Problemas Resolvidos de Física

Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 11 – CINEMÁTICA ROTACIONAL
41. Um objeto se move no plano de xy de forma que x = R cos ωt e y = R sen ωt, sendo x e y as
coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω constantes. (a) Elimine t entre estas equações para
encontrar a equação da curva na qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado
da constante ω? (b) Derive as equações de x e y em relação ao tempo para encontrar as
componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para encontrar o módulo, a
direção e o sentido de v. Descreva o movimento do objeto. (c) Derive vx e vy com relação ao
tempo para obter o módulo, a direção e o sentido da aceleração resultante.
(Pág. 227)
Solução.
(a) Vamos elevar ao quadrado a equação de x.
x = R cos ωt
x 2 = R 2 cos 2 ωt
=
x 2 R 2 (1 − sen 2 ωt )
x2
R2
Agora vamos fazer o mesmo com a equação de y:
y = R sen ωt
sen 2 ωt = 1 −
(1)
y 2 = R 2 sen 2 ωt
(2)
Substituindo-se (1) em (2):
2
y=
R2 − x2
x2 + y 2 =
R2
(3)
A Eq. (3) corresponde à equação de uma circunferência. A constante ω ajusta a freqüência dos
ciclos das funções trigonométricas seno e cosseno. Em termos físicos, ω é a freqüência ou
velocidade angular do objeto que se move ao longo da trajetória circular. Veja o esquema a seguir:
y
y
r
θ
x
x
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Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 11 – Cinemática Rotacional
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(b)
dx
= vx = −ω R sen ωt
dt
dy
= v=
ω R cos ωt
y
dt
Logo, o vetor velocidade vale:
v=
vx i + v y j =
−ω R sen ωti + ω R cos ωtj
O módulo de v vale:
v=
( −ω R sen ωt ) + (ω R cos ωt )
2
=
v
2
ω 2 R 2 sen 2 ωt + ω 2 R 2 cos 2 ωt
=
v ω R sen 2 ωt + cos 2 ωt
v = ωR
Sabendo-se que:
r = xi + yj = R cos ωti + ω R sen ωtj
O produto escalar entre r e v vale:
( R cos ωti + R sen ωtj) ⋅ ( −ω R sen ωti + ω R cos ωtj)
=
r ⋅ v ( R cos ωti ) ⋅ ( −ω R sen ωti ) + ( R cos ωti ) ⋅ (ω R cos ωtj) +
+ ( R sen ωtj) ⋅ ( −ω R sen ωti ) + ( R sen ωtj) ⋅ (ω R cos ωtj)
=
r⋅v
r ⋅ v =−ω R 2 sen ωt cos ωt + 0 + 0 + ω R 2 sen ωt cos ωt
r⋅v =
0
Como:
=
r ⋅ v Rv cos
=
φ 0
Onde φ é o ângulo entre os vetores r e v. Como cos φ = 0, isso implica em φ = 90o. Logo, r e v são
ortogonais. Portanto, como r é radial, v deve ser tangencial à trajetória circular. Veja o esquema a
seguir:
y
v
vy
y
vx
r
θ
x
x
(c)
dvx
=
−ω 2 R cos ωt =
−ω 2 x
ax =
dt
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dv y
dt
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=
−ω 2 R sen ωt =
−ω 2 y
ay =
Logo:
a=
ax i + a y j =
−ω 2 xi − ω 2 yj
Esta equação mostra que a tem a mesma direção de r, porém com o sentido contrário. Ou seja, a
aponta no sentido radial. O módulo de a vale:
a=
( −ω x ) + ( −ω y )
2
2
2
2
= ω 2 x2 + y 2
a = ω 2r
Veja o esquema a seguir:
y
y
ax
ay
r a
θ
x
x
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