2 - Relações - UNEMAT Sinop

1. Par ordenado
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Em Matemática existem situações em que há
necessidade de distinguir dois pares pela ordem
dos elementos. Por exemplo, no sistema de
equações
x + y = 3

x − y = 1
Relações
x = 2 e y = 1 é solução, ao passo que x = 1 e y = 2
não é solução. Se representássemos por um
conjunto, teríamos: {2, 1} seria solução e {1, 2} não
seria solução.
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Relações
1. Par ordenado
1.Par ordenado
Há uma contradição pois, sendo {2, 1} =
{1, 2}, o mesmo conjunto é e não é solução. Por
causa disso dizemos que a solução é o par ordenado
(2, 1) em que fica subentendido que o primeiro
elemento 2 refere-se à incógnita x e o segundo
elemento 1 refere-se à incógnita y.
2.Sistema cartesiano ortogonal
3.Produto cartesiano
4.Relação binária
5.Domínio e imagem
6.Relação inversa
7.Propriedades das relações
5
1. Par ordenado
1. Par ordenado
Chama-se par todo conjunto formado por
dois elementos. Assim, [1, 2], [3, -1], [a, b] indicam
pares. Lembrando do conceito de igualdade de
conjuntos, observamos que inverter a ordem dos
elementos não produz um novo par:
Admitiremos a noção de par ordenado como
conceito primitivo. Para cada elemento a e cada
elemento b, admitiremos a existência de um
terceiro elemento (a, b) que denominamos par
ordenado, de modo que se tenha
{1, 2} = {2, 1}, {3, -1} = {-1, 3}, {a, b} = {b, a}.
(a, b ) = (c, d ) ⇔ a = c e b = d
3
6
1
2. Sistema cartesiano ortogonal
2. Sistema cartesiano ortogonal
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano α.
P ∈α
Dado um ponto P qualquer,
zamos por ele duas retas:
d) eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox).
condu-
e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy).
f) sistema de eixos cartesiano (ou ortonormal ou
retangular) é o sistema xOy.
x ' // x e y ' // y
g) origem do sistema é o ponto O.
Denominemos P1 a intersecção de x com y’ e
P2 a intersecção de y com x’.
h) plano cartesiano é o plano α.
7
2. Sistema cartesiano ortogonal
10
2. Sistema cartesiano ortogonal
α
Exemplo:
y’
y
P2
Localizar os pontos A(2, 0), B(0, -3), C(2, 5),
D(-3, 4), E(-7, -3), F(4, -5), G(5/2, 9/2) e
H(-5/2, -9/2) no plano cartesiano lembrando que,
P
x’
no par ordenado, o primeiro número representa a
abscissa e o segundo a ordenada do ponto.
O
P1
x
8
2. Sistema cartesiano ortogonal
11
2. Sistema cartesiano ortogonal
y
Nessas condições, definimos:
C
G
D
a) abscissa de P é o número real xP representado
por P1.
x
A
b) ordenada de P é o número real yP representado
por P2.
E
c) coordenadas de P são os números reais xP e yP,
geralmente indicados na forma de um par
ordenado (xP, yP) em que xP é o primeiro termo.
B
H
9
F
12
2
3. Produto cartesiano
3. Produto cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos não vazios.
Denominamos produto cartesiano de A por B o
conjunto A x B cujos elementos são todos pares
ordenados (x, y), em que o primeiro elemento
pertence a A e o segundo elemento pertence a B.
2o) Se A = {2, 3}, então o conjunto A x A (que
também pode ser indicado por A2 e lê-se “A dois”) é:
A x A = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
A x B = {( x, y ) / x ∈ A e y ∈ B}
O símbolo A x B lê-se “A cartesiano B” ou “produto
cartesiano de A por B”.
3
Se A ou B for o conjunto vazio, definiremos o
produto cartesiano de A por B como sendo o
conjunto vazio.
2
Ax∅ = ∅
∅xB = ∅
∅x∅ = ∅
13
3. Produto cartesiano
(2, 3)
(3, 3)
(2, 2)
(3, 2)
2
16
x
3
3. Produto cartesiano
3o) Se A = {x ∈ ℝ / 1 ≤ x < 3} e B = {2} , então temos
Exemplos:
1o)
AxA
y
Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos
A x B = {( x,2) / x ∈ A}
A representação gráfica de A x B dá como
resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo
ao eixo dos x da figura abaixo.
A x B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
e
B x A = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3)}
y
2
e as representações no plano cartesiano são as
seguintes:
1
14
3. Produto cartesiano
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
1
17
4o) Se A = {x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 3} e B = {x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 5} ,
temos
BxA
y
(1, 3)
(2, 3)
(1, 2)
(2, 2)
(1, 1)
(2, 1)
{
2
1
}
A x B = ( x, y ) ∈ ℝ 2 / 1 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ 5
3
2
x
3. Produto cartesiano
AxB
y
3
representado graficamente no plano cartesiano pelo
conjunto de pontos de um retângulo. Notemos que
{
}
B x A = ( x, y ) ∈ ℝ 2 / 1 ≤ x ≤ 5 e 1 ≤ y ≤ 3
é representado por um retângulo distinto do anterior.
1
2
3
x
1
2
x
15
18
3
3. Produto cartesiano
3. Produto cartesiano
AxB
y
Resolução:
BxA
y
A X B = {(1, −2 ) ; (1,1) ; ( 3, −2 ) ; ( 3,1) ; ( 4, −2 ) ; ( 4,1)}
5
B X A = {( −2,1) ; (1,1) ; ( −2, 3) ; (1, 3) ; ( −2, 4 ) ; (1, 4 )}
3
1
A X C = {(1, −1) ; (1, 0 ) ; (1, 2 ) ; ( 3, −1) ; ( 3, 0 ) ; ( 3, 2 ) ; ( 4, −1) ; ( 4, 0 ) ; ( 4, 2 )}
C X A = {( −1,1) ; ( 0,1) ; ( 2,1) ; ( −1, 3) ; ( 0, 3) ; ( 2, 3) ; ( −1, 4 ) ; ( 0, 4 ) ; ( 2, 4 )}
1
1
x
3
1
5
x
19
3. Produto cartesiano
B2 = {( −2, −2 ) ; ( −2,1) ; (1, −2 ) ; (1,1)}
C2 = {( −1, −1) ; ( −1, 0 ) ; ( −1, 2 ) ; ( 0, −1) ; ( 0, 0 ) ; ( 0, 2 ) ; ( 2, −1) ; ( 2,0 ) ; ( 2, 2 )}
22
3. Produto cartesiano
Observações:
Exercício 2: Dados os conjuntos
A = {xXℜ/1 ≤ x ≤ 3}
Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A, isto é, o produto
cartesiano de dois conjuntos não goza da
propriedade comutativa.
B = {xXℜ/-2 ≤ x ≤ 2}
2a) Se A e B são conjuntos finitos com m e n
elementos respectivamente, então A x B é um
conjunto finito com m . n elementos.
representar graficamente os seguintes conjuntos:
1a)
C = {xXℜ/-4 < x ≤ 1}
A X B, A X C, B X C, C X B, A2, C2.
3a) Se A ou B for infinito e nenhum deles for
vazio, então A x B é um conjunto infinito.
20
3. Produto cartesiano
3. Produto cartesiano
Exercício 1: Dados os conjuntos A = {1, 3, 4},
B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2} representar pelos
elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes
produtos:
a)A X B
23
b) B X A
c)A X C
d)
B2
e)
Exercício 3: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
B = {xXℜ/1 ≤ x ≤ 4} representar graficamente os
conjuntos: A X B, B X A e (A X B) U (B X A).
C2
21
24
4
3. Produto cartesiano
3. Produto cartesiano
Exercício 4: Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} T A2 e
Exercício 6: Considerando A T B , {(0, 5), (-1, 2),
n(A2)
(2, -1)} T A X B e n(A X B) = 12, represente A X B
= 9, represente pelos elementos o conjunto
A2 .
pelos seus elementos.
25
3. Produto cartesiano
28
4. Relação binária
Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4} e
B = {2, 3, 4, 5, 6}. O produto cartesiano de A por B
Resolução: O número de elementos de A2 é igual ao
quadrado do número de elementos de A, portanto
é o conjunto
n(A2) = [n(A)]2 = 9 ⇒ n = 3.
A x B = {( x, y ) / x ∈ A e y ∈ B}
Se A é um conjunto de três elementos, (1, 2) X A2
formado por 3 . 5 = 15 elementos representados na
figura ao lado. Se agora considerarmos o conjunto
de pares ordenados (x, y) de A x B tais que x|y (lêse: x é divisor de y), teremos
e (4, 2) X A2, concluímos que A = {1, 2, 4}.
Assim sendo,
R = {( x, y ) ∈ A x B / x | y } = {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)},
A X A = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4),
(4,1), (4,2), (4,4)}
26
3. Produto cartesiano
que é chamado relação entre os elementos de A e
de B ou, mais simplesmente, uma relação binária de
A em B.
29
4. Relação binária
O conjunto R está contido em A x B e é
formado por pares (x, y), em que o elemento x de
A é “associado” ao elemento y de B mediante um
certo critério de “relacionamento” ou “correspondência”.
Exercício 5: Se {(1, -2), (3, 0)} T A2 e n(A2) = 16,
represente pelos elementos o conjunto A2.
y
6
5
4
3
2
27
2
3
4
x
30
5
4. Relação binária
4. Relação binária
Quando o par (x , y) pertence à relação R,
escrevemos x R y (lê-se: “x erre y”).
Será bastante útil a representação da
relação por meio de flechas, como na figura abaixo.
(x,y) ∈ R ⇔ xR y
3
3
e se o par (x, y) não pertence à relação R,
escrevemos x R y (lê-se: x não erre y).
5
2
2
6
4
(x,y) ∉ R ⇔ x R y
4
A
B
31
4. Relação binária
34
4. Relação binária
Exemplos:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
relação binária de A em B todo subconjunto R de
A x B.
1o) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4}, quais são
os elementos da relação R = {(x, y) / x < y} de A em
B?
R é relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A x B
Os elementos de R são todos os pares
ordenados de A x B nos quais o primeiro elemento é
menor que o segundo, isto é, são os pares
ordenados pela “associação de cada elemento x ∈ A
com cada elemento de y ∈ B tal que x < y”.
Se, eventualmente, os conjuntos A e B
forem iguais, todo subconjunto de A x A é
chamado relação binária em A.
R é relação binária em A ⇔ R ⊂ A x A
Temos então:
32
4. Relação binária
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
35
4. Relação binária
Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já
consagradas:
2o) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais
são os elementos da relação binária R de A em B
assim definida: x R y ⇔ y = x + 2?
A = conjunto de partida da relação R
Fazem parte da relação todos os pares
ordenados (x, y) tais que x ∈ A, y ∈ B e y = x + 2.
B = conjunto de chegada ou contradomínio da
relação R
33
36
6
4. Relação binária
4. Relação binária
Utilizando as representações gráficas:
Exercício 7: Pede-se para (a) enumerar pares
ordenados; (b) representar por meio de flechas e,
(c) fazer o gráfico cartesiano da relação binária de
A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}
definida por x R y ⇔ x + y = 2.
y
6
1
1
5
2
2
4
3
3
3
4
4
2
5
5
6
1
1
2
3
4
A
x
5
B
37
4. Relação binária
5. Domínio e imagem
3o) Se A = {-1, 0, 1, 2}, quais são os elementos da
relação R = {(x, y) ∈ A2 / x2 = y2}?
que:
40
Domínio: Seja R uma relação de A em B.
Chama-se domínio de R o conjunto D de
todos os primeiros elementos dos pares ordenados
pertencentes a R.
Fazendo a representação gráfica, notamos
R = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1), (2, 2)}
x ∈ D ⇔ ∃y , y ∈ B / ( x , y ) ∈ R
y
2
0
0
1
1
1
-1
-1
-1
1
2
x
2
Decorre da definição que D ⊂ A.
2
38
-1
4. Relação binária
5. Domínio e imagem
4o) Se A = { x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 3} e B = {y ∈ ℝ / 1 ≤ y ≤ 2} ,
pede-se a representação cartesiana de A x B e
R = {(x, y) ∈ A x B / y = x}.
y
41
A
A
y
AxB
2
Imagem: Chama-se imagem de R o conjunto Im de
todos os segundos elementos dos pares ordenados
pertencentes a R.
y ∈ Im ⇔ ∃x, x ∈ A / ( x, y ) ∈ R
Decorre da definição que Im ⊂ B.
2
R
1
1
1
3
x
1
3
x39
42
7
5. Domínio e imagem
5. Domínio e imagem
Exemplos:
y
1o) Se A = {0, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é o
domínio e a imagem da relação R = {(x, y) ∈ A x B / y
é múltiplo de x}?
y
4
AxB
4
Im
3
3
B
2
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
D = {2, 3, 4}
2
1
1
1
Im = {2, 3, 4, 6}
3
x
1
2
3
x
D
A
43
5. Domínio e imagem
46
5. Domínio e imagem
Utilizando o esquema das flechas é fácil
perceber que D é o conjunto dos elementos de A dos
quais partem flechas e que Im é o conjunto dos
elementos de B aos quais chegam flechas.
0
a){(1, 1), (1, 3), (2, 4)}
b){(-2, 4), (-1, 1), (3, -7), (2, 1)}
1
D
2
Exercício 8: Estabelecer o domínio e a imagem das
seguintes relações:
Im
c){(3, 1/2), (5/2, -1), (3/2, 0)}
2
6
3
3
4
4
A
B
5
44
5. Domínio e imagem
47
5. Domínio e imagem
4o) Se A = {x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 3} e B = {y ∈ ℝ / 1 ≤ y ≤ 4},
Exercício 9: Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2,
3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R a relação binária de
A em B definida por
qual é o domínio e a imagem da relação R = {(x, y) ∈
A x B / y = 2x}?
x R y ⇔ x = y2
Pede-se:
Utilizando a representação cartesiana, temos:
a) enumerar os pares ordenados de R;
D = { x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 2} e Im = {y ∈ ℝ / 2 ≤ y ≤ 4}
b) enumerar os elementos do domínio e da imagem
de R;
45
c) fazer o gráfico cartesiano de R.
48
8
5. Domínio e imagem
6. Relação inversa
Utilizando o esquema das flechas,
Exercício 10: Se R é a relação binária de
A = {x X ℜ / 1 ≤ x ≤ 6} em B = {y X ℜ / 1 ≤ y ≤ 4}
definida por
R
R-1
2
1
1
2
Pede-se:
3
3
3
3
a) a representação cartesiana de A X B
4
5
5
4
b) a representação cartesiana de R
5
7
7
5
x R y ⇔ x = 2y
c) o domínio e a imagem de R.
A
B
B
A
49
6. Relação inversa
52
6. Relação inversa
2o) Se A = {x ∈ ℝ / 1 ≤ x ≤ 4} e B = {y ∈ ℝ / 2 ≤ y ≤ 8},
Dada uma relação binária R de A em B,
consideremos o conjunto
representar no
R −1 = {( y , x ) ∈ B x A / ( x, y ) ∈ R}
plano cartesiano as relações
R = {(x, y) ∈ A x B / y = 2x} e sua inversa R-1.
Como R-1 é subconjunto de B x A, então R-1 é
uma relação binária de B em A, à qual daremos o
nome de relação inversa de R.
y
y
R
8
( y , x ) ∈ R − 1 ⇔ ( x, y ) ∈ R
Decorre dessa definição que R-1 é o conjunto
dos pares ordenados obtido a partir dos pares
ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos
em cada par.
50
6. Relação inversa
R-1
4
2
1
1
4
x
2
8
x
53
6. Relação inversa
Exemplos:
Exercício 11: Dados os conjuntos
1o) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, quais são os
elementos de R = {(x, y) ∈ A x B / x < y} e de R-1?
A = {x X ℜ / 1 ≤ x ≤ 6}, B = {y X ℜ / 2 ≤ y ≤ 10} e a
seguinte relação binária
R = {(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7)}
T = {(x, y) X A X B / y = x + 2}
R −1 = {(3,2),(5,2),(7,2),(5,3),(7,3),(5,4),(7,4),(7,5)}
pede-se o gráfico cartesiano dessa relação e da
respectiva relação inversa.
51
54
9
7. Propriedades das relações
São evidentes as seguintes propriedades:
a) D(R-1) = Im(R)
isto é, o domínio de R-1 é igual a imagem de R
b) Im(R-1) = D(R)
isto é, a imagem de R-1 é igual ao domínio de R
c) (R-1)-1 = R
isto é, a relação inversa de R-1 é a relação R
55
10