Teoria da Amostragem - Distribuição Amostral

NOTAS DE AULA - ESTATÍSTICA
TEORIA DA AMOSTRAGEM
ESTIMAÇÃO
ISABEL C. C. LEITE
SALVADOR – BA
2007
Estatística
Prof.ª Isabel C. C. Leite
1
TEORIA DA AMOSTRAGEM – DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES
A teoria da amostragem é um estudo das relações existentes entre uma população e as amostras
dela extraídas.
É útil em:
• estimação de parâmetros populacionais;
• determinação das causas de diferenças observadas entre amostras.
Constitui o que chamamos de estatística indutiva ou inferência estatística que consiste em
inferir conclusões importantes sobre uma população a partir da análise de resultados observados em
amostras aleatórias. Como toda conclusão deduzida a partir da amostragem é acompanhada de um
grau de incerteza ou risco, o problema fundamental da inferência estatística é medir este grau de
incerteza ou risco das generalizações.
Parâmetro: medida numérica que descreve uma população. Genericamente representado por θ.
Exemplos: média ( µ ), variância ( σ 2 ).
Estatística ou estimador: medida numérica que descreve uma amostra. Genericamente
representado por θˆ . Exemplos: média ( x ), variância ( S 2 ).
Estimativa: valor numérico de um estimador.
Erro amostral: erro que ocorre pelo uso da amostra. Denotado por ε e definido por: ε = θˆ − θ .
Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de um estimador (ou estatística) da
amostra formada quando amostras de tamanho n são colhidas várias vezes de uma população.
Por exemplo, se o estimador da amostra for a sua média, a distribuição será uma distribuição
amostral de médias das amostras.
x1
n
n
x2
n
x3
n
Distribuição
amostral de
x
n
n
x4
n
M
População
Repetir esse processo
para todas as amostras
de tamanho n
Para cada distribuição amostral pode-se calcular a média, o desvio-padrão, etc.
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Distribuição amostral das médias
Consideremos o seguinte problema.
Seja X o peso real de pacotes de café, enchidos automaticamente por uma máquina. Sabe-se
que a distribuição de X pode ser representada por uma normal, com parâmetros µ e σ 2 .
Suponhamos que a máquina esteja regulada para encher os pacotes segundo uma distribuição
normal com média 500 gramas e desvio padrão de 10 gramas, isto é, X ~ N (500,100) . Sabemos
que, às vezes, a máquina desregula-se e quando isto acontece o único parâmetro que se altera é a
média, permanecendo a mesma variância. Para manter a produção sob controle iremos recolher uma
amostra de 100 pacotes e pesá-los. Como essa amostra nos ajudará a tomar uma decisão?
Usaremos a média x da amostra como informação pertinente para uma decisão. Mesmo que a
máquina esteja regulada, dificilmente x será igual a 500 gramas, dado que os pacotes apresentam
certa variabilidade de peso. Mas se x não se afastar muito de 500 gramas, não existirão razões para
suspeitarmos da qualidade do procedimento de produção. Só iremos pedir uma revisão se o erro
amostral ( x – 500) for “muito grande”.
O problema que se apresenta agora é o de decidir o que é próximo ou distante de 500 gramas.
Se o mesmo procedimento de colher a amostra de 100 pacotes fosse repetido um número muito
grande de vezes, sob a condição de a máquina estar regulada, teríamos idéia do comportamento da
variável x , e saberíamos dizer se aquele valor observado é ou não um evento raro de ocorrer. Caso
o seja, é mais fácil suspeitar da regulagem da máquina do que do acaso.
Portanto é importante conhecer as propriedades da distribuição da variável x .
As médias x das amostras de tamanho n retiradas de uma população com média µ e desvio
padrão σ formam a distribuição amostral com os seguintes parâmetros:
•
•
() ()
O valor esperado ou média é igual à média populacional: E x = µ x = µ .
A variância é igual à variância populacional dividida pelo tamanho da amostra:
()
Var ( x) = σ 2 x =
σ2
.
n
OBS: Se a população é finita e de tamanho N conhecido, e se a amostragem é feita sem
σ2 N −n
reposição, então Var ( x) = σ 2 x =
⋅
.
n N −1
Temos, portanto, para desvio padrão das médias amostrais:
()
()
σ
()
σ
•
σ x =
•
σ x =
n
n
, se a população é infinita, ou se a amostragem é feita com reposição;
N −n
, se a população é finita, ou se a amostragem é feita sem reposição.
N −1
Observemos pelas fórmulas apresentadas que quanto maior o tamanho da amostra, menor será a
variância de x , ou seja, o estimador x será mais preciso à medida que o tamanho da amostra
aumentar.
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Teorema do limite central
Se de uma população com parâmetros ( µ , σ 2 ) for retirada uma amostra de tamanho
suficientemente grande, a distribuição de x será aproximadamente normal, seja qual for a forma da
distribuição da população.
Ou seja,
 σ2 
 σ 2  N − n 

x ≅ N  µ ,
ou
x ≅ N  µ , 

n 
n  N − 1  


com distribuições padronizadas dadas por:
Zi =
xi − µ
σ
n
ou
Zi =
xi − µ
σ N −n
n N −1
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Aplicações
1.
Voltando ao problema inicial, onde uma máquina enchia pacotes cujos pesos seguiam uma
distribuição normal N(500,100). Colhendo-se uma amostra de n = 100 pacotes e pesando-os, x
terá uma distribuição normal com média 500 e variância 100/100 = 1. Logo, se a máquina
estiver regulada, a probabilidade de encontrarmos a média de 100 pacotes diferindo de 500 g de
menos de 2 gramas será
(
) (
)
P x − 500 < 2 = P 498 < x < 502 = P(−2 < z < 2) ≅ 95%
Ou seja, dificilmente 100 pacotes terão uma média fora do intervalo (498,502). Caso isto ocorra,
podemos considerar como um evento raro, e será razoável supor que a máquina esteja
desregulada.
2.
Admite-se que as alturas de 3000 estudantes do sexo masculino de uma universidade são
normalmente distribuídas, com a média 172,72 cm e o desvio padrão 7,62 cm. Se forem obtidas
80 amostras de 25 estudantes cada uma, quais serão a média e o desvio padrão esperados da
distribuição amostral das médias resultantes se amostragem for feita: (a) com reposição; (b)
sem reposição?
Solução:
O número de amostras de 25 elementos que podem ser obtidas teoricamente de um grupo de
3000 estudantes, com e sem reposição, são: (3000)25 e C3000,25, respectivamente, muito maiores do
que 80. Por isso não se obtém uma verdadeira distribuição amostral das médias, mas apenas uma
experimental. Apesar disso, visto que o número de amostras é grande, haverá uma concordância
muito estreita entre as duas distribuições amostrais.
σ
7,62
(a) µ x = µ = 172,72 cm e σ x =
=
= 1,524 cm.
n
25
()
()
()
()
σ
N − n 7,62 3000 − 25
=
= 1,518 cm, que é apenas
n N −1
25 3000 − 1
ligeiramente menor que 1,524 cm e pode, portanto, para todos os fins práticos, ser considerado igual
ao da amostragem com reposição.
(b) µ x = µ = 172,72 cm e σ x =
Conclusão: pode-se considerar esta distribuição amostral experimental das médias
aproximadamente normal, com a média 172,72 cm e desvio padrão 1,524 cm.
3.
Em quantas amostras do problema anterior pode-se esperar que a média se encontre:
(a) entre 169,67 cm e 173,48cm;
(b) abaixo de 170,00 cm?
Resp: (a) o número esperado de amostras é 80 ⋅ 0,6687 ≅ 53 .
(b) o número esperado de amostras é 80 ⋅ 0,0375 = 3 .
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Dimensionamento de uma amostra
Muitas vezes é importante sabermos qual deverá ser o tamanho de uma amostra de modo a
obter um erro de estimação ε previamente estipulado com determinado grau de confiança dos
resultados obtidos.
Exemplo: Seja X : N (1200,840 ) . Qual deverá ser o tamanho de uma amostra de tal forma que
P (1196 < x < 1204 ) = 0,90 ?
 µ ( x ) = 1200

Solução: Se µ = 1200 e σ = 840 ⇒ 
840 28,98
=
σ ( x ) =
n
n

Para o intervalo dado temos que ε = x − µ = ±4
x −µ
±4
Como z =
e z = z0,45 = 1, 64 , segue-se que ±1, 64 =
∴ n = 141,13 .
28,98
σ (x)
n
Concluímos que, se retirarmos uma amostra de 141 elementos da população X, teremos 90% de
confiança que x estará no intervalo (1196,1216) e P ( x < 1196 ) = 0, 05 ou P ( x > 1216 ) = 0, 05 ;
isto significa que o risco que corremos de que o valor da média caia fora do intervalo anterior é de
10%.
2
Distribuição amostral da soma, ou diferença, entre duas médias
Sejam duas populações independentes com distribuição amostral das médias dadas por
 σ2
x1 ≅ N  µ1 , 1 
n1 

e

σ 2
x 2 ≅ N  µ2 , 2  .
n2 

Considerando amostras independentes das duas populações, temos:
(

σ2 σ 2
x1 ± x 2 ≅ N  µ1 ± µ2 , 1 + 2 
n1
n2 

)
(
)
A distribuição normal padrão para x1 ± x 2 será zi =
(x ± x ) −(µ ± µ )
1
2
σ 12
n1
1
+
2
σ 22
n2
Aplicação: Numa escola A, os alunos submetidos a um teste obtiveram média 70 com desvio
padrão 10. Em outra escola B, os alunos submetidos ao mesmo teste obtiveram média 65 com
desvio padrão 15. Se colhermos na escola A uma amostra de 36 alunos e na B, uma de 49 alunos,
qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias seja superior a 6 unidades?
Resp. 0,3557
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6
Distribuição amostral das proporções
Consideremos uma população infinita onde a probabilidade de ocorrência de um evento
(denominado seu sucesso) é p, enquanto a de sua não ocorrência (fracasso) é q = 1 – p. Tomemos
todas as amostras possíveis de tamanho n extraídas desta população e, para cada amostra,
determinemos a proporção p̂ de sucessos.
Temos, portanto, o parâmetro p̂ que expressa a probabilidade, ou proporção, ou freqüência
relativa, de determinado evento da população.
x nº de casos favoráveis ao evento na amostra
pˆ = =
n
nº total de casos da amostra
Obtemos assim uma distribuição amostral das proporções.
Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral de p̂ é aproximadamente
normal com
• média: µ( p̂ ) = p ,
pq
,
n
onde: p = verdadeira probabilidade populacional de “sucessos”
q=1–p
n = tamanho da amostra.
pˆ i − p
 pq 
.
Assim, pˆ ≅ N  p,
 e sua distribuição normal padronizada é expressa por Z i =
n 
pq

n
Aplicação
•
desvio padrão: σ ( p̂ ) =
Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por certa máquina são defeituosas. Qual é a
probabilidade de, em uma remessa de 400 dessas ferramentas, revelarem-se defeituosas:
(a) 3% ou mais;
(b) 1,5 % ou menos?
Solução:
pq
0,02 ⋅ 0,98
=
= 0, 007 .
n
400
0, 03 − 0, 02
(a) Calculando a variável padronizada z para p̂ 1 = 0,03: z1 =
= 1, 43
0, 007
P( pˆ ≥ 0, 03) = P ( z ≥ 1, 43) = 0,5 − 0, 4236 = 0, 0764 ou 7,64%
Temos: µ( pˆ ) = p = 0, 02 e σ ( pˆ ) =
0, 015 − 0, 02
= −0, 71
0, 007
P( pˆ ≤ 0, 015) = P ( z ≤ −0, 71) = 0,5 − 0, 2611 = 0, 2389 ou 23,89 %
(b) Calculando a variável padronizada z para p̂ 1 = 0,015: z1 =
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Distribuição amostral da soma, ou diferença, entre duas proporções
Sabemos da distribuição amostral das proporções que para amostras suficientemente grandes,


pq 
pq 
pˆ1 ≅ N  p1 , 1 1  e pˆ 2 ≅ N  p2 , 2 2  .
n1 
n2 


Considerando amostras independentes das duas populações, temos:

p1q1 p2 q2 
+

n1
n2 
( pˆ1 ± pˆ 2 ) ≅ N  p1 ± p2 ,

A distribuição normal padrão para ( pˆ1 ± pˆ 2 ) será zi =
( pˆ1 ± pˆ 2 ) − ( p1 ± p2 ) .
p1q1 p2 q2
+
n1
n2
Estimação
Um dos métodos para realizar inferências a respeito dos parâmetros é a estimação, que
determina estimativas dos parâmetros populacionais.
Existem dois tipos de estimação de um parâmetro populacional: estimação por ponto e a
estimação por intervalo.
Estimação por ponto
A partir das observações, usando o estimador, procura-se encontrar um valor numérico único
(estimativa) que esteja bastante próximo do verdadeiro valor do parâmetro.
Este procedimento não permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo, mas
a distribuição por amostragem dos estimadores torna possível o estudo das qualidades do estimador.
ESTIMADORES PONTUAIS DOS PRINCIPAIS PARÂMETROS POPULACIONAIS
Parâmetro
Média (µ)
Variância (σ 2)
Desvio padrão (σ)
Proporção (p)
Estimador
1 n
x = ∑ xi
n i =1
1 n
S2 =
∑ xi − x
n − 1 i =1
S=
(
)
(
)
1 n
∑ xi − x
n − 1 i =1
2
2
x
, onde
n
x = número de elementos da amostra que possuem a
característica
n = tamanho da amostra
pˆ =
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Exemplo: Para avaliar a taxa de desemprego em determinado estado, escolhe-se uma amostra
aleatória de 1000 habitantes em idade de trabalho e contam-se os desempregados: 87. Estimar a
proporção de desempregados em todo o estado.
87
pˆ =
= 0, 087
1000
Estimação por intervalo
Procura determinar um intervalo que contenha o valor do parâmetro populacional, com certa
margem de segurança. Este procedimento permite julgar a magnitude do erro que podemos estar
cometendo.
Com base na amostra, uma maneira de expressar a precisão da estimação é calcular os limites
de um intervalo, o Intervalo de Confiança (IC), tais que ( 1 − α ) seja a probabilidade de que o
verdadeiro valor do parâmetro esteja contido nele.
Portanto,
α : grau de desconfiança, nível de incerteza ou nível de significância.
1 − α : coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade;
Formalizando, se denotarmos o parâmetro de interesse por θ, desejamos obter um intervalo
com limite inferior I e limite superior S tal que
P(I < θ < S) = 1 − α ,
onde α é um valor pequeno, ou seja 1 − α é próximo de 1.
Os limites deste intervalo são variáveis aleatórias, pois dependem da amostra selecionada. Um
intervalo deste tipo é denominado intervalo de 1 - α (×100)% confiança para o parâmetro θ.
Valores de α mais comumente usados são
α = 0,10
1 – α = 0,90 ou 90%
α = 0,05
1 – α = 0,95 ou 95%
α = 0,01
1 – α = 0,99 ou 99%
A precisão com que se conhece θ depende da amplitude deste intervalo dada por S – I. Quanto
menor esta amplitude melhor determinado estará o parâmetro.
A figura abaixo ilustra o conceito de intervalo de confiança.
INTERVALOS DE CONFIANÇA
AMOSTRA
1
2
(
)
(
)
(
3
)
(
4
)
(
)
5
6
...
7
(
(
)
)
µ
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O verdadeiro valor do parâmetro estará contido em 1 − α (×100) % desses intervalos.
Observe que algumas estimativas intervalares incluem e outras não incluem o verdadeiro valor
do parâmetro da população. Ao retirarmos uma amostra e calcularmos um intervalo de confiança,
não sabemos na verdade se o parâmetro da população se encontra naquele intervalo calculado. O
importante é saber que se está utilizando um método com 1 − α (×100) % de probabilidade de
sucesso.
Intervalos de confiança para a média de uma população normal com variância conhecida
Consideremos uma população normal com média desconhecida que desejamos estimar e com
variância conhecida, X = N ?, σ 2 .
(
)
Procedimento para a construção do IC:
1. Retiramos uma amostra casual simples de n elementos.
2. Calculamos a média da amostra x .
3. Calculamos o desvio padrão da média amostral:
σ
.
n
4. Fixamos o nível de significância α, e com ele determinamos zα , tal que
P ( z > zα ) = α , ou seja, P ( z > zα ) =
Logo, devemos ter P ( z < zα ) = 1 − α
α
2
e P ( z < zα ) =
α
α
2
.
α
1−α
2
− zα
2
zα
Neste caso o Intervalo de Confiança de 1 − α (×100)% para µ é dado por:
σ
σ 

, x + zα
 x − zα

n
n

Usando uma notação mais simples, teremos IC ( µ , (1 − α ) % ) = ( µ1 , µ 2 ) .
Exemplos:
1. A duração de vida de uma peça de equipamento é tal que σ = 5 horas. Foram amostradas
aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo-se média de 500 horas. Desejamos construir um intervalo
de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança.
Solução: Temos σ = 5, n = 100, x = 500, (1 − α )100 = 95% .
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10
O gráfico da distribuição normal padrão será:
D istribuição N orm al (0,1)
0,95
0,025
0 ,025
-1,96
z = 1,96 corresponde à área 0,475
0
1,96
Substituindo os dados na fórmula, temos o intervalo de confiança solicitado,
P ( 499, 02 < µ < 500,98 ) = 95% ,
significando que com 95% de confiança a duração média da peça está entre 499,02 e 500,98 horas.
Portanto, se fossem construídos intervalos dessa mesma maneira, para um grande número de
amostras, em 95% dos casos os intervalos incluiriam µ .
Para os casos de populações finitas, multiplica-se o desvio padrão pelo fator de correção,
gerando o IC:

σ
N −n
σ
N −n 
⋅
, x + zα
⋅
 x − zα

N −1
N − 1 
n
n

2. Admitindo os mesmos dados do exemplo anterior, consideremos como população a produção
de 1000 peças. Nesse caso o intervalo para a média será (499,07;500,93), conforme os cálculos
abaixo.
5
1000 − 100
5
1000 − 100
µ1 = 500 − 1,96 ⋅
.
e
µ 2 = 500 + 1,96 ⋅
.
1000 − 1
1000 − 1
100
100
Logo, o intervalo (499,07;500,93) contém a duração média das 1.000 peças com 95% de
confiança.
Amostras Grandes - População Normal ou não Normal
Se n é suficientemente grande (em geral, n > 30), mesmo sem conhecermos a distribuição da
população, os limites do Intervalo de Confiança para a média (µ) poderão ser calculados com base
na distribuição Normal padrão. Da mesma forma podemos utilizar o desvio padrão amostral S no
lugar de σ (desvio-padrão populacional), caso este não seja conhecido.
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Intervalos de confiança para a proporção
Lembremos que quando p populacional é conhecida, pˆ =
x
tem distribuição aproximadamente
n
 pq 
normal, pˆ ≅ N  p,
 . Para construirmos o IC para p desconhecida, determinamos p̂ na amostra
n 

ˆˆ
pq
e consideramos σ pˆ ≅
.
n
pˆ − p
Logo, ao nível α de significância, P ( z < zα ) = 1 − α , onde z =
.
σ pˆ
Desenvolvendo os cálculos, como foi feito para a média, chegamos à formula do IC para a
proporção p populacional.

ˆˆ
ˆˆ 
pq
pq
IC ( p, (1 − α ) % ) = ( p1 , p2 ) =  pˆ − zα
; pˆ + zα


n
n 

Exemplo:
Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo
escolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos, dos quais 80 foram favoráveis.
a. Faça um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao
nível de 4% de significância.
b. Qual o valor do erro de estimação ocorrido no intervalo acima?
Solução: Dados n = 100, x = 80, α = 4%, temos que
0,8 ⋅ 0, 2
pˆ = 0,80 , qˆ = 0, 20 e σ pˆ ≅
= 0, 04 .
100
a. zα = z0,48 = 2, 05 ⇒ IC ( p,96% ) = ( 0, 718; 0,882 )
Temos uma confiança de 96% que de 71,8% a 88,2% dos alunos do curso serão favoráveis à
modificação curricular.
pˆ − p
ε
b. z =
⇒ zσ =
∴ε = zσ ⋅ σ pˆ
σ pˆ
σ pˆ
ε = 2, 05 ⋅ 0, 04 = 0, 082 ∴ ε = 8, 2%
O erro de estimação cometido em (a) é de 8,2% para 96% de confiança e uma amostra de
100 alunos.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• BUSSAB, Wilton de O. MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5ª edição. São Paulo: Saraiva,
2006.
• MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – Volume 2 – Inferência. São Paulo: Pearson
Makron Books, 2000.
• MARTINS, Gilberto de A. Estatística Geral e Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2005.
• SPEIGEL, Murray R. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1993.
• Notas de aula dos professores do Departamento de Estatística – UFBA, disponíveis no site
www.est.ufba.br.