivos,
temos
4
4
8
2
P
(
4
_
ou
_
Ás
)





0
,
154
52
52
52
13
Exemplo 2: Você seleciona uma carta de um baralho, ao acaso. Qual a probabilidade dessa carta ser um
REI ou ser de espada?
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4
13
1
4

13

1
16
4
P
(Re
i
_
ou
_
Espada
)






0
,
308
52
52
52
52
52
13
EXERCÍCIOS
1- O Plano de Saúde BRASILMED fez uma análise com 500 dos seus segurados. A tabela abaixo
mostra o resultado, quanto ao uso ou não dos serviços credenciados, em um período de um ano:
Usou o Plano?
SIM
NÃO
Total
Sexo
Masculino
25
225
250
Sexo
Feminino
40
210
250
TOTAL
65
435
500
Sejam os eventos:
A = A pessoa segurada usou o plano
B = A pessoa segurada é do sexo masculino
C = A pessoa segurada é do sexo feminino
Quais as probabilidades:
a)
b)
c)
d)
e)
Da pessoa segurada ter usado o plano?
Da pessoa segurada ser do sexo masculino?
Da pessoa segurada ser do sexo feminino?
De pessoa do sexo masculino ter usado o plano?
De pessoa do sexo feminino ter usado o plano?
2- Sejam dois eventos (A e B) quaisquer, associados a um experimento aleatório. Se P(A)=0,3
P
(A
B
)0
,8e P(B) = p. Para que valores de p, A e B serão Mutuamente Exclusivos?
3- Três Faculdades, A,B e C, estão concorrendo para a obtenção de um Curso de Mestrado em
Maceió. Os dirigentes da Faculdade A sabem que eles têm probabilidade de ganhar a concorrência
igual à da Faculdade B, mas que também têm o dobro de chances da Faculdade C. Qual a
probabilidade de A ou C ganhar o curso?
4- Uma indústria de peças tem um processo de inspeção, para averiguação da qualidade, composto de
três etapas. A probabilidade de uma peça passar em qualquer uma dessas etapas de inspeção sem
ser detectado é de 80%. Qual a probabilidade de uma peça passar pelas três etapas sem ser
detectado?
5- Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é
escolhida ao acaso desse lote. Qual a probabilidade dela :
a) Não apresentar defeito?
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b) Não apresentar defeito grave?
c) Ser boa ou ter defeitos graves?