INTRODUÇÃO À LÓGICA

RACIOCÍNIO LÓGICO
“Nós somos o que fazemos repetidamente, a excelência
não é um feito, e sim, um hábito”.Aristóteles.
Sucesso!
PROF. JOSIMAR PADILHA
1
01 - NOÇÕES DE CONJUNTOS
Nesta primeira aula iremos estudar sobre “noções de conjuntos”, uma vez que a mesmo trará uma
interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É importante ressaltar que é um
conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos.
Introdução
Relação de Pertinência: É a relação existente entre elemento e conjunto. Caso você queira
relacionar um elemento “x” a um conjunto “X”, a relação deverá ser:
O elemento x pertence a X (x
 X) ou o elemento x não pertence a X( x X) .
Uma outra maneira para definir conjuntos, consiste em escrever uma lista dos elementos do
conjunto, entre chaves. Desse modo, escreveríamos o conjunto A da seguinte forma:
A = { I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,,X,...}
Um conjunto poderá ser representado por diagramas da seguinte forma:
Relação de Inclusão: É a relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto e conjunto.
Caso você queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, a relação deverá ser:
Ex.: No diagrama abaixo temos que A contém o conjunto B. Logo A é um conjunto e B é um
subconjunto. A relação existente entre os dois é a seguinte:
A
 B “A contém B”
e
B
 A “B está contido em A”
2
Número de subconjuntos
O número de subconjuntos de um conjunto como por exemplo:
A= { a, b } = { a } , { b } , {a, b } , { } ; temos neste caso 4(quatro) subconjuntos de um conjunto A
com 2 elementos.
Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. E ele está contido em qualquer conjunto.
Representação: ou { }, nunca {}.
Conjunto das partes:
Denotado por P(A) e possui todos os subconjuntos de A. n(P(A)) = 2 n(A) ( número de elementos do conjunto) .
C= { a,b,c } = { a } , {b} , { c } , { a,b} , { a,c} , {b,c} , {a,b,c} ,{ } = 2 3=8 subconjuntos.
Operações com conjuntos
REUNIÃO OU UNIÃO:
Iremos identificar uma União entre dois conjuntos quando tivermos o termo: “OU”
Conceito . Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos
dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
Exemplos:


{1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
{n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x
pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:
Propriedades da União
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
4.
Idempotência: A U A = A. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
Comutativa: A U B = B U A;
Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A . O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
3
INTERSECÇÃO
Iremos identificar uma Interseção entre dois conjuntos quando tivermos os termos:
“e”, “ simultaneamente” e “ ao mesmo tempo”
Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a
um novo conjunto, assim definido:
Exemplos:
Da definição de intersecção resulta que:
Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência:
2. Comutativa:
3. Elemento Neutro - O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:
4.Associativa:
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos
disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao
conjunto vazio.
4
DIFERENÇA
Iremos identificar uma Diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos :
“apenas ”, “ somente” e “ exclusivamente”, ligados ao conjunto.
Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos
elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:



{a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b}
{a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b}
{a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø
Temos a seguir uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn em que a diferença
corresponde à parte branca de A.
COMPLEMENTAR DE B EM
A
Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em
relação a A o conjunto A - B, e indicamos como:
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O
conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2
elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:
a) 4
5
b) 6
c) 8
d) vazio
e) 1
Nesta questão é dado dois conjuntos não vazios , ou seja, possuem elementos, mas é fornecido a
quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que deveremos encontrar o número de elementos da
seguinte maneira :
Para o conjunto X temos que : P(X)=64 , sendo P(X) = 2n . Logo,
2n=64, fatorando o número 64 temos que 64= 26
2n=26
n=6 ( o número de elementos do conjunto n(X) = 6)
Para o conjunto Y temos que : P(Y)=256 , sendo P(Y) = 2n . Logo,
2n=256, fatorando o número 256 temos que 256= 28
2n=28
n=8 ( o número de elementos do conjunto n(Y) = 8)
Para o conjunto Z , segundo o enunciado temos : Z = X ∩ Y possui 2 elementos ( n(Z)=2 ) . Logo,
6
Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações temos que a questão solicita o
número de elementos do conjunto P = Y - X . Sendo assim, trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X ,
em que devemos selecionar os elemento que pertencem a Y mas não pertencem a X.
De acordo com o diagrama acima temos que P= Y-X = 6 elementos .
Resposta : Letra B
02) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou
um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia
trabalhado
I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II em setor de conserto de tubulações urbanas;
III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos
um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente
• 28 pessoas à alternativa I.
• 4 pessoas somente à alternativa I.
• 1 pessoa somente à alternativa III.
• 21 pessoas às alternativas I e II.
• 11 pessoas às alternativas II e III.
• 13 pessoas às alternativas I e III.
Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta.
a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.
7
b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.
c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.
d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de
subestações.
e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de
ampliações e reformas de subestações.
Comentário :
Nesta questão é dado três conjuntos :
I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II em setor de conserto de tubulações urbanas;
III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores citados, logo não
existe elementos do lado de fora. De outro lado temos candidatos que possuem experiências nos três
setores , sendo assim construiremos o diagrama para melhor interpretação.
8
Vamos agora preencher o diagrama referente ao setor de montagem :
1- O setor de Montagem possui 28 candidatos com experiência,
Ao analisar o diagrama temos que 4 candidatos têm experiência apenas no setor de Montagem,
logo podemos inferir que no espaços ( X + Y+ Z ) que estão nas cores rosa, vermelha e azul, sobraram ( 28
– 4 ) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 candidatos nos setores (I e II) e 13
candidatos nos setores ( I e III ) , se somarmos temos: 21 + 13 = 34, mas a quantidade real das áreas
pintadas é igual 24, logo temos 10 candidatos a mais. O que passa da realidade se encontra na interseção,
pois é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo temos 10 candidatos com
experiências nos três setores ( Y=10 ).
9
Segundo os valores encontrados podemos agora preencher de forma completo o diagrama
para podemos julgar os itens, não esquecendo que o total de candidatos ,ou seja, a soma dos números
abaixo devem totalizar 44 candidatos.
Julgando os itens: Com base nas informações adquiridas iremos assinalar a opção incorreta.
a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. ( o item está de acordo)
b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.( o item está de
acordo)
c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. (o item está de
acordo)
d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de
subestações. ( o item está incorreto, pois temos 3 candidatos)
e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de
ampliações e reformas de subestações. ( o item está de acordo)
Resposta: Letra D
10
03) (CESPE – 2008- TRT 5 RG- adaptada ) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês,
espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol.
Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem.
1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês.
2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais
alunos estudando inglês do que espanhol.
3- Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais
alunos estudando somente inglês do que espanhol.
Analisando a questão acima temos que :
- 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego , vamos representar da seguinte maneira ( I  E 
G );
- 60 estudam espanhol ( E= 60 );
- 40 estudam somente inglês e espanhol ( ( I ∩ E)-G).
1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês.
Vimos que as duas áreas pintadas acima totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preencher
os espaços em branco, supondo que a interseção de somente inglês e grego fosse igual a zero, ou seja, não
tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 90 alunos que estudam apenas inglês.
O item está errado.
11
2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais,
então há mais alunos estudando inglês do que espanhol.
De acordo com o diagrama acima o item está certo.
3-
Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais,
então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol.
12
04) (ESAF/AFC-2004) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a
três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas
como “A”, “B” e “C”) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou
contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos
entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50%
declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se , ainda, que 5% do
total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos
entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
17%
5%
10%
12%
22%
13
Aproveitando a questão para uma análise mais profunda e melhor entendimento. Fiz umas inferências
que poderiam ser perguntas da banca.
14
MOMENTO DE TREINAMENTO
FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM
01) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam
vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não
praticam futebol. O número de alunos da classe é:
A) 30
B) 35
C) 37
D) 42 E) 44
02) Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são
brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda:
A) quantos indivíduos tem a comunidade?
B) quantos são os indivíduos amarelos?
03) Numa classe de 45 alunos, 28 falam francês e 14 falam espanhol. Desses alunos, 8 não falam nem
francês nem espanhol. Quantos falam as duas línguas?
04) Numa classe de 43 alunos, 27 falam inglês, 15 falam alemão, 6 falam inglês e alemão. Quantos alunos
não falam nem inglês, nem alemão?
05) Considere o conjunto M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} e responda quantos subconjuntos tem M.
06) Quantos elementos tem o conjunto do qual se pode obter 32.768 subconjuntos?
07) (PUC-Rio) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma
exatamente :
cidade revelou que,
17% têm casa própria;
22% têm automóvel;
8% têm casa própria e automóvel
Qual o percentual dos que não tem casa própria nem automóvel?
15
08) Uma senhora que costuma fazer saladas de frutas para servir aos fregueses em seu restaurante, dispõe
de oito frutas diferentes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas frutas resulta numa salada
diferente, calcule o número de saladas de frutas diferentes que podem ser obtidas
09) Numa escola existem 84 meninas, 48 crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninas loiras.
Pergunta-se:
A) Quantas crianças existem na escola?
B) Quantas crianças são meninas ou são loiras?
10) Dos funcionários de uma empresa, sabe-se que existem:
35 homens;
18 pessoas que possuem automóvel;
15 mulheres que não possuem automóvel;
7 homens que possuem automóvel;
A) Qual o número de funcionários que há nessa empresa?
B) Quantos funcionários são homens ou quantos possuem automóvel?
11) Numa classe colheu-se os seguintes dados em relação as três matérias estudadas:
20 alunos foram aprovados nas 3 matérias.
35 alunos foram aprovados em Química e Física.
42 alunos foram aprovados em Matemática e Física.
22 alunos foram aprovados em Química e Matemática
O professor de Matemática aprovou 50 alunos.
O professor de Física aprovou 70 alunos.
O professor de Química aprovou 40 alunos.
Quantos alunos foram aprovados:
a) em uma matéria?
16
b) somente em uma matéria?
c) em pelo menos uma matéria?
d) em duas matérias?
e) somente em duas matérias?
f) em mais de duas matérias?
g) somente em três matérias?
h) em matemática e física?
i) em matemática ou física?
j) em matemática e física e não foram aprovados em química?
Ainda com relação a questão 11, julgue os itens,
1 seis alunos foram aprovados em matemática.
2 apenas seis alunos foram aprovados em matemática.
3 seis alunos foram aprovados somente em matemática.
4 apenas 6 alunos foram aprovados somente em matemática.
5 mais de 60 alunos foram aprovados em pelo menos 2 matérias.
17
6 o número de alunos na classe é 81.
12) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20%
optaram pelo curso de Direito. Do total de candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito?
A)50%
B) 20%
C) 10%
D) 6% E) 5%
13) Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23
Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta
Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?
A) 304 B) 162
C) 146
D)154
E) n.d.a
QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS
14) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O
conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2
elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:
A) 4
B) 6
C) 8
D) vazio
E) 1
15) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou
um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia
trabalhado
I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;
II em setor de conserto de tubulações urbanas;
III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.
Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos
um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente
• 28 pessoas à alternativa I.
• 4 pessoas somente à alternativa I.
• 1 pessoa somente à alternativa III.
• 21 pessoas às alternativas I e II.
• 11 pessoas às alternativas II e III.
• 13 pessoas às alternativas I e III.
18
Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta.
a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.
b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.
c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.
d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de
subestações.
e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de
ampliações e reformas de subestações.
16) (CESPE-2003)
Vacinas
Crianças Vacinadas
Sabin
5300
Sarampo
5320
Tríplice
4600
Sabin e sarampo
1020
Sabin e tríplice
900
Sarampo e tríplice
800
Sabin, sarampo e tríplice
500
Nenhuma
2000
Considerando os dados da tabela acima, que representam as quantidades de crianças de uma determinada
cidade que receberam em 2002 as vacinas Sabin, sarampo e tríplice, julgue os itens seguintes:
A) Exatamente 3880 crianças receberam apenas a vacina Sabin.
B) Exatamente 3700 crianças receberam apenas a vacina tríplice.
C) Exatamente 4300 crianças receberam apenas a vacina sarampo.
D) 2720 crianças receberam pelo menos duas vacinas.
E) Mais de 16000 crianças foram vacinadas nessa cidade em 2002.
17) (CESPE/METRÔ-2005) Uma associação de motoristas e de pilotos de trens elétricos distribui a seus
associados dois jornais periódicos A e B, que tratam de assuntos de interesse das duas categorias
profissionais. Um total de 4540 membros compõe a associação. Devido a problemas de comunicação, 75
associados não receberam nenhum dos jornais, 980 receberam os dois jornais e 2840 receberam o jornal A.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
19
1 Mais de 1800 associados receberam apenas o jornal A.
2 Menos de 2500 associados receberam o jornal B.
18) (CESPE-2008) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo.
1 Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 27 são
especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11
desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total
de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50.
19) (CESPE/STF-2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam
o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram
professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15
possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de
mestre e doutor e não eram professores universitários. Com base nessas informações, julgue os itens
seguintes.
1 Menos de 35 desses juízes são professores universitários.
2 Mais de 10 desses juízes são professores universitários mas não têm título de doutor nem de mestre.
3 Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores
universitários.
4 Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários.
20) (FCC-2006) Uma escola de música oferece apenas os cursos de Teclado, Violão e Canto e tem 345
alunos. Sabe-se que
- nenhum aluno estuda apenas Canto.
- nenhum aluno estuda Teclado e Violão.
-225 alunos estudam Teclado.
-90 alunos estudam Teclado e Canto.
-50 alunos estuda apenas Violão.
Quantos alunos estudam Canto e violão?
A) 70 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160
Gabarito
20
01
E
17
CE
02
a)560 / b)280
18
C
03
5 alunos
19
ECCC
04
7 alunos
20
A
05
256
06
15 elem.
07
69%
08
247
09
a) 140 / b)114
10
a) 61 / b) 46
11
81 alunos
12
D
13
B
14
B
15
D
16
CEEE
21
02– LÓGICA DE 1ª ORDEM
“Neste segundo momento iremos dar ênfase as provas de concursos realizadas pelo CESPE e
ESAF, pois verificaremos que são as bancas que mais aprofundam em tal assunto. Mas nos capítulos
posteriores daremos uma atenção maior às demais instituições de acordo com os assuntos mais
cobrados e suas particularidades. Você não só irá aprender, mas entender o que a bancas querem de
você. Estudar o que realmente cai é bom demais!” Sucesso!
ESTRUTURAS LÓGICAS
A lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos referidos pelo
pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa através da linguagem. O
objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem, os JUÍZOS formulados pelo
pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.
I - SENTENÇAS
- Expressão de um pensamento completo;
- São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o
sujeito).
Ex.: José passou no concurso público.
Lógica não é difícil.
Que horas começa o filme?
Que belas flores!
Pegue essa xícara agora.
- Afirmativas;
Ex.: A matemática é uma ciência do raciocínio.
S
e
n
t
e
n
ç
a
s
- Negativas;
Ex.: José não vai à praia.
- Imperativas;
Ex.: Faça seu trabalho com presteza.
- Exclamativas;
Ex.: Que dia lindo!
- Interrogativas.
Ex.: Qual é o seu nome?
22
A - SENTENÇAS ABERTAS
São as sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais
simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V(verdadeiro) nem F(
falso) .
Ex.:Ela foi a melhor atleta da competição.
Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação para que
possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Por exemplo, se tivermos uma proposição
expressa: “Para todo a, P(a)”, em que a é um elemento qualquer do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a
respeito dos elementos de U, logo se torna necessário explicitar U e P para que seja possível valorar.
Ex.: { x  R/ x > 2 }, neste caso x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja, não há um
sujeito especifico.
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT
da 1.ª Região”, ou “x + 5 = 10”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário,
transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa
forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais. Pode-se passar de uma sentença
aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer que seja”, ou “para todo”, indicado por  , e
“existe”, indicado por  . Por exemplo: a proposição (  x)(x  R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a
proposição (  x)(x  R)(x + 3 = 9) é valorada como V.
B - SENTENÇAS FECHADAS
São as sentenças nas quais podemos determinar o sujeito da sentença.
Ex.: Antônio está de férias.
Ex.: O professor Josimar foi trabalhar.
Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa
(F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são
proposições porque a primeira é pergunta( sentença interrogativa ) e a segunda não pode ser nem V nem F.
III- PROPOSIÇÕES
Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou
símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico,
ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso).
Esta valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-verdade.
DIAGRAMA
23
- Uma aplicação legal!
Uma questão que deixa claro a relação entre proposições e sentenças é uma questão do concurso para o
cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, onde a mesma realizou a seguinte afirmação
a ser julgada:
“- A seguinte proposição “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo de sentença aberta.”
RESOLUÇÃO: Esta questão é interessante, pois exige do candidato uma diferenciação entre os conceitos
já citados, em que muitos iriam se deter em ficar interpretando a frase sugerida. O que se deve perceber é
que quando o CESPE cita que a proposição “ Ninguém ...” é uma sentença aberta, torna-se uma
contradição, uma vez que, uma proposição pode ser valorada o que não ocorre com uma é uma sentença
aberta( não há como se valorar.) Logo o item está errado.
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
I.
II.
III.
01) ( FCC –SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006) Considere as seguintes frases:
Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
(x+y) / 5 é um numero inteiro.
João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS.
(A)
I é uma sentença aberta.
(B)
II é uma sentença aberta.
(C)
I e II são sentenças abertas.
(D)
I e III são sentenças abertas.
(E)
II e III são sentenças abertas
Comentário:
No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor
jogador do mundo em 2005, logo a sentença é aberta;
No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado
inteiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos ( 5 + 10 ) / 5 = 3 ( 3 pertence aos inteiros) ; pode acontecer o mesmo com x=
20 e y=10 , temos (20 + 10)= 15 e etc., logo a sentença é aberta;
No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o
Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva.
Logo a resposta desta questão é a letra “C”.
02) ( FCC –SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006 Adaptada) Das quatro frases abaixo, três delas tem uma mesma
característica lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I.
Que belo dia!
II.
Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico.
III.
O jogo terminou empatado?
IV.
Escreva uma poesia.
A Frase que não possui essa característica comum é a
24
(A)
(B)
(C)
(D)
IV.
III.
I.
II.
Comentário:
Das frases acima temos quatro sentenças:
I - Que Belo dia! ( não possui uma interpretação lógica – sentença exclamativa- não há
como valorar.
II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico – sentença afirmativa - há como
valorar.
III - O jogo terminou empatado? - sentença interrogativa - não há como valorar.
IV – Escreva uma poesia. – sentença imperativa - não há como valorar.
Dentre as quatro apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Neste caso
trata-se da segunda frase.
A resposta da questão é a letra “D”
03) UnB/CESPE – Banco do Brasil S.A. 2007
Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que
contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são
atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x,
tem-se que x - 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui
interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
( ) A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para todos
os valores de x que estão no conjunto
( ) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos
do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
Comentário:
- O primeiro item está errado, pois quando atribuímos a x o valor de ½ a desigualdade torna-se falsa. Por
exemplo:
“  x2 > x = V”
(½)2 > ½  ¼ > ½ (F).
- O segundo item: “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” está errado, pois se verificarmos os
elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 ( ao mesmo tempo). Por exemplo: o número 10 é
divisível por 2 porém não é divisível por 3 , O número 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Logo o
item está Falso. Para que o item estivesse correto a sentença deveria ser: “ Existem números que são
divisíveis por 2 ou por 3”.
04) UnB/CESPE – Banco do Brasil S.A. 2008
( ) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser
considerada uma proposição.
Comentário:
O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa. O item está
correto.
25
REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES
As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas.
p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo.
q: O mundo precisa de Paz.
r: Renato é um aluno dedicado.
PROPOSIÇOES SIMPLES OU BÁSICAS: São as proposições que expressam apenas um pensamento.
Ex.: Guarapari tem lindas praias.
Ex.: José passou no concurso.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: São as proposições que expressam mais de um pensamento. As
proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.
Ex.: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias.
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01-(CESPE –PRODEST – Técnico em Informática- adaptada) - Considere a seguinte lista de frases e
julgue o item.
- I - Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.
- II- Qual é o horário do filme?
- III- O Brasil é pentacampeão de futebol.
- IV- Que belas flores!
- V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora.
( ) Nesta Lista, há exatamente 4 proposições
Comentário :
Nesta questão acima temos as proposições:
- Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento).
- Qual é o horário do filme? ( sentença)
- O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento).
- Que belas flores! ( sentença)
- Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições- 2 pensamentos)
Logo, temos 4 proposições . O item está certo.
02-(UnB/CESPE –2008 -STF Técnico Judiciário)
Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.
A resposta branda acalma o coração irado.
O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.
Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.
Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.
( ) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.
( )A segunda frase é uma proposição lógica simples.
( ) A terceira frase é uma proposição lógica composta.
( ) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.
Comentário:
O primeiro item está errado, uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são proposições)
ligadas por um conectivo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição.
O segundo item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples).
O terceiro item está errado, pois temos apenas uma idéia completa (proposição simples).
26
O quarto item está errado uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um
conectivo condicional “Se..., então...”.
03-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE –ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes.
( )A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.
( ) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada
por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.
Comentário
O primeiro item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples).
O segundo item está correto, pois temos duas idéias completas conectadas (operadas) por um conectivo
de conjunção “e”.
MOMENTO DE TREINAMENTO
01- MRE(CESPE -2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V —
, ou falsas — F —, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são
freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são
conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A^ B é uma proposição composta que
tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida “A e B”. A
expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão AV B,
lida como “A ou B”, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é
V.A expressão AB tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre
outras, as seguintes leituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição
necessária para A”. Uma argumentação lógica correta consiste de uma seqüência de proposições em
que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são
obrigatoriamente verdadeiras por conseqüência das premissas.
Considerando as informações acima, julgue o item abaixo.
-(
) Considere a seguinte lista de sentenças:
I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?
II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.
III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.
IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.
Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.
02 – STJ (CESPE 2008-adaptada) A lógica formal representa as afirmações que os indivíduos fazem em
linguagem do cotidiano para apresentar fatos e se comunicar. Uma proposição é uma sentença que pode ser
julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) (embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a
alternativa válida).
( ) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.
A: 12 é menor que 6.
27
B: Para qual time você torce?
C: x + 3 > 10.
D: Existe vida após a morte.
GABARITO: 1 E 2 C
SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA
Símbolo
~
/\
V
→
Símbolo


Significado
não
e
ou
se ..., então...
se e somente
se
tal que
implica
equivalente

existe, algum

|
existe um e
somente um
Maior ou igual
que
Maior que
≤
↔
|
≥
>




Significado
Pertence
Não pertence
União
intersecção

Contém

Está contido
Igual
Diferente
qualquer que
seja, todo
Menor ou igual
que
=

≡
congruente
<
Menor que
OS CONECTIVOS LÓGICOS NA LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL
Nas provas de concursos é de suma importância conhecer os significados dos símbolos, os conectivos
lógicos e suas linguagens , bem como os termos atuais que estão sendo utilizados, então neste momento
iremos nos deter à “linguagem da lógica formal”. Vamos lá...
Exemplos de proposições compostas:
P: José é irmão de Maria e André é irmão de João
Q: André é dedicado nos estudos ou José pratica esporte.
R: Se o professor Josimar Padilha é rigoroso , então seus alunos gostam de lógica.
S: Josias era um homem admirado se, e somente se, gostava muito da sua família .
28
Conectivos
Operadores
Símbolos
Significados
CONJUNÇÃO
DISJUNÇÃO
INCLUSIVA
DISJUNÇÃO
EXCLUSIVA
CONDICIONAL
BICONDICIONAL
/\
“e “ / “mas”
V
“ou”
◊
V
→
↔
“ou...ou...”
“Se...então..”/ “Quando”
“ Se , e somente se”
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
( CESPE-2008) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa
— F —, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra
proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de
duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir.
1 A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição.
2 A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, não é considerada uma
proposição composta.
Comentário :
Item 1- A frase “Você sabe que horas são?” trata-se de uma sentença interrogativa, logo as sentenças
interrogativas não são proposições, pois as mesmas não podem ser valoradas. Logo o item está incorreto.
Item 2 – As proposições compostas são aquelas que expressam mais de um pensamento completo, sendo
assim, os conectivos lógicos são utilizados para criar novas proposições, ou até mesmo modificá-las.
Tomando a seguinte sentença: “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”,temos
duas idéias conectadas por um conectivo condicional “ Se,...então,...”. Logo o item está incorreto.
IMPORTANTE !!!
É obvia a necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições, que devem ser colocados a
evitar qualquer tipo de ambigüidade.
A “ordem de precedência” para os conectivos é:
1- Negação; 2- conjunção e disjunção; 3- condicional; 4 – bicondicional.
Portanto, o conectivo mais “fraco” é a negação e o mais “forte” é o bicondicional.
29
MOMENTO DE TREINAMENTO
LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL
Dadas a proposições:
p: Estudo lógica.
q: Passo em concurso público.
r: Estudo com dedicação.
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
a)  p
b) p  q
c)
pq
d) q ↔ p
e)
p→r
f)
p ↔ q
g) ~r ~q
h) ( r q ) → p
i)
~( p  ~q) → p
01) (CESPE/TCU-2004) ADAPTADA - Considere que as letras P,Q e R representam proposições e os
símbolos ,  e → são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então,
respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que
são avaliadas(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão
definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais na tabela abaixo.
a) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser
corretamente representada por  P → (R  Q).
b) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q.
02) (CESPE-2006) Considere que P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos , ,  e 
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e”, “ou” e “então”,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor — verdadeiro (V) ou falso
(F). Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo.
P: O homem precisa de limites.
Q: A justiça deve ser severa.
R: A repressão ao crime é importante.
S: A liberdade é fundamental.
Com base nessas informações, julgue os itens.
a) A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites”, pode ser corretamente
30
representada por P  ~S.
b) A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa”. Pode ser corretamente
representada por R → Q.
c) A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime
não é importante”, pode ser corretamente representada por (~Q)  (~S) → ~R..
d) A sentença “Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça
deve ser severa”, pode ser corretamente representada por ((~P)  (~R))  Q.
e) A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites” pode ser corretamente
representada por Q → P.
03) (CESPE-2006) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres ¬,  e 
que simbolizam “não”, “ou” e “e”, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo,
se P e Q são proposições, então PQ, PQ e ¬P também são proposições. Considere as proposições
seguir.
A: as despesas foram previstas no orçamento
B: os gastos públicos aumentaram
C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único
D: a lei é igual para todos.
A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.
a)
A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no
orçamento” está corretamente simbolizada por (B)(¬A).
b)
A(C(¬B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e, ou
os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram.”
c)
A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único
nem que os gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (¬C)(¬B).
04) (CESPE/PF-2004 Adaptada) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os
símbolos , ,  e  sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e
então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade),
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
Considere as sentenças abaixo.
I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser
proibido.
V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;
conseqüentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.
P
Fumar deve ser proibido.
Q
Fumar deve ser
31
encorajado.
R
Fumar não faz bem à
saúde.
T
Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.
1 A sentença I pode ser corretamente representada por P  (T).
2 A sentença II pode ser corretamente representada por ( P)  ( R).
3 A sentença III pode ser corretamente representada por R  P.
4 A sentença IV pode ser corretamente representada por (R  ( T))  P.
5 A sentença V pode ser corretamente representada por T  ((¬ R)  (¬ P)).
05) (CESPE/TSE-2007) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por meio da
reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam
proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente “e”,
“ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir.
“Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro
trocado”
Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo
que
P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”,
Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”,
R= “ ele sempre leva um guarda-chuva” e
S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.
a)
b)
P  (Q  R)
(PQ)  R
c) (P  Q)  (R  S)
d) P  (Q  (R  S)).
06) CESPE 2007 BANCO DO BRASIL
Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980.
(II) Faça seu trabalho corretamente.
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
07) CESPE 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO - STF
Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:
P: Nesse país o direito é respeitado.
Q: O país é próspero.
R: O cidadão se sente seguro.
S: Todos os trabalhadores têm emprego.
Considere também que os símbolos “V”, “^”, “” e “¬” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se ...
então” e “não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser
representada simbolicamente por P^(¬R).
32
2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada
simbolicamente por QS.
3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de,
nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q^R)P.
GABARITO
TREINAMENTO :
01-CC
a) não estudo lógica
02-EECEC
b) estudo lógica e passo em concurso público
03-EEC
c)estudo lógica ou passo em concurso público
04-ECCCE
d) passo em concurso público se e somente se estudo lógica
05-C
e) se estudo lógica então estudo com dedicação
06-C
f) estudo lógica se e somente se não passo em concurso público
07- CCE
g) não estudo com dedicação e não passo em concurso público
h) se estudo com dedicação ou não passo em concurso público, então estudo
lógica.
i) se é falso que estudo lógica e não passo em concurso público, então passo
em concurso público
CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE
Se uma proposição composta é formada por n variáveis proposicionais, a sua tabela verdade
possuirá 2n linhas.
Nº de linhas = 2n Proposições
EXEMPLO 01:
Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P /\ Q)?
SOLUÇÃO:
O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então N° de
linhas= 2 2= 4 linhas.Veja:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
(P /\ Q)
V
F
F
F
EXEMPLO 02:
Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P/\Q) v R?
SOLUÇÃO:
33
O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então N° de
linhas= 2 3= 8 linhas.Veja:
P
V
V
V
F
V
F
F
F
Q
V
V
F
V
F
V
F
F
R
V
F
V
V
F
F
V
F
(P /\ Q)
V
F
F
F
F
F
F
F
(P /\ Q) v R
V
V
V
V
F
V
V
F
NÚMERO DE VALORAÇÕES DISTINTAS
O número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com n variáveis
proposicionais é igual a 2n de Linhas.
Nº. de valorações = 2n de Linhas.
Exemplo:
Qual o número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente
duas variáveis proposicionais?
SOLUÇÃO:
O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então temos 2 2=
4 linhas, então podem ser obtidas 24 = 16 valorações distintas.
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01(CESPE TCU 2004- ADAPTADA)
Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que
constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que
trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras
(V) ou falsas (F), mas nunca ambos.
Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte.
1. O número de valorações possíveis para (Q /\ ¬R) ¬ P é inferior a 9.
Comentário :
Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas
para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 23 = 8. Sendo assim temos que 8 é
inferior a 9 . O item está correto.
02 (CESPE TRT 5ª REGIÃO 2008)
- Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da
proposição (A  B)
Comentário :
↔ (C  D) será superior a 15.
34
Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas
para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 24 = 16. Sendo assim temos que
16 é superior 15 . O item está correto.
CONECTIVOS OU OPERADORES LÓGICOS
01 - DISJUNÇÃO INCLUSIVA
A disjunção inclusiva é a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas
(operadas) pelo conectivo “ou”.
P
V
V
F
F
Tabela Verdade
Q
PvQ
V
V
V
F
V
V
F
F
O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.
O operador “ou” em operações de conjuntos dá idéia de União e uma idéia de Soma.
02- DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
Denomina-se disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições simples que
estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou...ou...”
R
V
V
F
F
Tabela Verdade
S
RvS
F
V
V
F
V
V
F
F
O operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou outro e não ambos”.
O operador “ou..ou...” em operações de conjuntos dá idéia de União dos exclusivos e uma idéia da
Soma dos exclusivos.
Quando se utilizar o “ou” no sentido exclusivo é comum adicionar no final a expressão: “ mas não os dois “.
35
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
1) (ESAF) De três irmãos - José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais
moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais
moço dos três irmãos são, respectivamente:
A) Caio e José
B) Caio e Adriano
C) Adrianoe Caio
D) Adrianoe José
E) José e Adriano
Comentário :
Aplicando mão da dica acima temos que todas as proposições “premissas” são verdadeiras , logo
iremos valorá-las com “V” e aplicando a tabela verdade do conectivo utilizado na proposição iremos
valorando as proposições simples que compõem as premissas P1e P2.
P1: ou José é o mais velho
ou
P2: ou Adriano é o mais velho ou
Adriano é o mais moço
Caio é o mais velho .


V
V
Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros temos que valorar as proposições
simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então teremos:
F
V
P1: ou José é o mais velho
ou Adriano é o mais moço

V
F
V
P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho .

V
Logo,
“ Conclusão (o mais velho é Caio e o mais moço é Adrinano ) ” 
V
MOMENTO DE TREINAMENTO
Conectivos: Disjunção e disjunção exclusiva
01) (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o
outro é azul. Sabe-se que: 1) ou gol é branco, ou o fiesta é branco, 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul, 3)
ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul, 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto.
Portanto, as cores do gol, corsa e do fiesta são, respectivamente:
A) Branco, preto, azul;
36
B) Preto, azul, branco;
C) Azul, branco, preto;
D) Preto, branco, azul;
E) Branco, azul, preto.
02) (MPU/2004) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é
músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é
músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é J'professor, ou Renato é professor.
Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,
A) Professor, médico, músico.
B) Médico, professor, músico.
C) Professor, músico, médico.
D) Músico, médico, professor.
E) Médico, músico, professor.
03) (ANEEL-2004/ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,
A) estudo e fumo.
B) não fumo e surfo.
C) não velejo e não fumo.
D) estudo e não fumo.
E) fumo e surfo.
04) (CESPE-2007) Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas
constituídos de componentes denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor
lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída. Esses valores lógicos são representados
por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos diagramas abaixo.
Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o
valor de S é 0 quando A e B são ambos 0, caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é 0 quando A for 1, e é 1
quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico.
Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado acima, julgue os itens subseqüentes.
1 Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico de S será 0.
2 A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico 1.
05 (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a
proposição definida simbolicamente por AB, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário
37
é V. O conectivo  é denominado “ou exclusivo” porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações
distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem.
1. A proposição “João nasceu durante o dia ou João nasceu durante a noite” não tem valor
lógico V.
06- (CGU-2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não
sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de
Clara. Assim,
a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.
b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.
GABARITO
01
E
02
E
03
E
04
EC
05
E
06
C
c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.
d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.
e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.
III-CONJUNÇÃO
Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam
ligadas (operadas) pelo conectivo "e".
Exemplo:
T: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo)
U: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)
I
I
V
V
F
F
E
Tabela Verdade
E
I /\ E
V
V
F
F
F
V
F
F
Concluindo...
O operador “e” tem o sentido de “ ambos”, “simultaneidade”, “ao mesmo tempo” .
O operador “e” em operações de conjuntos dá idéia de “Intersecção” e uma idéia de
“multiplicação”.
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01( FUNIVERSA-POLÍCIA CIVIL-DF 2008) Os valores lógicos – verdadeiro e falso – podem constituir uma
álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser
representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo:
A
B
AeB
falso
falso
falso
falso
verdadeiro
falso
38
verdadeiro
falso
falso
verdadeiro
verdadeiro
verdadeiro
As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade.
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
I- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão
( A e B e C), são, respectivamente, falso, falso e
verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso.
II- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A ou B ou C), são, respectivamente, falso, verdadeiro
e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.
III- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, verdadeiro
e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.
IV- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A ou (B e C)], são, respectivamente, verdadeiro, falso
e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso
a) Todas as afirmativas estão erradas.
b) Há apenas uma afirmativa certa.
c) Há apenas duas afirmativas certas.
d) Há apenas três afirmativas certas.
e) Todas as afirmativas estão certas.
Comentário: Esta questão trata-se apenas da aplicação da tabela verdade.
O item I - A ^B ^C 
F ^F ^ V = F ( certo o item )
O item II – A v B v C 
F v V v F = V ( certo o item )
O item III - [ A ^ (B V C)] 
[ F ^ ( V v V )] = F ( errado o item )
O item IV – [ A ou (B e C)] 
[ V v (F ^ F)] = V ( errado o item)
RESPOSTA “C”
02) (CESPE-2008)
Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é
considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando
essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas —
quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) — dispostas em uma grade, julgue os itens seguintes.
1 A afirmativa Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos é uma proposição falsa.
Comentário: Analisando a grade temos:
39
Existe um pentágono grande
e
todos os triângulos são pequenos.
V/F(?)
^
F
= F
Sendo a primeira proposição “Existe um pentágono grande” verdadeiro ou falso(?), pois segundo a
grade temos apenas um tamanho de pentágono, o que não nos permite afirmar com certeza que ele é
pequeno ou grande( uma sentença aberta – não valorada- não há referencial) a segunda proposição “todos
os triângulos são pequenos” falsa, pois segundo a grade temos triângulos grandes. Logo pela conjunção
temos um resultado falso, pois se uma proposição é falsa, o resultado já é falso. O item está correto por
afirmar que a proposição é falsa.
IV-CONDICIONAL
Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam
ligadas( operadas) pelo conectivo “Se..., então...”/ “Quando”.
A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que
são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica
denotada por A  B pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A  B, em que
A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e b é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A
B
V
F
V
V
Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira e a
segunda falsa, então se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução, deverá ser
considerada verdadeira e se sabemos que a segunda é falsa a primeira deverá ser considerada falsa.
Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor-lógico da
segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira não temos como deduzir o valor-lógico da primeira.
Veja:
A
B
Antecedente
Conseqüente
Em uma proposição condicional temos as seguintes condições:
X
Antecedentes
Conseqüentes
Y
X= Condicional suficiente
Y= Condicional Necessária
Ex:
Se o dia estiver claro, estão José vai ao comércio.
40
Temos que:
O dia estar claro é condição suficiente para José ir ao comércio.
ou
José ir ao comércio é condição necessária para o dia estar claro
O Operador “Se...então...” dá idéia de inclusão de dois conjuntos, em que, p→ q 
pq
Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não
pode (comutar) a tabela verdade ostra isto claramente nas linhas 2 e 3, em que os
resultados são diferentes.
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Uma outra demonstração é por meio dos diagramas, onde temos: p → q

APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01) (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.
Ora, o passarinho canta. Logo:
A) O jardim é florido e o gato mia;
B) O jardim é florido e o gato não mia;
C) O jardim não é florido e o gato mia;
D) O jardim não é florido e o gato não mia;
E) Se o passarinho canta então o gato não mia
Comentário :
Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras temos:
V
V
P1: O jardim não é florido  O gato mia
F
(V)
F
(V)
41
P2: O jardim é florido  o passarinho não canta
P3: O passarinho canta
(V)
Partindo da premissa p3 como (V) temos as seguintes valorações para as demais proposições simples, de
acordo com a tabela verdade da condicional analisando as respostas:
a) o jardim é florido e o gato mia.
F /\ V = F
b) o jardim é florido e o gato não mia.
F /\ F = F
c) o jardim não é florido e o gato mia.
V /\ V = V
d) o jardim não é florido e o gato não mia.
V /\ F = F
e) Se o passarinho canta então o gato não mia.
V→F=F
Logo temos que a sentença “C” é verdadeira.
Obs: você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o item verdadeiro.
03) (CESPE-2008)
Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é
considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando
essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas —
quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) — dispostas em uma grade, julgue o item seguinte.
1 A proposição Se A é um triângulo pequeno, então A está atrás de C é verdadeira.
Comentário:
A proposição composta: “A é um triângulo pequeno  A está atrás de C” será valorada pela grade
acima apresentada . Então:
(verdade)
(falsa)
A é um triângulo pequeno  A está atrás de C  V  F = F (falso)
Item errado.
42
MOMENTO DE TREINAMENTO
(Conectivos: Disjunção, disjunção exclusiva, conjunção e condicional)
01) (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica
em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo:
A) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória
B) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
C) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
D) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
E) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
02) (ESAF) Se não durmo, bebo. Se estiver furioso, durmo. Se dormir, não estou furioso. Se não estou
furioso, não bebo. Logo:
A) Não durmo, estou furioso e não bebo.
B) Durmo, estou furioso e não bebo.
C) Não durmo, estou furioso e bebo.
D) Durmo, não estou furioso e não bebo.
E) Não durmo, não estou furioso e bebo.
03) (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi
efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não.
Sabe-se, ainda, que:
I. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;
II. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;
III. O mordomo não é inocente.
Logo:
A) A governanta e o mordomo são os culpados.
B) Cozinheiro e o mordomo são os culpados.
C) Somente a governanta é culpada.
D) Somente o cozinheiro é inocente.
E) Somente o mordomo é culpado.
04) (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra fogo", mas não tem certeza se o mesmo
está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís, e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está em
cartaz ou não. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está
enganado. Se Luís estiver enganado então o filme não está sendo exibido. Ora. Ou o filme "Fogo contra
fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:
A) Filme "fogo contra fogo" está sendo exibido.
B) Luís e Júlio não estão enganados.
C) Júlio está enganado, mas não Luís.
D) Luís está enganado, mas não Júlio.
E) José não irá ao cinema.
05) (AFC) Ou lógica é fácil, ou Arthur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então
Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Arthur gosta de Lógica, então:
A) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
B) Lógica é fácil e Geografia é difícil.
C) Lógica é fácil e Geografia é fácil.
D) Lógica é difícil e Geografia é difícil.
E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.
43
06) (ESAF) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então
Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora Rui não vaia Roma, logo:
A) Celso compra um carro e Ana não vai à África;
B) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro;
C) Ana não vai à África e Luís compra um livro;
D) Ana vai à África ou Luís compra um livro;
E) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.
07) (ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se
Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:
A) Nestor e Júlia disseram a verdade.
B) Nestor e Lauro mentiram.
C) Raul e Lauro mentiram.
D) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade.
E) Raul e Júlia mentiram.
08) (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia
têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então
Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:
A) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro;
B) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade;
C) Carlos e João são mais moços do que Pedro;
D) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedra;
E) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.
09) (ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico
deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não
passeio. Hoje eu passeio. Portanto, hoje:
A) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor;
B) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor;
C) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor-;
D) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor;
E) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
10) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos /\, v e  sejam
operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na
lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V)
ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a
seguir.
(1) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (. P) V (. Q) também é verdadeira.
(2) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R  (T) é falsa.
(3) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P /\ R)  (Q) é
verdadeira.
11) (CESPE- 2004 ) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬ e → são
operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na
lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas
(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para
cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo.
P
Q
¬P
P /\ Q
P→Q
44
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R
represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens
seguintes.
(1) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser
corretamente representada por ¬P→ (¬R /\ ¬Q).
(2) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por
P /\ ¬Q.
(3) Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como
V, então a sentença representada por ¬P → Q é falsa.
01
02
03
04
05
06
07
GABARITO
A
08
E
D
09
C
B
10
EEC
E
11
CCE
B
A
B
V - BICONDICIONAL
Denomina-se bicondicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas pelo
conectivo “se, e somente se”.
Exemplo:
A: Gosto de lógica.
B: Gosto de matemática.
A proposição bi-condicional ‘A se, e somente se, B' pode ser escrita como:
A↔ B: Gosto de lógica se, e somente se,Gosto de matemática.
Tabela Verdade
Quando declaramos que esta proposição bicondicional devemos de
A B
A
B
acordo com os axiomas da Lógica aceitar como verdadeiro que: Se é
V
V
V
verdade que Gosto de lógica, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de
matemática. Se é verdade que gosto de matemática, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de lógica. Se é
falso que gosto de lógica, obrigatoriamente, é falso que gosto de matemática, e, se é falso que gosto de
matemática, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica. Qualquer outra possibilidade representa um
conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo representam esta situação.
45
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Conclusão: Na proposição bi-condicional se a primeira das duas proposições simples que a compõem for
verdadeira a segunda será verdadeira e se a primeira for falsa a segunda será falsa. Se a segunda for falsa a
primeira será falsa e se a segunda for verdadeira a primeira será verdadeira. Veja:
V
F
Quando temos:
P→Q
 PQ
e
Q→P
V
F
 QP
Logo P=Q
 P↔Q
Uma aplicação deste conceito foi comentada na prova do TRF 1ª REGIÃO em 2006.
Se todos nossos atos tem causas, então não há atos livres.
Se não há atos livres, então todos nossos atos tem causas.
Tomando como proposições:
P1: Todos nossos atos tem causas.
P2: Não há atos livres.
P→Q
→ P↔Q “Todos nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres.”
Q→P
P é condição necessária e suficiente para Q
Temos que observar que em muitas questões de concursos públicos os conectivos lógicos: condicional e
bicondicional são expressões não em uma linguagem formal ( seu significado), mas por meio de condições
impostas as proposições simples que compõem uma sentença composta. Vejamos nas questões abaixo:
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01-(EPPGG - MP/2005 –ESAF)
Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é
condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para
Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:
a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
46
c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.
e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
Comentário :
Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma
conclusão verdadeira.
(F)
(F)
P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V)
(V)
(V)
P2: Helena não ir à Holanda  Carlos ir ao Canadá (V)
(F)
(V)
P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V)
(F)
(F)
P4: Helena ir à Holanda  Alexandre ir à Alemanha (V)
Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelasverdade valoramos as proposições simples.
Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos:
a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
V ^ F ^ V = F ( errado )
b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
F ^ V ^V = F ( errado )
c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
V ^ V ^V = V ( certo )
d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.
F ^ F ^ F = F ( errado )
e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
F ^F ^ F = F ( errado )
Logo temos como item correto a letra C .
02 (ESAF/TÉCNICO-2006)
Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise
dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim,
quando Carmem canta,
a)
b)
c)
d)
e)
Denise não dança ou Ana não chora.
nem Beto bebe nem Denise dança.
Beto bebe e Ana chora.
Beto não bebe ou Ana não chora
Denise dança e Beto não bebe
Comentário :
Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma
conclusão verdadeira.
(V)
(V)
P1: Carmem cantar Beto beber (V)
(V)
(V)
P2: Beto beber  Denise dançar (V)
(V)
(V)
P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)
(V)
P4: Carmem cantar (V)
Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelasverdade valoramos as proposições simples.
Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos:
(F)
v
(F)
= (F)
a) Denise não dança ou Ana não chora
47
(F)
^
(F)
=F
b) Nem Beto nem Denise dançam
(V)
^
(V) = V
c) Beto bebe e Ana chora
(F)
^
(F) =F
d) Beto não bebe e Ana não chora
(V)
^
(F) =F
e) Denise dança e Beto não bebe.
Logo temos como item correto a letra C .
Momento de Treinamento
1) (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para
Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para
Sandra abraçar Sérgio.
Assim, quando Sandra não abraça Sérgio:
A) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
B) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não, abraça Paulo.
C) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
D) João não está feliz, e Maria não sorri e Daniela não abraça Paulo.
E) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
2) (ESAF) O Rei ir à caça é condição necessária para o Duque sair do castelo, e é condição suficiente para a
Duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a Princesa é condição necessária e suficiente para o
Barão sorrir e é condição necessária para a Duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu, logo:
A) A Duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a Princesa.
B) Se o Duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a Princesa.
C) O Rei não foi à caça e o Conde não encontrou a Princesa.
D) O Rei foi à caça e a Duquesa não foi ao jardim.
E) O Duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
3) (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição
suficiente para a ocorrência de D. Sabe se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e
suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre:
A) D ocorre e B não ocorre.
B) D não ocorre ou A não ocorre.
C) B e A ocorrem.
D) Nem B nem D ocorrem.
E) B não ocorre ou A não ocorre.
GABARITO
01
D
02
C
03
C
48
VI- NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO
O 'não' é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico,
ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos
usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição
Proposição p
Reginaldo é
trabalhador
Proposição ¬p
Reginaldo não é trabalhador
Não é verdade que
Reginaldo é trabalhador
É falso que Reginaldo é
trabalhador
Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa. Veja:
Se a proposição...
A bola é pesada
então a proposição...
A bola não é pesada
tem valor lógico...
verdadeiro
tem valor lógico...
Falso
Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa.Veja:
Se a proposição...
Não quero.
então a proposição...
Quero.
tem valor lógico...
verdadeiro
tem valor lógico...
Falso
Não quero, verdadeiro. Quero, falso Podemos representar as tabelas acima apenas por:
p
V
F
~ p ou ¬ p
F
V
49
03– LÓGICA DE 1ª ORDEM
VERDADES E MENTIRAS
As três “Leis do Pensamento” ou Princípios Fundamentais da
Lógica Proposicional
Os que definiram a Lógica como a ciência. das leis do pensamento sustentaram, freqüentemente,
que existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para
que o pensar se desenvolva de maneira "correta". Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente,
os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não-Contradição) e
Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes
contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:
O Princípio de Identidade afirma .que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. ,
O Princípio da Não-contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso.
O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro, ou é falso.
O princípio da Identidade afirma que todo o enunciado da forma p  p é verdadeiro, ou seja, que
todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. O princípio de Contradição afirma que todo o enunciado da
forma p /\ ~ p é falso, ou seja, que todo o enunciado desse tipo é contraditório. O “Princípio do Terceiro
Excluído” afirma que todo o enunciado da forma p v ~ p é verdadeiro, ou seja, que todo o enunciado desse
tipo é uma tautologia.
Nas provas de concursos temos questões de analítica em que devemos aplicar
conhecimentos associados aos princípios fundamentais, onde devemos experimentar as
duas valorações possíveis para uma proposição, V ou F. Sendo que apenas uma das
hipóteses deverá dar certo, a outra resultará em uma contradição, vamos aos exemplos:
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
01-( CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA )Com relação à lógica formal, julgue o item seqüente.
(
) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.
50
Comentário
O item está errado, pois segundo a informação da sentença dá-se a entender que uma proposição
pode assumir uma quantidade de dois ou mais valores lógicos, o que não respeita uma das leis do
pensamento: “Princípio do Terceiro Excluído”.
02- (CESPE-2004- PF- PAPILOSCOPISTA) - Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa.
Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no
caso de uma proposição ¬R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então concluise que R é verdadeira (ou ¬R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e
sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item
que se segue:
( ) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois
tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o
indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos,
então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.
Comentário :
Neste tipo de questão temos apenas dois tipos de indivíduos, logo aplicaremos o seguinte método
(experimentação): Primeiro atribuiremos a P que ele fale sempre a verdade, então iremos realizar a
análise, se houver alguma contradição, iremos atribuir a P que ele sempre fale a mentira. Uma das
hipóteses dará certo, de acordo com as leis do pensamento.
Sendo assim temos:
Indivíduo P
Q fala a
verdade
Indivíduo Q
Eu e P somos
de tipos
opostos
FALA VERDADE
FALA VERDADE
1- Atribuindo a P V(verdade) acreditaremos no que ele disser , pois fala a verdade, logo ao
falar que Q fala a verdade, teremos que Q irá falar a verdade também (v).
ANALISANDO: Quando Q afirma que ele e P são tipos opostos, o mesmo entra em contradição,
o que não deveria acontecer, pois o mesmo só fala a verdade, logo esta análise está inválida.
______________________________________________________________________________________
Indivíduo P
Indivíduo Q
Q fala a
verdade
Eu e P somos
de tipos
opostos
FALA MENTIRA
FALA MENTIRA
2- Atribuindo a PF(mentira), pegamos o oposto do que ele disse, pois o mesmo sempre mente,
logoQ irá mentir também, e ao mentir disse que P fala a verdade, o que é mentira, pois o Q é mentiroso,
logo os dois mentem. E assim podemos concluir que os dois mentem. O item está correto.
03-(CESPE-2004- SERPRO ANALISTA ) No final dos anos 70 do século passado, um importante lógico
chamado Smullyan descreveu, em um livro, uma ilha onde havia apenas dois tipos de pessoas: mentirosas,
pois só falavam mentiras, e honestas, pois só falavam verdades. Um visitante chega à ilha, aproxima-se de
quatro nativos, chamados Jari, Marli, Geni e Marlim, e inicia WTI a conversação da qual se relatam os
seguintes trechos.
51
( ) De acordo com o trecho 1 da conversa, está correto que o visitante conclua que Jarí e Marli são ambos
mentirosos.
( ) De acordo com o trecho 2 da conversa, se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso,
então o visitante chegou a uma conclusão errada.
Trecho 1
Trecho 2
Geni diz a Marlim: nós dois somos honestos.
Jari diz: Marli é honesta
Marlim diz: a Geni é mentirosa.
Marli diz: Jari e eu somos pessoas de tipos opostos
Comentário :
Esta questão pode ser analisada da mesma forma da segunda questão (PF 2004) já comentada
anteriormente.
No trecho 1 temos: Supondo Jarí (V) fala sempre a verdade temos que Marli também falará a
verdade o que faz com que Marli entre em contradição, pois o mesmo afirmar que eles são tipos opostos.
Então iremos supor agora que Jarí (F) fala sempre a mentira o que faz com que Marli fale mentira
também segundo a contradição . Supondo Marli com (F) falando a mentira temos que sua declaração
deverá ser analisada de forma contrária o que faz com que Jari também é mentirosa. Logo os dois mentem.
No trecho 2 temos : Neste caso é melhor começarmos analisar pela Marlim ,pois sua declaração é
simples,então supondo Marlim (V) temos que Geni fala a mentira, o que faz com que este minta e ao mentir
o mesmo afirma que os dois são honestos , o que não é verdade pois ao afirmar que os dois são honestos
ele está mentindo o que deixa a questão com as seguintes valorações : Marlim(V) e Geni (F).
04-(CESPE-2007- BANCO DO BRASIL) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e
lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se
entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. Duas pessoas
carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala
somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a
segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala
somente verdades.
Com base no texto acima, julgue o item a seguir.
( ) Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas
são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.
Comentário :
Vamos resumir o texto da seguinte forma
FP= ficha preta
FB= ficha branca
Supondo que a 1ª pessoa FALA A VERDADE, temos:
1ª Pessoa (Fala a verdade)
52
V(Carrega ficha branca) ao falar que “nossas fichas não são da mesma cor”, isto é verdade, pois uma
pessoa que fala a verdade não pode mentir, logo a ficha da 2ª pessoa deverá ser preta. Sendo a ficha da 2ª
pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: “Nossas fichas são da mesma cor”, diz a
2ª pessoa, o que é verdade, algo que não pode acontecer pois uma pessoa que fala a verdade não pode
mentir. “Princípio da não contradição”.
Supondo que a 1ª pessoa FALA MENTIRA, temos:
1ª pessoa (Fala mentira)
F(Carrega ficha preta) ao falar que “nossas fichas não são da mesma cor”, isto é mentira, pois uma pessoa
que fala mentira não pode falar a verdade, logo a ficha da segunda pessoa será preta. Sendo a ficha da
segunda pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: “Nossas fichas são da mesma
cor”, diz a segunda pessoa, o que é verdade, logo os dois possuem fichas da mesma cor.
1ª Pessoa – FP (F)
2ª Pessoa – FP (V)
O item está certo
QUESTÕES COM CONTRADIÇÕES E EXPERIMENTAÇÃO
Nas provas de concursos temos questões em que as bancas cobram dos candidatos uma análise referente
à declarações realizadas em uma determinada situação procurando na maioria das vezes saber que é o
mentiroso e até mesmo o culpado de um determinado delito.Isto é notável nas ultimas provas para Polícia
Federal 2004 e Policia civil 2008. Sendo assim é necessário utilizar um método prático para resolução
dessas questões.
Nas questões com declarações onde existem pessoas que mentem e falam a verdade, em que
podemos perceber existir uma contradição entre declarações, pois não há como adivinhar quem mente ou
quem fala a verdade, sendo assim , devemos aplicar o que foi ensinado no início referente as três leis do
pensamento, onde uma proposição” declaração” não pode ser verdadeira(V) e falsa ( F)ao mesmo tempo,
daí teremos uma possível valoração para estas declarações... Vejamos as questões comentadas de 01 E 02
abaixo e a aplicação do método :
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01) ESAF
Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando,
Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: “Sou inocente”
Celso: “Edu é o culpado.”
Edu: “Tarso é o culpado”
Juarez: “Armando disse a verdade”
Tarso: “Celso mentiu”.
53
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se
concluir que o culpado é:
a) Edu
b) Tarso
c) Juarez
d) Armando
e) Celso
RESOLUÇÃO :
De acordo com a questão temos que as declarações de:
Celso: “Edu é o culpado”
Tarso: “Celso mentiu”.
Existe uma contradição:
Não é possível as duas serem
verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo.
Logo temos que uma é verdadeira e a
outra é falsa ou vice-versa.
Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu...”,
podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Celso ou Tarso, logo podemos analisar da
seguinte forma:
- Armando: “Sou inocente” (v)
- Celso: “Edu é o culpado.”
- Edu: “Tarso é o culpado” (v)
- Juarez: “Armando disse a verdade” (v)
- Tarso: “Celso mentiu”.
Iremos valorar estas declarações de acordo
com as outras que temos certeza que são
verdadeiras, pois a única mentira irá se
encontrar na contradição.
Sendo verdadeiras as declarações de Armando, Edu e Juarez podemos concluir que Tarso é o
culpado. Logo por Tarso ser o culpado temos que Celso mentiu e Tarso falou a verdade.
Armando: “Sou inocente” (v)
Celso: “Edu é o culpado.” (F)
Edu: “Tarso é o culpado” (v)
RESPOSTA LETRA “B”
Juarez: “Armando disse a verdade” (v)
54
Tarso: “Celso mentiu”. (v)
02) (ESAF 2000) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhado
por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:
l.
Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem
pagar foi:
Existe uma contradição:
a) Mara
b) Maria
c) Mário
d) Manuel
e) Marcos
Não é possível as duas serem
verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo.
Logo temos que uma é verdadeira e a
outra é falsa ou vice-versa, pois Mara
vai contra a informação de Mário.
RESOLUÇÃO :
De acordo com a questão temos que as declarações de :
Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que um e somente um dos colegas
mentiu” podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Mara ou Mário, logo podemos
analisar da seguinte forma:
Iremos valorar estas declarações de acordo com
as outras que temos certeza que são verdadeiras,
pois a única mentira irá se encontrar na
contradição.
(v)
(v)
Sendo verdadeiras as declarações de Marcos, Manuel e Maria, podemos concluir que foi a Mara
que entrou sem pagar, segundo a afirmação de Manuel.
55
RESPOSTA LETRA “A”
(v)
(v)
rcos”, disse Maria. (v)
56
MOMENTO DE TREINAMENTO:
CONTRADIÇÕES
TEXTO PARA AS QUESTÕES 01 E 02
Um grupo de 4 jovens foi encontrado por um policial que passava pelo local e frente a um muro recémpichado. O policial, tentando encontrar o autor do vandalismo, pergunta:
- Quem pichou o muro?
Jorge, um dos jovens, responde:
-Não fui eu. Eu estava apenas de passagem por aqui, assim, como o senhor.
Marcelo responde e seguia, apontando para outro:
- Quem pichou o muro foi Marcos.
Pedro defende o amigo:
-Marcelo está mentindo.
Marcos se manifesta, acusando outra pessoa:
-Eu jamais picharia o muro, quem pichou foi Pedro. O policial percebe que apenas um deles mentiu.
01 .( FUNIVERSA 2008 ) Com base no texto VI, assinale a alternativa correta.
a) Jorge mentiu
b) Marcos mentiu
c) Marcelo mentiu
d) Pedro mentiu
e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens mentiu.
02 .( FUNIVERSA 2008 ) Ainda com base no texto, assinale a alternativa correta.
a) Jorge pichou o muro
b) Marcos pichou o muro
c) Marcelo pichou o muro
d) Pedro pichou o muro
57
e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens é o autor do
vandalismo.
03. (CESPE-2004) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o
interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.
• A afirmou que C matou o líder.
• B afirmou que D não matou o líder.
• C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação
no crime.
• D disse que C não matou o líder.
Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em
suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.
a) A declaração de C não pode ser verdadeira.
b) D matou o líder.
04) Quatro pessoas interrogadas pela polícia, sob suspeita de terem cometido um roubo.
- Eu não fui, diz Eduardo.
- Foi o Fábio, afirma Heitor
- Foi o Paulo, garante o Fábio
- O Heitor está mentindo, diz Paulo.
Sabendo que somente um deles mentiu e que somente um deles cometeu o roubo, quem é o ladrão?
a) Fábio
b) Paulo
c) Eduardo
d) Heitor
05) (FGV - FNDE 2007) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando
chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons. Logo ao retornar à sala, o pai viu que
um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito.
André disse: - Não fui eu.
Bernardo disse: - Foi Carlos quem pegou o bombom.
Carlos:- Daniel é o ladrão do bombom.
Daniel:- Bernardo não tem razão.
Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então:
(A) André pegou o bombom.
58
(B) Bernardo pegou o bombom.
(C) Carlos pegou o bombom.
(D) Daniel pegou o bombom.
(E) Não é possível saber quem pegou o bombom.
GABARITO:
1C
2D
3CC
4B
5-D
EXPERIMENTAÇÃO
Nas questões com declarações em que não há contradições entre duas ou mais declarações
devemos valorar uma declaração como verdadeira e partir dela, caso não esteja correto, devemos começar
com a declaração sendo falsa, ou seja, experimentar. Vejamos as questões comentadas de 01 e 02 abaixo e
a aplicação do método:
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01- (AFC/ ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis obtiveram os quatro primeiros lugares em um
concurso de oratória julgado por uma comissão de três juizes. Ao comunicarem a classificação final,
cada Juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa:
Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”.
Juiz 2: ”André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”.
Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”.
Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocado foram
respectivamente:
a) André Caio, Beto, Dênis.
b) Beto, André, Caio, Dênis.
c) André Caio, Dênis, Beto.
d) Beto, André, Dênis, Caio.
e) Caio, Beto, Denis, André.
Comentário:
Nesta questão temos duas possibilidades para cada discurso, ou seja, cada um contendo uma
informação verdadeira para o primeiro e falsa para a segunda, ou falsa para a primeira e verdadeira para a
segunda. Logo temos que realizar uma experimentação:
59
1ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE)
Supondo a valoração para o primeiro juiz:
“André foi o primeiro”. (verdade)
“Beto foi o segundo”. (falso)
Temos:
Juiz 1: “André foi o primeiro ( verdadeiro)
;
Beto foi o segundo”. (falso)
Juiz 2: ”André foi o segundo
;
Dênis foi o terceiro”. (verdadeiro)
;
Dênis foi o quarto”. (falso)
(falso)
Juiz 3: “Caio foi o segundo ( verdadeiro)
Supondo a valoração para o primeiro juiz:
“André foi o primeiro”. (falso)
“Beto foi o segundo”. (verdade)
2ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE)
Temos:
Juiz 1: “André foi o primeiro (falso)
;
Beto foi o segundo”. (verdadeiro )
Juiz 2: ”André foi o segundo (verdadeiro)
Juiz 3: “Caio foi o segundo ( verdadeiro)
;
;
Dênis foi o terceiro”. (falso)
Dênis foi o quarto”. (falso)
NESTE CASO TIVEMOS EMPATE ENTRE BETO E CAIO, LOGO ESTA SITUAÇÃO NÃO ESTÁ DE
ACORDO. SENDO ASSIM A PRIMEIRA SITUAÇÃO ESTA CORRETA. RESPOSTA LETRA “C”.
02- (CGU/ESAF 2008) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas
vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e
as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que
Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz
que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa
vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são
respectivamente:
a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.
b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.
c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.
d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.
e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.
Comentário:
Esta questão assim como a anterior devemos experimentar a partir da primeira declaração como
verdadeira, caso não haja contradição a questão estará de acordo, mas se houver deveremos começar como
falsa.
A cada valoração iremos associar a cor da blusa.
60
1ª SITUAÇÃO: Ana começando falando a verdade.
- Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a verdade então veste blusa vermelha, sua declaração
é verdadeira, logo Beatriz veste blusa vermelha).
- Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa vermelha, então fala a verdade, sua
declaração é verdadeira, logo Carolina veste amarelo e com isto é mentirosa, pois quem veste amarelo
mente).
- Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa,
logo Denise veste blusa vermelha e fala a verdade, pois quem veste vermelho fala verdade).
- Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste vermelho, então fala a
verdade, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Como
sabemos que Beatriz veste blusa de cor vermelha, então Eduarda veste blusa de cor amarela, o que significa
que a mesma mente).
- Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa,
logo Ana tem que vestir amarelo, para que Eduarda esteja mentindo).
Percebemos que Eduarda está falando a verdade o que não pode acontecer, pois ela é uma
pessoa mentirosa. Uma pessoa que mente não pode falar a verdade (entrar em contradição). Neste caso, a
1ª situação não está de acordo.
2ª SITUAÇÃO: Ana começando falando mentira .
- Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a mentira então veste blusa amarela, sua declaração é
falsa, logo Beatriz veste blusa amarela).
- Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa amarela, então fala a mentira, sua
declaração é falsa, logo Carolina veste vermelho e com isto fala a verdade, pois quem veste vermelho fala a
verdade).
- Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina fala a verdade, então veste vermelho, sua
declaração é verdadeira, logo Denise veste blusa amarela e fala mentira, pois quem veste amarelo fala
mentira).
- Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste amarelo, então fala a
mentira, sua declaração é falsa, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores iguais. Como sabemos que
Beatriz veste blusa de cor amarela, então Eduarda veste blusa amarela, o que significa que a mesma fala
mentira).
- Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda fala mentira, então veste amarelo, sua declaração é
falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, o que realmente acontece, pois Ana é mentirosa).
Neste caso, a 2ª situação está de acordo, pois nenhuma delas entra em contradição com sua
própria declaração.
A resposta será:
Ana: Amarelo Beatriz: Amarelo Carolina: Vermelho
Denise: Amarelo Eduarda: Amarelo
61
AULA 04– LÓGICA DE 1ª ORDEM
TAUTOLOGIA
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tautologia se ela for
sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos.
Em filosofia e outras áreas das ciências humanas, diz-se que um argumento é tautológico quando se
explica por ele próprio, às vezes redundantemente ou falaciosamente. Por exemplo, dizer que "o mar é azul
porque reflete a cor do céu e o céu é azul por causa do mar" é uma afirmativa tautológica. Da mesma forma,
um sistema é caracterizado como tautológico quando não apresenta saídas à sua própria lógica interna —
em outro exemplo, exige-se de um trabalhador que tenha curso universitário para ser empregado, mas ele
precisa ter um emprego para receber salário e assim custear as despesas do curso universitário.
Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma Tautologia. Ex: P(p,q)=
(p ∧ q) <=> ~(p ∨ q) Numa Tautologia, o valor lógico da proposição composta P(p,q,s)={(p ∧ q) ∨ (p ∧ s) ∨ [p
∧ ~(q ∧ s)]} → p, será sempre verdadeiro.
Exemplo:
A
V
V
F
F
~A
F
F
V
V
B
V
F
V
F
A→B
V
F
V
V
~A v B
V
F
V
V
(A→B) ↔ (~A v B)
V
V
V
V
A proposição (A → 7 B) « (~A v B)é uma tautologia.
Momento de Treinamento
1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos
termos que a compõem. Verifique se a proposição composta (p /\ ~p)→(p v q)é uma tautologia.
p
V
V
F
F
~p
F
F
V
V
q
V
F
V
F
p /\ ~ p
pvq
(p /\ ~p)→(p v q)
2) (ESAF) Um exemplo de Tautologia é:
A) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.
B) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.
C) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
D) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.
E) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
3) CESPE – STF 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO Julgue os itens seguintes relacionados à lógica
proposicional.
1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das
proposições simples que a compõem forem verdadeiros.
62
4) (CESPE/SENADO-2002) tautologia. S. f.
1. Vício de linguagem que consiste em dizer, por formas diversas, sempre a mesma coisa: “A gramática
usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.” (João Ribeiro, Cartas Devolvidas, p. 45).
2. Filos. Proposição que tem por sujeito e predicado um mesmo conceito, expresso ou não pelo mesmo
termo.
3. Filos. Erro lógico que consiste em aparentemente demonstrar uma tese repetindo-a com palavras
diferentes.
Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira.
4. Na linguagem da lógica proposicional, denomina-se tautologia a toda fórmula α (nessa linguagem) para a
qual toda valoração verdadeira ou falsa dada a seus símbolos proposicionais resulta que α é verdadeira.
Considerando as acepções listadas acima, julgue, em cada item seguir, se a proposição apresentada é uma
tautologia de acordo com a acepção que a precede.
1- Acepção 2: O sal é salgado.
2- Acepção 2: Todo indivíduo gordo ingere mais alimentos do que necessita.
3- Acepção 3: Para provar que 0 < 1, suponha que 1 > 0; como isso é claramente verdade, conclui-se que 0
< 1.
4- Acepção 4: Se 7% dos candidatos inscritos no concurso público do Senado Federal concorrem a vagas
para o cargo de Consultor de Orçamentos e 93% concorrem para Consultor Legislativo, então a maioria dos
candidatos no concurso público do Senado Federal concorre para o cargo de Consultor Legislativo.
5- Acepção 4: A gramática usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.
5) (CESPE 2008- SEBRAE) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente,
representados por ^, v, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R,
representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso,
respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
1.A proposição [(PQ)  (QR)]  (PR) é uma tautologia.
6) ( CESPE – TRT 5ª RG – 2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B
uma tautologia.
↔
(¬A)
^ (¬B) é
63
GABARITO
1-
6-E
p
~p
q
p /\ ~ p
pvq
(p /\ ~p)→(p v q)
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
2- a
3- errada
4- C E C C E
5- C
CONTRADIÇÃO
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição ou contraválida se
ela for sempre falsa, independente da verdade de seus termos.
A
V
F
~A
F
V
A↔~A
F
F
Exemplo:
A proposição A ↔ ~A é uma contradição
MOMENTO DE TREINAMENTO
1) Uma proposição é uma contradição quando é sempre falsa. Verifique se a proposição composta P/\~P é
uma contradição.
p
V
F
~p
F
V
p /\ ~p
F
F
2) (CESPE) Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro.
Simbolizando por P trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro,
obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que é lida: Se P então Q, e
simbolizada por P Q. Uma tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que
tenha a forma P Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas
informações e na simbolização sugerida, julgue os itens.
subseqüentes. ...
64
(1) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma
do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado." É uma tautologia.
(2) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu
cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro." não é uma tautologia.
GABARITO
01) É Contradição
p
V
F
~p
F
V
p /\ ~p
F
F
02) CC
CONTINGÊNCIA
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma
contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao
final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição
(só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência!
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições
indeterminadas.
P
Q
R
(P/\Q)
(P/\Q) V R
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
65
05– LÓGICA DE 1ª ORDEM
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os
resultados das tabelas-verdade são idênticos.
A B
A) LEIS ASSOCIATIVAS
1) (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C)
2) (A v B) v C A v (B V C)
DEMONSTRAÇÃO: (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C)
A
V
V
V
V
F
F
F
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
F
V
F
V
F
V
F
(A/\B)
V
V
F
F
F
F
F
F
(A/\B) /\C
V
F
F
F
F
F
F
F
B/\C
V
F
F
F
V
F
F
F
A/\(B/\C)
V
F
F
F
F
F
F
F
Exemplo
B) LEIS DISTRIBUTIVAS
3) A /\ (B V C)  (A /\ B) V (A /\ C)
4) A v (B /\ C)  (A v B) /\ (A v C)
DEMONSTRAÇÃO: A /\ (B V C)  (A /\ B) V (A /\ C)
A
V
V
V
V
F
F
F
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
F
V
F
V
F
V
F
BVC
V
V
V
F
V
V
V
F
A/\(BVC)
V
V
V
F
F
F
F
F
A/\B
V
V
F
F
F
F
F
F
A/\C
V
F
V
F
F
F
F
F
(A/\B)V(A/\C)
V
V
V
F
F
F
F
F
Exemplo :
66
C) LEI DA DUPLA NEGAÇÃO
5) ~(~A) A
DEMONSTRAÇÃO: ~(~A) A
A
V
F
~A
F
V
~(~A)
V
F
Exemplo :
PROPOSIÇÕES
PROPOSIÇÕES
EQUIVALENTES
Não é verdade que o
Prof. Josimar Padilha
não é brasiliense
O Prof. Josimar
Padilha é brasiliense
D) EQUIVALÊNCIA DA CONDICIONAL
6) ( A → B  ~A v B) / ( A → B ~B → ~A )
I ) A → B  ~A v B
DEMONSTRAÇÃO: A → B  ~A v B
A B ~A
A→B
~A vB
V V
F
V
V
V F
F
F
F
F V
V
V
V
F
F
V
V
V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A
→ B e ~A v B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A→ B  ~A v B
II) A → B ~B → ~A ( TEOREMA DA CONTRA-RECÍPROCO OU CONTRA-POSITIVA)
DEMONSTRAÇÃO: A → B ~B → ~A
A B ~A ~B
A→B
~B→~A
V V
F
F
V
V
V F
F
V
F
F
F V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo são proposições
logicamente equivalentes, isto é:
A→ B  ~B→ ~A
Essa relação é chamada de teorema contra recíproco.
Exemplos: Dizer que:
Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia.
67
É logicamente equivalente a dizer que:
Se Beatriz não briga com. Bia, então Beraldo não briga com Beatriz.
Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela inferência que se tem por meio da
intersecção das sentenças A→ B  ~A v B e A→ B  ~B →~A , em que podemos concluir: A v B 
~A→ B ou A v B  B →A.
Observe a tabela abaixo:
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
~A
F
F
V
V
~B
F
V
F
V
AvB
V
V
V
F
~A→B
V
V
V
F
~B→A
V
V
V
F
As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A V
B, ~A → B e ~B→ A são proposições logicamente equivalentes, isto é:
A V B  ~A → B,
A V B  ~B→ A,
~A → B  ~B→A.
Exemplos:
PROPOSIÇÃO
PROPOSIÇÃO
EQUIVALENTE
Se Enny tomar
remédio, ela vai ficar
boa.
Enny não toma
remédio ou fica boa
Clara anda ou corre
Se Clara não anda,
então Clara corre.
E) LEI DE AUGUSTUS DE MORGAN
7) ~(A /\ B)  (~A) V (~B) / ~(A v B)  (~A) /\ (~B)
I) ~(A /\ B)  (~A) V (~B)
A
V
DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B)  (~A) V (~B)
B
A /\ B
~(A /\ B ) ~A
~B
(~A) V (~B)
V
V
F
F
F
F
68
V
F
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições
~(A /\ B) e ( ~A ) V (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A /\ B)  ~A V ~ B .
II) ~(A v B)  (~A) /\ (~B)
A
V
V
F
F
DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B)  (~A) V (~B)
B
AVB
~(A V B )
~A
~B
(~A) /\ (~B)
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições
~(A V B) e ( ~A ) /\ (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A V B)  ~A /\ ~B .
F) EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL
8) [(AB) /\ (BA)]  [AB]
DEMONSTRAÇÃO
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AB
V
F
V
V
BA
V
V
F
V
(AB) /\ (BA)
V
F
F
V
A B
V
F
F
V
As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições
[(AB) /\ (BA)] e [AB]
G) EQUIVALÊNCIA COMUTATIVA :
Como já visto antes, ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: conjuntivo,
disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto é, ao trocarmos a
ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idênticos.
Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelasverdade não serão os mesmos, resumindo temos que o conectivo condicional não possui a propriedade
comutativa.
(A) /\ (B) (B) /\ (A)
(A) V (B) (B) V (A)
(A ) ↔ (B) (B) ↔ (A)
COMUTAM
(A)  (B)
 (B)  (A)
NÃO COMUTA
69
(A) v (B)  (B) v (A)
Nas últimas provas de concursos públicos temos visto a importância das equivalências lógicas,
aparecendo com maior freqüência. As leis são cobradas, mas torna-se interessante identificar quando duas
proposições são equivalentes. Então para isto, torna-se necessário construir as tabelas-verdade
possibilitando uma a análise concreta.
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
01. (CESPE 2008 SEBRAE ANALISTA) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são,
simbolicamente, representados por ^, V, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P,
Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógico verdadeiro e falso,
respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.
1. A proposição ¬(P^Q) é equivalente à proposição (¬P)V(¬Q).
Comentário:
A proposição composta: ¬(P^Q) “não é verdade que P e Q“ , ao aplicar a Lei de De Morgan temos :
(¬P)V(¬Q). As suas tabelas verdades são idênticas. “
O item está correto.
02.( CESPE/BB-2007) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não
ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A,
B, C etc. A expressão AB, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem
valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida
como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A
expressão da forma AB, lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B
são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma AB, lida como “A ou B”, é uma
proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas
definições, julgue os itens que se seguem.
1 Uma expressão da forma  (AB) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F
da proposição AB.
Comentário:
Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações, está
implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo aplicando uma
das leis.
A proposição composta:  (AB) “não é verdade que A e não B”, ao aplicar a Lei de De Morgan
temos :(¬A)V(B), logo pela Lei Condicional [ A → B (¬A)V(B)] , “As suas tabelas verdades são
idênticas.”
O item está correto.
03) (ESAF/TÉCNICO-2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,
70
a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.
Comentário:
Dada a proposição temos:
Elaine não ensaia 
Elisa não estuda.
O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o conseqüente (Elisa não estuda).
O conseqüente (Elisa não estuda) é condição necessária o antecedente (Elaine não ensaia).
Segundo os itens da questão não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário acima
realizado.
O que fazer?
Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição: Se Elaine não
ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim podemos concluir que não foi utilizada esta proposição, mas outra
e logo iremos lançar mãos dos nossos conhecimentos quanto a equivalências lógicas, pois utilizaremos
uma proposição logicamente equivalente a dada pelo enunciado da questão.
Como sabemos que segundo a lei condicional temos duas equivalências, qual a indicada: A
contra-positiva, umas vez que a mesma possuem condições o que neste caso exige a questão.
Aplicando a lei condicional:
Elaine não ensaia  Elisa não estuda.  Elisa estuda  Elaine ensaia
Agora sim, temos que:
I - Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.
II- Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar
A resposta correta é a letra E
04) (ESAF/TÉCNICO-2006) Uma sentença logicamente equivalente a “ Se Ana é bela, então Carina é feia”
é:
a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.
b)
c)
d)
e)
Ana é bela ou Carina não é feia.
Se Carina é feia, Ana é bela.
Ana é bela ou Carina é feia.
Se Carina não é feia, então Ana não é bela.
Comentário:
Dada a proposição temos:
Ana é bela  Carina é feia
Segundo a lei condicional temos duas equivalências:
I - Se Carina não é feia, então Ana não é bela.
II – Ana não é bela ou Carina é feia.
Assim temos:
A resposta correta é a letra E
Momento de Treinamento
1. Demonstrar, através de tabelas-verdade, as seguintes equivalências:
71
a) P  ( P  Q) 
b)
c)
d)
e)
f)
P
P  ( P  Q)  P  Q
Q  ( P  Q)  P  Q
P  ( P  Q)  P  Q
(P  Q)  ( P  R)  P  (Q  R)
(P  Q)  ( P  R)  P  (Q  R)
P  Q  ( P  Q)  ( P  Q)
g)
2. (CESPE) Julgue os itens:
( )
As tabelas de valorações das proposições P  Q e Q  P são iguais.
As proposições (P  Q)  S e (P  S )  (Q  S ) possuem tabelas de valorações iguais.
Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que
dizer que “Se Rafael foi ao cinema, então Renata foi ao parque”.
( ) Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que
dizer que “Se Renata foi ao parque, então Rafael foi ao cinema”.
( ) As proposições “Quem tem dinheiro, não compra fiado” e “Quem não tem, compra” são logicamente
equivalentes.
( ) A tabela de interpretação de (P  Q)  P é igual a tabela de interpretação de P  Q .
3. (FGV - M. COMUNICAÇÕES/2006) Suponha que “Se X=1, então Y>7”. Assinale a conclusão correta.
( )
( )
a)
b)
c)
d)
e)
Se X  1 , então Y<7
Se X  1 , então Y  7
Se Y>7, então X=1
Se Y  7 , então X  1
Se Y=7, então X=1
4. (M. POG 2006) Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que
dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.
Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.
Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.
Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.
Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.
5. (GESTOR) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer
que:
a)
b)
c)
d)
e)
André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
André não é artista e Bernardo é engenheiro.
6. (AFT) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer
que:
a)
b)
c)
d)
e)
Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.
Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.
Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.
Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
7. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:
72
a)
b)
c)
d)
e)
Pedro é economista ou Luísa é solteira.
Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
Se Luísa é solteira, Pedro é economista.
Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.
Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
8. (TRT) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista:
“Se os juros bancários são altos então a inflação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do
economista é:
a)
b)
c)
d)
e)
Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos.
Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos.
Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa.
Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa.
Ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.
9. (UM-SP) Duas grandezas x e y são tais que “Se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que:
a)
b)
c)
d)
e)
Se x  3, então y  7
Se y = 7, então x = 3
Se y  7, então x  3
Se x = 5, então y = 5
Nenhuma das conclusões acima é válida
10. (ANA) Sabendo-se que o símbolo  denota negação e que o símbolo  denota o conectivo lógico ou, a
proposição A  B, que é lida “Se A, então B”, pode ser reescrita como:
a) A  B
b) A  B
c) A  B
d) A  B
e) ( A  B)
11. (ANPAD) Considere a sentença “Se é carnaval, os sambistas dançam nas ruas”. A contra positiva dessa
sentença é:
a)
b)
c)
d)
e)
Se os sambistas não dançam nas ruas, não é carnaval.
Se os sambistas dançam nas ruas, não é carnaval.
Se não é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.
Se os sambistas dançam nas ruas, é carnaval.
Se é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.
12. (CESPE/SENADO-2002) O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que:
Se n for um número natural diferente de 1, então n pode ser decomposto como
um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.
Julgue se cada um dos itens subseqüentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima.
1 É condição suficiente que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto
de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.
2 É condição necessária que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto
de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.
73
3 Se n não possuir decomposição como um produto de fatores primos, que seja única, a menos da ordem
dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1.
4 Ou n não é um número natural diferente de 1, ou n tem uma decomposição como um produto de fatores
primos, que é única, a menos da ordem dos fatores.
5 n é um número natural diferente de 1 se puder ser decomposto como um produto de fatores primos, de
modo único, a menos da ordem dos fatores.
13 (CESPE/SENADO-2002) A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias
de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por
exemplo, a implicação lógica denotada por p  q pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos,
ou seja, como P  Q, em que P é o conjunto cujos objetos cumprem a condição p, e Q é o conjunto cujos
objetos cumprem a condição q. Com o auxílio do texto acima, julgue se a proposição apresentada em cada
item a seguir é equivalente à sentença abaixo.
Se um indivíduo está inscrito no concurso do Senado Federal, então ele
pode ter acesso às provas desse concurso.
1 Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está
inscrito nesse concurso.
2 O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que
estão inscritos nesse concurso é vazio.
3 Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse
concurso.
4 conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao
conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso.
5 O conjunto de indivíduos que estão inscritos no concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às
provas desse concurso está contido neste último conjunto.
14- (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a
proposição definida simbolicamente por AB, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário
é V. O conectivo  é denominado “ou exclusivo” porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações
distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem.
1 Considerando que A e B sejam proposições, então a proposição AB possui os mesmos valores lógicos
que a proposição  (AB)  (AB).
15) (CGU-2008)
Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”.
Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.
74
16) (CESPE- SERPRO- ANALISTA 2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada verdadeira
(V) ou falsa (F). As proposições são normalmente representadas pelas letras maiúsculas A, B, C etc. A partir
de proposições dadas, podem-se construir novas proposições compostas, mediante o emprego de símbolos
lógicos chamados conectivos: “e”, indicado pelo símbolo lógico ^, e “ou”, indicado pelo símbolo lógico v. Usase o modificador “não”, representado pelo símbolo lógico ¬, para produzir a negação de uma proposição;
pode-se, também, construir novas proposições mediante o uso do condicional “se A então B”, representado
por AB. O julgamento de uma proposição lógica composta depende do julgamento que se faz de suas
proposições componentes. Considerando os possíveis julgamentos V ou F das proposições A e B, tem-se a
seguinte tabela-verdade para algumas proposições compostas.
Considerando-se a proposição A, formada a partir das proposições B, C etc. mediante o emprego de
conectivos (^ ou v), ou de modificador (¬) ou de condicional (), diz-se que A é uma tautologia quando A tem
valor lógico V, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. e diz-se que A é uma contradição quando
A tem valor lógico F, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. Uma proposição A é equivalente a
uma proposição B quando A e B têm as tabelas-verdade iguais, isto é, A e B têm sempre o mesmo valor
lógico. Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir.
1- A proposição (AB)  (¬A v B) é uma tautologia.
2- Em relação às proposições A:
e B: 9 é par, a proposição composta AB é uma contradição.
3- A proposição AB é equivalente à proposição ¬B¬A.
GABARITO
1. Demonstração
2. EEECEC
3. D
4. C
5. D
6. A
7. E
8. A
9. C
10. B
11. A
12. EECCE
13. CCEEC
14. E
15. D
16. CEC
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Duas proposições, uma é negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os
resultados das tabelas-verdade são contrários.
AFIRMA
ÇÃO
A
V
V
F
B
V
F
V
A/\B
V
F
F
AVB
V
V
V
AB
V
F
V
A B
V
F
F
75
NEGAÇÃO
F
F
F
F
V
V
¬A
F
F
V
V
¬B
F
V
F
V
¬AV¬B
F
V
V
V
¬A/\¬B
F
F
F
V
A/\¬B
F
V
F
F
(A/\¬B)V(B/\¬A)
F
V
V
F
De acordo com as tabelas-verdade temos o seguinte:
Afirmação
P/\Q
Ex: O réu é culpado e a testemunha mente
PVQ
Ex: Bárbara come ou dorme
P Q
Ex: Se molhar então vai desmanchar
P↔Q
Ex: Eu te darei um carro, se e somente se eu ficar
rico
Negação
¬PV¬Q
Ex: O réu não é culpado ou a testemunha não mente
¬P/\¬Q
Ex: Bárbara não come e não dorme
P/\¬Q
Ex: Vai molhar e não vai desmanchar
(P/\¬Q)V(Q/\¬P)
Ex; Eu fico rico e não te dou um carro ou eu não fico
rico e te dou um apartamento
NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA
AFIRMAÇÃO
NEGAÇÃO
X>A
X≤A
X<A
X≥A
X=A
X≠A
76
APLICAÇÃO: QUESTAO DE CONCURSO COMENTADA
1.(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE –ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes.
( ) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.
Comentário
A negação da sentença “2+5 = 9” é” 2+5 ≠ 9”, sendo assim temos que o item está errado.
Momento de Treinamento
01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo.
a)
b)
c)
d)
e)
O dia está quente e seco.
Ela trabalhou muito ou teve sorte na vida.
Maria não é ruiva ou Regina é loira
Se o tempo está chuvoso então está em dezembro.
Faz sol se, e somente se, a família foi à praia.
02. A negação de “O gato mia e o rato chia”é:
a)
b)
c)
d)
e)
O gato não mia e o rato não chia.
O gato mia ou o rato chia.
O gato não mia ou o rato não chia.
O gato e o rato não miam nem chiam.
O gato chia e o rato mia.
03. A negação de “Hoje é segunda feira e amanhã não choverá” é:
a) Hoje não e segunda feira e amanhã choverá.
b) Hoje não é segunda feira ou amanhã choverá.
c) Hoje não é segunda feira, então amanhã choverá.
d) Hoje não é segunda feira nem amanhã choverá.
e) Hoje é segunda feira ou amanhã não choverá.
04. (ANPAD/02) A negação da proposição “A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo, mas
não jogou bem” é:
a)
b)
c)
d)
e)
A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo e não jogou bem.
A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo ou não jogou bem.
A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo, mas jogou bem.
A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo ou jogou bem.
A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo e não jogou bem.
05. (M. AGR) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é:
c) Me caso e não compro sorvete
d) Não me caso ou não compro sorvete
77
e) Não me caso e não compro sorvete
f) Não me caso ou compro sorvete
g) Se me casar, então não compro sorvete
06. (AFT/97) A negação da afirmação condicional “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.” é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
b) Se não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) Não está chovendo e eu não levo o guarda chuva.
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) Está chovendo e eu não levo o guarda chuva.
07. (ANEEL 2006) A negação da afirmação condicional “Se Ana viajar, Paulo vai viajar” é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)Ana não está viajando e Paulo vai viajar.
Se Ana não viajar, Paulo vai viajar.
Ana está viajando e Paulo não vai viajar.
Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.
Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.
08. (GEFAZ) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é
logicamente equivalente a afirmação:
É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.
Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está não está em Paris”.
Não e verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris”
É verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.
a)
b)
c)
d)
09. (ANPAD/02) Considere a seguinte sentença: “Não é verdade que, se os impostos baixarem, então
haverá mais oferta de emprego”. Pode-se concluir que:
a)
b)
c)
d)
e)
Haverá mais oferta de emprego se os impostos baixarem.
Se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de emprego.
Os impostos baixam e não haverá mais oferta de emprego.
Os impostos baixam e haverá mais oferta de emprego.
Se os impostos não baixarem, não haverá mais oferta de emprego.
10. (CESPE-PETROBRÁS) As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são notícias acerca da Bacia de Campos-RJ,
Extraídas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da Petrobrás.
S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974.
S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim,
em 1995.
S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas
profundas (Procap), em1986.
Quanto às informações das sentenças acima, julgue os itens subseqüentes.
( )
A negação da união de S1 e S2 pode ser expressa por: Se não foi descoberto óleo no campo de
Garoupa, em 1974, então não foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade
de 905 m, no Campo de Marlim, em 1995.
78
( )
A negação de S3 pode ser expressa por: Não foi iniciada a produção em Moréia ou não foi iniciado o
programa de desenvolvimento tecnológico em águas profundas (procap), em 1986.
11. A negação de “x ≥ -2” é:
a)
b)
c)
d)
e)
x≥2
x ≤ -2
x < -2
x<2
x≤2
12. (GESTOR/02)
Se m = 2x + 3y, então m = 4p + 3r
Se m = 4p + 3r, então m = 2w – 3r
7 m = 2x + 3y ou m = 0
Se m = 0, então m + h = 1
Ora, m + h ≠ 1. Logo:
a) 2w - 3r = 0
b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r
c) m ≠ 2x +3y
d) 2x +3y ≠ 2w - 3r
e) m= 2w – 3r
13. (OF. CHANC./02) se x ≥ y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q >
R, logo:
a) S > T e Z ≤ P.
b) S ≥ T e Z >P.
c) X ≥ Y e Z ≤ P
d) X > Y e Z ≤ P
e) X < Y e S < T.
14. (AFC/04) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:
I- X > Q e Z < Y;
II-X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z;
III-R ≠ Q, se e somente se Y = X.
Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:
a)
b)
c)
d)
e)
X> Y> Q> Z
X> R> Y> Z
Z< Y< X< R
X> Q> Z> R
Q< X< Z < Y
GABARITO
1a) O dia não está quente e não seco.
79
b) Ela não trabalhou muito e não teve sorte na vida.
c) Maria é ruiva e Regina não é loira.
d) O tempo está chuvoso e não está em dezembro.
e) Faz sol e a família não foi à praia ou a família foi à praia e não faz sol.
2- c
3- b
4- d
5- c
6- e
7- c
8- a
9- c
10 e c
12 –e
13- a
14- b
80
06– DIAGRAMAS LÓGICOS
No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjuntos, os
diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos em Lógica.
Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-Ias facilmente
porque são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo (  )”, “Nenhum (¬  )”, “Algum (  )”. Na lógica
clássica (também chamada de lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se as
proposições categóricas.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE, (RETIRADA DE UMA PROVA):
Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição simples, formada
basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, estão incluídas apenas as proposições
afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são
consideradas proposições aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode decidir
serem verdadeiras (V) ou falsas (F).
Toda proposição tem um valor lógico, ou uma valoração, V
ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposições serão designadas por letras maiúsculas A, B, C etc.
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT
da 5.ª Região”, ou “x + 3 = 9”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário,
transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa
forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais.
Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer
que seja”, ou “para todo”, indicado por  , e “existe”, indicado por  . Por exemplo: a proposição  (x)(x 
R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição  (x)(x  R)(x + 3 = 9) é valorada como V.
Exemplos:
"Todos os homens são mortais" se torna "Para todo x, se x é homem, então x é mortal.", o
que pode ser escrito simbolicamente como: x( H ( x)  M ( x))
"Alguns homens são vegetarianos" se torna "Existe algum (ao menos um) x tal que x é
homem e x é vegetariano", o que pode ser escrito simbolicamente como: x( H ( x)  V ( x))
.
As proposições categóricas podem ser universais ou particulares, cada uma destas subdividindo-se
em afirmativa ou negativa. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis.
As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no quadro seguinte:
Proposições Universais
Proposições Afirmativas
Proposições Negativas
(A) Todo “A” é “B“
(E) Nenhum “A” é “B”
Todo A não é B
Proposições Particulares
(I) Algum “A” é “B”
(O) Algum “A” não é “B”
81
Entre parênteses estão as vogais que as representam quantificação
Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na forma típica
começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) ou por “Algum” (chamado de
quantificador particular ).
Sujeito e predicado de uma proposição categórica
Dada uma proposição categórica em sua forma típica chamamos:
- Sujeito: Elemento da sentença relacionado ao quantificador da proposição
- Predicado: Elemento que se segue ao verbo
Exemplo:
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
SUJEITO
PREDICADO
Estudante
Bem sucedido
Nenhum animal é imortal
Animal
Imortal
Algum atleta é artista
Atleta
Artista
Policial
Idôneo
Todo estudante dedicado é bem sucedido
Algum policial não é idôneo
Exemplos:
Todo pássaro voa.
Alguns computadores travam.
Nenhuma mulher é feia.
82
01- Particular afirmativo: Algum A é B
públicos:
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos
- Ao menos um
- Pelo menos um
- Existe
INTERSEÇÃO (A  B) =
- Alguém
Conjunto unitário
{u}
Relação de qualidade
Algum
A
é
B
Relação de quantidade
O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente.
(A  B) = {x / x  A e x  B}
Simbologicamente:  x (A(x) ^B(x))   x (B(x) ^A(x))
02- Universal Negativo: Nenhum A é B
CONJUNTOS DISJUNTOS
O termo “nenhum” pode ser substituído pela a palavra “não existe” nas provas de concursos
públicos:
Relação de qualidade
A e B são disjuntos se A  B = Ø.
Conjunto vazio
Nenhum
A
é
B
Relação de quantidade
Simbologicamente: ¬  x (A(x) ^B(x))  ¬  x (B(x)^A(x))
83
03- Particular negativo: Algum A não é B
Algum
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:
- Ao menos um
Relação de qualidade
- Pelo menos um
- Existe
B
C A = A - B = {x / x  A e x  B}
- Alguém
A não é B
COMPLEMENTAR
Relação de quantidade
Simbologicamente:  X (A(X)^¬B(X))
04- Universal Afirmativor: Todo A é B
AUB=B
A∩B=A
INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A C B)
Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:
- Para todo;
- Qualquer que seja.
Relação de qualidade
Todo
A é B
Relação de quantidade
U
A
B
AeB
B-A
~A e ~B
Simbologicamente:
84
OBS.: x( A( x)  B ( x))  x( B ( x)  A( x)) NÃO POSSUI A PROPRIEDADE COMUTATIVA.
LINGUAGEM (SIMBOLOGIA) DAS PROPROSIÇÕES CATEGÓRICAS
Nesses últimos concursos as bancas têm cobrado dos candidatos um conhecimento mais amplo referente à
simbologia e a escrita das proposições categóricas. Sendo assim torna-se importante verificarmos algumas
questões de concursos.
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
1) (INSS – 2008 – CESPE)
Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser
julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma  x P(x), lida
como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a
respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento
como V ou como F.
A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.
1( ) Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário
do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que
duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm
mais de 35 anos de idade.”
(i)
(se Q(x) então P(x))
(ii)
(P(x) ou Q(x))
(iii)
(se P(x) então Q(x))
2( ) Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do
INSS”, então é falsa a sentença
P(x).Comentário:
Item 1 – A proposição: “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade” é um quantificador
Universal Afirmativo, em que temos a seguinte simbologia:
((P(x)  Q(x)) ou pode ser escrita
(se
P(x) então Q(x)).
Sendo assim analisaremos os seguintes itens:
(i)
(se Q(x) então P(x)) : Esta forma não simboliza corretamente a
proposição pois o quantificador universal afirmativo não permite a
propriedade comutativa.
(ii)
(P(x) ou Q(x)): Esta forma não simboliza corretamente a proposição, pois
o quantificador universal afirmativo não se trata de uma união de conjuntos,
mas sim de uma inclusão de conjuntos.
(iii)
(se P(x) então Q(x)): Esta forma está correto.
Logo o item 1 está errado pois não temos duas formas que representam o proposição encontrada no
enunciado.
Item 2 - Construindo um diagrama para representar sentença
P(x), temos:
U (Conjunto de todos os funcionários públicos)
P (conjunto dos funcionários do INSS)
x
x
85
O elemento x pode pertencer ao conjunto P, o que pertence também ao conjunto U, mas temos a
possibilidade do elemento x pertencer somente ao conjunto U, o que torna a sentença falsa, uma vez que
ser funcionário público não garante ser funcionário do INSS.
Logo o item 2 está correto.
Momento de Treinamento
1) ( BB – 2008 – CESPE) Julgue os itens :
01 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que
D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada”
fica corretamente simbolizada por ¬  (M(x)^D(x)).
02 A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente
simbolizada na forma  x (M(x)  G(x)).
03- ( TRT 5ª RG 2008) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (
)(x  R)(  y)(y  R)(x
+ y = x) é valorada como V.
GABARITO 1 – C 2- E 3- C
86
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS
Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão
ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas.
Dizemos que estarão sempre em oposição.
CONTRÁRIAS
Todo A é B
Nenhum A é B
Nega quantidade, mas não qualidade.
SUBCONTRÁRIAS
Algum A é B
Algum A não
Nega qualidade, mas não quantidade.
87
CONTRADITÓRIAS
Todo A é B
Algum A não é B
Algum A é B ↔ Nenhum A é B
Nega quantidade e qualidade
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
01-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA
Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.”
Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição.
1 ( ) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma
proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.
2 ( ) “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição
logicamente equivalente à negação da proposição acima.
Comentário:
Item 1 – A negação da proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.”
será pela negação contraditória: “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem
julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade. Logo o item está correto.
Item 2 – Tomando como base o item anterior podemos concluir que “Todos serão considerados culpados e
condenados sem julgamento” não é a negação da proposição proposta pela questão. Logo item está
correto.
02-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA Com relação à lógica formal, julgue o item subseqüente.
( ) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”
Comentário
A proposição: “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal negativo. Se quisermos a
negação torna-se viável negarmos pela contraditória, uma vez que termos a certeza que será por quantidade
e qualidade. Logo a negação será: “Alguém aqui é brasiliense”. O item está errado.
MOMENTO DE TREINAMENTO
01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo:
a)
b)
c)
d)
Todos os corvos são negros.
Nenhum triangulo é retângulo.
Alguns sapos são bonitos.
Algumas vidas não são importantes.
88
02. (FCC) Considere que S seja a sentença: “todo político é filiado a algum partido”. A sentença equivalente
á negação da sentença S acima é:
a)
b)
c)
d)
Nenhum político é filiado a algum partido.
Nenhum político não é filiado a qualquer partido.
Pelo menos um político é filiado a algum partido.
Pelo menos um político não é filiado a qualquer partido.
03. (TRT) A correta negação da proposição “Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário” é:
a)
b)
c)
d)
e)
Alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.
Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.
Existem cargos deste concurso que são de analista judiciário.
Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.
Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de judiciário.
04. (ANPAD/02) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas”é:
a)
b)
c)
d)
e)
Todas as mulheres são boas motoristas.
Algumas mulheres são boas motoristas.
Nenhum homem é bom motorista.
Todos os homens são maus motoristas.
Ao menos um homem é mau motorista.
05. (CVM/00) Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico,
equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a)
b)
c)
d)
e)
Pelo menos um economista não é médico.
Nenhum economista é médico.
Nenhum médico é economista.
Pelo menos um médico não é economista.
Todos os não médicos são não economistas.
06. (M. AGR) A negação da afirmativa “Todo tricolor é fanático” é:
a)
b)
c)
d)
e)
Existem tricolores não fanáticos
Nenhum tricolor é fanático
Nem todo fanático é tricolor
Nenhum fanático é tricolor
Existe pelo menos um fanático que é tricolor
07. (Medicina – ABC) A negação de “Todos os gatos são pardos” é:
a)
b)
c)
d)
e)
Nenhum gato é pardo
Existe gato pardo
Existe gato não pardo
Existe um e só um gato pardo
Nenhum gato é não pardo.
08. (ESAF) Fábio, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela
aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Fábio seja
verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
89
b)
c)
d)
e)
Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
09. (ANPAD/02) negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” é:
a)
b)
c)
d)
e)
Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.
Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.
Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola.
Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola.
Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.
10. (ESAF) Se não é verdade que “alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, portanto é
verdade que:
a)
b)
c)
d)
e)
Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.
Nenhuma professora universitária dá aulas interessantes.
Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária.
Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes.
Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.
11. (OF.CHANC./02) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a
professora de Francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português
foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo
menos um problema não foi resolvido. Logo,
a)A professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.
b) A professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.
c) A professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.
d) A professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.
e) A professora de inglês e a de francês não deram aula.
GABARITO :
1)
a) Pelo menos um corvo não é negro.
b) Algum triângulo é retângulo
c) Nenhum sapo é bonito
d) Todas as vidas são importantes.
2) D
3) B
4) E
5) A
6) A
7) C
8) C
9) C
10) A
11) B
90
07– INFERÊNCIAS
INFERÊNCIA LÓGICA
É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição denominada conclusão, de
proposições já conhecidas, denominadas premissas
P1: Proposição  Premissa (Hipótese)
P2: Proposição  Premissa (Hipótese)
P3: Proposição  Premissa (Hipótese)
P4: Proposição  Premissa (Hipótese)
P5: Proposição  Premissa (Hipótese)
Pn: Proposição  Premissa (Hipótese)
C: Proposição  Conclusão (Tese)
Regras de inferência
1. Modus Ponens
A, AB
B
2. Generalização Universal
A
Teoremas
Nos teoremas abaixo:
- As premissas estão sempre à esquerda do sinal
(Lê-se portanto);
- Uma vírgula separa duas premissas
- Rec. Significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.
T1: A
A
T2: ~(~A)
A
REC: A
~(~A)
T3: A, B
A/\B
T4: A
AVB
T5: A/\B
A
T6: AVB, ~A
B
T7: AB, BC
AC
T8: A, (AB)
B
T9: (AVB), BC
(AVC)
T10: AB
~B~A
REC: ~B~A
AB
T11: AB, (~AB)
B
T12: (A/\B)C
A(BC)
REC: A(BC)
(A/\B)C
91
T13: (A/\~B) (C/\~C)
AB (Princípio a não-contradiçao)
T14: A(BVC, ~B
AC)
Nestes últimos concursos públicos temos observado que as bancas têm cobrado do candidato uma
interpretação do que é uma inferência lógica, onde questões bem elaboradas fazem parte do processo
seletivo. Sendo assim torna-se necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída de
premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: Se
as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas
garante afirmação da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto.
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
(SEBRAE – 2008 – CESPE)
Considere as seguintes proposições:
I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança.
II Joaquina não tem garantido o direito de herança.
III Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte.
Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que
1 ( ) Joaquina não é cidadã brasileira.
2 ( ) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros.
3 ( ) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.
Comentário:
Cidadãos de muita sorte
Garantia de direito de herança
Cidadão brasileiro
Joaquina
Joaquina
Segundo as premissas podemos construir o diagrama acima, vamos lá...
Pela premissa I temos a inclusão de dois conjuntos: Todo cidadão brasileiro têm garantido o direito de
herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia de direito de herança.
Pela premissa II temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de direito de herança”,
podendo assim ficar nas duas posições indicadas no diagrama.
Pela premissa III temos que o conjunto: Cidadãos de muita sorte pode possui ou não Joaquina.
Julgando os itens :
1( C ) certo o item, pois Joaquina não pertence ao conjunto : Cidadão brasileiro.
2( E ) errado o item, pois comutou o quantificador universal afirmativo,onde o mesmo não aceita tal
propriedade.
3( E ) Temos um conectivo condicional , em que podemos valorar as proposições dadas:
Se Joaquina não é cidadã brasileira, então não é de muita sorte.
V

(V / F)
= V / F
Sendo assim, temos que o item está errado, pois não podemos garantir a verdade da proposição dada.
92
02) (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:
a)
Algum administrador é matemático
b)
Todo administrador é matemático
c)
Nenhum administrador é matemático
d)
Algum administrador não é matemático.
e)
Todo administrador não é matemático.
Comentário:
Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógicos (utilizando
as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão verdadeira, iremos analisar as premissas
formadas com os quantificadores lógicos. Cada premissa será representada pelo seu diagrama lógico, sendo
cada um deles verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira.
O que analisar?
Vamos construir os diagramas para cada premissa:
P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum)
P2: Algum Administrador é aluno ( Pelo menos um {X}. Conjunto unitário )
Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos:
A conclusão será fruto da relação das premissas acima, sendo que deverá ser uma nova
proposição conseqüência de uma certeza. Não podemos concluir o que não temos certeza, e é desta forma
que podemos afirmar que a resposta da questão será: Algum Administrador não é matemático. Letra “d”.
93
04) ( CESPE- PF – Escrivão 2004) para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da internet e
pesquisou em uma livraria virtual, especializada ns áreas de direito, administração e economia, que vende
livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte
dos produtos nacionais. Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura.
Julgue os itens com base nas informações acima. É possível que Pedro em sua pesquisa tenha:
a) Encontrado um livro de administração de capa dura.
b) Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.
c) Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura.
d) Comprado um livro importado de direito de capa flexível.
Comentário
P1: Alguns livros de Direito são produtos nacionais:
P2: Todos os livros de Administração são produtos nacionais.
P3: Não há livro nacional disponível de capa dura. (não há nada em comum)
Relacionando as premissas acima temos:
Julgando os itens, temos:
94
a.( E ) Não é possível encontrar um livro de administração de capa dura, pois pelos diagramas acima
percebemos que não há elemento comum.
b. (C) Como não limitamos o conjunto dos livros de economia quanto capa dura ou não, torna-se possível ser
flexível. Não tivemos premissas que explicitaram sobre tal pensamento.
c. (E) Um livro nacional de Direito se encontra na intersecção entre Produtos Nacionais ( mostrado no
diagrama acima), a região hachurada, logo não há elementos comuns entre estes elementos e capa dura.
d. (C) Podemos ter elementos (livros) importados de direito de capa flexível, uma vez que só alguns de
direito podem ter capa dura e também só alguns são produtos nacionais.
05) (IPEA -2008 CESPE) julgue o item seguinte, a respeito de lógica.
Considere que as proposições “Alguns flamenguistas são vascaínos” e “Nenhum botafoguense é vascaíno”
sejam valoradas como V. Nesse caso, também será valorada como V a seguinte proposição: “Algum
flamenguista não é botafoguense”.
Comentário
O item está correto .
MOMENTO DE TREINAMENTO
01) (CESPE 2006) Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus tipos
de elementos. Um elemento específico é marcado com um ponto.
95
O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença “Todos os seres humanos são
bípedes”. O diagrama da direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosótis é bípede”. Nessas
condições, é correto concluir que “Miosótis é um ser humano”.
02) Todo cristão é monoteísta. Algum cristão é luterano logo:
a)
Todo monoteísta é luterano.
b)
Algum luterano é monoteísta
c)
Algum luterano não é cristão
d)
Nenhum monoteísta é cristão
e)
Nenhum luterano é monoteísta.
03) (ESAF) Todo professor é graduado. Alguns professores são pós-graduados, logo:
a)
Alguns pós-graduados são graduados
b)
Alguns pós-graduados não são graduados
c)
Todos pós-graduados são graduados
d)
Todos pós-graduados não são graduados
e)
Nenhum pós-graduado é graduado
04) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:
(A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
(B) Rodrigo é culpado.
(C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado.
(D) Rodrigo mentiu.
(E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
05) (TCU) Se é verdade que “alguns escritores são poetas” e que “nenhum músico é poeta”, então, também
é necessariamente verdade que:
a)
Nenhum músico é escritor
b)
Algum escritor é músico
c)
Algum músico é escritor
d)
Algum escritor não é músico
e)
Nenhum escritor é músico
06) (TCU) Em uma pequena comunidade sabe-se que: “nenhum filosofo é rico” e que “alguns professores
são ricos”. Assim pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade:
a)
Alguns filósofos são professores
b)
Alguns professores são filósofos
c)
Nenhum filosofo é professor
d)
Alguns professores não são filósofos
e)
Nenhum professor é filosofo
96
07) Considere verdadeiras as seguintes proposições:
I
Quem sabe colecionar selos não é ocioso
II
Macacos não sabem dirigir automóvel
III
Quem não sabe dirigir automóvel é ocioso
Dentre as sentenças a seguir, diga qual pode ser conclusão das proposições:
a)
Quem não sabe dirigir automóvel é macaco.
b)
Quem sabe dirigir automóvel não é ocioso.
c)
Quem não sabe colecionar selos é ocioso.
d)
Macacos não sabem colecionar selos.
e)
As pessoas ociosas não sabem dirigir automóveis.
08) Em uma prova, nem todos os alunos obtiveram aprovação. Sabemos que todos os alunos aprovados
fizeram a lista de exercícios proposta pelo professor do curso. Podemos concluir, com absoluta certeza, que:
a)
Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios;
b)
Se algum aluno não fez a lista de exercícios, ele foi reprovado;
c)
Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios e foram aprovados;
d)
Todos os alunos que fizeram a lista de exercícios foram aprovados;
e)
Todos os alunos fizeram a lista de exercícios.
09) Considere as seguintes sentenças:
I
Nenhum esportista é alcoólatra
II
Osmar é pescador
III
Todos os pescadores são Alcoólatras
Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifique qual das sentenças a seguir é certamente
verdadeira.
a)
Todos os alcoólatras são pescadores.
b)
Algum esportista é pescador.
c)
Alguns pescadores são esportistas
d)
Osmar não é esportista
10) Todos os artistas são belos.
Alguns artistas são indigentes.
a)
Alguns indigentes são belos
b)
Alguns indigentes não são belos
c)
Todos os indigentes são belos
d)
Todos os indigentes não são belos
e)
Nenhum indigente é belo.
11) (SERPRO) Todos os alunos de Matemática são, também, alunos de Inglês, mas nenhum aluno de Inglês
é aluno de História. Todos os alunos de Português são também alunos de Informática, e alguns alunos de
Informática são também alunos de História. Como nenhum aluno de Informática é aluno de Inglês, e como
nenhum aluno de Português é aluno de História, então:
a)
Pelo menos um aluno de Português é aluno de Inglês
b)
Pelo menos um aluno de Matemática é aluno de História.
c)
Nenhum aluno de Português é aluno de Matemática.
d)
Todos os alunos de Informática são alunos de matemática.
e)
Todos os alunos de Informática são alunos de Português.
12) Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem clorofila são comestíveis, logo:
a)
Algumas plantas verdes são comestíveis
b)
Algumas plantas verdes não são comestíveis
97
c)
d)
e)
Algumas plantas comestíveis têm clorofila.
Todas as plantas que têm clorofila são comestíveis.
Todas as plantas verdes são comestíveis.
13) (SERPRO) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes na festa
de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha,
conclui-se que, das amigas de Aninha:
a)
Todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.
b)
Pelo menos uma não foi à festa de Aninha.
c)
Todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi a Festa de Betinha.
d)
Algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha
e)
Algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.
14) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo:
(A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos.
(B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros.
(C) todos os republicanos são marinheiros.
(D) algum marinheiro não é republicano.
(E) nenhum marinheiro é republicano.
15) (AFC) Considere as seguintes premissas (onde A, B, C e D são conjuntos vazios):
Premissa 1: “A está contido em B e em C, ou A está contido em D”
Premissa 2: “A não esta contido em D”.
Pode-se, então concluir corretamente que:
a)
B esta contido em C
b)
A está contido em C
c)
B está contido em C ou em D
d)
A não está contido nem em D nem em B
e)
A não está contido nem em B e nem em C.
16) (TTN) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro
que:
a)
Algum A não é G
b)
Algum A é G
c)
Nenhum A é G
d)
Algum G é A
e)
Nenhum G é A
17) (ESAF) Nenhum M é K. Alguns R são K, logo:
a)
Nenhum R é M
b)
Todo R é M
c)
Algum R não é M
d)
Algum R é M
e)
Todo R não é M.
18) Considere as premissas:
P1: Os bebês são ilógicos
P2: Pessoas ilógicas são desprezadas
P3: Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.
98
Assinale a única alternativa que é uma conseqüência lógica das três premissas.
a)
Bebês não sabem amestrar crocodilos.
b)
Pessoas desprezadas são ilógicas
c)
Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos
d)
Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos
e)
Bebes são desprezados.
19 - Valter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo:
(A) quem não é mais rico do que Valter é mais pobre do que Valter.
(B) Geraldo é mais rico do que Valter.
(C) Valter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele.
(D) Valter inveja só quem é mais rico do que ele.
(E) Geraldo não é mais rico do que Valter.
20) (ANPAD) Considere as seguintes proposições:
I
Todo artista é simpático.
II
Todo político não é simpático. Pode-se afirmar que:
a)
Alguns artistas são políticos.
b)
Algumas pessoas simpáticas são políticos.
c)
Nenhum artista é simpático
d)
Nenhum artista é político
e)
Nenhuma pessoa simpática é artista.
GABARITO
1. E
8. B
15. B
2. B
9. D
16. A
3. A
10. A
17. C
4. A
11. C
18. B
5. D
12. C
19. E
6. D
13. B
20. D
7. D
14. B
99
08– ARGUMENTAÇÃO LÓGICA
A Lógica formal também chamada de lógica simbólica preocupa-se, basicamente, com a estrutura do
raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são transformadas em notações
simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.
Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1,P2,P3,..Pn , chamadas
premissas( hipóteses) , a uma proposição C , chamado de conclusão(tese) do argumento.
ESTRUTURA DO ARGUMENTO:
p 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p 4 ^ p 5 ... p n
(Premissas/Hipóteses)
C
(Conclusão/Tese)
SILOGISMO:
Quando temos um argumento formado por três proposições, sendo duas premissas e um
conclusão trata-se então de um SILOGISMO.
P1: premissa
P2: premissa
C: conclusão
Exemplos :
I- P1 :Todos os professores são dedicados (V)
P2: Todos os dedicados são bem sucedidos (V)
Todos os professores são bem sucedidos (V)
100
II – P1: Todos os professores são dedicados (V)
P2: Josimar é dedicado ( V)
C: Josimar é professor ( V / F)
Dedicados
Dedicados
Josimar
Professores
Representação por diagrama:
Josimar
SILOGISMO CATEGÓRICO:
Um silogismo é denominado categórico quando é composto por três proposições
categóricas, e as três proposições categóricas devem conter ao todo, três termos e cada um dos
termos devem estar exatamente em duas das três proposições que compõem o silogismo.
Ex.: No silogismo
P1: Todo aluno dedicado é aprovado
P2: Josilton é um aluno dedicado
C : Josilton será aprovado
EXEMPLOS DE ARGUMENTOS:
P1: De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta.
101
P2: O réu roubou um carro.
C: Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.
P1: Se juízes fossem deuses, então juizes não cometeriam erros.
P2: Juízes cometem erros.
C: Portanto, juízes não são deuses.
P1: Todo cachorro é verde.
P2: Tudo que é verde é vegetal.
C: Logo, todo cachorro é vegetal.
A Lógica não se preocupa com o valor lógico das premissas e da conclusão, se preocupa
apenas com a forma e a estrutura que as premissas se relacionam com a conclusão, ou seja, se o
argumento é válido ou inválido. Isto quer dizer que para ser argumento é necessário possui
FORMA.
VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Um argumento será Válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão é uma
conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isto implica necessariamente que a
conclusão será verdadeira.
A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas
e a conclusão.
p 1 (V)^ p 2 (V) ^ p 3 ( V) ^ p 4 (V) ^ p 5 (V) ... p n (V)  C( V)
102
Percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas, logo para que
a conclusão seja verdadeira torna-se necessário as premissas serem verdadeiras, até mesmo
porque se uma das premissas for falsa tornará a conclusão falsa. Logo temos que a verdade das
premissas garante a verdade da conclusão o argumento.
APLICAÇÃO
ANALISANDO ALGUNS ARGUMENTOS ABAIXO :
I - Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem
estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.
Temos:
P1: estudo  obtenho boas notas.
P2: me alimento bem me sinto disposto.
P3: Ontem estudei ^ não me senti disposto
logo
C: Obterei boas notas ^ não me alimentei bem.
Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:
P1: estudo (V)  obtenho boas notas. (V)
= (V)
P2: me alimento bem (F) me sinto disposto. (F)
= (V)
P3: Ontem estudei (V) ^ não me senti disposto (V) =
(V)
Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas
realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:
logo
VERDADE
C:
Obterei boas notas ( VERDADE) ^ não
me alimentei bem. (VERDADE) 
Sendo assim temos que o argumento é válido.
103
II- Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje
fez frio. Logo estamos em junho.
Temos:
P1: (ontem choveu ^ estamos em junho) hoje fará frio.
P2: ontem choveu ^ fez frio
logo
C: estamos em junho
Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:
P1: (ontem choveu(V) ^ estamos em junho(V/F)  hoje fará frio. (V) = (V)
P2: ontem choveu(V) ^ fez frio(V) = (V)
logo
C: estamos em junho(V/F)
Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas
realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:
logo
C: estamos em junho(V/F)
Sendo assim temos que o argumento é inválido.
III- Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo
segunda-feira não será feriado.
Temos:
P1: (choveu ontem V segunda-feira é feriado).
P2: não choveu ontem
logo
C: segunda-feira não é feriado
Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:
104
P1: choveu ontem (F) v segunda-feira é feriado(V). = (V)
P2: não choveu ontem = (V)
logo
C: segunda-feira não é feriado (F)
Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas
realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:
logo
C: segunda-feira não é feriado=F
Sendo assim temos que o argumento é inválido.
IV - (IPEA -2008 CESPE) Julgue o item seguinte, a respeito de lógica.
Considere o argumento formado pelas proposições A: “Todo número inteiro é par”; B: “Nenhum número par é
primo”; C: “Nenhum número inteiro é primo”, em que A e B são as premissas e C é a conclusão. Nesse caso,
é correto afirmar que o argumento é um argumento válido.
COMENTÃRIO:
105
Um desafio para você... Responda:
( CESPE 2008- DELEGADO POLICIA CIVIL/TO) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser
julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e
é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se
proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas
informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições.
01- Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:
O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto.
O raciocínio de Pedro não está correto.
Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica
correta.
02- Considere a seguinte seqüência de proposições:
(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso.
(2) O criminoso não foi preso.
(3) Portanto, o crime foi perfeito.
Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é
uma dedução lógica correta.
03- (CESPE – MCT 2008) Considere as seguintes proposições.
A: Nenhum funcionário do MCT é celetista.
B: Todo funcionário celetista foi aprovado em concurso público.
C: Nenhum funcionário do MCT foi aprovado em concurso público.
Nesse caso, se A e B são as premissas de um argumento e C é a conclusão, então esse argumento é válido.
Resposta: 1 E 2 C 3 E
MOMENTO DE TREINAMENTO
INFERÊNCIAS E ARGUMENTAÇÕES LÓGICAS
(1) Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
A) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
B) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
C) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
D) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
E)O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
(2) Todo baiano gosta de axé music. Sendo assim:
A) Todo aquele que gosta de axé music é baiano.
B) Todo aquele que não é baiano não gosta de axé music .
C) Todo aquele que não gosta de axé music não é baiano.
106
D) Algum baiano não gosta de axé music.
E) Alguém que não goste de axé music é baiano.
(3) Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
A) Algum atleta é celta;
B) Nenhum atleta é celta;
C) Nenhum atleta é bondoso;
D) Alguém que seja bondoso é celta;
E) Ninguém que seja bondoso é celta.
(4) Se chove então faz frio. Assim sendo:
A) Chover é condição necessária para fazer frio.
B) Fazer frio é condição suficiente para chover.
C) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio.
D) Chover é condição suficiente para fazer frio.
E) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover.
(5) (Gestor-2000) A partir das seguintes premissas:
Premissa 1: "X é A e B, ou X é C"
Premissa 2: "Se Y não é C, então X não é C"
Premiss8:3: "Y não é C"
Conclui-se corretamente que X é:
A) A e B
B) Não A ou C
C) Não A e B
D) A e não B
E) Não A e não B
107
(6) (AFC - 2004) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:
"X> Q e Z < Y",
"X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z";
"R> Q, se e somente se Y = X".
Sabendo que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:
A) X>Y>Q>Z
B) X>R>Y>Z
C) Z<Y<X<R
D) X>Q>Z>R
E) Q<X<Z<Y
CESPE
PvQ
PvQ
P→Q
P→Q
¬P
¬Q
P
¬Q
Q
P
Q
¬P
I
II
III
IV
As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de
dedução, nas quais, a partir das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se
a conclusão (proposição abaixo da linha tracejada).Os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que
significam,respectivamente,não e então, e a definição de v é dada na seguinte tabela-verdade.
P
Q
PvQ
V
V
V
V
F
V
108
F
V
V
F
F
F
Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto à
forma de dedução.
(7) Considere a seguinte argumentação.
Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros. Juízes cometem erros. Portanto,
juízes não são deuses.
Essa é uma dedução da forma IV.
(8) Considere a seguinte dedução.
De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta. O réu roubou um
carro.
Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.
Essa é uma dedução da forma 11.
(9) Dadas as premissas P → Q; ¬Q; R → P,é possível fazer uma dedução de ¬R usando-se a
forma de dedução IV.
(10) Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas
premissas forem verdadeiras.
(CESPE)
A seguinte forma de argumentação é considerada válida. Para cada x, se P(x) é verdade, então
Q(x) é verdade e, para x = c, se P(c) é verdade, então se conclui que Q(c) é verdade. Com base
nessas informações, julgue os itens a seguir.
109
(11) Considere o argumento seguinte.
Toda prestação de contas submetida ao TCU que expresse, de forma clara e objetiva, a exatidão
dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão
do responsável é julgada regular. A prestação de contas da Presidência da República expressou,
de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a
economicidade dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de contas da
Presidência da República foi julgada regular.
Nesse caso, o argumento não é válido.
(12) Considere o seguinte argumento.
Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é considerada
irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Concluí-se
que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato
antieconômico.
Nessa situação, esse argumento é válido.
(CESPE)
A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguidas por
uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas
consideradas inválidas.
A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.
(13) A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
110
(14) A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. .
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
(CESPE)
A. lógica proposicional trata das proposições que podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou
falsas
(F). Para as proposições (ou fórmulas) P e Q, duas operações básicas, "¬” e “→", podem ser
definidas de acordo com as tabelas de interpretação abaixo.
P
V
V
Q
V
F
P→Q
P
¬P
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
Com base nessas operações, novas proposições podem ser construídas. Uma argumentação é
uma seqüência finita de proposições. Uma argumentação é válida sempre que a veracidade (V) de
suas (n - 1) premissas acarreta a veracidade de sua n-ésima – e última - proposição.
Com relação a esses conceitos, julgue os itens a seguir.
(15) A seqüência de proposições.
 Se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto .dos
números irracionais é infinito.
 O conjunto dos números irracionais é infinito.
111
 Existem tantos números racionais quanto números irracionais.
é uma argumentação da forma
 P→Q
 Q
 P
(16) A argumentação
 Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
 Lógica não é fácil.
 Sócrates não foi mico de circo.
é válida e tem a forma
(17) A tabela de interpretação de (P → Q)→¬P é igual à tabela de interpretação de P → Q.
GABARITO
01
E
15
C
02
C
16
E
03
B
04
D
05
A
06
B
07
C
08
E
09
C
10
C
11
E
12
E
13
E
14
E
112
09– ANÁLISE COMBINATÓRIA
Nesta parte, serão apresentados métodos para resolução de questões de concursos públicos
relacionados a problemas de Análise Combinatória, propõe-se desenvolver, gradualmente, o raciocínio
lógico e criativo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas aprendendo a
interpretar tais questões por meio da prática.
Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; porém, quando
aumenta o número de elementos dados e o número de elementos em cada agrupamento, o processo
intuitivo de formá-los, para depois realizar sua contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por
isso, partindo do concreto, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos
são os agrupamentos que se quer realizar e quais são eles.
Frente a essa realidade nos concursos públicos e a necessidade de agilidade para resolver as
questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise Combinatória, com poucos cálculos,
apenas aplicando dois princípios básicos: O princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que
eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais
agrupamentos.
Os princípios de contagem, na matemática, incluem:
I Princípio da Soma: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, E2, de N2 maneiras distintas,
..., EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos não podem ocorrer simultaneamente, então um
dos eventos pode ocorrer em N1 + N2 + ... + Nk maneiras distintas.
II Princípio da Multiplicação: considere que E1, E2, ..., Ek são eventos que ocorrem sucessivamente; se o
evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o evento E2 pode ocorrer de N2 maneira distintas, ..., o
evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem
indicada, em N1 × N2 × ... × Nk maneiras distintas.
O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.
113
Princípio Multiplicativo: Iremos resolver algumas questões neste momento para que você possa
entender o Princípio Multiplicativo.
Exemplo 01: Uma pessoa vai ao Shopping e compra 03 blusas ( B1, B2 e B3 ) , 2 sapatos ( S1 e S2 ) e
2 calçados( C1 e C 2 ). Logo ao chegar em casa ele se pergunta: - “De quantas maneiras distintas eu posso
me arrumar com as compras realizadas”? Bem, vamos então resolvermos tal problema:
Calça 01
SAPATO 1
Calça 02
BLUSA 1
SAPATO 2
SAPATO 1
BLUSA 2
12 MANEIRAS DISTINTAS
SAPATO 2
SAPATO 1
BLUSA 3
SAPATO 2
No esquema construído acima temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arrumar. O raciocínio utilizado é
o seguinte: Quantas possibilidades têm-se para blusas? Nesta situação temos 3(três) . Quantas
possibilidades têm-se para sapatos? Nesta situação temos 2(dois) . Quantas possibilidades têm-se para
calças? Nesta situação temos 2(dois). Logo podemos concluir que:
Pelo Princípio Multiplicativo, temos que multiplicar as POSSIBILIDADES.
____3____
Possibilidades
X
____2____
Possibilidades
X
____2_____= 12( maneiras distintas )
Possibilidades
O que devemos perceber é que temos que estar sempre nos baseando na palavra “Possibilidades”,
pois é ela trará o raciocínio correto.
Vamos resolver algumas questões aplicando apenas o conceito do PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
utilizando a palavra “POSSIBILIDADES”:
Em algumas questões de concursos, apenas utilizando o Princípio Multiplicativo já é o suficiente para
resolvermos as mesmas. Verifique que a cada instante iremos utilizar a palavra: POSSIBILIDADES.
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
114
01 (ESAF/TÉCNICO-2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade
de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:
a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650
Comentário:
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos
uma novo agrupamento, logo a ordem altera a natureza.
Para os três primeiros colocados temos : 30 x 29 x 28 = 24.360 (maneiras diferentes)
Possibilidades
Neste caso as possibilidades vão diminuindo, uma vez que a
possibilidade utilizada( dupla de tênis) , não tem como ser
utilizada novamente ( ninguém pode ocupar duas posições
simultaneamente).
Resposta : A
02) (ESAF/AFC-2002) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar
por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro
últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser
instalados nas farmácias é igual a:
a) 504 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842
Comentário:
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos
uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas restrições, em
que devemos iniciar pelas mesmas.
Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então termos 7 posições:
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
RESTRIÇÕES : Os números não podem começar com zero e o quatro últimos algarismos são
iguais a zero.
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Nesta posição
o zero não é
possibilidade.
Nesta s 4 posições
somente o número
1 é possibilidade.
115
Preenchendo as posições temos:
__9__x __9__ x __8__ x __1__x __1__ x __1__ x __1__
Não podemos ter algarismos repetidos, logo a possibilidade
que foi utilizada não poderá ser usada novamente, com
este pensamento temos para a primeira posição 9
possibilidades, pois o zero não pode ser utilizado, na
segundo temos 9 possibilidades, pois o zero neste caso
voltou a ser possibilidade e na terceira posição temos 8
possibilidades, um vez que já foram usadas duas
possibilidades.
Neste caso todos os algarismos utilizados serão iguais a
zero, logo temos que perceber que não é o número zero
que será colocado nas posições, e sim, quantas
possibilidades para a posição, logo temos 1(uma)
possibilidade para cada posição, isto é, o número zero.
Desta forma aplicando o Princípio Multiplicativo ( multiplica as possibilidades) temos :
__9__x __9__ x __8__ x __1__x __1__ x __1__ x __1__= 648 ( números telefônicos)
Resposta : D
03) (CESPE/TSE-2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas
secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio.
As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de
uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser
formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a
a) 26³ x 10³
b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8
c) 26 x 25 x 24 x 10³
d) 26³ x 10 x 9 x 8
Comentário:
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova
ordem temos uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas
restrições, em que devemos iniciar pelas mesmas.
As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26
letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9).
Os códigos possuem 6 posições, três letras( 26 possibilidades)
possibilidades) :
____ ____ ____ e(x) ____ ____ ____
e três algarismos( 10
O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de
letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos.
Quanto aos três primeiras posições temos: 26 x 25 x 24
Nestas 3 posições temos: 26
possibilidades na primeira, 25
possibilidades na segunda
uma vez que uma já foi
utilizada e por último 24
possibilidades.
116
Quanto aos três últimos algarismos temos: 10 x 10 x 10
Nestas 3 posições temos: 10 possibilidades na
primeira,10 possibilidades na segunda e por último 10
possibilidades. O número que foi utilizado pode ser
utilizado novamente, logo temos as mesmas
possibilidades para as três posições.
Concluindo: Os códigos possuem seis posições, três letras (26 possibilidades) e três
algarismos ( 10 possibilidades) :
__26__x __25__ x __24__ e(x) __10__ x __10__x __10__ = 26x25x24x103
Resposta: Letra C
04) (CESPE) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo
duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as
letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.
1 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000.
2 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas
primeiras posições do código é superior a 28.000.
3 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não
haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.
Comentário:
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova
ordem temos uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos que as letras
do código ocupam as duas primeiras posições.
Item 1 – O número de processos que podem ser codificados é dado por cinco símbolos , logo cinco
posições :
__26___x __26___x __10___x __10___x __10___= 676000
Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,26 possibilidades na segunda e por último 10
possibilidades nas três ultimas posições . A letra e o número que foi utilizado pode ser utilizado
novamente, logo temos as mesmas possibilidades para as duas posições de letras e para as três
posições de algarismos.
Item 2 26___x __1___x __10___x __10___x __10___= 26000
Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,01 possibilidade na segunda( devido as duas
letras serem iguais, o que faz com que a segunda seja a mesma que a primeira) e nas três ultimas
posições 10 possibilidades, uma vez que a questão não exige que os códigos possuam algarismos
distintos.
117
Item 3- Esse item significa que as letras e os algarismos devem ser distintos. Logo temos:
__26___x __25___x __10___x __09___x __08___= 468000
Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,25 possibilidades na segunda( devido as duas
letras não serem iguais, o que faz com que a possibilidade da segunda seja menor que a primeira, uma
vez que uma possibilidade já foi utilizada) e nas três ultimas posições 10 possibilidades na primeira, 09
na segunda e 08 na terceira posição, uma vez que a questão traz a idéia de que os códigos possuam
algarismos distintos.
Gabarito: 1 - C 2 - E
3- E
05) (FCC-2007) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua
senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que
sua senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8.
Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou?
(A) 224
(B) 210
(C) 168
(D) 144
(E) 96
Comentário:
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos
uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas restrições, em
que devemos iniciar pelas mesmas.
As senha a ser digitada possui 04 ( quatro) algarismos , logo teremos 04(quatro) posições:
_____x _____x _____x _____=
Nessas 4 posições temos: algarismos distintos ; o número formado é par( a restrição é na ultima posição
, pois um número par é aquele que termina em { 0,2,4,6,8} ) e que a senha começa com o número 8
(oito), ou seja, uma possibilidade.
1__x __8__ x __7__ x __4__= 224
Nessa posição temos
apenas
(01)uma
possibilidade que o
número 8(oito) .
Após preenchermos as posições que se
tratam das restrições, vamos colocar as
possibilidades sabendo que os algarismos
não se repetem.
Nessa posição temos
(04) possibilidades, uma
vez que o número
08(oito) já foi utilizado
na primeira posição.
Resposta : letra a
06-(CESPE/TCU-2004) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada
e saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao
118
conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os
itens que se seguem.
1 Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então
podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.
2 Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1,2 ou 3 letras, sendo
permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11000 códigos distintos.
3 O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15000.
Comentário:
Item 1 :
26
x
26
x
26
x
26 =
Permitida a repetição de caracteres
456.976
Número de Protocolos distintos
Este item da prova de técnico de controle externo do TCU-2004, que no gabarito preliminar o CESPE
considerou o item errado e no gabarito definitivo alterou o gabarito para CERTO, com o entendimento de
que se podem ser gerados 456.976 protocolos, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos.
Iremos verificar mais a frente (provas mais recentes) que o CESPE não continua com este mesmo raciocínio.
Item 2: Neste item temos 21 possibilidades, uma vez que não serão utilizadas as vogais,
sendo permitida a repetição de caracteres. Os códigos serão formados com 1 , 2 e 3 letras , logo após
iremos somar tais formações.
21 = 21
Permitida a repetição de caracteres
21 x 21 = 441
Permitida a repetição de caracteres
21
x 21 x 21 = 9261
Permitida a repetição de caracteres
Agora somaremos as quantidades de códigos com 1, 2 e 3 letras: 21 + 441 + 9261 = 9723.
Item errado.
Item 3 : O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é dado por :
26 x
25
x
24
= 15 600.
Não sendo permitida a repetição de caracteres
Item certo.
119
Nas questões que envolvem a formação de senhas, códigos, números, protocolos etc., temos uma
observação importante referente a interpretação correta de uma questão. Por exemplo:
01- Com os números(algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7 }, quantos códigos(senhas)distintas de 3 dígitos
podem ser formadas ?
02- Com os números( algarismos) {1, 2,4 ,5 e 7 }, quantos códigos (senhas) de
3 dígitos distintos podem ser formadas?
Qual a diferença entre esses dois exemplos?
A primeira vista parece serem equivalentes, ainda mais durante a realização de uma
prova, em que o candidato às vezes fica imperceptível a tais detalhes. Vamos interpretar tais situações:
01 – Quando a questão solicita que as senhas sejam distintas, temos que
interpretar senhas distintas e não dígitos distintos, uma vez que mesmo repetindo dígitos, os códigos
(senhas) permanecerão distintos. Ex. os códigos 224 e 222 repetem dígitos entre si, porém permanecem
códigos (senhas) distintos. Sendo assim a resolução da questão será:
5 x
5
x
5
= 125. (códigos distintos de 3 dígitos)
Mesmo com a repetição de algarismos os códigos permanecem distintos.
02 – Quando a questão solicita que as senhas sejam formadas com dígitos
distintos, temos que interpretar que além de senhas distintas teremos dígitos distintos, uma vez que os
códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex. os códigos 243 e 57 não repetem dígitos entre si, além de
possuírem códigos (senhas) distintos. Sendo assim a resolução da questão será:
5 x
4
x
3
= 60. (códigos distintos de 3 dígitos)
Sem a repetição de algarismos e os códigos são também distintos.
Faça você agora ! QUESTÃO DE CONCURSO:
CESPE - Considere que se deseja produzir códigos de 7 caracteres, em que os 3 primeiros caracteres
sejam letras escolhidas entre as 26 do alfabeto os 4 últimos sejam algarismos, de 0 a 9. Com relação a essa
construção de códigos , julgue os itens subseqüentes.
1- A quantidade de códigos que começam com a letra Z, terminam com o algarismo 0 e têm todos os
caracteres distintos é inferior a 300 000.
2- A quantidade de códigos distintos que começam com AMX é inferior a 104.
Gabarito: E E
120
Iremos neste instante estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Análise Combinatória:
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí
pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os n elementos distintos.
Fórmula: P(n) = n!, n= número de elementos a serem permutados.
Cálculo para o exemplo: P(5) = 5!= 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e n=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não
podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos
os agrupamentos estão no conjunto:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
TREINANDO
Com relação à palavra LÓGICA:
a)quantos anagramas existem?
b)quantos anagramas começam por G?
c)quantos anagramas possuem as vogais juntas?
d)quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética?
e)quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética?
gabarito :
a- 720
b – 120
c – 144
d – 24
e- 120
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
“Vimos que na permutação iremos utilizar
todos os elementos (DISTINTOS) do grupo,
realizando uma permutação (troca) dos
elementos, em que a ordem irá influenciar.”
“A ORDEM ALTERA A NATUREZA”
01) (CESPE/AGENTE/PF-2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura,
matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma
série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hercules. Entre esses
trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de
Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os
doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso,
considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas
que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes.
121
1 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!
2 O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é
inferior a 240 x 990 x 56 x 30.
3 O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e
“capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6.
4 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o
javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.
COMENTÁRIO:
1 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!
Pn= n! = 12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1= 12! ( Número máximo de diferentes listas).
12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 12x 10!
(simplificando dos dois lados da igualdade):
12 X 11 > 12 ( item certo)
2 O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é
inferior a 240 x 990 x 56 x 30.
A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 01(uma) possibilidade.
1 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 < 240 x 990 x 56 x 30.
Matar o leão de
Neméia
(simplificando dos dois lados da desigualdade):
1 x 4 x 3 x 2 x 1 < 240
24< 240 ( item certo )
3 O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e
“capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6.
1 x 10 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 < 72 x 42 x 20 x 6.
Capturar a corça
de Cerinéia
Capturar o Javali
de Erimanto
(simplificando dos dois lados da desigualdade):
1 x 10 x 1 x 1 < 1 ( item errado)
4 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o
javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.
10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 < 6! x 8!
Nas duas últimas posições em qualquer ordem ( a corça e o javali )
122
(simplificando dos dois lados da desigualdade):
10 x 9 x 2 x 1 < 6!
10x 9x 2 x1 < 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
180 < 720 ( item certo )
02)(ESAF/ANEEL-2006) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles Caio e Beto – e seis
meninas – entre elas Ana e Beatriz – compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma
mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo
pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do
mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos
querem sentar-se juntos. Com essa informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos
podem sentar-se é igual a:
a) 1920 b) 1152 c) 960 d)540 e) 860
COMENTÁRO:
De acordo com a questão sabemos que todos os meninos(HOMENS)devem sentar-se juntos,
como as meninas também(MULHERES) , logo façamos a seguinte ilustração:
H H H M M M M M M
Considerando que sejam
Caio e Beto
Considerando que sejam
Ana e Beatriz
Sendo que Caio e Beto, assim como Ana e Beatriz devam ficar sempre juntas, então
consideraremos como se cada um dos dois sejam apenas um, ou seja, uma possibilidade.
Temos então:
H
2X (
H M
2 X 1)
M
X (5
X 4
Considerando que sejam
Caio e Beto em qualquer
ordem .
M
M
X 3 X 2
M
X 1) X 2
= 960
Considerando que sejam
Ana e Beatriz em qualquer
ordem.
Devemos ainda perceber que o resultado 960 deverá ser multiplicado por dois, devido a
possibilidade de termos os homens e as mulheres juntas em qualquer ordem:
H
M = 960
M
H = 960
TOTAL = 1920
Letra “a”
123
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que
existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original
trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-41,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3
vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos
do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os
elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
TREINANDO
Com relação às palavras abaixo, calcule a quantidade de anagramas :
a)quantos anagramas possui a palavra ANA?
b) quantos anagramas possui a palavra ARARA?
c) quantos anagramas possui a palavra CASA ?
d) quantos anagramas possui a palavra BANANA?
e) Uma prova de português é constituída de 10 questões em que 3 são verdadeiras e 7 são falsas. De quantas
maneiras distintas esta prova pode ser respondida?
f) Para ter acesso a uma seção de uma repartição, os funcionários precisam digitar uma senha na portaria que é
constituída por 5 dígitos, em que 3 são iguais a 1(um) e 2 são iguais a 0(zero). Quantas senhas distintas podem ser
formadas seguindo tais exigências?
Gabarito: a- 3 b- 10 c- 12 d- 60 e- 120 f- 10
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
“Vimos que na permutação com repetição iremos utilizar todos os
elementos (DISTINTOS E NÃO DISTINTOS ) do grupo, realizando uma
permutação (troca) dos elementos, em que a ordem irá influenciar
parcialmente( algumas vezes- isto é , quando não for os elementos
repetidos). Agora é importante ressaltar que alguns elementos são
idênticos o que não trará um novo agrupamento, logo devemos
perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos retirar
aqueles que se repetem”.
“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A
NATUREZA”
124
01) (CESPE/PAPILOSCOPISTA-2004-adaptada) A respeito de contagem, que constitui um dos principais
fundamentos da matemática, julgue o item abaixo.
- O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da
8
palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a 10 .
COMENTÁRIO:
A palavra : PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, em que serem permutadas não formarão uma
novo anagrama, logo se trata de permutação com letras repetidas.
Calculando temos:
14 x13x12 x11x10 x9 x8 x7 x6 x5 x4 x3x2 x1
3x2 x1x2 x1x2 x1x2 x1x2 x1
Haverá uma divisão para que possamos retirar as palavras que se repetem,
e de acordo com a quantidade de letras repetidas iremos calcular o fatorial, por
exemplo:
(letra P: 3x2x1) ; ( letra O: 2x1 ); (letra A: 2x1 ); ( letra I: 2x1 ) ;
(letra S: 2x1 ) .
14 x13x12 x11x10 x9 x8 x7 x6 x5 x4 x3x2 x1
< 108
3x2 x1x2 x1x2 x1x2 x1x2 x1
14x13x11x10x9x7x6x5x4x3x2x1< 108 ( item errado)
02) (CESPE/BB-2007- adaptada) Julgue o item que se segue quanto a diferentes formas de contagem.
- Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as
verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá
produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.
COMENTÁRIO:
Na questão temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas decorações, mas
temos faixas de mesma cor , onde a troca de posição não produzirá decorações novas. Logo é interessante
fazermos uma analogia como uma palavra com letras repetidas, da seguinte maneira:
VVVAAAB
Temos 7 letras( faixas) sendo permutadas: P7=7! = 7x6x5x4x3x2x1
125
Sabendo que algumas decorações são as mesmas( devido algumas faixas serem iguais) temos que
retirar as decorações que se repetem, logo se o princípio utilizado é a multiplicação que gera as novos
agrupamentos, logo temos que dividir para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira:
Número de decorações =
7 x6 x5 x4 x3x2 x1
, sendo que no denominador temos ( 3x2x1( 3! ) que se
3x2 x1x3x2 x1
refere as cores verdes que se repetem e logo após 3x2x1 (3!) que se referem as cores amarelas que se
repetem) .
Uma estratégia é que iremos dividir pelo fatorial da quantidade de letras que se repetem. Isto é
temos nesta questão três letras “V” e três letras “A” que se repetem.
Calculando temos:
7 x6 x5 x4 x3x2 x1
= 140 formas diferentes de decorações. O item está correto.
3x2 x1x3x2 x1
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos
formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(n)=(n-1)!, (n-1) = número total de elementos a serem permutados.
Cálculo para o exemplo: P(5)=4!=24
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão
sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das
posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos,
apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
126
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
“Vimos que na permutação circular a troca de alguns elementos não
cria um novo agrupamento, então deveremos retirar aqueles que se
repetem”.
“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A
NATUREZA”
( CESPE – BB-2007) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de
uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os
participantes da reunião é superior a 102.
Nesta questão temos uma permutação circular:
P6 = (6-1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Sendo assim o item está correto.
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p<n) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí
pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: A(n,p) =
n!
, n = número total de elementos/ p = número de elementos a serem arranjados.
(n  p)!
Cálculo para o exemplo: A(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12
grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada.
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
127
APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA
“Vimos no começo deste capítulo algumas questões comentadas
utilizando o princípio multiplicativo, em que os agrupamentos são
realizados com elementos do conjunto, por meio da troca dos
elementos. No caso do Arranjo para formar os grupamentos, não
será utilizado todos os elementos do conjunto e é importante
ressaltar que a cada nova ordem dos elementos do agrupamento,
será formado um novo grupo( arranjo) , logo a ordem é importante.
“A ORDEM DOS ELEMENTOS ALTERA A NATUREZA”
01) (CESPE-2006- adaptada) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para serem protocolados.
Um assistente da promotoria deve formar os códigos dos processos, que devem conter, cada um deles, 7
caracteres. Os 3 primeiros caracteres são letras do conjunto{d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são
números inteiros de 1024 a 1674.
Com base nessa situação, julgue o item subseqüente.
( ) É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do código referente às 3
letras iniciais, sem que haja repetição de letra.
COMENTÁRIO:
Referente as três letras iniciais temos seguinte :
I – Maneira : ( Pela fórmula)
Temos como p= 8 , {d,f,h,j,l,m,o,q} e n= 3 , primeira parte do código.
n!
8 x7 x6 x5! 8 x7 x6 x5!


 8 x7 x6  336
(n  p)!
(8  3)!
5!
II- Maneira : ( Pelo princípio multiplicativo )
8
x 7
x
6
=
336
Temos 8 possibilidades para a primeira posição, 7
possibilidades para a segunda e 6 possibilidades
para a terceira posição , uma vez que não há
repetição de caracteres.
O item está errado.
128
02)(CESPE/BB-2007- adaptada ) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados
no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e
19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
( ) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da
América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de
classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.
COMENTÁRIO:
Referente as três primeiras posições :
I – Maneira : ( Pela fórmula)
Temos como p= 3 , {países da America do Norte} e n= 3 , { três primeiras classificações.}
n!
3x2 x1 3x2 x1 6


  6, sabendo que 0! = 1
(n  p)! (3  3)!
0!
1
II- Maneira : ( Pelo princípio multiplicativo )
3
x 2
x
1
=
6
Temos 3 possibilidades para a primeira posição, 2 possibilidades para a segunda e 1
possibilidade para a terceira posição , uma vez que as possibilidades vão diminuindo,
pois não há como um atleta ocupar duas posições simultaneamente .
O item está certo.
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos
entre sí apenas pela espécie.
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) =
m!
, m= número total de elementos / p= número de elementos a serem
(m  p)! p!
combinados
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6
grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos
os agrupamentos estão no conjunto:
129
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS
“Nas questões que relatarem sobre os termos:
- Equipes; Times; Diretorias; Grupos; Comissões, turmas etc. Todos
os termos que indicam idéia de conjunto. Logo teremos grupos que se a
ordem for modificada não formaremos um novo grupamento.
É comum não utilizar todos os elementos para construção de
novos grupos, uma vez que, se forem utilizados todos os elementos
obteremos apenas um grupo.
“A ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA”
Exemplos: 01- Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez, dessa forma são
possíveis quantos apertos de mão?
Nessa questão a ordem não altera a natureza, uma vez que se a pessoa “A” cumprimentar a pessoa
“B” , não torna necessário a pessoa “B” cumprimentar a pessoa “A”. Para que haja um aperto de mão é
necessário duas pessoas ( p= 2 )
Sendo assim, trata-se de combinação, onde iremos resolver de duas maneiras:
I – Maneira: ( Pela fórmula )
Cm,p=
20 x19 x18! 20 x19
20!
m!
= C20,2 =
=
=
= 190 apertos de mão.
18! x 2!
2 x1
(20  2)!2!
(m  p)! p!
II- Maneira : ( Sem fórmula )
Para obter um aperto de mão é necessário a presença de duas pessoas, logo iremos utilizar dois
espaços : “_____X_____”; e para que possamos retirar os grupamentos que se repetem iremos dividir pelo
fatorial da quantidade de espaços utilizados.
20 x19
= 190, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, e 19 para a segunda
2 x1
pessoa. No denominador temos 2 x 1 , uma vez que representa o fatorial de 2= 2! .O denominador tem a
função de retirar os grupamentos repetidos.
02- Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um
130
aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas haviam na reunião, se foram trocados 55 apertos de
mão?
COMENTÁRIO:
Essa questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de pessoas
presentes na reunião. Logo iremos resolver das seguintes maneiras:
I- Método ( com fórmula) :
C x,2 = 55  Cx,2=
x.( x  1).( x  2)! x.( x  1)
x!
=
=
 55
2.1
( x  2)!2!
( x  2)!2!
x 2  x  110  equação do 2 grau. x 2  x  110  0 , resolvendo a equação teremos:
S{ -10,11} , logo iremos considerar a solução positiva. A reunião possui 11 participantes.
II- Método( sem fórmula) :
03- ESAF/AFC-2002) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis
(as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena,
consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo
concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de
apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática
que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8 b) 28 c) 40 d) 60
e) 84
04-(ESAF/ANEEL-2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10
desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com
os vértices em qualquer dos 25 pontos é igual a:
a) 2180 b) 1180 c)
2350 d)
2250 e)
3280
05- (CESPE/ESCRIVÃO/PF-2004) Para uma investigação a ser feita pela Policia Federal, será
necessária uma equipe com cinco agentes. Para forma essa equipe, a coordenação da operação dispõe de
29 agentes, sendo 9 da superintendência regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da
regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe todos os agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a
ordem de escolha dos agentes não será relevante. Com base nesta situação hipotética, julgue os itens
seguintes.
1 Poderão ser formadas, no máximo, 19 x 14 x 13 x 7 x 5 x 3 equipes distintas.
2 Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo de
131
equipes distintas que a coordenação dessa operação poderá é inferior à 19 x 17 x 11 x 7.
3 Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da regional de São
Paulo e 2 agentes da regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá formar, no
máximo, 12 x 11 x 9 x 4 equipes distintas.
TREINANDO
FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM
01)Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 2,3,4,5,7?
02)Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5?
03)Quantos números naturais de 4 algarismos distintos menores que 5000, e divisíveis por 5 podemos
formar com os algarismos 2,3,5,6,7,e 8?
04)Com oito tipos de salada e 5 tipos de grelhado, de quantas formas distintas um cliente pode fazer um
pedido de uma salada acompanhada de um grelado?
05)Em um torneio de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros
lugares.
06)Com relação à palavra TEORIA:
a)quantos anagramas existem?
b)quantos anagramas começam por T?
c)quantos anagramas possuem as vogais juntas?
d)quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética?
e)quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética?
07) Quantos anagramas possui a palavra ASSESSORIA?
08)Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma
diretoria com 5 sócios, 3 brasileiros e 2 japoneses?
09)Em uma festa com 50 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez, dessa forma são possíveis quantos
apertos de mão?
10)Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um aperto de mão
apenas uma vez. Quantas pessoas haviam na reunião, se foram trocados 45 apertos de mão?
11) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto
por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número
máximo de tentativas para abrir os cadeados é
132
a)
b)
c)
d)
e)
518.400
1.440
720
120
54
QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS
01) (CESPE/ANALISTA/SERPRO-2004) No item a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma
assertiva a ser julgada.
1 Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 desses
pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só aceitam
participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há menos
de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe.
02) (CESPE/PAPILOSCOPISTA-2004) A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos
da matemática, julgue os itens que se seguem.
1 Considere que, na disputa entre duas equipes, a primeira que vencer 4 jogos será considerada vencedora.
Se uma das equipes – A – tiver vencido os 3 primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de
representar todas a possibilidades de A vencer a disputa.
2 O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra
8
PAPILOSCOPISTA é inferior a 10 .
3 Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeias de 6
caracteres, sendo três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de 26 letras, seguidas de 3 dígitos, cada
uma escolhido no intervalo de 0 a 9, não se permitindo códigos com 3 letras iguais e(ou) 3 dígitos iguais.
Nessa situação, a empresa dispõe de até 10
7
códigos distintos para catalogar seus bens.
03) (CESPE-2006) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para serem protocolados. Um assistente
da promotoria deve formar os códigos dos processos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3
primeiros caracteres são letras do conjunto{d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são números inteiros
de 1024 a 1674.
Com base nessa situação, julgue os itens subseqüentes.
1 É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do código referente às 3 letras
iniciais, sem que haja repetição de letra.
2 Para a parte numérica do código, o assistente da promotoria dispõe de exatamente 650 números distintos.
3 Se o assistente da promotoria construir os códigos para protocolar os 300 processos citados escolhendo a
133
parte numérica em seqüência consecutiva, a partir do primeiro número disponível, então o último processo
terá o número 1.323 em seu código.
04) (CESPE-2002) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma xícara de café,
um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três tipos de sanduíche e
quatro tipos de biscoitos. Considerando que um empregado faça um lanche completo usando apenas uma
de cada opção oferecida, o número possível de maneiras diferentes de ele compor o seu lanche é
a) menor que 13.
b) maior 13 e menor que 17.
c) maior que 17 e menor que 20.
d) maior que 20 e menor que 23.
e) maior que 23.
05) (CESPE/TRT-2007) Julgue os itens.
1 Os tribunais utilizam códigos em seus sistemas internos e, usualmente, os processos protocolados nesses
órgãos seguem uma codificação única formada por 6 campos. O terceiro desses campos, identificado como
código da vara jurídica correspondente à região geográfica, é constituído por 3 algarismos com valores, cada
um, entre 0 e 9. Supondo-se que, nesses códigos, os três algarismos não sejam todos iguais, conclui-se que
podem ser criados, no máximo, 90 códigos distintos para identificar as varas jurídicas.
2 Um órgão especial de um tribunal é composto por 15 desembargadores. Excetuando-se o presidente, o
vice-presidente e o corregedor, os demais membros desse órgão especial podem integrar turmas, cada uma
delas constituída de 5 membros, cuja função é julgar os processos. Nesse caso, o número de turmas
distintas que podem ser formadas é superior a 104.
06) (CESPE/BB-2007) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de
Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do
Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
1 Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América
do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de
classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.
2 Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da
América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois
atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.
3 Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países
diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do
Caribe.
4 Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos
Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos
3 países da América Central é inferior a 180.
07) (CESPE/BB-2007) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem.
134
1 Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda
na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a
quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da
propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções
com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
2 Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de
modo que cada agência receba 4 funcionários.
3 Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser
lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.
4 Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as
verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá
produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.
08) (CESPE/BB-2007) Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.
1 Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o
funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação,
sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe
da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.
2 Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa
situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é
superior a 102
3 Um correntista do BB deseja fazer um único investimento no mercado financeiro, que poderá ser em uma
das 6 modalidades de caderneta de poupança ou em um dos 3 fundos de investimento que permitem
aplicações iniciais de pelo menos R$ 200,00. Nessa situação, o número de opções de investimento desse
correntista é inferior a 12.
4 Considere que, para ter acesso à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve cadastrar uma
senha de 8 dígitos, que devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Se o correntista decidir que
todos os algarismos de sua senha serão diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para
essa senha é igual a 8!.
5 Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e Mastercard, sendo oferecidas 5 modalidades
diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão
Visa e um Mastercard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.
6 Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa situação, a quantidade de comissões que
é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105
09) (CESGRANRIO-2007) Quantas são as possíveis ordenações das letras da palavra BRASIL, tais que a
letra B figure na 1ª posição ou a letra R figure na 2ª posição?
(A) 120
(B) 184
(C) 216 (D) 240 (E) 360
10) (CESGRANRIO-2005) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma
seqüência de cinco símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos,
mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode
fazer para acessar o arquivo é
135
A) 240 B) 216 C)120
D)360
E)200
11)(CESGRANRIO-2007) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10
técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes
diferentes podem ser escaladas?
(A) 15120
(B) 3780
(C) 840
(D) 630
(E) 510
12) (ESAF/MPU-2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no
teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que: a) homens e mulheres
sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres
sentem-se juntas, são, respectivamente,
a) 1112 e 1152 b) 1152 e 1100 c) 1152 e 1152 d) 384 e 1112. e) 112 e 384.
13) (ESAF/MPU-2004) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma
mesma parede, lado a lado. Todos
os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem,
desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O
número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a
a) 20 b) 30 c) 24 d) 120 e) 360.
14) (ESAF/CGU-2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele ─ o
cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras
horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8
cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:
a) 56
b) 5760 c) 6720 d) 3600 e) 4320
15) (ESAF/CGU-2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo,
para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras
diferentes Ana pode escolher as questões?
a) 3003
b) 2980
c) 2800
d) 3006 e) 3005
16) (CESPE-2006) No departamento de eventos de uma empresa trabalham 9 homens e 6 mulheres e, para
a organização da festa junina, será formada uma comissão composta por 3 dessas pessoas. Nesse caso,
1 se a comissão tiver apenas uma mulher, então será possível formar 198 comissões diferentes.
2 se não houver qualquer restrição quanto ao sexo dos membros da comissão, então será possível formar
455 comissões diferentes.
136
17) (CESPE-2007) Com as letras que formam o nome da capital RIO BRANCO,
pode-se formar diversos anagramas — anagrama é qualquer palavra, com significado ou não, que pode ser
formada a partir das letras fornecidas. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.
1 A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO de modo que as letras
R, I, e O fiquem juntas e nesta ordem é inferior a 5.000.
2 A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO é superior a 360.000.
18) (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar?
(A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 24 (E) 48
19)(CESGRANRIO-2004) Sebastiana faz doces de cupuaçu, de açaí, de tucumã, de cajá e de banana. Ela
quer preparar embalagens especiais, cada uma com dois potes de doce de sabores diferentes, para vender
na feira. Quantas embalagens diferentes Sebastiana poderá preparar?
(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 14 (E) 20
20) (CESPE/BB-2008) O código de acesso exigido em transações nos caixas eletrônicos do Banco do Brasil
é uma seqüência de letras, gerada automaticamente pelo sistema. Até o dia 17/12/2007, o código de acesso
era composto por 3 letras maiúsculas. Os códigos de acessos gerados a partir de 18/12/2007 utilizam,
também, sílabas de 2 letras — uma letra maiúscula seguida de uma letra minúscula. Exemplos de código de
acesso no novo modelo: Ki Ca Be; Lu S Ra; T M Z.
Na situação descrita no texto, considere que o número de letras maiúsculas disponíveis para a composição
dos códigos de acesso seja igual a 26, que é igual ao número de letras minúsculas. A partir dessas
informações, julgue os itens a seguir.
1 É superior a 18 × 107 a quantidade de códigos de acesso compostos por 3 sílabas de 2 letras, nos quais
cada sílaba é formada por exatamente 1 letra maiúscula e 1 letra minúscula nessa ordem, não havendo
repetições de qualquer uma das letras em um mesmo código.
2 Considere que um cliente do Banco do Brasil deseje que seu código de acesso comece com a sílaba Lu e
que cada uma das outras duas posições tenha apenas 1 letra maiúscula, distinta das demais, incluindo-se as
letras L e u. Nesse caso, esse cliente terá menos de 600 escolhas de código.
3 Até 17/12/2007, o número de códigos de acesso distintos, que eram compostos por exatamente 3 letras
maiúsculas e que podiam ser gerados pelo sistema do Banco do Brasil para transações nos caixas
eletrônicos, era inferior a 18 × 103.
4 Se um cliente do Banco do Brasil decidir formar seu código de acesso com 3 letras maiúsculas usando
somente as 4 letras iniciais de seu nome, então ele terá, no máximo, 12 escolhas de código.
21) (CESPE/BB-2008) Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem
verificar que, atualmente, há 12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados
137
em uma tabela. Com respeito à quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens
subseqüentes.
1 Se o Banco do Brasil decidir oferecer os fundos de investimento Estilo em 4 pacotes, de modo que cada
pacote contemple 3 fundos diferentes, então a quantidade de maneiras distintas para se montar esses
pacotes será superior
a 350 mil.
2 Considere que, entre os fundos de investimento Estilo, haja 3 fundos classificados como de renda fixa, 5
fundos classificados como de multimercado, 3 fundos de ações e 1 fundo referenciado. Considere, ainda,
que, no portal do Banco do Brasil, esses fundos sejam exibidos em uma coluna, de modo que os fundos de
mesma classificação aparecem juntos em seqüência. Sendo assim, a quantidade de maneiras diferentes que
essa coluna pode ser formada é inferior a 4.500.
3 Um cliente do Banco do Brasil Estilo que decidir escolher 3 fundos diferentes para realizar seus
investimentos terá, no máximo, 13.200 escolhas distintas.
4 Considere que os 12 fundos Estilo mencionados sejam assim distribuídos: 1 fundo referenciado, que é
representado pela letra A; 3 fundos de renda fixa indistinguíveis, cada um representado pela letra B; 5 fundos
multimercado indistinguíveis, cada um representado pela letra C; e 3 fundos de ações indistinguíveis, cada
um representado pela letra D. Dessa forma, o número de escolhas distintas que o banco dispõe para listar
em coluna esses 12 fundos, utilizando-se apenas suas letras de representação — A, B, C e D —, é inferior a
120 mil.
22)(CESGRANRIO-2008) Em certa universidade, o número de matrícula dos estudantes é formado por 7
dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o antipenúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da
matrícula. Por exemplo, “4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu
curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes matriculados num mesmo ano devem ter,
obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que podem ser
matriculados em 2008?
(A) 6.046
(B) 9.000
(C) 10.080
(D) 18.000
(E) 20.000
23)(CESGRANRIO-2008) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar telefones de 8 dígitos, que
comecem por 9 e tenham como segundo dígito um algarismo me nor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima
de números telefônicos que essa operadora pode habilitar em uma mesma cidade?
(A) 3 × 106 (B) 4 ×106 (C) 5 × 106 (D) 4 ×C9,6
(E) 5 × C9,6
24)(CESGRANRIO-2008) Certo campeonato estadual de futebol será realizado com 14 clubes divididos em
dois grupos iguais. Dentro de cada grupo todos os times se enfrentarão uma única vez. Em seguida, serão
realizadas as partidas semifinais, quando o primeiro colocado de cada grupo enfrentará o segundo colocado
do outro grupo. A final será realizada com os vencedores desses dois jogos. No total, quantos jogos serão
realizados nesse campeonato?
(A) 87
(B) 84
(C) 65
(D) 45
(E) 42
138
25) (ESAF/GESTOR-2005) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher
aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é
composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas
entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de
150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:
a) 10 b) 14
c) 20
d) 25 e) 45
26) (ESAF/GESTOR-2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila.
O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de
modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:
a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 e) 56
27) (CESPE-2007) Em um concurso público promovido pela prefeitura de uma capital brasileira, foram
aprovados 11 candidatos, dos quais 5 são naturais do Espírito Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo.
Entre estes, três serão selecionados para atendimento exclusivo ao prefeito e seu secretariado. Acerca da
situação hipotética acima, é correto afirmar que o número de maneiras distintas de selecionar os três
servidores que irão atender ao prefeito e a seu secretariado de forma que
1 os dois servidores paulistas estejam entre eles é igual a 11.
2 todos sejam naturais do Espírito Santo é igual a 10.
3 nenhum deles seja do Espírito Santo é igual a 20.
4 um seja capixaba, um mineiro e um paulista é igual a 30.
Texto para as questões de 40 a 42
No TRT da 1.ª Região, o andamento de processo pode ser consultado no sítio www.trtrio.gov.br/Sistemas,
seguindo as orientações abaixo:
Consulta processual pelo sistema de numeração única – processos autuados a partir de 2002: nesse tipo de
consulta, a parte interessada, advogado ou reclamante/reclamada, poderá pesquisar, todo trâmite
processual. Para efetuar a consulta, é necessário preencher todos os campos, de acordo com os seguintes
procedimentos (os dígitos são sempre algarismos arábicos):
campo 1: digite o número do processo – com 5 dígitos;
campo 2: digite o ano do processo – com 4 dígitos;
campo 3: digite o número da Vara do Trabalho onde a ação se originou – com 3 dígitos. Os números das
Varas do Trabalho são codificados conforme tabela anexa do sítio e, nas ações de competência dos TRTs,
esse campo receberá três zeros;
139
campo 4: digite o número do TRT onde a ação se originou – com 2 dígitos. No caso do TRT da 1.ª Região,
“01”, que virá digitado;
campo 5: digite o número seqüencial do processo – com 2 dígitos. Na 1.ª autuação do processo,
independentemente da instância em que for ajuizada, este campo deverá ser preenchido com “00”.
Após o preenchimento de todos os campos, clique o botão “consultar” e será apresentada a tela relacionada
aos tipos de processos. Clique o tipo de processo desejado, por exemplo: RT, RO, AP, e será apresentada a
tela de Consulta Processual, com todo o trâmite do processo.
Exemplo de Número Novo: RT: 01100-2002-010-01-00
28) (CESPE/TRT-2008) Se for estabelecida a restrição de que no campo 1, referente ao número do
processo, até 4 dos 5 dígitos poderão ser iguais, então a quantidade de possibilidades para esse número é
igual a
A) 69.760.
B)99.990.
C)32.805.
D) 59.049.
E) 65.610.
29) (CESPE/TRT-2008) Considere que no campo 3, correspondente ao número da Vara do Trabalho onde o
processo se originou, a numeração possa variar de 001 até 100. Nesse caso, a quantidade dessas Varas
que podem ser numeradas somente com números divisíveis por 5 é igual a
A) 15. B) 20.
C) 22.
D) 25.
E) 28.
30) (CESPE/TRT-2008) Considere um lote de processos especificados no Sistema de Numeração Única, em
que os 2 dígitos do campo 5 formam um número par ou um número divisível por 3 e varia de 01 a 12. Nesse
caso, a quantidade de possíveis números para esse campo 5 é igual a
A) 11. B) 10. C) 8. D) 6.
E) 4.
31) (CESGRANRIO-2008) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas,
numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as
extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?
(A) 15 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 27
140
Gabarito
QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS
01
CCEC
21
C
02
EEE
22
D
03
A
23
C
04
A
24
D
05
CEC
25
C
06
C
26
A
07
CCE
27
EC
08
EECE
28
EE
09
A
29
D
10
E
30
A
11
B
31
E
12
D
13
C
14
EC
15
EE
16
CEE
17
CCEE
18
CEEC
19
ECCEEC
20
C
141