COLÉGIO SINGULAR Lista de Exercícios 01 – Números Complexos

COLÉGIO SINGULAR
Lista de Exercícios 01 – Números Complexos – PARTE 2
Turma: 3C17/3C27 – Prof. Gustavo Tondinelli
1. (Unic-MT) Para que o número z1 = (x+3i)(3+xi) seja real, qual deve ser o valor de x?
2. (Fafi-BH) O conjugado de z1 = (2+3i)(5-2i) tem valor igual a?
3. (FAMECA-SP) O conjugado do número complexo (1-i)³ tem valor igual a?
5. Dado o número complexo (m²-m-2) + (2m²+m).i , responda:
a) que valores de m o tornam um imaginário puro?
b) que valores de m o tornam um número real?
i³−i²+i17 −i35
6. (FAFI-BH) Considerando a fração: 16 13 30 ,responda:
i −i +i
a) o resultado da fração
b) o conjugado do número complexo obtido no item a.
7.(UEL-PR modificada) Um número complexo Z é tal que: 2i. Z + Z − Z̅ = 3 − 4i. Sendo assim, responda:
a) o valor de Z.
b) o conjugado de Z.
5+5i
20
8. (UFSM-RS) Considere os números complexos: Z1 =
e Z2 =
.
1+i
1−i
a) Qual o valor da soma de Z1 com Z2?
b) Qual o resultado quando efetuamos a divisão representada em Z 1?
9. (Cescem – SP) O produto (5+7i).(3-2i) tem valor equivalente a que número complexo?
10. (UFG-GO) Qual o valor de x que torna o produto (4+2i).(x – 8i) um:
a) número real
b) um imaginário puro.
11. Resolva as equações abaixo, onde Z é um número complexo a ser encontrado.
a) 5 + i + 2.Z = 3i + Z
b) i.Z = 1
c) (3-2i).Z = 13
d) Z² + 2Z + 10 = 0
12. (UFRS) Qual a soma das partes real e imaginária de
𝑖
𝑖
1+𝑖
1−
13. (UFMS) Determine o valor de x que torna o quociente
?
5+(𝑥−8)𝑖
5−𝑖
14. (UFPA) O conjugado do quadrado do número complexo Z =
um número real.
2+3𝑖
−5−𝑖
tem valor igual a?
𝑥̅
15.(UFPA) Se x = 1 –ai e 𝑦̅ = 2 − 3𝑖, qual o valor de a, para que seja um número real?
𝑦
16. (UFSC) Seja o complexo Z = i – 1.
Qual o valor de f(z) = 2z² + 4z + 5?
17. (UFPA) O número complexo z = x + (x²-4)i é real quando x assume qual valor?
18. Calcule:
a) i1000 b) i235
c) i9 – i20 + i16 – i134
19. (MACK-SP) O valor da expressão:
Y = i + i² + i³ + i4 + i5 + i6 + ... + i1001 ?
20. Calcule o valor da expressão: i47 + i12 – i4 – i22
21. (UEL) Seja o número complexo Z na forma Z = a+bi, qual o valor de Z, sendo que z.(1-i) = (1+i)²?
22. (UERJ) Qual o valor de
1+2𝑖
1+𝑖
? E o valor do seu conjugado?
23. (UFOP-MG) Qual o conjunto-solução da equação z² + (𝑧̅)²=0?
1−𝑖 25
24. (UFRN) o número complexo ( ) tem valor igual a?
1+𝑖
25. (FURG) Se u = 1 – 2i, então o número complexo z = u² + 3𝑢̅ é igual a?
26. (UNIMEP) O valor de (1+i)10 é? E (1+i)35?
27. Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i + 1)8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
28. Sendo i a unidade imaginária dos números complexos, obtenha:
a)
(2  3i)( 4  5i)
b)
(3  4i)(3  4i)
c)
(1  i) 6  (1  i) 6
29. (UERJ) João desenhou um mapa do quintal da sua casa onde enterrou um cofre. Para isso, usou um
sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos Ox e
Oy com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x,y), nesse sistema, e a
representação de um numero complexo z = x + iy, x є IR, y є IR e i2 = – 1.
Para indicar a posição (x1, y1) e a distancia d do cofre a origem, João escreveu a seguinte observação no
canto do mapa: x1 + iy1 = (1 + i)9.
a) Calcule as coordenadas (x1, y1).
30. O número complexo
a)
7  2i
z
b)
b) Calcule o valor de d.
7  4i em que i2 = -1 é igual a:
1 2i
3  2i
c)
3  2i
d)
7  2i
e)
6  2i
31. Encontre os resultados:
18
a) i2007 + i2009 + i2006 + i2008 =
b) i-343 =
c)
i
n

n5
32. (FUVEST) Sabendo que a é um número real e que a parte imaginária do número complexo
z
2  i é zero, então a é:
a  2i
a) – 4
b) – 2
c) 1
d) 2
e) 4
33. (MACKENZIE) Se i2 = – 1, então (1 + i).(1 + i)2.(1 + i)3.(1 + i)4 é igual a:
a) 2i
b) 4i
c) 8i
d) 32i
34. Resolva, em C, as equações:
b) x2 – 10x + 29 = 0
a) 3x + 3i = 11 + 2xi
c)
2z  z  12  5i , em que z representa o conjugado de z.
35. (UNESP) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então o conjugado de z, será dado por
a) – 3 – i
b) 1 – 3i
c) 3 – i
GABARITO
1. x = 3 ou x = -3
2. 16 – 11i
3. -2 + 2i
4. Não tem questão 4.
5. a) m = 2 ou m = -1
b) m = 0 ou m = -1/2
6. a) 1 + i b) 1 – i
7. a) Z = -1/2 – 3/2.i
b) Conjugado de Z = 1/2 + 3/2.i
8. a) 15 + 10i
b) 5
9. 29 + 11i
10. a) x = -4
b) x = 16
11. a) Z = -5 + 2i b) Z = -i c) Z = 3 + 2i d) Z
= -1+3i ou Z = -1 – 3i
12. i – 1
13. x = 7
14. i/2
15. a = 3/2
16. 1
17. x = 2 ou x = -2
18. a) 1 b) –i c) i + 1
d) – 3 + i
e) 3 + i
19. i
20. 1 – i
21. i – 1
22. (-1+3i)/2
23. Sendo o complexo Z = a + b.i e seu
conjugado a – bi, podemos dizer que o conjunto
solução serão todos os valores onde a = b ou a
= -b.
24. –i
25. 2i
26. 32i e 217. ( i – 1)
27. c
28. a) 23 + 2i; b) 25; c) 0;
29. a) (x1, y1) = (16,16); b) d  16 2
30. b
31. a) 0; b) i; c) -1 + i
32. e
33. d
34. a) S = {3+i}; b) S = {5 – 2i; 5 + 2i}; c) {4 + 5i};
35. a