Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS
Conjunto tem por conceito a reunião de elementos que
têm pelo menos uma propriedade em comum. Em geral são
representados por letras maiúsculas do alfabeto latino
e seus elementos vêm representados entre chaves,
separados por vírgulas:
A = { a, b, c }
Conjuntos Numéricos
Naturais: N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
Inteiros: Z = {...; -3 ;-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
Racionais: um número é chamado de racional quando puder ser escrito como fração de
dois números inteiros, ou seja:
Irracionais: um número é chamado de irracional quando não puder ser obtido como
divisão de dois números inteiros, ou seja:
Obs.: Alguns números irracionais:
Reais: O conjunto dos números reais é definido como união entre
os conjuntos dos racionais e dos irracionais, ou seja,
O conjunto R pode ser representado por uma reta numerada de -  a + .
Intervalos
O conjunto dos números reais (R) possui subconjuntos, denominados intervalos. Estes
intervalos são determinados por meio de desigualdades. Sejam os números reais a e b,
com a < b , temos os conjuntos:
1 - Intervalo aberto de extremos a e b :
2 - Intervalo fechado de extremos a e b :
3 - Intervalo fechado à esquerda ou aberto à direita de extremos a e b :
4 - Intervalo fechado à direita ou aberto à esquerda de extremos a e b :
Existem, também, os intervalos infinitos. São eles:
5 - Menos infinito e fechado em n :
6 - Menos infinito e aberto em n :
7 - Mais infinito e fechado em n :
8 - Mais infinito e aberto em n :
OBSERVAÇÃO:
A bolinha vazia na reta real indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo.
A bolinha cheia na reta real indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos formam um corpo denotado por (C, +, · ). O conjunto C é
formado pelos pares ordenados (x, y) R2 onde definimos:
Igualdade: (x, y) = (u, v) se e somente se x = u e y = v
Adição: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
Multiplicação: (x, y) × (u, v) = (xu  yv, xv yu)
Definição. O conjugado do número complexo z = (x, y) é = (x, y)
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Considere dois conjuntos A e B.
 União – A união será representada pela notação A  B, e será um novo




conjunto onde os elementos pertencerão a A ou a B.
Intersecção – será representada pela notação A  B, e os elementos desse
novo conjunto, pertencerão simultaneamente aos dois conjuntos.
Diferença – esta operação será representada por A – B e o conjunto
decorrente da mesma, terá elementos que pertencem a A e não pertencem a
B.
Complementação – Considerando que B é subconjunto de A , ou seja,
que está contido em A , então o conjunto resultante da operação CAB,
complementar de A em relação a B , é obtido pela diferença B – A .
Produto cartesiano - Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano
denotado por A  B (lê-se A cartesiano B) é o conjunto de todos os pares
ordenados cujos primeiros elementos (primeiras coordenadas) pertencem a
A e cujos segundos elementos (segundas coordenadas) pertencem a B.
 Par ordenado
Conceito. Par ordenado. Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois termos,
digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro termo e o outro
como segundo termo. Um par ordenado com primeiro termo a e segundo termo b é
representado explicitamente por (a, b).
ELEMENTOS DE UM PAR ORDENADO
Num par ordenado u = (x, y), x é chamado abscissa, primeiro elemento, primeira
coordenada ou primeira projeção. Já y é chamado ordenada, segundo elemento,
segunda coordenada ou segunda projeção.
IGUALDADE DE PARES ORDENADOS
Se x e y são pares ordenados (representados não explicitamente), a igualdade x = y
significa por definição que a abscissa de x é igual a abscissa de y e que a ordenada de
x é igual a ordenada de y. De outro modo, (a, b) = (c, d) significa por definição que a
= c e b = d.
Exemplos:
Se A = {1, 2, 3} e B = {p, q} então:
AB = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2, q), (3, q)}
BA = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3)}
RELAÇÃO BINÁRIA
Definição. Relação Binária. Dado um produto cartesiano AB, uma relação binária
de A em B é um subconjunto R qualquer do produto cartesiano AB. Nesse caso A é
chamado conjunto de partida e B é chamado conjunto de chegada da relação R.
Exemplo::
P = {2, 4, 6}, Q = {1, 3}
P×Q = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)}
Um exemplo de relação binária de P em Q é R1 = {(2, 1), (4, 3)} que é um
subconjunto do produto cartesiano P×Q. Podemos também descrever R1 assim:
R1 = {(x, y)  PQ | x – y = 1}
Neste caso o conjunto R1 está sendo descrito por abstração.
REPRESENTANDO RELAÇÕES BINÁRIAS
A relação R1 de A = {0, 1, 2, 3} em B = {a, b, c, d} dada por
R1 = {(0; a), (1; b), (2; c), (2; d)} pode ser representada dos seguintes modos:
Diagrama Sagital
Representação Cartesiana
R1
Na representação cartesiana os elementos do conjunto de partida são representados no
eixo horizontal e os elementos do conjunto de chegada são representados no eixo
vertical. Para representar uma relação R qualquer, marcamos um ponto para cada
elemento (par ordenado) que está em R. Por exemplo, para indicar que o par ordenado
(2, c) está em R1, marcamos um ponto na posição (2, c), de abscissa 2 e ordenada c.
FUNÇÃO
Conceito. Função
Uma função de A em B é uma representação de elementos de C  A por elementos de
B, onde cada elemento C admite uma única representação em B. Quando A = C, isto
é, quando todo elemento de A tem um representante em B a função é dita função total,
ou simplesmente função. Quando C  A, a função é dita função parcial, e é menos
conhecida que a função total pois para a maior parte da Matemática é suficiente e
preferível trabalhar com a função total visto que os cálculos com funções parciais são
mais complexos.
REPRESENTANDO UMA FUNÇÃO
A representação de uma função é feita do mesmo modo que a de uma relação binária,
por meio do diagrama sagital, diagrama cartesiano (representação cartesiana) ou
representação matricial.
DENOTANDO UMA FUNÇÃO
Uma função de A em B, isto é, uma função com conjunto de partida A e conjunto de
chegada B é denotada por f : A  B. O representante (único) de um elemento c  C 
A por uma função f é denotado por f (c).
FUNÇÕES PARCIAIS E FUNÇÕES TOTAIS
Uma função (total) é uma relação binária na qual cada elemento do conjunto de
partida está associado a um único elemento do conjunto de chegada.
Não é função total, pois existe pelo menos um elemento do conjunto de partida A, o 2,
que não está associado a nenhum elemento do conjunto de chegada B. Trata-se de
uma função parcial, pois nenhum elemento de A admite mais de um representante em
B.
Segue um exemplo de relação binária que não é nem função total nem função parcial.
Não é função nem total nem parcial, pois existe um elemento do conjunto de partida
A, a saber o 1, que está associado a dois elementos do conjunto de chegada B, a
saber o 7 e o 3.
Numa função, seja ela total ou parcial, nenhum elemento do conjunto de partida
admite mais de um representante no conjunto de chegada.
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Numa função f de A em B, chamamos de domínio de f e indicamos por D(f ) ou
Dom(f ) o conjunto dos elementos de A que estão representados em B, isto é, o
conjunto dos elementos a  A para os quais existe b  B tal que f(a) = b. Note que o
domínio de uma função g de A em B coincide com o conjunto de partida A se, e
somente se cada elemento do conjunto de partida A admite um representante em B,
isto é, se, e só se g é função total.
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Dada uma função f : A  B a imagem de f, que representamos por Im( f ) ou por f (A),
é o conjunto dos elementos b  B para os quais existe a  A satisfazendo f (a) = b.
Simbolicamente:
Im( f ) = f (A) = {b  B : aA, b = f (a)}