Estimação e Intervalo de Confiança

Estimação e Intervalo de
Confiança
Estimação
• Frequentemente necessitamos, por meio das
amostras, conhecer informações gerais da
população.
• A estimação é o processo que consiste no uso
de dados da amostra (dados amostrais) para
estimar valores de parâmetros populacionais
desconhecidos, tais como média, desvio
padrão, proporções etc.
Estimação
Amostra
Média
Desvio Padrão
Amostra
Média
Desvio Padrão
População
Estimativas Pontuais e Intervalares
• Chamamos de estimador a quantidade calculada
em função dos elementos da amostra, que será
usada no processo de estimação do parâmetro
desejado.
– O estimador é, como vemos, uma estatística. Será,
portanto, uma variável aleatória caracterizada por
uma distribuição de probabilidade e seus respectivos
parâmetros próprios.
• Chamaremos de estimativa a cada valor
particular assumido por um estimador.
Estimativa Pontual
• É quando fazemos uma única estimativa (um
valor) para um determinado parâmetro
populacional. Vejamos os exemplos:
Estimativa Intervalar
• É quando fazemos uma estimativa de um
intervalo de valores possíveis, no qual se
admite esteja o parâmetro populacional.
• Neste tipo de estimativa temos um intervalo
de valores em torno do parâmetro amostral,
no qual julgamos, com um risco conhecido de
erro, estar o parâmetro da população. A esse
intervalo chamamos intervalo de confiança
Estimativa de Médias de uma
População
• Para efetuar a Estimativa de Médias de uma
População utiliza-se desvio padrão da
distribuição que constitui a amostra
(distribuição amostral), deve-se levar em
consideração se o desvio padrão da população
é ou não conhecido.
• Para desvio padrão populacional conhecido
temos:
• Estimativa Intervalar da média
• Salientamos que a estimativa intervalar da média
populacional baseia-se na hipótese de que a
distribuição das médias amostrais é normal, daí
usarmos a nova variável z. Para grandes amostras
(quando n é maior que 30) esta premissa é
garantida pelo Teorema do Limite Central;
• Para amostras de 30 ou menos elementos, é
importante saber que a população submetida à
amostragem distribuição-t (Student)
Teorema do Limite
• As médias das amostras apresentam uma
distribuição normal, desde que sejam
independentes
• Média das médias converge para a média da
população µ
• Desvio padrão é  / n
Usando a tabela z
•
•
•
•
•
•
z < 0,21
Z < -1,2
P(Z≤ 1,23) = 0,890651
P(Z< 1,02) = 0,153864
P(Z> 1,45) = 0,073529
P (-1,03 < Z < 1,02) = 0,846136 - 0,151505
A tabela (µ = 0, σ =1)
• µ = 15, σ =7
• P(X<13)
0,385908
Z = (X - µ) / σ
Z = (13 – 15)/7 = 0,29
Cálculo do Intervalo de Confiança
• Considerando que uma amostra de cem
elementos extraída de uma população
aproximadamente normal, cujo desvio padrão
é igual a 2, forneceu média de 35,6 (x ),
construir intervalos de confiança de 90%, 95%
e 99% para a média dessa população.
Exemplo
0,5
90 -> 0,45
95 -> 0,475
99 -> 0,495
0,5
Erro admitido num intervalo
(erro de estimação)
• É a diferença entre a média da amostra e a
verdadeira média da população.
• Como o intervalo de confiança tem centro na
média da amostra, o erro máximo provável
que está sendo admitido é igual à metade da
amplitude do intervalo.
• O erro de estimação pode ser descrito pela
relação:
Percebemos que quando aumentamos
este erro potencial aumenta. Podemos
concluir também que maiores amostras
(aumenta n) possuem um potencial de erro
menor.
Distribuição t de Student
• Para pequenas amostras a distribuição normal
apresenta valores menos precisos, o que nos
leva a utilizar um modelo melhor.
Distribuição t de Student
• Existe um valor de t para cada tamanho de
amostra, sendo que à medida que a amostra
(n) cresce, a distribuição t de Student se
aproxima da distribuição normal.
• Para calcular o valor de t a ser usado é
necessário ter:
– Um nível de confiança desejado:
– Qual o número de graus de liberdade a ser
utilizado:
Exemplo
• Sabendo-se que uma amostra tem 25
elementos, que a sua média 150 e desvio
padrão igual a 10. Represente um intervalo de
confiança em nível de 90%.
• Como a amostra é menor que 30 elementos,
então iremos usar a distribuição t de Student.
Se desejamos um intervalo de confiança de
90%, temos:
Valor de t
• Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de
graus de liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24.
Tabela (24,095)=1,711
Valor de t
Determinação do Tamanho da
Amostra
• O tamanho da amostra depende de 3 fatores,
conforme abaixo:
– O grau de confiança desejado (z);
– Quantidade de dispersão entre os valores
individuais da população ( );
– Erro tolerável ou admitido (e).
• Formula
Exemplo
• Qual o tamanho de amostra necessária para
se estimar a média de uma população infinita
cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de
confiança e erro de 0,5?