MAT0317 - Topologia 1 semestre de 2015 - IME-USP

MAT0317 - Topologia
1o semestre de 2015
Monitor: Paulo Henrique Macedo
e-mail: [email protected]
Lista 2: Axiomas de Separação e Continuidade
Doravante, a menos dito o contrário, R denotará a reta real munida da topologia euclidiana; I denotará o intervalo [0, 1] provido da topologia de subspaço herdada de R. Se
A ⊆ B então iA→B denota a aplicação inclusão, em particular se A = B, denota-se iA→B
por iA .
A.
Funções Contínuas
Exercício 1. Sejam X e Y espaços topológicos. Acerca de uma função f : X → Y , prove
que as seguintes afirmações são equivalentes
(FC1) f é contínua;
(FC2) se P é uma subbase de Y , dado V ∈ P, f −1 [V ] é um aberto de X;
(FC3) se D é uma base de Y , dado V ∈ D, f −1 [V ] é aberto em X;
(FC4) se hB(x)ix∈X e hD(y)iy∈Y são sistemas de vizinhanças de X e Y , respectivamente, dado x ∈ X e V ∈ D(f (x)), existe U ∈ B(x) tal que f [U ] ⊆ V ;
(FC5) se F é fechado em Y , f −1 [F ] é fechado em X;
(FC6) dado A ⊆ X, f [clX A] ⊆ clY f [A];
(FC7) dado B ⊆ Y , clX f −1 [B] ⊆ f −1 [clY B];
(FC8) dado B ⊆ Y , f −1 [intY B] ⊆ intX f −1 [B]
Para um espaço topológicos X, C(X) é a coleção de todas as funções f : X → R
contínuas; C∗ (X) denota a coleção de todas funções f : X → R contínuas e limitadas.
1
Exercício 2. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y contínua. É verdade que,
sendo D uma base de Y , B = {f −1 [V ] : V ∈ D} é uma base de X? E se D for uma
subbase, B é subbase? Sob quais hipóteses pode-se dizer que f leva densos de X em
densos de Y ?
Se X é um conjunto, uma cobertura
(ou recobrimento) para X é uma coleção hAs is∈S de
S
subconjuntos de X tais que s∈S As = X. Se X é um espaço topológico, uma cobertura
por abertos (fechados) é uma cobertura hAs is∈S tal que, para cada s ∈ S, As é aberto
(fechado) em X.
Seja hAs is∈S uma cobertura de um conjunto X. Dado um conjunto Y , suponha que, para
cada s ∈ S fs : As → Y seja uma função. Diz-se que que a coleção hfs is∈S é uma coleção
de funções compatíveis se, para cada s0 , s1 ∈ S
fs0 A0 ∩A1 = fs1 A0 ∩A1 .
Nesse caso, define-se a junção da família hfs is∈S como sendo a função Os∈S fs : X → Y
dada por
5s∈S fs (x) = fs (x), se x ∈ As .
Uma família hAs is∈S de subconjuntos de um espaço topológico X é dita localmente finita
se, para cada x ∈ X e toda vizinhança U de x em x, o conjunto {s ∈ S : U ∩ As 6= ∅} é
finito.
Exercício 3. Sejam hAs is∈S uma cobertura de um espaço X, Y um espaço topológico e,
para cada s ∈ S, fs : As → Y uma função. Prove que, se para cada s ∈ S, As é aberto
em X, então Os∈S fs é contínua se, e somente se, fs for contínua. Prove que se hAs is∈S for
uma cobertura por fechados e localmente finita, então Os∈S fs é contínua se, e somente
se, para cada s ∈ S, fs for contínua.
Exercício 4. É válido um resultado análogo ao teorema de Berstein-Cantor-Schröder
para espaços topológicos, i.e. se X e Y são espaços topológicos e f : X → Y e g : Y → X
são aplicações contínuas e injetoras, é verdade que X e Y são homeomorfos? E se f e g
forem abertas (fechadas)?
Exercício 5. Seja X um espaço topológico e f, g ∈ C(X). Prove que
f + g, f · g, max{f, g} e min{f, g}
são contínuas. Se hfs is∈S é uma coleção C∗ (X), é verdade que sups∈S fs é contínua? Se,
para cada n ∈ ω, fn ∈ C∗ (X), é verdade que f : X → R dada por
f (x) =
X fn (x)
n≥0
2n
é contínua?
Exercício 6. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y contínua. Prove que as
seguintes afirmações são equivalentes:
(FA1) f é aberta;
2
(FA2) dado B ⊆ Y e um fechado F em X que contenha f −1 [B], existe um fechado
G em Y contendo B tal que f −1 [G] ⊆ F ;
(FA3) existe uma base B de X tal que, para cada U ∈ B, f [U ] é aberto em Y .
Exercício 7. Verifique que f : R → R dada por
f (x) =
x
1 + |x|
é contínua, injetora e aberta, cuja imagem é ] − 1, 1[. Conclua que ]0, 1[ é homeomorfo a
reta real.
Exercício 8. Seja X um espaço metrizável. Duas métricas ρ0 e ρ1 são ditas uniformemente equivalente se, para cada ε > 0 existirem δ0 , δ1 > 0 tais que, para todo par
x, y ∈ X, ocorre ρ0 (x, y) < ε sempre que ρ1 (x, y) < δ1 e ocorre ρ1 (x, y) < ε sempre que
ρ0 (x, y) < δ0 . Prove que duas métricas uniformemente equivalentes de X são equivalentes.
Acerca de duas métricas ρ0 , ρ1 de X, prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(8.1). ρ0 e ρ1 são uniformemente equivalentes;
(8.2). as identidades i0 : hX, ρ0 i → hX, ρ1 i e i1 : hX, ρ1 i → hX, ρ0 i são uniformemente contínuas;
(8.3). para cada espaço métrico hY, σi, a coleção de todas as funções uniformemente
contínuas de hX, ρ0 i em hY, σi coincide com a coleção de todas as funções
uniformemente contínuas de hX, ρ1 i em hY, σi.
Exercício 9. hX, ρi e hY, σi espaços métricos. Se D é um denso de X, munido da
métrica ρ0 induzida por ρ, e f : hD, ρ0 i → hY, σi é uniformemente contínua, prove que
existe f : hX, ρi → hY, σi contínua tal que f D = f . Sob as hipótese anteriores, f é
sempre uniformemente contínua?
B.
Axiomas de Separação
Exercício 10. Seja X um espaço topológico. Prove que X é um espaço de Hausdorff se,
e somente se, dados uma base B de X e x, y ∈ X distintos existem U, V ∈ B disjuntos
tais que x ∈ U e y ∈ V . O resultado continua válido se B for uma subbase?
Exercício 11. (Pitz e Suabedissen - 2014) Diz-se que uma propriedade P é reconstrutível
se, dado um espaço topológico X e x ∈ X, X possui a propriedade P se X \ {x} possuir
a propriedade P. Prove que os axiomas de separação T0 , T1 , Hausdorff, regular (T3 + T1 )
e Tychonoff (T3 1 + T1 ) são propriedades reconstrutíveis para espaços que possuem pelo
2
menos 3 pontos∗ .
Exercício 12. É verdade que, dado um espaço regular X contendo pelo menos dois
pontos, existe uma função contínua f : X → I não-constante?
∗
A normalidade não é uma propriedade resconstrutível, e a demonstração envolve fatos sobre a compactificação de Čech-Stone dos números naturais
3
Exercício 13. Seja Y um espaço topológico que satisfaz a propriedade
(?) Dados X um espaço topológico e f, g : X → Y contínuas, se o conjunto {x ∈
X : f (x) = g(x)} for densa em X, então f = g.
Prove que Y é Hausdorff.
Sejam X um espaço topológico e hYs is∈S uma família de espaços topológicos. Suponha
que, para cada s ∈ S, fs : X → Ys seja contínua. Diz-se que a família hfs is∈S separa
pontos se, dados x, y ∈ X distintos, existe s ∈ S tal que fs (x) 6= fs (y). Diz-se que hfs is∈S
separa pontos de fechados se, para cada x ∈ X e F fechado de X que não contenha x,
existe s ∈ S para o qual se verifica fs (x) 6∈ clYs fs [F ].
Exercício 14. Com as hipóteses e notações acima, se X é T0 , prove que, se hfs is∈S separa
pontos de fechados, então hfs is∈S separa pontos.
Sejam X e Y espaços topológicos. Diz-se que f : X → Y é um homeomorfismo de
imersão (ou, simplesmente, imersão) se existir um subspaço M de Y e um homeomorfismo
f 0 : X → M tal que f = iM →Y ◦ f 0 (em outras palavras, f é um homeomorfismo entre X
e f [X]).
Exercício 15. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y injetora tal que {f } separa
pontos de fechados. Então, f é uma imersão.
Seja X um espaço topológico. Diz-se que F ⊆ X é um funcionalmnte fechado se existir
f : X → I tal que F = f −1 [{0}]. O complementar de um funcionalmente fechado de X
é um funcionalmente aberto de X. É claro que funcionalmente fechados (abertos) de X
são fechados (abertos) de X (certo?).
Exercício 16. Seja X um espaço topológico e x ∈ R. Dada uma função contínua
f : X → R prove que
f −1 [{x}] f −1 ] − ∞, x] e f −1 [x, ∞[
são funcionalmente fechados em X. Se f : X → I é contínua e x ∈ I, é verdade que
f −1 [{x}] f −1 ]0, x] e f −1 [x, 1[
são funcionalmente fechados em X? (Dica: para a primeira parte, use o exercício 5. Para
a segunda, é verdade que imagem inversa de funcionalmente fechados é funcionalmente
fechado?)
Exercício 17. Seja X um espaço topológico e FO(X) e FC(X) a coleção dos funcionalmente abertos e dos funcionalmente fechados de X, respectivamente. Prove que FO(X)
e FC(X) são fechados por intersecções e uniões finitas. É verdade que algum deles é
fechado por intersecção ou uniões infinitas e enumeráveis? (Dica: use o exercício 5)
Exercício 18. Prove que um espaço T1 X é um espaço de Tychonoff se, e somente se,
possuir uma base formada por funcionalmente fechados. Verifique que, se X é normal,
então os funcionalmente fechados coincidem com os Gδ ’s fechados (e, portanto, os funcionalmente abertos coincidem com os Fσ ’s abertos).
4
Dois subconjuntos A e B de um espaço topológico X são ditos completamente separáveis
se existir f : X → I contínua tal que f [A] ⊆ {0} e f [B] ⊆ {1}.
Exercício 19. Sejam F0 e F1 funcionalmente fechados de um espaço X, com F0 ∩ F1 = ∅.
Prove que F0 e F1 são completamente separáveis.
Exercício 20.
SkSejam X um espaço normal, F fechado de X e U0 , . . . , Uk abertos de X
tais que F ⊆ i=0 Ui . Prove que existem h0 , . . . , hk : X → I contínuas tais que
P
(20.1). dado x ∈ F , ki=0 hi (x) = 1;
(20.2). dado i ∈ {0, . . . , k}, hi [X \ Ui ] ⊆ {0}.
Exercício 21. Seja X um espaço T1 . Suponha que F é fechado em X e W aberto
em X,
S tais que, F ⊆ W , existem uma coleção hWn in∈ω de abertos de X satisfazendo
F ⊆ n∈ω Wn e, para todo n ∈ ω, cl Wn ⊆ W . Prove que X é normal. Vale a volta?
Exercício 22. Prove que todo espaço regular que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade é um espaço normal.
Exercício 23. (Urysohn - 1925) Prove que a normalidade é hereditária para conjuntos
Fσ , isto é, dados X um espaço normal e A um Fσ de X, tem-se que A é normal.
Exercício 24. Para um espaço topológico T1 X, prove que as seguintes afirmações são
equivalentes:
(24.1). X é hereditariamente normal;
(24.2). todo aberto de X é normal;
(24.3). se A, B ⊆ X são separáveis† , então existem abertos U e V de X tais que
A ⊆ U , B ⊆ V e U ∩ V = ∅.
C.
Grupos Topológicos
Seja G um grupo. Diz-se que G é um grupo topológico se G possui uma topologia que faz
da aplicação G × G 3 hx, yi 7→ xy −1 contínua.
Exercício 25. Seja G um grupo topológico. Prove que as aplicações G×G 3 hx, yi 7→ xy
e G 3 x 7→ x−1 são contínuas. Conclua que, dado x ∈ X, Tx : G → G e S : G → G dadas
por
Tx (y) = xy e S(x) = x−1
são homeomorfismos.
Se G é um grupo, x ∈ G e A, B ⊆ G, considere
A(−1) = {x−1 : x ∈ A}, AB = {xy : x ∈ A ∧ y ∈ B}, Ax = A{x} e xA = {x}A;
defina A(0) = {e} - aqui e é o elemento neutro do grupo - e, para cada n ∈ ω A(n+1) =
AA(n) . Finalmente, se m ∈ ω, então A(−m) = (A(−1) )(m)
†
i.e. clX (A) ∩ B = A ∩ clX (B) = ∅
5
Exercício 26. Seja V uma base local um grupo topológico G no elemento neutro e.
Prove que, dado x ∈ G,
V(x) = {xV : V ∈ V} = {V x : V ∈ V}
é uma base local para G no ponto x.
Exercício 27. Sejam G um grupo topológico e V uma base local de G em e. Prove que
(27.1). dado U ∈ V, existe V ∈ V tal que V (2) ⊆ U ;
(27.2). dado U ∈ V, existe V ∈ V tal que V (−1) ⊆ U ;
(27.3). dados U ∈ V e x ∈ U , existe V ∈ V tal que xV ⊆ U ;
(27.4). dados U ∈ V e x ∈ G, existe V ∈ V tal que xV x−1 ⊆ U ;
(27.5). se U ∈ V, existe V ∈ V tal que cl V ⊆ U.
Conclua que existe uma base local U de G em e tal que, para cada U ∈ U, U (−1) = U .
Seja G um grupo topológico. Doravante, a palavra subgrupo remeterá a um subgrupo H
de G dotado da topologia de subspaço herdada de G.
Exercício 28. Seja G um grupo topológico e H um subgrupo de G; prove que H é
discreto se, e somente se, possuir um ponto isolado.
Exercício 29. Prove que todo subgrupo discreto de um grupo topológico é fechado.
D.
Conexidade
Exercício 30. É possível existir um subspaço de R homeomorfo à C = {x ∈ R2 : |x| =
1}?
Exercício 31. Prove que toda função contínua f : R → Q é constante.
Exercício 32. Prove que, se X um espaço de Tychonoff conexo contendo pelo menos
dois pontos, então |X| ≥ c‡
Sejam X um espaço topológico e x ∈ X. Define-se por componente de x em X o maior
conexo de X que contém x, e por quase-componente de x em X a intersecção de todos
os abertos-fechados de X que contém x.
Exercício 33. Sejam X um espaço topológico e x ∈ X. Prove que a componente Cx de
x em X é um fechado conexo de X e que, para y ∈ X \ {x}, ou Cx = Cy ou Cx ∩ Cy = ∅.
Exercício 34. Seja G um grupo topológico e C a componente do elemento neutro e.
Prove que C é um subgrupo fechado e normal (no sentido algébrico, não topológico) de
G. Vale a mesma propriedade para a quase-componente Q de e?
‡
c é a cardinalidade da reta; então, o que se deve provar é que existe uma função sobrejetora de X
em R.
6
Exercício 35. Seja X um espaço topológico. Prove que a componente Cx de um ponto
x ∈ X está contida na quase-componente Qx de x.
Exercício 36. Sejam X um espaço topológico e hCn in∈ω uma S
sequência de subspaços
conexos de X. Se, para cada n, m ∈ ω, Cn ∩ Cm 6= ∅, prove que n≥0 Cn é conexo.
Exercício 37. Sejam X um espaço metrizável e ρ uma métrica para X. Se X é conexo,
dados x, y ∈ X e ε > 0, prove que existem x0 , . . . , xk de pontos de X tais que x0 = x,
xk = y e, para cada i ∈ {0, . . . , k − 1}, ρ(xi , xi+1 ) < ε. Essa propriedade caracteriza
espaços metrizáveis conexos?
Exercício 38. Sejam G um
S grupo topológico conexo e U uma vizinhança do elemento
neutro e. Prove que G = n∈ω U (n) .
7