Matemática: Funções

Matemática:
Funções
Funções
Função:
É a combinação de operadores
aritméticos que recebe um valor
e o transforma em outro valor
segundo as regras da operação.
Funções
Exemplos
Funções
Nomenclatura
• Entrada(s) x(, y, z):
Variável(eis) independente(s).
• Saída y, ou f(x):
Variável dependente.
Funções
Definições
• Domínio:
Conjunto que engloba os valores que x
pode assumir dentro do conjunto
numérico assumido pelo problema.
• Imagem:
Conjunto de valores possíveis de f(x),
conforme x varia no domínio.
Funções
Nomenclatura de Funções
A: Domínio
B: Imagem
x,a : Variável Independente
f(x), f(a) : Variável Dependente
Não pode haver um mesmo elemento do domínio
associado a duas imagens distintas!
Funções
Teste da linha vertical
h(y)
y
0
X: -2
Y: 0
0
-2
-2
0
X: 0
Y: -2
x
0
y
Funções
Classificação
Injetora : Existe apenas uma imagem para um elemento do
domínio,
(teste da linha horizontal) . Ex:
.
Sobrejetora: Todo o Conjunto Imagem declarado (contra
domínio) possui ao menos um representante no domínio.
Todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento
de A. Ex:
.
Bijetora : Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo.
Ex:
.
Funções
Simetria de funções
• Função par:
Curva simétrica ao eixo y.
• Função ímpar:
Curva simétrica à origem
Funções
Função Inversa
f(x) : Injetora (teste da linha
horizontal)
f -1(f (x)) = x
Formas de Obter f -1 :
1) Forma Algébrica
2) Forma Gráfica
Funções
Forma Algébrica
Passo 1 : Escreva f(x)
Passo 2 : Substitua f(x) por x, e x por f -1(x)
Exemplo :
f(x) = log(x+1)
x = log(f -1(x) + 1)
f -1(x) = 10x - 1

10x = f -1(x) + 1
Funções
Forma Gráfica
Passo 1 : Desenhe f(x)
Passo2 : Desenhe y = x
(reta de 45º)
Passo3 : Espelhe o
desenho de f(x) na reta
de 45º
Matemática:
Limite
Limite
Limite:
É uma ferramenta que estuda o
comportamento de uma função quando sua
variável independente tende a um valor dado.
Útil na obtenção de valores singulares de
funções.
Lê-se: o limite de Vm(t)
quando t tenda a “a” é igual a V.
Limite
Propriedades
1)
2)
3)
Limite
Limite Bidirecional
y
1
0
-1
0
x
Limite
Exemplo
Calcule o limite
Este limite não existe!
Limite
Exemplo
Este limite não existe!
Limite
Limites infinitos
•
•
A função f(x) é definida para x sendo
aproximado por ambas as direções de a, com
exceção de x=a, onde f é infinita, f(a)=inf.
Assíntota vertical em x=a.
Limite
Limites no infinito
•
•
Dada a função f(x), seu comportamento
quando x fica arbitrariamente grande é o de
aproximar-se cada vez mais de um valor L.
Assíntota horizontal para x->infinito
Limite
Limites infinitos no infinito
• A medida que x tende ao infinito, a função
f(x) também tende ao infinito.
Exemplo:
Lembre-se:
não é um número!
Matemática:
Derivada
Derivada
Derivada
A derivada de uma função f(x) em um ponto
fixo a é definida por:
Graficamente, representa a tangente no ponto
a da função f(x).
Derivada
Derivada
Se a variar, ou seja, se substituirmos a pela
variável independente x,
torna-se uma
função, e
pode ser interpretado como a
inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x)
no ponto (x, f(x)).
Derivada
Notação
Derivada
Propriedades
Derivada
Propriedades
Derivada
Aplicações
y
1) Ponto Máximo e Mínimo
Máximo
Global
2)
3)
f(x)
Máximo Local
0
Mínimo
Local
a
f'(x) = 0
0
Mínimo Local
e Global
b
x
Teste Crescente/Decrescente
Teste Primeira Derivada
4)
Teste Segunda Derivada
5)
Regra L’Hopital
Derivada
Exemplo
Use a regra de L’Hopital para resolver o
limite:
Derivada
Memorizar
Exemplo 1
Exemplo 1
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 2
Exemplo 2